专题：构造等腰三角形的常用方法(1)

第1页共8页专题八：“倍、半角”关系在相似中的构造【知识要点】利用“倍、半角”关系在相似三角形题目中的构造：常用的构造方法有四种一、对“倍角”进行构造：倍减半（1）作“倍角”的角平分线；（2）构造“倍角”的邻补角为顶角的等腰三角形；作OM平分∠AOB，在AO的延长线上取一点N，使得ON＝OM，则∠AOB＝2∠AOM＝2∠BOM．则：∠AOB＝2∠N＝2∠OMN．二、对“半角”进行构造：半加倍：（1）将“半角”沿其中一边翻折加倍；（2）构造“半角”为底角的等腰三角形．将射线OB沿OA翻折得到射线OM，在OA上取一点N，使得NO＝NM，则：∠BOM＝2∠AOB＝2∠AOM．则：∠ANM＝2∠AOB＝2∠OMN．三、有时也二倍角直接作为顶角构造等腰：利用底角与半角的互余关系构造直角三角形相似．四、二倍角——角度计算：二倍角与特殊角（60°）组合，确定角度关系。典例精讲例一、如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C，AB=10，AC=8，则BC的长为．第2页共8页解：构造一：作“倍角”的角平分线，同时也完成了以“半角”的一边为底作等腰三角形，进行半加倍．作∠ACB的平分线交AB于点D．∵∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD．∵∠ADC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，（子母三角形相似）∴2ACADAB，ACCDABBC，∴185AD，∴325BDCD，∴323BC．构造二：构造“倍角”的邻补角为顶角的等腰三角形，同时也完成了将“半角”沿其中一边翻折加倍．延长AC到点D，使得BC＝CD．∵∠CBD＝∠D，∴BC＝CD．∵∠ABC＝∠D，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，（子母三角形相似）∴2ABACAD，∴503AD，∴325BCCDADAC．构造三：构造“倍角”的邻补角为顶角的等腰三角形．延长BC到点D，使得AC＝CD．∵∠CAD＝∠D＝∠B，∴AC＝DC＝6，AB＝AD＝10．∵∠DAC＝∠B，∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA，（子母三角形相似）∴2DADCDB，∴503DB，∴325BCDBDC．构造四：构造“半角”为底角的等腰三角形，有时作等腰三角形底边垂线，借助于三线合一转化长度．在BC上取一点D，使得BD＝AD，过点A作AH⊥CD．∴∠ADC＝∠C，∴AC＝AD＝BD＝6，设CH＝DH＝x．∵AH⊥CD，∴22222ABBHAHACCH，（“桥勾股”）∴222210(6)6xx，解得：73x，∴1432+6+33BCBDDC．综合四种构造可知：在“倍、半角”的三角形有22+ABACACBC，从而已知两边可求第三边】第3页共8页例二、如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，BD＝3，CD＝2，则AD的长为___________．例三、如图，在矩形ABCD中，AB=46，AD=10，连接BD，E为AD边上一点，且∠BDE=2∠DBE，则线段DE的长为____________．例四、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的一点，且∠CBD＝2∠A，AD＝1，CD＝3，则BD的长为．第4页共8页例五、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为BC边上一点，且∠C=2∠BAD，AB=3，AC=5，则AD的长为．例六、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC上一点，且∠B=2∠CAD，过点D作DE⊥AB于点E，CD＝5，BE＝12，则DE的长为．例七、如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，点F在边CD上，且∠BFC＝2∠BAE，则DFCF的值为．第5页共8页例八、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC的中点，E为BC延长线上一点，过点D作DH⊥AC于点H，DH交AC于点F，若DF＝5，FH＝3，求CE的长．例九、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段CD上一点，且∠BAE＝60°，∠CAE＝2∠DAE，若AB＝4，AC＝3，则BC的长为．第6页共8页典题精练一、如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AB=6，AC=9，则BC的长为．二、如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C，AB=10，AC=8，则BC的长为．三、如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，若BC＝1，求AC的长．第7页共8页四、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，若AC＝3CD＝3，∠B＝2∠CAD，则BD的长为．五、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠CAD，AC＝BD，AB＝5，则AD＝_______．六、如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为边AB的中点，E为CD延长线上一点，且∠E＝2∠BCD，若AE＝4，求BC的长．第8页共8页七、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC上一点，且∠C＝2∠BAD，E为AC上一点，AD平分∠BDE，若BD＝2，DE＝5，则AC的长_____________．八、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=45°，∠CAD=2∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交BC于点F，若AB=6，则CF的长为．

