【素材】第一章第五节_证明线面垂直的四种方法
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证明线面垂直的四种方法
直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一，是建立空间概念的主要支柱，而直 线与平面垂直的证明也常有以下四种方法，下面分类举例解析，供参考。
一、运用直线与平面垂直的判定定理 若一条直线与平面
内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。
例1如图，正三棱柱 ABC — AIBICI的所有棱长都为2, D为CCi的中点，求证 ABi丄平面ABC。
证明：由题意知，四边行 ABB 1A1是正方形，则 ABi丄
AiB ;取BC中点E,连AE , EB，贝U AE丄BC,在正三棱柱中，侧面 BBiCiC丄底面 ABC
故AE丄面BBiCiC,又BD 面BBiCiC，所以AE丄BD,在正方形BBiCiC中又D为CCi中 点，易证△ BCD^A
BBiE，得/ EBiB= / DBC，而/ DBC+ / DBBi=90°，则/ EBiB+ / DBB i=90。，故 EB丄 BD,又 AEA
EB=E, /• BD丄平面 AEB,「. BD丄 AB,又 AiB n BD=B 故 ABi丄平面ABD。
点评：在本题的证明中，多次证明了直线与平面垂直， 其中直线与平面垂直的判定定理 是常用判定方法，必须深刻理解这个定理的内涵与实质。
、运用直线与平面垂直的第二判定定理 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,
则另一条也垂直于这个平面。
例2 已知a丄丫，^丄Y,an^ =1，求证：I丄丫。
证明：如图，要证I丄丫，则由线面垂直第二判定定理知，只
需证I平行于丫的一条垂线即可。设仏门丫 =63门丫 =d，在a
内任取一点 A，作AQ丄c于Q,贝U AQ丄丫。同理，在B内任取一点
贝U BR丄丫，且AQ // BR。又
AQ 3, BR 故 AQ //B,由 aQB =l，得 AQ // I，而 AQ 丄丫，故 I 丄 丫。
点评：此证法可能不是此题的最简证法， 但说明了一个道理， 每一条路都可能是成功之
路，只是对问题的理解角度不同罢了。
三、运用课本中的已证命题： 如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面， 那么它也
垂直于另一个平面。 Ci
B，作 BR丄 d 于 R, 例3如图，已知ABC — AiBiCi为正三棱柱，D、E分别为AC、
AiCi的中点，CF丄CiD于F,求证：CF丄平面 BiEA。 证明：•••正三棱柱 ABC —A1B1C1中，D、E分别是AC、A1C1的中点。••• BBi平行等于 DE
•••四边形 BBiED是平行四边形，• BiE // BD，又EO平行等于AD,四边形ECDA是平 行四边形，•
AE // CiD，•平面BiEA //平面BCiD ;在正三棱柱中，由侧面 AiCiCA丄底 面ABC，又易知BD丄AC,则BD丄平面ACCA，又BD 平面BDCi，•平面BDCi丄平面 ACCiAi,且交线为 CiD，而 CF 平面ACCiAi且CF丄CiD , • CF丄平面 BDCi,： CF丄 平面BiEA。
点评：此题中已知条件较多，围绕证题目标， 正确选择解题方案、 清晰地表述解题过程
是立体几何证题的重要环节。
例 4 如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB 丄 AD , CD丄 AD , PA丄底面 ABCD , PA=AD-2AB=2 ,
M为PC的中点，在△ PAD内找一点 N，使MN丄平面 PBD。 解析：••• M为PC的中点，取PD中点E,贝U ME// CD且
1 i
ME=— CD 又 AB// CD且 AB— CD •- ME// AB 且 M E=AB 即 2 2
四边形ABME是平行四边形； 又PAL AB , AD丄AB, • AB丄平 面PAB ,因此AB丄AE ,四边形 ABME是矩形,又 PD丄AB , 由PA=AD
且E为PD中点得 PD丄AE , • PD丄平面 ABME。而平面 PBDA平面 ABME=BE
A _ A
作 MNL BE 于 F ,则 MN 丄平面 PBD,其中 ME=丄 CD=i, MB=AE= 2 , tan / MBE= ,EN=ME・tan
2 V2
i 42
/ EMN= ME tan / MBE=K -==——,即 N 为 AE中点时，MN 丄平面 PBD。
庞2
点评：本题是存在性探索题， 首先围绕使结论成立的目标进行论证， 然后再确定点的位 置，而通过平面与平面垂直，证直线与平面垂直是非常有效的方法。 A B
