(完整版)手拉手模型

专题07手拉手模型（知识解读）【专题说明】手拉手模型是指有共同顶点的两个等腰三角形，顶角相等。

因为过共同顶点的四条边，像人的两双手，所以通常称为手拉手模型。

手拉手模型常和旋转结合,在考试中作为几何综合题目出现。

【方法技巧】类型一：等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，▲ABC和▲CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P（2）记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N（2）连接MN（4）记AD、BE交点为P，连接PC：（5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°（6）连AE:结论六：P点是▲ACE的费马点（PA+PC+PE值最小）类型二：正方形手拉手如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG【类型一：等边三角形手拉手】【典例1】（2021春•西安期末）如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD，以AB为边向外作等边△ABE，连接CE、BD．（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．【变式1-1】（2021九上·吉林期末）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D，E分别在边AC，BC上，且CD=CE=2，此时AD=BE，AD⊥BE成立．（1）将△CDE绕点C逆时针旋转90°时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度．【变式1-2】（2021九上·宜春期末）如图（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠ACB的度数为；②线段BE，CE与AE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上．若CE=2，BE=2，求AB的长度．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．【变式1-3】（2021春•金牛区校级期中）类比探究：（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A 旋转到△ACP′处）（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB ＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．【典例2】如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．【变式2-1】如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．（1）问题发现当α＝0°时，的值为，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．【类型二：正方形手拉手】【典例3】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF 2+BE2的值．【变式3】（2021秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF．（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由．（2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．。

《三角形证明》题型解读12 全等典型模型：“手拉手”模型【知识梳理】（一）“手拉手模型”的基本图形题型特征：△ABC 与△BDE 是等边三角形，A 、B 、D 三点在同一直线上。

解题方法：一定有以下六个结论（三组全等、一个60°、一个等边△、一组平行线） ①△ABE ≌△CBD证明过程：∵△ABC 与△BDE 是等边三角形，∴∠1=∠2=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD=120°，∵AB=BC ，BE=BD ， ∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ②△ABH ≌△CBF证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠4=∠5，∵AB=BC ，∠1=∠2，∴△ABH ≌△CBF （SAS ） ③△BHE ≌△BFD证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠6=∠7，∵BE=BD ，∠2=∠3，∴△BHE ≌△BFD （SAS ） ④∠AGC=60°证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠6=∠7，在△GFE 和△BFD 中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD ，∴∠3=∠EGF ，∵∠AGC=∠EGF ，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60° ⑤△BHF 是等边三角形证明过程：∵△BHE ≌△BFD （SAS ），∴BH=BF ，∵∠2=60°，∴△BHF 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） ⑥HF//AD证明过程：∵△BHF 是等边三角形，∴∠8=60°，∵∠3=60°，∴∠8=∠3，∴HF//AD （二）“手拉手模型”的变化图形题型特征：△ABC 与△BDE 是等边三角形，A 、B 、D 三点不在同一直线上。

图2M N 765431H GFEDCBA765431HG F ED CBA解题方法：一定有以下三个结论（一组全等，一个60°、一个角平分线） ①△ABE ≌△CBD证明过程：∵△ABC 与△BDE 是等边三角形，∴∠1=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD （共角模型），∵AB=BC ，BE=BD ， ∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ②∠AGC=60°证明过程：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠6=∠7，在△GFE 和△BFD 中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD ，∴∠3=∠EGF ，∵∠AGC=∠EGF ，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60° ③BG 平分∠HBF证明过程：作BM ⊥AE 于点M ，BN ⊥GD 于点N ，如图2，∵△ABE ≌△CBD ，∴∠4=∠5，∵AB=BC ，∠AMB=∠CNB=90°，∴△ABM ≌△CBN （AAS ），∴BM=BN ，∴BG 平分∠HBF （到角两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上） （三）常见“手拉手”变化图形【典型例题】例1.如图，C 为线段AE 上一动点（不与A 、E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等 边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，以下五个结论： ①AD ＝BE ；②PQ ∥AE ；③CP ＝CQ ；④BO ＝OE ；⑤∠AOB ＝60°，恒成立的结论有（ ）。

手拉手模型手拉手模型，属于初中几何中图形的旋转，是最常见的一类重要模型。

全等型手拉手模型有以下三个主要特征：双等腰、共顶点、顶角相等。

如下左图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且具有公共的直角顶点A，顶角都是900。

这两个三角形就像两个人手拉着手一样，所以我们称之为手拉手模型。

如下右图，我们易证△ACE与△ABD全等（SAS）。

实际上以点A为旋转中心，把△ACE顺时针旋转900，就得到了△ABD。

又如下左图，△ABC与△ADE都是等边三角形，且具有公共的顶点A，顶角都是600。

这个图形满足以下三个主要特征：双等腰、共顶点、顶角相等，所以它就属于手拉手模型。

如下右图，我们易证△ACD与△ABE全等（SAS）。

实际上以点A为旋转中心，把△ACD顺时针旋转600，就得到了△ABE。

例 1. 如图，△ABC与△A DE都是等腰直角三角形，其中∠BAC=∠DAE=900，AB=AC，AD=AE。

直线CE交BD于点F，交AB 于点G。

求证：（1）CE=BD；（2）CE⊥BD；（3）A、E、F、D四点共圆；（4）AF平分∠CFD。

解析：图中△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，而且他们具有公共顶点A，顶角都是900，所以该图形就是典型的手拉手模型。

