【名师一号】2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库：选4-1-1相似三角形的判定及有关性质

第一节 平行线等分线段定理课堂导学三点剖析一、平行线分线段成比例定理及推论的应用【例1】如图1-1-1,已知△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 为AD 中点,BE 的延长线交AC 于F.图1-1-1求证:AF=31AC. 思路分析：欲证AF=31AC,只要取FC 的中点G,然后证AF=FG=GC 即可,或者过D 作DG∥BF,再证AF=FG=GC.证法一:取FC 中点G,∵BD=DC,∴DG 为△BFC 的中位线.∴DG∥EF.在△ADG 中,E 为AD 中点,∴F 为AG 中点.∴AF=FG=GC.∴AF=31AC. 证法二:过D 作DG∥BF 交AC 于G.在△ADG 中,E 为AD 中点,∴AF=FG.在△BCF 中,D 为BC 中点,∴FG=GC.∴AF=FG=GC.∴AF=31AC. 温馨提示证法一利用取中点和中位线定理得平行,然后再利用定理及推论证得线段相等. 证法二是作平行线,直接利用定理或推论.二、线段和差的证明问题【例2】如图1-1-3,ABCD 中,AC 、BD 相交于O,以A 为端点引射线AM,分别过B 、C 、D 向AM 作垂线,垂足分别为B′、C′、D′.求证:AD′=B′C′.图1-1-3思路分析：平行四边形对角线互相平分,容易看出O 是△AC′C 的边AC 的中点,也是梯形BDD′B′的腰BD 的中点.为此,只要过O 作OO′⊥AM 或O O′∥DD′易得O′分别为AC′和B′D′的中点,即O ′A=O ′C′,O′D′=O′B′,两式相减即得证.证明:作OO′⊥AM,O′为垂足,∵ABCD 为平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.又∵DD′,OO′,BB′,CC′都垂直于AM,∴DD′∥OO′∥BB′∥CC′.∴O′A=O′C′,O′D′=O′B′.∴O′A -O′D′=O′C′-O′B′,即A D′=C′B′.三、探索线段间的关系【例3】如图1-1-5,已知M 是AB 中点,A 、B 在l 的两侧,分别过A 、B 、M 作直线l 的垂线,垂足分别为C 、D 、N.请探讨AC 、BD 、MN 的关系并证明.图1-1-5(1)思路分析：假设B 、D 重合,则图形变为图1-1-5(2).图1-1-5(2)∵AC⊥l,MN⊥l,∴MN∥AC.又∵M 是中点,∴N 是BC 中点,MN 是△ABC 的中位线.∴MN=21AC.而当B 、D 不重合时,要么MN=21(AC+BD),要么MN=21(AC-BD).通过观察,A 、B 在l 异侧时MN ＜21AC,因此我们猜想MN=21(AC-BD).下面我们给出猜想的证明.解:如图1-1-5(1),连结DM 并延长交AC 于E,∵AC、MN 、BD 都垂直于l,∴AC∥MN∥BD.又∵M 是中点,∴N 是CD 的中点.∴MN 是△CDE 的中位线. ∴MN=21EC=21(AC-AE).∵AE∥BD,∴∠A=∠B.在△AME 和△BMD 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,BMD AME MB AM BA ∴MN=21(AC-BD).温馨提示容易证明A 、B 在l 同侧时,MN=21(AC+BD).各个击破类题演练1如图1-1-2,在直角梯形ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,M 是CD 的中点,求证:MA=MB.图1-1-2证法一:过M 点作MN∥BC 交AB 于N,则AD∥MN∥BC.∵DM=MC，∴AN=MC.又∵AB⊥BC,∴MN⊥AB.∴MN 是AB 的垂直平分线.∴MA=MB.证法二:取AB 中点N,∵AN=BN,DM=MC,∴MN 是梯形ABCD 的中位线.∴MN∥AD∥BC.又∵AB⊥BC,∴MN⊥AB.∴MN 是AB 的中垂线.∴MA=MB.类题演练2如图1-1-4,已知梯形ABCD 中,A D∥BC,E、F 分别是AB 、DC 的中点,连结EF,交BD 于G,交AC 于H.求证:GH=21(BC-AD).图1-1-4证明:∵E、F 为AB 、CD 的中点,∴EF 为梯形ABCD 的中点，∴EF∥AD∥BC.∴BG=DG,AH=CH.∴EG、EH 分别为△ABD 和△ABC 的中位线. ∴EH=21BC,EG=21AD. ∴EH -EG=21BC-21AD. ∴GH=21(BC-AD). 温馨提示在证明线段相等时有时,通过将有关线段作和、差来证明.类题演练3如图1-1-6,梯形ABCD 中,AB∥CD,G、H 分别是梯形对角线的中点.图1-1-6探讨GH 与AB 、CD 的关系.解析：猜想当A 、B 重合,AC 与BC 重合,梯形变为三角形,如图1-1-6.由三角形中位线定理知GH=21CD. 一般地,GH 肯定与AB 有关,可能GH=21(CD+AB)或GH=21(CD-AB).通过观察,GH 不大于21CD,所以猜想GH=21(CD-AB). 下面给出证明.证明:如图1-1-7,图1-1-7连结AH 并延长交CD 于E.∵AB∥CD,∴∠ABH=∠EDH,BH=DH,∠AHB=∠EHD.∴△ABH≌△EDH.∴AH=EH,AB=ED.又∵AG=CG,∴GH=21CE=21(CD-ED)=21(CD-AB).。

04限时规X 特训A 级 基础达标1．如图所示，在△ABC 中，MN ∥DE ∥DC ，若AE ∶EC ＝7∶3，则DB ∶AB 的值为( )A ．3∶7B ．7∶3C ．3∶10D ．7∶10 解析：∵MN ∥DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC ＝73， ∴AD ＋DB DB ＝7＋33，∴AB DB ＝103， ∴DB AB ＝310.故选C. 答案：C2．[2014·某某模拟]如图，锐角三角形ABC 的高CD 和高BE 相交于O ，则与△DOB 相似的三角形个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为CD 和BE 是高，可得∠DCA ＝∠EBA ，所以△BOD 与△COE ，△CAD ，△BAE 相似．故选C.答案：C3．[2014·某某模拟]如图，已知在▱ABCD 中，O 1，O 2，O 3为对角线BD 上三点，且BO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3D ，连接AO 1并延长交BC 于点E ，连接EO 3并延长交AD 于F ，则AD ∶FD 等于( )A ．19∶2B ．9∶1C ．8∶1D ．7∶1 解析：在▱ABCD 中，∵BE ∥DF ，BO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3D ， ∴DF BE ＝O 3D O 3B ＝13，同理BE AD ＝O 1B O 1D ＝13，∴AD ∶FD ＝9∶1. 答案：B4．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝3∶2，则△ACD 与△CBD 的相似比为( )A ．2∶3B ．3∶2C ．9∶4 D.6∶3解析：如图Rt △ABC 中，由CD ⊥AB 及射影定理知，CD 2＝AD ·BD ，即CD AD ＝BDCD，又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD . ∵BD ∶AD ＝3∶2 ∴令BD ＝3t ，AD ＝2t ，则CD 2＝6t 2，即CD ＝6t ，∴AD CD＝2t 6t＝63. 故△ACD 与△CBD 的相似比为6∶3. 答案：D5．[2014·某某模拟]如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶EC ＝2∶3，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：由题意可知，△DEF 与△BAF 相似，且DE ∶AB ＝2∶5，所以△DEF 与△ABF 的面积之比为4∶25.△DEF 与△BEF 的底分别是DF ，BF ，二者高相等，又DF ∶BF ＝2∶5，所以△DEF 与△BEF 的面积之比为2∶5.综上S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝4∶10∶25，故选A.答案：A6．[2014·某某模拟]如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：在Rt △ACD 中，CD ＝122－42＝82，所以cos D ＝232，由于∠D ＝∠B ，则在Rt△AEB 中，cos B ＝BE AB，所以BE ＝AB ·cos B ＝4 2.答案：4 27．[2014·某某模拟]已知梯形ABCD 的上底AD ＝8 cm ，下底BC ＝15 cm ，在边AB 、CD 上分别取E 、F ，使AE ∶EB ＝DF ∶FC ＝3∶2，则EF ＝________.解析：因为AE∶EB＝3∶2，所以AE∶AB＝3∶5.所以EP∶BC＝3∶5，因为BC＝15 cm，所以EP＝9 cm，同理PF＝3.2 cm.所以EF＝12.2 cm.答案：12.2 cm8．[2014·某某三校联考]如图所示，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，则AB的长为________．解析：法一：∵∠B＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵AE⊥DE，∴∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED，∴Rt△ABE∽Rt△ECD，∴ABBE＝ECCD，即AB4＝1AB，∴AB＝2.法二：过E作EF⊥AD于F.由题知AF＝BE＝4，DF＝CE＝1.则EF2＝AF·DF＝4.∴AB＝EF＝2.答案：29．[2014·揭阳市质检]如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则BD的长为________，AB的长为________．解析：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，又∵EF∥CD，∴∠DFE＝∠BDC，∴△FDE∽△DBC，∴FDDB＝DEBC，∴BD＝32，∵DE∥BC，∴AE AC ＝DE BC ＝23，∴AEEC＝2， ∵EF ∥CD ，∴AF FD ＝AE EC ＝2，∴AF ＝2，∴AB ＝92.答案：329210．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ，求证：PB 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP .∵CF ∥AB ，∴∠F ＝∠ABP ，从而∠F ＝∠ACP . 又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角， 从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC，∴PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ，∴PB 2＝PE ·PF .11．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23.又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ， 由∠BAC ＝90°.∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝2a ， 故AE EF＝a2a＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD FB.∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°， ∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC .12．如图所示，已知，在边长为1的正方形ABCD 的一边上取一点E ，使AE ＝14AD ，从AB 的中点F 作HF ⊥EC 于H .(1)求证：FH ＝FA ； (2)求EH ∶HC 的值．解：(1)证明：连接EF ，FC ，在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠B ＝90°.∵AE ＝14AD ，F 为AB 的中点，∴AE AF ＝FB BC. ∴△EAF ∽△FBC ，∴∠AEF ＝∠BFC ，∠EFA ＝∠BCF . 又∠A ＝∠B ＝90°，∴∠EFC ＝90°，EF FC ＝12.又∵∠EFC ＝∠B ＝90°，∴△EFC ∽△FBC . ∴∠HEF ＝∠BFC ，∠ECF ＝∠BCF .