专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练

类型一 连接两中点构造中位线

典例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG

＝3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的

面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）

A．15B．12C．9D．6

思路指引：连接DE，过A作AH⊥BC于H．由于DE是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得

DE∥BC，并且可知△ADE的高等于12AH，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH，那么

△ADE的面积就可求．而所求S△FOG+S四边形ADOE＝S△ADE+S△DOE+S△FOG，又因为△DOE和△FOG的底相等，

高之和等于AH的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S△FOG+S四边形ADOE的面积．

解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足，

∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH＝CH=12BC=12×6＝3，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，由勾股定理得AH=𝐴𝐵2―𝐵𝐻2=52―32=4，

∴S△ADE=12BC•𝐴𝐻2=12×3×42=3，

设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b=𝐴𝐻2=2，

∴S△DOE+S△FOG=12DE•a+12FG•b=12×3（a+b）=12×3×2＝3，

∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是S△ADE+S△DOE+S△FOG＝3+3＝6．

故选：D

．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中

位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练

1．如图，△ABC的中线BD，CE相交于点0，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG且EF＝DG．

解：连接ED，FG.证四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG且EF＝DG．

1 专题08 等腰三角形

【考点剖析】

1.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

（2）等腰三角形性质2：

文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）

图形：如下所示；

21DCBA

符号：在ABC中，AB＝AC，1212,,;,,;,12.BDCDADBCADBBDCDADBCCBDCD若则若则若，则

2.等腰三角形的判定

（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；

（2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)

3.等边三角形的性质

（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；

（2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60；

（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.

4.等边三角形的判定

（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；

（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；

（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60的等腰三角形是等边三角形.

【典例分析】

例1 （杨浦2019期末14）在ABC中，AB=AC，把ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N. 如果CAN是等腰三角形，则B的度数为 .

【答案】4536或；

【解析】因为把ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N.所以MN是AB的中

2 垂线，NB=BA，BBAN，ABACBCQ，设Bx，则CBANx. （1）当AN=NC时，CANCx，在ABC中，根据三角形内角和定理得4180x，得45x，故45B；（2）当AN=AC时，ANCCx，而ANCBBAN，故此时不成立；（3）当CA=CN时，1802xNACANC，于是得1801802xxxx，解得36x. 综上所述：4536B或.

初中数学黄金三角形的知识点（一）2024

初中数学黄金三角形的知识点（一）

引言概述：

初中数学中，黄金三角形是一个重要的概念。黄金三角形是指一个等腰三角形，其两短边之比等于两短边中短边的比例（约为1.618）。黄金三角形在几何图形、比例关系等方面有着广泛的应用。本文将介绍初中数学黄金三角形的知识点，包括构造黄金三角形的方法、黄金比例的计算及应用等等。

正文内容：

1. 构造黄金三角形的方法

- 方法一：利用正方形构造黄金三角形

- 步骤一：先画一个正方形

- 步骤二：将正方形边长分成两部分，其中较长的一部分为黄金比例的1，较短的一部分为黄金比例的0.618

- 步骤三：以较短部分为边长，作一个正方形

- 步骤四：连接正方形两个顶点与原正方形相应端点，得到一个黄金三角形

- 方法二：利用等边三角形构造黄金三角形

- 步骤一：画一个等边三角形

- 步骤二：将等边三角形的底边分为三等分，取其中一段

- 步骤三：以这一段为底边，作一个等边三角形

- 步骤四：连接新等边三角形的两个顶点与原等边三角形的顶点，得到一个黄金三角形初中数学黄金三角形的知识点（一）2024

- 方法三：利用黄金矩形构造黄金三角形

- 步骤一：画一个黄金矩形，即长边与短边的比例为黄金比例

- 步骤二：以短边为底边，作一个正方形

- 步骤三：以正方形的边长为半径，以底边上一点为圆心作一条弧

- 步骤四：连接弧与正方形的两个顶点，得到一个黄金三角形

2. 黄金比例的计算

- 黄金比例的定义和性质

- 黄金比例的近似值计算方法（如递推法、二分法等）

- 黄金比例的无理性证明

3. 黄金三角形的性质

- 两个黄金三角形的关系（如相似性）

- 黄金三角形的内角及边长性质

- 黄金三角形的等边三角形关系

4. 黄金三角形的应用

- 建筑中的黄金比例运用（如帕特农神庙、埃菲尔铁塔等）

- 美术作品中的黄金比例运用（如黄金分割法）

- 数列中的黄金比例（如斐波那契数列）