专题直线与圆锥曲线

高考数学复习考点题型专题讲解

专题22 直线与圆锥曲线

高考定位 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、

相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.

1.(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2

＝2px

(p

>0)的焦点到直线y

＝x

＋1

的距离为2，则p

＝( )

A.1 B.2 C.22

D.4

答案 B

解析 抛物线的焦点坐标为



p

2，0

，其到直线x

－y

＋1＝0的距离d＝

p

2－0＋1

12

＋（－1）2＝2，

解得：p＝2(p

＝－6舍去).

2.(2022·全国甲卷)记双曲线C

：x2

a2－y2

b2＝1(a

＞0，b

＞0)的离心率为e

，写出满足条件

“直线y

＝2x

与C无公共点”的e

的一个值________.

答案 2((1，5]内的任意值均可)

解析 双曲线C

的渐近线方程为y

＝±bax

，若直线y

＝2x

与双曲线C

无公共点，

则2≥b

a，∴b2

a2≤4，∴e2

＝c2

a2＝1＋b2

a2≤5，

又e

＞1，∴e

∈(1，5]，

∴填写(1，5]内的任意值均可. 3.(2021·浙江卷)已知椭圆x2

a

2＋y2

b

2＝1(a

>b

>0)，焦点为F

1(－c

，0)，F

2(c

，0)(c

>0).若过

F

1的直线和圆





x

－1

2c2

＋y2

＝c2

相切，与椭圆在第一象限交于点P

，且PF

2⊥x

轴，则该直

线的斜率是________；椭圆的离心率是________.

答案

25

55

5

解析 设过F

1的直线与圆的切点为M

，圆心A



1

2c

，0

，则|AM

|＝c，|AF

1|＝3

2c

，

所以|

MF

1|＝5

2c

，

所以该直线的斜率k＝|AM

|

|MF

1|＝c

5

2

c＝25

5.

因为PF

2⊥x

轴，所以|PF

2|＝b2

a，

又|F

1F

2|＝2c

，

所以k

＝

25

5＝b2

a

2c＝a2

－c2

2

ac＝1－e2

2e，

解得e

＝5

5(e

＝－5舍去). 4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l

与椭圆x2

6＋y2

3＝1在第一象限交于A

1．椭圆的定义：平面内与两个定点12FF，的距离之和等于常数（大于12||FF）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

2．椭圆的标准方程：

①22221(0)xyabab，焦点是1(0)Fc，，2(0)Fc，，且222cab．

②22221(0)yxabab，焦点是1(0)Fc，，2(0)Fc，，且222cab．

3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)xyabab争辩）：

⑴范围：axa≤≤，byb≤≤；

⑵对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；

⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212AABB，，，；

⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12AA；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12BB．

⑸椭圆的离心率：cea，焦距与长轴长之比，01e，e越趋近于1，椭圆越扁；

反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆．

My=-by=bx=-ax=aB2B1A2A1cbaF2F1Oyx

4．直线l：0AxByC与圆锥曲线C：()0fxy，的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为： 设直线l：0AxByC，圆锥曲线C：()0fxy，，由0()0AxByCfxy，

消去y（或消去x）得：20axbxc．

若0a，24bac，0相交；0相离；0相切．

若0a，得到一个一次方程：①C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行；②C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行．

寒假专题复习——直线与圆锥曲线

回扣教材：复习课本选修2——1：课本第67页至第71页

要求掌握的内容：①直线与圆锥曲线的位置关系 ②圆锥曲线的弦长

（一）知识梳理：

1、直线与圆锥曲线的位置关系是 .， .， .。相交时有 .个交点，相切时有 .个交点，相离时有 .个交点。

2、判断直线l 和圆锥曲线C的位置关系，通常是将直线l的方程0AxByC带入圆锥曲线C的方程(,)0Fxy，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x（或y）的一元方程，即0(,)0AxByCFxy，消去y得ax2+bx+c=0（此方程称为消元方程）。

当a0时，若有>0，直线l 和圆锥曲线C ；<0，直线l 和圆锥曲线C

当a=0时，得到的是一个一元一次方程则直线l 和圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C是双曲线，则直线l与双曲线的 平行；若C是抛物线，则直线l与抛物线的 平行。

3、连接圆锥曲线两个点的线段成为圆锥曲线的弦

设直线l的方程f(,)0xy，圆锥曲线C的方程(,)0Fxy，直线l与圆锥曲线C的两个不同交点为1,12,2(,)0()(),(,)0fxyAxyxyFxy、B联立，消去y得ax2+bx+c=0，则1,2xx是它两个不等实根.

（1）由根与系数的关系有1212xxxx（ ），（ ）

（2）设直线l的斜率为k,A,B两点之间的距离|AB|=21k =21k

若消去x,则 A,B两点之间的距离|AB|=

4、在给定的圆锥曲线f(,)0xy中，求中点（m,n）的弦AB所在的直两种处理方法：（1）由根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解。（2）点差法：若直线l与圆锥曲线C的两个不同的交点A，B，首先设出交点坐标1,12,2()(),Axyxy、B代入曲线C的方程，通过作差，构造出12121212,,,xxyyxxyy，从而建立中点坐标与斜率的关系。

直线和圆锥曲线的位置关系

知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.

1．直线0CByAx椭圆)0(12222babyax的位置关系：

将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y一元二次方程，其判别式为.

(1)0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；

(2)0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

(3)0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

2．直线0CByAx和双曲线)0,0(12222babyax的位置关系：

将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程.

（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；

（二）若为一元二次方程，则

(1)若0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；

(2)若0，则直线和双曲线相切，有一个切点；

(3)若0，则直线和双曲线相离，无公共点．

注意：

（1）0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；

（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，0直线与双曲线相切；

（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；

（4）过双曲线)0,0(12222babyax外一点),(00yxP的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；