∴∠AEF ＝∠HEF ，∠AFE ＝∠HFE ，又EF ＝EF ， ∴△EAF ≌△EHF ，∴FH ＝FA .(2)由(1)知△EFC 是直角三角形，FH 是斜边EC 上的高，由射影定理可得EF 2＝EH ·EC ，FC 2＝CH ·CE ，于是EH ∶HC ＝EF 2∶FC 2.由(1)得EF FC ＝12，于是EH ∶HC ＝EF 2∶FC 2＝1∶4.B 级 知能提升1．[2014·金版创新题]如图，在矩形ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b ，要使BC 边上至少存在一点P ，使△PBA ，△APD ，△CDP 两两相似，则a ，b 间的关系一定满足( )A ．a ≥12b B ．a ≥bC ．a ≥32b D ．a ≥2b解析：结合图形易知，要使△PBA ，△APD ，△CDP 两两相似，必须满足AB CP ＝BPCD .即b CP ＝BP b，BP ·CP ＝b 2.设BP ＝x ，则CP ＝a －x ，∴(a －x )x ＝b 2，即x 2－ax ＋b 2＝0，要使BC 边上至少存在一点P ，必须满足Δ＝a 2－4b 2≥0，所以a ≥2b ，故选D.答案：D2．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，则AFAC＝________.解析：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△F ，∴AF CF＝AE ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋. ∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM＝1，∴AE ＝BN ，∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE2AE ＋BC.∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15.答案：153．[2014·永州模拟]如图，△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，过B 作CA 的垂线，交CA 的延长线于E ，交DA 的延长线于F ，则AF ＝________.解析：设AE ＝x ，∵∠BAC ＝120°，∴∠EAB ＝60°. 又AE ⊥EB ，∴AB ＝2x ，BE ＝3x ， ∴AE BE＝x3x＝13. 在Rt △AEF 与Rt △BEC 中，∠F ＝90°－∠EAF ＝90°－∠DAC ＝∠C ， ∴△AEF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AE BE，∴AF ＝4×13＝433.答案：4334．[2014·某某模拟]有一块直角三角形木板，如图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ， 因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125.因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB .word 11 / 11 所以CM ＝DE AB ，即125－x 125＝x 5. 所以x ＝6037. 如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ，因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BAC .所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127. 因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y . 所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。

精品题库试题文数1.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 设是双曲线的两个焦点, 是上一点, 若且的最小内角为, 则的离心率为( )A.B.C.D.[解析] 1.不妨设点在左支上，则又所以，在中由余弦定理得，整理得，即，得.2.(天津市蓟县邦均中学2014届高三第一次模拟考试) 在△中，内角A、B、C的对边分别为、、，且，则△是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形[解析] 2. 因为，所以，得，为钝角.3.（北京市海淀区2014届高三年级第一学期期末练习）在中，若，面积记作，则下列结论中一定成立的是A．B．C．D．[解析] 3.4.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）在△中，角所对的边分别为，若，则△的面积等于( )A．10 B．C．20 D．[解析] 4.由余弦定理得，，所以5.(广东省中山市2013-2014学年第一学期高三期末考试) 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A. B．C．D．[解析] 5.因为，所以由余弦定理得6.（河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研）在中，已知内角，边，则的面积的最大值为．[解析] 6.，由余弦定理得，即，7.(重庆一中2014年高三下期第一次月考) 三角形，则[解析] 7.由余弦定理得，所以.8.(广西省桂林中学2014届高三月考测试题) 在中，，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= 。

[解析] 8.设，则由余弦定理得，，由椭圆的定义知，.9.（辽宁省大连市高三第一次模拟考试）已知△三个内角、、，且，则的值为．[解析] 9.因为，所以由正弦定理得，设，则.10.(吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试) 在△中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则 .[解析] 10.由正弦定理，，所以，即，所以.11.(河南省郑州市2014届高中毕业班第一次质量预测) 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若．，则此球的表面积等于_________．[解析] 11.如图所示，由余弦定理得，所以的外接圆半径为，所以，解得，所以球的表面积为12.(南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试) 在中，，，则的最小值为 .[解析] 12.由余弦定理得，，所以的最小值为13.（天津七校联考高三数学（文）学科试卷）在中，角所对的边分别是，已知点是边的中点，且，则角[解析] 13. 因为，所以，所以14.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 已知函数,的最大值为2．（Ⅰ）求函数在上的值域；(Ⅱ) 已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．[解析] 14.（Ⅰ）由题意，的最大值为，所以，而，于是，在上递增．在递减，所以函数在上的值域为；(Ⅱ) 化简得．由正弦定理，得，因为△ABC的外接圆半径为．．所以15.（河北省石家庄市2014届高三第二次教学质量检测）在ABC中，角A、B、C 的对边长分别为, 且满足（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若, 求ABC的面积.[解析] 15.(1) 由正弦定理得(2)，16.(江苏省南京市、盐城市2014届高三第二次模拟) 如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A) ，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米) ．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远) ．[解析] 16.解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，,因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ) ．AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ) ＋4－2×2×sin(120°－θ) cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°) －sin(θ＋60°) cos(θ＋60°) ＋4＝[1－cos (2θ＋120°) ]－sin(2θ＋120°) ＋4＝－[sin(2θ＋120°) ＋cos (2θ＋120°) ]＋＝－sin(2θ＋150°) ，θ∈(0，120°) ．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．答：设计∠AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．解法二(构造直角三角形) ：设∠PMD＝θ，在△PMD中，∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，，AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确) ．AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ) 2＋(2sinθ) 2＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋＝＋sin(2θ－) ，θ∈(0，) ．当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°17.(河南省豫东豫北十所名校2014届高中毕业班阶段性检测(四)) 在△ABC中，a, b, c分别为角A，B，C所对的边，且(I) 求角A的大小；(Ⅱ) 若△ABC的面积为3，求a的值．[解析] 17.（1）因为，所以，即，又在中，，则，得，故，当时，，则均为钝角，与矛盾，故舍去，故，则（2）由，可得，则，在中，有，则，则，所以18.（广东省汕头市2014届高三三月高考模拟）已知函数（1）求函数的最小正周期(2) 在中，角的对边分别为, 且满足,求的值.[解析] 18.（1），所以函数的最小正周期为，（2）解法一，整理得，所以，又因为，所以，.解法二，，又因为，所以，所以，又因为，所以，.19.（山西省太原市2014届高三模拟考试）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为, 若△ABC的外接圆的半径为，且（I）求∠C；（Ⅱ）求△ABC的面积S的最大值．[解析] 19.（I）由及正弦定理，得，即，由余弦定理，得，所以，又，所以。

