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函数的凹凸性与拐点

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二次函数的拐点与凹凸性判断

二次函数的拐点与凹凸性判断

二次函数的拐点与凹凸性判断二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般表示形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状，而拐点和凹凸性是抛物线特征之一。

在本文中，将讨论如何判断二次函数的拐点以及凹凸性。

一、拐点的判断拐点也被称为转折点，是指函数曲线由凸向上转为凸向下，或由凸向下转为凸向上的点。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其拐点可以通过函数的导数来确定。

首先，我们需要求出二次函数的导数。

二次函数的导数是一次函数，其一般表示形式为y' = 2ax + b。

由于二次函数是曲线而非直线，因此存在拐点的情况。

当导数y' = 0时，表示函数的斜率为零，即函数出现了拐点。

那么我们可以通过求导数y' = 0的解来确定二次函数的拐点。

假设y' = 2ax + b = 0，则有x = -b / (2a)。

这样，我们就获得了二次函数的拐点横坐标x值。

将该x值代入原函数中，即可求得拐点的纵坐标y值。

通过上述步骤，我们可以准确地确定二次函数的拐点坐标。

需要提醒的是，在判断二次函数的拐点时，应先求出导数，再求导数为零时的解，最后代入求得拐点坐标。

二、凹凸性的判断凹凸性是指函数图像曲线的凹凸形状，即函数图像的上凸与下凸。

同样地，二次函数的凹凸性可以通过二次函数的导数来判断。

凹凸性与导数的正负相关。

当导数y' > 0时，函数图像为凸向上的抛物线；当导数y' < 0时，函数图像为凸向下的抛物线。

因此，我们只需求出二次函数的导数，并判断导数的正负性即可确定二次函数的凹凸性。

需要注意的是，二次函数的凹凸性在拐点处发生改变。

在拐点左侧，二次函数的凹凸性与导数的正负性一致；而在拐点右侧，二次函数的凹凸性与导数的正负性相反。

由于凹凸性与导数的正负有关，若要确定二次函数的凹凸性，可按照以下步骤进行：1. 求出二次函数的导数y'。

第三章第三节函数的凹凸性与拐点及函数作图

第三章第三节函数的凹凸性与拐点及函数作图

x
f ( x )
(,0)
0 0


(0,1)
f ( x)
f ( x)

极大值2


0
拐点(1, )
4 3
1
(1,2)
2
(2,)



极小值2 3
0

（4）无渐近线 （5） 与 y 轴交点(0,2) （6） 作图，如右图。
y
2
0
1
2
x
例5 作函数 y e
x2
的图形
(, ) 解 （1）函数定义域：
x
y
y
(,2)

︵
2 0
(2,2) 拐点
(2,ห้องสมุดไป่ตู้)

︶
曲线在区间( ,2) 是凸的，在区间 ( 2,) 内是凹的，拐点 (2,2) ，如下图。
y
0
1 2
x
二、曲线的渐近线
定义3 曲线 y f ( x)上的动点沿曲线无限远离 原点时，如果动点与定直线L的距离趋于零，则称 L为曲线的渐近线。 曲线的渐近线可分为水平、铅直和斜渐近线。 1、水平渐近线
, lim arctan x
x

2
,
及 y

2
y
是曲线的两条水平渐近线。

2
0


2
x
2、铅直渐近线 如果函数 y f ( x) 有 lim f ( x) 或 lim f ( x) , 则称直线 x a是曲线 y f ( x) 的一条铅直渐近线。
1 例3 求曲线 y 的水平和铅直渐近线。 x2
定理 设函数 y f ( x) 在区间[a,b]内具有二阶导 数， （1） 如果在区间[a, b]内 f ( x) 0 ，则曲线在 区间[a, b]内是凹的； （2） 如果在区间[a, b]内 f ( x) 0 ，则曲线在 区间[a, b]内是凸的； 定义2 连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为

二次函数的拐点与凹凸性

二次函数的拐点与凹凸性

二次函数的拐点与凹凸性二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在这篇文章中，我们将讨论二次函数的拐点与凹凸性。

首先，我们来讨论二次函数的拐点。

拐点是指函数图像由凹转凸或由凸转凹的点。

要确定二次函数的拐点，我们需要计算二次函数的二阶导数。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c，它的导数为y' = 2ax + b，二阶导数为y'' = 2a。

当二次函数的二阶导数y'' = 2a ≠ 0时，二次函数存在拐点。

如果a > 0，那么拐点是函数图像由凹转凸的点；如果a < 0，那么拐点是函数图像由凸转凹的点。

此外，拐点的横坐标可以通过解方程y' = 0得到。

即当2ax + b = 0时，x = -b / (2a)。

将x的值带入二次函数的表达式中，得到拐点的纵坐标。

接下来，我们来讨论二次函数的凹凸性。

凹凸性是指函数图像在拐点处的弯曲方向。

如果二次函数的第二个系数a > 0，那么函数图像在拐点的两侧都是向上凹的，也就是说图像在拐点处由凹转凸；如果a < 0，那么函数图像在拐点的两侧都是向下凸的，也就是说图像在拐点处由凸转凹。

