2019学年高二年级数学北师大版选修2-3课时作业：第1章 计数原理单元综合测试(含解析)
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第一章 计数原理单元综合测试 北师大版选修2-3
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是( )
构
建 建
和 和 和
谐 谐 谐 谐
社 社 社 社 社
会 会 会 会 会 会
创 创 创 创 创
美 美 美 美
好 好 好
未 未
来
A．250 B．240
C．252 D．300
[答案] C
[解析] 要组成题设中的句子，则每行读一字，不能跳读．每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C510＝252种．
2．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )
A．30种 B．36种
C．42种 D．48种
[答案] C
[解析] 本题考查排列组合的基本知识，涉及分类，分步计算原理、特殊元素、特殊位置．
甲在16日，有C14C24＝24种；甲在15日，乙在15日有C24＝6种．
甲在15日，乙在14日时有C14C13＝12种，所以总共24＋6＋12＝42，
故选C.
3．(1＋x)7的展开式中x2的系数是( ) A．42 B．35
C．28 D．21
[答案] D
[解析] 展开式中第r＋1项为Tr＋1＝Cr7xr，T3＝C27x2，∴x2的系数为C27＝21，此题误认为Tr＋1为第r项，导致失分．
4．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有( )
A．60种 B．48种
C．36种 D．24种
[答案] D
[解析] 把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A44＝24种．
5．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] B
[解析] a＝cm2m＝2m2m－1…m＋1m！，
b＝cm2m＋1＝m＋mm＋m！，
又∵13a＝7b，∴13(m＋1)＝7(2m＋1)，
∴m＝6.
6.如图，一圆形花圃内有5块区域，现有4种不同颜色的花．从4种花中选出若干种植入花圃中，要求相邻两区域不同色，种法有( )
A．324种 B．216种
C．244种 D．240种
[答案] D
[解析] 若1、4同色，共有C14×3×3×2＝72(种)．若1、4不同色(里面分2与4同色不同色)，共有A24×2×(1×3＋2×2)＝168(种)．所以一共有168＋72＝240(种)．
7．一排9个座位坐了3个三口之家， 若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
[答案] C
[解析] 本题考查捆绑法排列问题．
由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法3！，
三个家庭即(3！)3，三个家庭又可全排列，因此(3！)4
注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题．
8．(xy－yx)4的展示式中x3y3的系数为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
[答案] C
[解析] 本题考查二项展开式的通项公式，以及二项展开式中项的系数．
(xy－yx)4的展开式中的第(r＋1)项
Tr＋1＝Cr4(－1)r(xy)4－r(yx)r
＝Cr4(－1)rx4－r2y2＋r2
令4－r2＝3得r＝2
∴展开式中x3y3的系数为C24(－1)2＝6.
9．已知碳元素有3种同位素12C、13C、14C，氧元素也有3种同位素16O、17O、18O，则不同的原子构成的CO2分子有( )
A．9种 B．27种
C．54种 D．81种
[答案] B
[解析] 先选碳原子，再选第一个氧原子，最后选第二个氧原子．根据乘法原理所以N＝C13·C13·C13＝27种．
10.(2019·福建理，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5 C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
[答案] A
[解析] 从5个无区别的红球中取出若干个球的所有情况为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5，从5个有区别的黑球中取出若干个球的所有情况为(1＋c)(1＋c)(1＋c)(1＋c)(1＋c)，而所有蓝球都取出或都不取出有1＋b5种情况，故选A.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若(x＋a3x)8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.
[答案] 12
[解析] 由Tr＋1＝Cr8·xr(a3x)8－r＝Cr8·x4r－83·a8－r.
令4r－83＝4，∴r＝5，则x4的系数为C58a3＝7.
解之得a＝12.
12．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________(用数字作答)．
[答案] 31
[解析] 已知(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，
令x＝1，得(1－2)5＝a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝－1，
令x＝0，得(0－2)5＝a0＝－32，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31.
13．一直线和圆相离，这条直线上有6个点，圆周上有4个点，通过任意两点作直线，最少可作直线的条数是________．
[答案] 19
[解析] 为了作的直线条数最少，应出现3点或更多点共线的情况，由于直线与圆相离，应让圆上任意两点都与直线上的一点共线．圆周上有4点能连成C24＝6条直线，而直线上恰有6个点，故这10个点中最多有6个三点共线和1个六点共线的情况，因此最少可作直线C210－6C23－C26＋6＋1＝19(条)．
14．某药品研究所研制了5种消炎药a1、a2、a3、a4、a5,4种退烧药b1、b2、b3、b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1、a2两种药必须同时使用，且a3、b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案有________种． [答案] 14
[解析] 当a1，a2两种药同时使用时，只要选一种退烧药即可，有4种实验方案；当取消炎药a3时，另一消炎药的选取有2种可能，退烧药的选取有3种可能，有2×3＝6种实验方案；当取消炎药a4、a5时，只要选一种退烧药即可，有4种实验方案；相加即可．
15．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式(结果用数值表示)．
[答案] 48
[解析] 本题可以分两步完成：首尾必须播放公益广告的有2种；中间4个为不同的商业广告有A44＝24种，从而有2×24＝48种不同的播放方式．
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．(1)化简n·(n＋1)·…·(n＋m)；
(2)求证：A57＋5A47＝A58；
(3)求n，使A32n＝10A3n.
[解析] (1)由排列数公式的阶乘形式可得n·(n＋1)·…·(n＋m)＝n＋m！n－！＝Am＋1n＋m.
(2)证明：A57＋5A47＝7×6×5×4×3＋5×7×6×5×4＝(3＋5)×7×6×5×4＝8×7×6×5×4＝A58，故等式得证．
(3)由A32n＝10A3n得2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，即4n(2n－1)(n－1)＝10n(n－1)(n－2)，4(2n－1)＝10(n－2)(n≥3，n是正整数)，解得n＝8.
17．把4个男同志和4个女同志均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．
(1)有几种不同的分配方法？
(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志有几种不同的分配方法？
(3)男同志与女同志分别分组，有几种不同分配方法？
[解析] (1)男女合在一起共有8人，每辆车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一辆车，共有C28种，再上第二车共有C26种，再上第三车共有C24种，最后上第四车共有C22种，这样不同分配方法，按分步计数原理有
C28·C26·C24·C22＝2520(种)．
(2)要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有A44种不同方法，同理，女同志也有A44种方法，由分步计数原理，男女各1人上车的不同分配方法为A44·A44＝576(种)．
(3)男女分别分组，4个男的平分成两组共有C242＝3(种)，4个女的分成两组也有C242＝3(种)不同分法，这样分组方法就有3×3＝9(种)，对于其中每一种分法上4部车，又有A44种上法，因而不同分配方法为9·A44＝216(种)．
18．把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放．