第三节 平面向量数量积与平面向量应用举例时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析 由|a ＋b |＝|a －b |得(a ＋b )2＝(a －b )2， ∴a·b ＝0，故a ⊥b . 答案 B2．(2013·湖北卷)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322D ．－3152解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD→|CD →|＝1552＝322. 答案 A3．(2013·全国大纲卷)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析 (m ＋n )⊥(m －n )得(m ＋n )·(m －n )＝0即m 2－n 2＝0，(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0，解得λ＝－3.故选B.答案 B4．(2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10解析 因为AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积是12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5.答案 C5．如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．0B ．4C ．8D ．－4解析 BD ＝AB cos30°＝23，所以BD →＝32BC →.故AD →＝BD →－BA →＝32BC →－BA →.又AC →＝BC →－BA →，所以AD →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32BC →－BA →·(BC →－BA →)＝32BC→2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32BA →·BC →＋BA →2，BC →2＝BA →2＝16，BC →·BA →＝4×4×cos30°＝83，代入上式得AD →·AC →＝83－⎝⎛⎭⎪⎫1＋32×83＋16＝4.答案 B6．已知三个向量a ，b ，c 两两所夹的角都为120°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b 与向量c 的夹角θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 ∵(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ＝1×3×cos120°＋2×3×cos120°＝－92，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝12＋2×1×2×cos 120°＋22＝3， ∴cos θ＝(a ＋b )·c |a ＋b |·|c |＝－923×3＝－32.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 a ，b 均为单位向量，夹角为60°，所以a ·b ＝12，又b ·c ＝0，即：b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0得t2＋(1－t )＝0，解得t ＝2.答案 28．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝AD →2＋12|AB →|·|AD →|cos60°－12AB →2＝1，把|AD →|2＝1代入得|AB →|＝12.答案 12 9.(2014·大庆高三质检)向量AB →，AC →在正方形网格中的位置如图所示．设向量a ＝AC →－λAB →，若a ⊥AB →，则实数λ＝________.解析 以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，2)，a ＝AC →－λAB →＝(3,2)－λ(2,0)＝(3－2λ，2)，AB →＝(2,0)，∵a ⊥AB →，∴a ·AB →＝2(3－2λ)＋0＝0，λ＝32.答案 32三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，求向量a ＋2b 与a －b 的夹角的余弦值．解 a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1， |a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12， |a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3， (a ＋2b )·(a －b )＝a 2－2b 2＋a ·b ＝3. ∴向量a ＋2b 与a －b 的夹角的余弦值 cos θ＝(a ＋2b )·(a －b )|a ＋2b ||b －a |＝312×3＝12.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解 (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长，即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210. 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5， ∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得t ＝－115.12．(2013·四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (Ⅰ)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35， 即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. (Ⅱ)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.。

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·郑州模拟)计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于 ( )．A ．12 B ．33 C ．22D ．32解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° ＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝12. 答案 A2．(2013·湖州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为( )．A ．－79 B ．79 C ．29D ．－23解析 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝13. 所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－(2cos 2α－1)＝1－2cos 2α＝79. 答案 B3．(2013·山东省实验中学诊断)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝( )．A ．1825 B ．725 C ．－725D ．－1625解析 因为sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，所以sin 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝1825－1＝－725. 答案 C4．(2013·成都模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于 ( )．A ．7B ．17 C ．－17D ．－7解析 因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，所以sin α＜0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17. 答案 B5．(2013·金华十校模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )．A ．255 B ．－3510 C ．－255D ．－31010解析 sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α，由tan⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3，因为π2＜α＜π，所以解得cos α＝ －1tan 2α＋1＝－1010，所以原式＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255. 答案 C 二、填空题6．(2013·湖南师大附中模拟)计算：tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.解析 原式＝sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝2sin (12°－60°)12sin 48°＝－4.答案 －47．(2013·南京模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3. 答案 ±38．(2014·广州模拟)已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.解析 ∵cos 4 α－sin 4 α＝(sin 2 α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2 α)＝23，∴cos 2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156.答案2－156 三、解答题9．(2014·浙江大学附属中学一模)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，求f (2α)的值．解 (1)f (x )＝12cos x ＋32sin x －cos x ＝32sin x －12cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∴f (x )的最小正周期为2π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin α＝35，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2 α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，∴f (2α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝32sin 2α－12cos 2α＝32×2425－12×725＝243－750.10．(2013·东莞模拟)已知函数f (x )＝－3sin 2 x ＋sin x cos x . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π6的值．(2)设α∈(0，π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝14－32，求sin α的值． 解 f (x )＝－3sin 2 x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π6＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π3＋π3＝0. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14－32， ∴0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14＜12，又∵α∈()0，π，∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－154，∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝14×12＋154×32＝1＋358.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于 ( )．A ．1318 B ．1322 C ．322D ．16解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.答案 C2．(2013·潍坊模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( )．A ．14 B ．34 C ．342D ．32解析 由tan(α＋β)＝4tan β，得tan α＋tan β1－tan αtan β＝4tan β，解得tan α＝3tan β1＋4tan 2β，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan β＞0.所以tan α＝31tan β＋4tan β≤321tan β·4tan β＝34，当且仅当1tan β＝4tan β，即tan 2 β＝14，tan β＝12时取等号， 所以tan α的最大值是34. 答案 B 二、填空题3．(2014·永康模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，则tan 2α＝________.解析 由已知，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32sin α＋12cos α＝3cos α，即32sin α＝52cos α，所以tan α＝533，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×5331－⎝⎛⎭⎪⎫5332＝－5311. 答案 －5311 三、解答题4．(2012·广东卷)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．解 (1)由题意知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期T ＝10π＝2πω，则ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，∴sin α＝35，cos α＝1－sin 2α＝45， sin β＝1－cos 2β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.。