通过确定二次函数的拐点和凹凸性，我们可以更好地理解二次函数的性质和特点。

例如，当二次函数的a > 0时，它的图像在拐点处的曲率呈现向上的形状，这意味着函数在拐点的左侧是递增的，在拐点的右侧是递减的。

而当a < 0时，函数图像在拐点处的曲率呈现向下的形状，这意味着函数在拐点的左侧是递减的，在拐点的右侧是递增的。

二次函数的拐点和凹凸性在很多实际问题中都有重要应用。

例如，在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线的轨迹；在经济学中，二次函数可以用来分析成本、收益、需求等曲线的特点。

掌握了二次函数的拐点和凹凸性的概念，我们可以更好地理解和解决这些问题。

高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘

高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
本题也可以下表给出解答：
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y

2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为

曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件

曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件

令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)

3.3 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘

3.3 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘

而 lim x 2 1 1 x x( x 1)
所以直线 x 0 为曲线 y x 2 1 的垂直渐近线, x( x 1)
直线 y 1 为其水平渐近线
三.函数图形的描绘
描绘函数的图形，其一般步骤是： (1) 确定函数的定义域; (2) 讨论其奇偶性和周期性； (3) 讨论函数的单调性，极值点和极值； (4) 讨论函数图形的凹凸区间和拐点； (5) 讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线； (6) 根据需要补充函数图形上若干点(如与坐标 轴的交点等等)；
y 1 的水平渐近
O
x
x 1
线.
又如，曲线 y = arctan x，因为
lim arctan x ， lim arctan x ,
x
2 x
2
所以直线 y 与 y
2
2
线.
y
2
y = arctan x
O
x
2
都是该曲线的水平渐近
练习 判断曲线
怎样判断曲线的拐点呢？
前已述及:
凹曲线 切线斜率k↗ f ( x)单增 f ( x) 0 凸曲线 切线斜率k↘ f ( x)单减 f ( x) 0
所以: 拐点
凹凸性分界点
f (x)单调性分界点
f ( x) 0 的点或 f ( x) 不存在的点
列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x) f ( x) f (x)


0
拐点
(3, 26) 9
0
极小值
3
不存在
不存在

函数曲线的凹向与拐点

下页
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
线的拐点 •讨论
如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)0存在问f (x0)？ 如何找可能的拐点？
拐点
下页
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
例4 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间
解 (1)函数y3x44x31的定义域为( )
(2)
y 12x3 12x2

y36x2
24x 36x(x
2) 3

(3)解方程 y0
得x1 0

x2

2 3

(4)列表判断
x ( 0) f (x) ＋ f (x) ∪
0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )
0
－0
＋
1
∩ 11/27 ∪
在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的 在区间[02/3]上 曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点
下页
•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
(2)函数f (x) x2 在区间(1,1•)内
1 x
（A）单调增加
（B）单调减少
（C）有增有减
（D）不增不减
解：选（C）
（3）函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有：
（A）f '(x0)=0
（B）f '(x0)<0
（C）f '(x0)=0且f"(x0)<0
（D）f(x0+△x)<f(x0)

4.2 函数的凸性与拐点


f '' ( x )
即有
f '' ( x ) 0
例
讨论
3 2 y 12 x 12 x ,
的凹凸区间.
解 D ( , )
36 x ( x 2 3)
时， y 0
2 (0, 0 3) 0 2 3
当 x1 0 , x2 列表
2 3
x ( ,0) y y 凸
由于 f () 0 , 可知
o
f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
x0
x
性质2
f ( x )是[a, b]上二阶可导的凸函数,[ x1 , x2 ]是[a, b]的
f ( x) x x2 x x1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x2 x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x0 ) f ' (1 ) ( x1 x0 ) f '(1 ) , x1 1 x0 2
x2 x1 f ( x2 ) f ( x0 ) f ' ( 2 ) ( x2 x0 ) f '( 2 ) , x0 2 x 2 2 相加得 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x0 ) [ f ' ( 2 ) f ' (1 )]( x 2 x1 ) 2 由于 f (x) 单调增 , 2 > 1 , 知 f (2) > f (1)
§4.2 函数的凸性与拐点
前面我们研究了单调性, 然而我们注意到仅知 道单调性对了解函数的性态是不够的
(1)单调增 (2)单调增
o
a

求函数的凹凸区间及拐点的步骤

求函数的凹凸区间及拐点的步骤一、概念解析在数学中，我们经常会遇到求函数的凹凸区间及拐点的问题。

这涉及到了函数的二阶导数，以及函数图像的变化规律。

下面我将按照从简到繁的方式，逐步探讨这一主题。

1. 凹凸性的概念我们需要了解什么是函数的凹凸性。

对于函数f(x)，若在区间I上满足f''(x)>0（f''(x)表示f(x)的二阶导数），则称函数f(x)在I上是凹的；若在区间I上满足f''(x)<0，则称函数f(x)在I上是凸的。