步骤规范练——三角函数及三角函数的图象与性质(建议用时：90分钟)一、选择题 1．sin 600°的值为( )．A ．32 B ．－32 C ．－12D ．12解析 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°＝－32. 答案 B2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan 2α的值为 ( )．A ．－43 B ．43 C ．34D ．－34解析 tan α＝－21＝－2， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－2)1－4＝43.答案 B3．(2013·广州一模)下列函数中周期为π且为偶函数的是 ( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 为偶函数，且周期是π，故选A.答案 A4．(2014·郑州模拟)将函数y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为 ( )．A ．y ＝1－sin xB ．y ＝1＋sin xC ．y ＝1－cos xD ．y ＝1＋cos x解析 函数y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，得到函数为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，再向上平移1个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋1＝1＋sin x .答案 B5．(2013·温岭中学模拟)函数f (x )＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2的最小正周期为( )．A ．4πB ．2πC ．πD ．π2解析 f (x )＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x cos x ＝12sin 2x ，故最小正周期为T ＝2π2＝π. 答案 C6．(2014·浙江五校联盟)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将函数y ＝sin 2x的图象( )．A ．向左平移π4单位B ．向右平移π4单位C ．向右平移π8单位D ．向左平移π8单位解析 y ＝sin 2x ――→向右平移π8个单位y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 答案 C7．已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为( )．A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2518π解析 由函数的部分图象可知34T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，则T ＝4π3，结合选项知ω>0，故ω＝2πT ＝32，排除C ，D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，2，代入验证可知只有B 项满足条件．答案 B8．(2013·昆明模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( )．A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) 解析 因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )． 答案 D9．(2014·成都模拟)将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )图象的一条对称轴是 ( )．A ．x ＝π12 B ．x ＝π6 C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析 将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，即g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2x －π6＝k π＋π2时，解得x ＝k π＋π3，又当k ＝0时，x ＝π3，所以x ＝π3是一条对称轴，故选C. 答案 C10．(2013·长沙一模)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是( )．A ．12 B ．1 C ．2D ．3解析 若函数向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，函数f (x )的周期的最大值满足T 2＝π3，所以T ＝2π3，所以T ＝2π3＝2πω，即ω＝3，所以选D. 答案 D 二、填空题11．(2013·长沙模拟)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为________．解析 因为tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－3212＝－3，且sin 5π6＝12＞0，cos 5π6＝－32＜0，所以α为第四象限角，所以α的最小正值为5π3. 答案 5π312．(2013·宁波十校测试)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)(x ∈R )的最大值＝________.解析 y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°) ＝sin(x ＋10°)＋cos[(x ＋10°)＋30°]＝sin(x ＋10°)＋32cos(x ＋10°)－12sin(x ＋10°) ＝12sin(x ＋10°)＋32cos(x ＋10°) ＝sin(x ＋10°＋60°) ＝sin(x ＋70°)， 故y max ＝1. 答案 113.如图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2图象的一部分，则其函数解析式是________．解析 由图象知A ＝1，T 4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π2，得T ＝2π，则ω＝1，所以y ＝sin(x＋φ)．由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ，1，可得φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以所求函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π314．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象与直线y ＝b (0＜b ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是________．解析 根据分析可得函数的周期为6，即2πω＝6，得ω＝π3，由三角函数的对称性可知，函数在x ＝3处取得最大值，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝A ，即sin φ＝－1，所以φ＝2k π－π2(k ∈Z )．又|φ|＜π，所以φ＝－π2，故函数的解析式为f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π2，令2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k ≤x ≤6k ＋3(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间是[6k,6k ＋3](k ∈Z )． 答案 [6k,6k ＋3](k ∈Z )三、解答题15．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，故α＝π3.16．(2014·烟台期末考试)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，－1)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝sin 2x ·cos α＋cos 2x ·sin α，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的单调递增区间．解 (1)∵角α的终边经过点P (3，－1)， ∴sin α＝－12，cos α＝32，tan α＝－33， ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－36. (2)f (x )＝sin 2x ·cos α＋cos 2x ·sin α ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵0≤x ≤2π3，∴0≤2x ≤4π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.当－π6≤2x －π6≤π2时，即0≤x ≤π3时，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.17．(2014·衡水模拟)已知函数f (x )＝1＋sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)若tan x ＝2，求f (x )的值．解 (1)已知函数可化为f (x )＝1＋12sin 2x ， 所以T ＝2π2＝π，令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 则π4＋k π≤x ≤3π4＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由已知f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋cos 2xsin 2 x ＋cos 2x＝tan 2 x ＋tan x ＋1tan 2 x ＋1，∴当tan x ＝2时，f (x )＝22＋2＋122＋1＝75.18．(2014·江苏省七校联考)已知m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x＝π12对称． (1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上总有实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x . 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，得a ＋3b ＝8.①∵f ′(x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，且f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称，∴f ′(0)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴b ＝32a ＋12b ，即b ＝3a .② 由①②得，a ＝2，b ＝2 3.(2)由(1)得f (x )＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴0≤2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －π6＋1≤3，即f (x )∈[0,3]． 又f (x )＋log 2k ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，即f (x )＝－log 2k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.。

第三节 三角函数的图象与性质时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b－a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．πD.4π3解析 画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3.故选A.答案 A2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数．答案 D3．函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是( ) A ．(－π4，π4) B ．(0，π2) C ．(π4，3π4)D ．(π2，π)解析 y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ， ∴递增区间为2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π. ∴k π＋π2≤x ≤k π＋π. ∴k ＝0时，π2≤x ≤π.选D. 答案 D4．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12 B ．x ＝π6 C ．x ＝5π12D ．x ＝π3解析 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，则f (x )的对称轴为2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，所以x ＝5π12为f (x )的一条对称轴．答案 C5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.答案 A6．(2013·全国大纲卷)已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是( )A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 解析 由f (x )＝cos x sin2x 知D 项显然正确． ∵f (x )＝2sin x cos 2x ＝2sin x －2sin 3x ， 令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，∴f (t )＝2t －2t 3. 则f ′(t )＝2－6t 2＝2(1－3t 2)，令f ′(t )＝0， ∴t ＝±33.∵f (1)＝0，f (－1)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫33－39＝439.∴f (x )max ＝439，故C 项不正确．将函数换元转化为三次函数求最值是解题关键． 答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·江苏卷)函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为________． 解析 T ＝2π2＝π. 答案 π8．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________． 解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )9．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．解析 ∵y ＝cos x 的对称中心为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，∴由2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 得φ＝k π－13π6(k ∈Z )． ∴当k ＝2时，|φ|min ＝π6. 答案 π6三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z . (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3. ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3.∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．11．(2013·陕西卷)已知向量a ＝(cos x ，－12)，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(Ⅰ)求f (x )的最小正周期；(Ⅱ)求f (x )在[0，π2]上的最大值和最小值． 解 f (x )＝(cos x ，－12)·(3sin x ，cos2x ) ＝3cos x sin x －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝cos π6sin2x －sin π6cos2x ＝sin(2x －π6)． (Ⅰ)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(Ⅱ)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x－π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1，当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12. 因此，f (x )在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.12．(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性．解 (Ⅰ)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．。

第三篇三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[最新考纲]1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝l r(弧长用l 表示) 角度与弧度的换算①1°＝π180rad ②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式 S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数三角函数 正弦 余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α x 叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan αⅠ ＋＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ －＋－口诀Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦续表三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线 有向线段AT 为正切线辨 析 感 悟1．对角的概念的认识(1)小于90°的角是锐角．(×) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×)(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×) 2．任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角α的终边经过点P (－1,2)，则sin α＝2－12＋22＝255.(√)(6)(2013·济南模拟改编)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．(√)(7)(2011·新课标全国卷改编)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝55.(×)[感悟·提升]1．一个区别 “小于90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下： 小于90°的角的范围：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，π2，锐角的范围：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，第一象限角的范围：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．所以说小于90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立．如(1)、(2)．2．三个防范 一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7).考点一 象限角与三角函数值的符号判断【例1】 (1)若sin α·tan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值( )． A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在解析 (1)由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角． (2)∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2·cos 3·tan 4＜0. 答案 (1)C (2)A规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．【训练1】 设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，知θ2为第二象限角．答案 B考点二 三角函数定义的应用【例2】 已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意得，r ＝3＋m 2，∴sin θ＝m3＋m 2＝24m .∵m ≠0，∴m ＝± 5.故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角．∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.综上可知，cos θ＝－64，tan θ＝－153或cos θ＝－64，tan θ＝153. 规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．【训练2】 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解 设角α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.考点三 扇形弧长、面积公式的应用【例3】 已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 审题路线 (1)角度化为弧度⇒求扇形的弧长⇒S 弓＝S 扇－S △⇒分别求S 扇＝12lr ，S △＝12r 2sin α⇒计算得S 弓．(2)由周长C 与半径R 的关系确定R 与α的关系式⇒代入扇形面积公式⇒确定S扇与α的关系式⇒求解最值．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝503π－5032＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32(cm 2)． (2)法一 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C 2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2 rad 时，扇形面积有最大值C 216.法二 由已知，得l ＋2R ＝C ， ∴S 扇＝12lR ＝12(C －2R )R ＝12(－2R 2＋RC )＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C 216.故当R ＝C 4，l ＝2R ，α＝2 rad 时，这个扇形的面积最大，最大值为C 216. 规律方法 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． (2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.学生用书第50页【训练3】 (1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)设扇形的圆心角为θ rad，则扇形的周长是2r＋rθ.依题意：2r＋rθ＝πr，∴θ＝(π－2)rad.∴扇形的面积S＝12r2θ＝12(π－2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，即l＝20－2r(0＜r＜10)．∴扇形的面积S＝12lr＝12(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25.