2. 拐点的概念另外，拐点指的是函数图像上的一个特殊点，该点对应的二阶导数f''(x)发生变号的点。

二、步骤探究接下来，我们将讨论求函数的凹凸区间及拐点的具体步骤。

我将结合具体的例子来说明每一步的操作方法，以便你能更深入地理解。

1. 求导数我们需要求出函数f(x)的一阶和二阶导数，分别记为f'(x)和f''(x)。

这一步是求凹凸区间及拐点的基础。

2. 解方程f''(x)=0在区间I上，我们需要解方程f''(x)=0，找出f(x)的二阶导数为0的点。

这些点就是函数可能存在拐点的位置。

3. 列出数表我们需要列出f''(x)的变号区间，并通过数表的形式进行展示。

在这一步，我们可以通过选取区间内的特定点，代入f''(x)的值，来判断函数的凹凸性。

4. 确定凹凸区间及拐点根据数表中f''(x)的正负情况，我们可以确定函数f(x)的凹凸区间，并找出拐点的具体位置。

这样，我们就完成了求函数的凹凸区间及拐点的步骤。

三、总结回顾通过以上步骤，我们可以比较清晰地了解了如何求函数的凹凸区间及拐点。

在实际应用中，我们可以通过这些步骤，快速、准确地分析函数的凹凸性质，从而更好地理解函数的图像特征。

个人观点：求函数的凹凸区间及拐点是数学中的重要问题，它不仅有着重要的理论意义，也在实际问题的解决中发挥着重要作用。

《曲线的凹凸与拐点》课件

《曲线的凹凸与拐点》ppt课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
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1
图1
函数的单调性可用函数的一阶导函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的
增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画呢？
一、曲线的凹凸与拐点

1．曲线的凹凸定义和判定法
从图1可以看出曲线弧ABC在区间ca,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC位
于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE在区间bc,内是向上凸起的，此时曲线
弧CDE位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的
弯曲方向，我们给出下面的定义：
定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点
切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；
如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，
那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．

例如，图1中曲线弧ABC在区间ca,内是凹的，

曲线弧CDE在区间bc,内是凸的．
由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x的增大而增大；对于凸
的曲线弧，切线的斜率随x的增大而减小．由于切线的斜率就是函数xfy的导
数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由
此可见，曲线xfy的凹凸性可以用导数xf的单调性来判定．而xf的单
调性又可以用它的导数，即xfy的二阶导数xf的符号来判定，故曲线
xfy的凹凸性与
xf

的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：

定理1 设函数xfy在ba,内具有二阶导数．
（1）如果在ba,内，xf＞0，那么曲线在ba,内是凹的；
（2）如果在ba,内，xf＜0，那么曲线在ba,内是凸的．

x
y
o

()yfx

A
B

x
y

o
()yfx
A

B
2
图2
例１ 判定曲线3xy的凹凸性．
2．拐点的定义和求法
定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．
定理2(拐点存在的必要条件) 若函数xf在0x处的二阶导数存在,且点
00,xfx为曲线xfy的拐点,则
.00xf

我们知道由xf的符号可以判定曲线的凹凸．如果xf连续，那么当

xf


的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x使0xf＝0．这样，点

00
,xfx

就是曲线的一个拐点．因此，如果xfy在区间ba,内具有二阶导数，我们就
可以按下面的步骤来判定曲线xfy的拐点:
(1) 确定函数xfy的定义域；
(2) 求xfy；令xf＝0，解出这个方程在区间ba,内的实根；
(3) 对解出的每一个实根0x，考察xf在0x的左右两侧邻近的符号．如果

xf

在0x的左右两侧邻近的符号相反，那么点00,xfx就是一个拐点，如果


xf

在0x的左右两侧邻近的符号相同，那么点00,xfx就不是拐点．

例２ 求曲线233xxy的凹凸区间和拐点．
解 （1）函数的定义域为,；
（2）1666,632xxyxxy；令0y，得1x；
（3）列表考察y的符号（表中“∪”表示曲线是凹的，“∩” 表示曲线是凸
的）：

x
1, 1 
,1

y

- 0 +

曲线y
∩ 拐点 2,1 ∪

由上表可知，曲线在1,内是凸的，在,1内是凹的；
曲线的拐点为2,1．

例３ 已知点(1,3)为曲线32yaxbx的拐点，求
,ab
的值。
要注意的是，如果xf在点0x处的二阶导数不存在，那

么点00,xfx也可能是曲线的拐点．例如，函数3xy在点0,0处的二阶导数
不存在，但是点0,0是该函数的拐点(图2)．