∴当r＝5 cm时，S有最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝lr＝2 rad.因此，当α＝2 rad时，扇形的面积取最大值．1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．创新突破4——以任意角为背景的应用问题【典例】 (2012·山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．突破1：理解点P 转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形． 突破2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长． 突破3：由几何图形建立P 点坐标与边长的关系．解析 如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ, Q 为垂足． 根据题意得劣弧＝2，故∠DCP ＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝2－π2，|CQ |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2， |PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)， 故OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案 (2－sin 2,1－cos 2)[反思感悟] (1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决．(2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等． 【自主体验】已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝( )． A ．－1B ．1C ．－2D ．2 解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析 ∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 答案 C2．(2014·汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )．A. π3B.2π3C. 3D. 2解析 设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝ 3.答案 C3．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析 由弧长公式得，P 点逆时针转过的角度α＝2π3，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案 A4．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )．A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 解析 由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案 D 5．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①正确，②不正确，∵sin π3＝sin 2π3，而π3与2π3角的终边不相同．③不正确．sin α＞0，α的终边也可能在y 轴的正半轴上． ④不正确．在三角函数的定义中，cos α＝x r＝x x 2＋y2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立． 答案 A 二、填空题6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝______. 解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案 －8 7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝____.解析 因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35. 答案 －358．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )三、解答题9．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来： ①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解 (1)①S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；②S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.(2)终边在y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°. 10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)．∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎨⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)， ∴AB ＝2sin 1 (cm)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]解析 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.答案 A2．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确． 答案 A 二、填空题3．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2 α＋1－cos 2αcos α＝________.解析 原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cos α的符号相反，所以原式＝0. 答案 0 三、解答题4．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号．解 (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k ＋1π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tanα2＜0，sinα2＞0，cosα2＜0，所以tanα2sinα2cosα2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0， 所以tanα2sinα2cosα2也取正号． 因此，tanα2sinα2cosα2取正号. 学生用书第51页第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[最新考纲]1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cos α－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tan αtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°18的弧度数0π6π4π3π22π35π6πn α012223213212s α13222120－12－32－n α03313－3－33辨析感悟1．对三角函数关系式的理解(1)若α，β为锐角，sin2α＋cos2β＝1. (×)(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立． (×)(3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则cos α＝35.(×)2．对诱导公式的认识(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)(6)角π＋α和α终边关于y轴对称．(×)3．诱导公式的应用(7)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cos θ＝13.(×)(8)(2013·广东卷改编)已知sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝－15.(×)[感悟·提升]1．一点提醒平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π2＋kπ，k∈Z，如(1)、(2)．2．两个防范一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)已知tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝___________，4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________.(2)(2014·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π2，则cos θ－sin θ的值为________．解析(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1，4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝4sin2α－3sin αcos α－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)当π4＜θ＜π2时，sin θ＞cos θ， ∴cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－14＝34，∴cos θ－sin θ＝－32.答案 (1)－1 1 (2)－32学生用书第52页规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcosα可以知一求二．(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 【训练1】 (1)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，则tan α＝______.(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一 联立方程⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. 又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.答案 (1)－43 (2)±64考点二 利用诱导公式化简三角函数式【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)设f (α)＝2sinπ＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________. 解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α1＋2sin αsin α1＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝ 3.答案 (1)1 (2) 3规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了． (2)诱导公式应用的步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→ 0～2π的角的三角函数→锐角三角函数注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．【训练2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.(2)化简：tanπ＋αcos2π＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝________.解析 (1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°· sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)· sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180° ＝0＋0＝0.(2)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos 3π＋α[－sin 3π＋α]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αsin α＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案 (1)0 (2)－1考点三 利用诱导公式求值【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝______；(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝ －tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案 (1)12 (2)－33规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等． 【训练3】 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________； (2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. (2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12.答案 (1)－23 (2)121．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2 θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2 θ)＝tanπ4＝….方法优化2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例】 (2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )．A.43B.34 C ．－34 D ．－43[一般解法] 由sin α＋2cos α＝102，得sin α＝102－2cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝sin αcos α＝3或－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－34.综上，tan 2α＝－34.故选C.[优美解法] 法一 (直接法)两边平方，再同时除以cos 2 α，得3tan 2 α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2 α，得到tan 2α＝－34. 法二 (猜想法)，由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝310，cos α＝110，这时sin α＋2cos α＝102符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C. [答案] C[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在． 【自主体验】(2013·东北三校模拟)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析 法一 ∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，∴sin θ－cos θ＝－23. 法二 ∵sin θ＋cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝43，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝223，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13，∴sin θ－cos θ＝－(cos θ－sin θ)＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－23.答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )．A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.答案 D2．(2014·临川一中一调)sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )． A ．0 B.12 C ．1 D ．－12解析 原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4) ＝sin5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. 答案 A3．(2014·郑州模拟)1－2sin π＋2cos π－2＝( )．A ．sin 2－cos 2B ．sin 2＋cos 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．cos 2－sin 2 解析 1－2sinπ＋2cos π－2＝1－2sin 2cos 2＝sin 2－cos 22＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 A4．(2014·石家庄模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )．A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2 解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2 α－sin αcos α＝sin 2 α－sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2 α－tan αtan 2 α＋1＝25.答案 A5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝( )．A.35B.53C.45D.54解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或 2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α－cos α·tan 2αsin α·－sin α·－sin α＝1－sin α＝53.答案 B 二、填空题6．(2014·杭州模拟)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________．解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12.答案127．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.答案 －138．(2013·江南十校第一次考试)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________. 解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π＜α＜－π2， ∴7π12＜π12－α＜13π12， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.答案 －223三、解答题9．化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α(k ∈Z )．解 当k ＝2n (n ∈Z )时， 原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α＝sin －α·cos －π－αsin π＋α·cos α＝－sin α－cos α－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， 原式＝sin[2n ＋1π－α]·cos[2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]·cos[2n ＋1π＋α]＝sin π－α·cos αsin α·cosπ＋α＝sin α·cos αsin α－cos α＝－1.综上，原式＝－1.10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225， (2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π， 可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0， ∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin Acos A＝45－35＝－43. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2012·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )． A ．－1 B ．－22 C.22 D ．1 解析 法一 因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法二 因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，所以α＝3π4，所以tanα＝－1. 答案 A2．(2014·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是( )． A.355 B.377 C.31010 D.13解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tanα＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角． 故sin α＝31010. 答案 C 二、填空题3．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝45＋12＝912.答案912三、解答题4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式si n(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解 假设存在角α，β满足条件， 则由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件. 学生用书第53页第3讲 三角函数的图象与性质[最新考纲]1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.知 识 梳 理正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k ∈Z ).函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x | x ∈R ，且x ≠⎭⎪⎬⎪⎫k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1]R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数 奇函数递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2[2k π－π，2k π] ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2[2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π无辨 析 感 悟1．周期性的判断(1)(教材习题改编)由sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正弦函数y ＝sinx (x ∈R )的一个周期． (×)(2)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为π2. (√)2．判断奇偶性与对称性(3)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是奇函数． (×)(4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×) 3．求三角函数的单调区间(5)函数f (x )＝sin(－2x )与f (x )＝sin 2x 的单调增区间都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．(×)(6)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． 4．求三角函数的最值(7)存在x ∈R ，使得2sin x ＝3.(×)(8)(教材习题改编)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.(√)[感悟·提升]1．一点提醒 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解．2．三个防范 一是函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y 轴的直线，如y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π，而不是x ＝2k π(k ∈Z )．二是对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数，如(6)．三是函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sin x ＝32，如(7).学生用书第54页考点一 三角函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象， 在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ， 解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . (2)y ＝3－sin x －2cos 2x＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2 x －sin x ＋1， 令sin x ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y ＝2t 2－t ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋78，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y min ＝78，y max ＝2.答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)78 2规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求．②把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．【训练1】 (2014·广州模拟)已知函数f (x )＝6cos 4 x ＋5sin 2x －4cos 2x ，求f (x )的定义域和值域．解 由cos 2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z . f (x )＝6cos 4 x ＋5sin 2 x －4cos 2x ＝6cos 4 x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝2cos 2x －13cos 2x －12cos 2x －1＝3cos 2x －1.所以f (x )的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |－1≤y ＜12，或12＜y ≤2.考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例2】 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )．A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )．A.π6B.π4C.π3D.π2解析 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0， 得|φ|的最小值为π6. 答案 (1)C (2)A规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝A sin ωx 或y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可． 【训练2】 (1)函数y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.解析 (1)y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π.(2)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )， 又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4. 答案 (1)A (2)π4考点三 三角函数的单调性【例3】 (2014·临沂月考)设函数f (x )＝sin(－2x ＋φ)(0＜φ＜π)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间． 审题路线 令(－2)×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ⇒解得φ＝？又0＜φ＜π⇒得出φ值⇒把f (x )＝sin(－2x ＋φ)，化为f (x )＝－sin(2x －φ)⇒令g (x )＝sin(2x －φ)⇒求出g (x )的单调区间⇒利用f (x )与g (x )的关系求f (x )的单调区间． 解 (1)令(－2)×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋3π4，k ∈Z ， 又0＜φ＜π，∴φ＝3π4. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 即g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ， 即g (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )， 故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )； 单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π(k ∈Z ). 学生用书第55页规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．【训练3】 (2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．1．求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象．2．判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇．3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．4．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ)，y＝A tan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．。

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．tan 8π3的值为( ) A.33 B ．－33 C. 3D ．－ 3解析 tan 8π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3.答案 D2．已知α是第四象限角，且sin α＝－35，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43D ．－43解析 ∵α是第四象限角，且sin α＝－35，∴cos α＝45，tan α＝－34. 答案 B3．(2014·玉溪一中月考)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析 ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43. 答案 D4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1解析 方法1：由sin α－cos α＝2， 得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1，∵0＜α＜π，∴－π4＜α－π4＜34π. ∴α＝34π，∴tan α＝－1.方法2：由sin α－cos α＝2，两边平方得sin2α＝－1. ∵α∈(0，π)，∴2α＝32π，α＝34π，∴tan α＝－1. 答案 A5．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )A.916 B ．－916 C ．－34D.34解析 ∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－35，由题知sin α＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝34，∴原式＝cos α·(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2α＝－916. 答案 B6．(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析 由sin α＋2cos α＝102， 再结合sin 2α＋cos 2α＝1得⎩⎨⎧sin α＝－110，cos α＝310，或⎩⎨⎧sin α＝310，cos α＝110，所以tan α＝－13或tan α＝3， 代入tan2α＝2tan α1－tan 2α得tan2α＝－34. 答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案 08．(2014·天津一中模拟)已知sin x cos x ＝38，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos x－sin x ＝________.解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin x >cos x ，即cos x －sin x <0，∴(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，∴cos x －sin x ＝－12. 答案 －129．(2013·四川卷)设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．解析 由sin2α＝－sin α得2sin αcos α＝－sin α，由α∈(π2，π)，所以sin α≠0，从而cos α＝－12，所以α＝23π，tan2α＝tan 43π＝ 3.答案3三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13. ∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 11．(2013·广东卷)已知函数f (x )＝2cos(x －π12)，x ∈R . (1)求f (－π6)的值；(2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (2θ＋π3)． 解 (1)f (－π6)＝2cos(－π6－π12) ＝2cos(－π4)＝2cos π4＝1. (2)f (2θ＋π3)＝2cos(2θ＋π3－π12) ＝2cos(2θ＋π4) ＝cos2θ－sin2θ.因为cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，所以sin θ＝－45.所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 所以f (2θ＋π3)＝cos2θ－sin2θ＝－725－(－2425)＝1725.12．已知sin θ，cos θ是方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个根，3π2＜θ＜2π，求θ.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝m ，sin θ·cos θ＝2m －14，Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0，代入(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ， 得m ＝1±32，又3π2＜θ＜2π，∴sin θ·cos θ＝2m －14＜0， 即m ＝1－32.∴sin θ＋cos θ＝m ＝1－32， sin θ·cos θ＝－34. 又∵3π2＜θ＜2π，∴sin θ＝－32，cos θ＝12.∴θ＝5π3.。