简解：(1)易证△ACE≌△ABD（SAS），所以CE=BD；（2）由△ACE≌△ABD可得：∠1=∠2。

再由八字形可得：∠GFB=∠GAC=900，所以CE⊥BD。

（3）由（2）得CE⊥BD，又∠DAE=900，所以∠DAE+∠DFE=1800。

所以A、E、F、D四点共圆。

（4）过A作AM⊥CE于M，作AN⊥BD于N。

由△ACE≌△ABD，可得他们的面积相等，又由全等得CE=BD，所以AM=AN。

所以AF 平分∠CFD。

（或者由A、E、F、D四点共圆，得到∠DFA=∠DEA=450。

所以∠EFA=∠DFA=450。

所以AF平分∠CFD。

）例2. 如下左图，点C、A、E在一条直线上，△ABC与△ADE 都是等边三角形。

完整版)社会学模型手拉手模型1.引言社会学是研究人类社会行为、社会关系和社会机构的科学。

手拉手模型是社会学中一个重要的概念，用来描述人们在社会互动中相互协作、互惠互助的关系。

本文将介绍手拉手模型的定义、特点和应用，并探讨其在社会学研究中的意义和影响。

2.手拉手模型的定义手拉手模型是指人们在社会交往中通过相互支持、合作和互助，形成紧密的互联互动的关系。

它强调人与人之间的互惠和互助，是一种相互关联和相互依赖的社会联系模式。

3.手拉手模型的特点手拉手模型具有以下几个特点：相互支持：手拉手模型强调人们在社会交往中相互支持，通过共同的努力和帮助来实现目标。

合作互助：在手拉手模型中，人们通过相互合作和互助，共同解决问题和应对挑战。

互联互动：手拉手模型强调人与人之间的紧密联系和互动，通过交流和合作实现共同的利益。

4.手拉手模型的应用手拉手模型在社会学研究中有广泛的应用，例如：教育领域：手拉手模型可以用于描述学生之间的相互支持和合作学习的关系，促进学生的共同学习和发展。

社区发展：手拉手模型可以应用于社区组织和发展，通过组织居民之间的互助、合作和支持，提高社区的凝聚力和发展能力。

心理健康：手拉手模型可以用于描述亲密关系中的相互支持和互助，帮助个体在压力和困难时获得支持和帮助。

5.手拉手模型的意义和影响手拉手模型的应用和研究对社会学具有重要意义和积极影响：加强社会联系：手拉手模型强调人与人之间的相互关联和互助，可以加强社会联系和社区凝聚力。

促进社会发展：通过手拉手模型中的合作和互助，可以促进社会的发展和进步。

改善人际关系：手拉手模型强调相互支持和互助，有助于改善人际关系和促进个体的心理健康。

6.结论手拉手模型是社会学中的一个重要概念，用于描述人们在社会交往中相互协作、互惠互助的关系。

它强调人与人之间的相互支持、合作和互助，在教育、社区发展和心理健康等领域有广泛的应用。

手拉手模型的研究和应用对于加强社会联系、促进社会发展和改善人际关系具有重要意义和积极影响。

(完整版)教育模型手拉手模型教育模型手拉手模型概要本文档介绍了教育模型手拉手模型的完整版内容，包括定义、特点和实施步骤。

定义教育模型手拉手模型是一种基于合作互助的教育模式，旨在通过学生之间的协作和互动，促进彼此的研究和发展。

这种模型强调学生之间的合作与互助，使他们能够通过相互指导、交流和分享知识，共同提升研究效果和研究成果。

特点教育模型手拉手模型具有以下特点：1. 合作互助：学生之间通过合作互助，共同解决问题和完成研究任务。

他们可以互相帮助、互相纠正，提高理解和掌握知识的能力。

2. 个性化研究：每个学生都有机会参与到教学过程中，根据自己的能力和兴趣，选择适合自己的研究内容和方式，实现个性化研究。

3. 责任心培养：学生在模型中扮演不同的角色，既是教师又是学生，通过传授知识和指导他人研究，培养责任心和领导能力。

4. 反馈和评估：学生之间可以相互提供反馈和评估，共同改进研究方法和研究成果，促进个人和团队的进步。

实施步骤教育模型手拉手模型的实施步骤如下：1. 组建研究小组：根据学生的兴趣和能力，组建合适的研究小组，每个小组人数适中，确保每个学生都能有参与的机会。

2. 设定研究目标：每个小组根据研究内容和目标，制定适合自己的研究计划和目标，明确每个成员的任务和责任。

3. 合作研究：小组成员之间展开合作研究，通过互帮互助，共同解决问题和完成研究任务。

可以采用小组讨论、角色扮演、分享报告等方式进行合作研究。

4. 反馈和评估：小组成员互相提供反馈和评估，进行研究成果的讨论和改进。

可以通过小组讨论、写作评价等方式进行反馈和评估。

5. 总结和分享：每个小组总结研究成果和经验，与其他小组分享，促进彼此的研究和发展。

6. 持续改进：根据研究过程和结果，及时调整和改进教育模型手拉手模型，提高研究效果和研究成果。

结论教育模型手拉手模型是一种促进学生合作互助，实现个性化学习和培养责任心的教育模式。

通过合作互助，学生在模型中获得更多的学习机会和提高自身的能力。

全等之手拉手模型1. 等边三角形手拉手核心考点：如果两个等边三角形共顶点，必有手拉手全等．核心考点：和均为等边三角形，三点共线．结论：（）≌；（）；（）；（）≌；（）；（）≌；（）；（）为等边三角形；（）；（）平分．1.如图，在线段上，在同侧作等边三角形和，连接，，若，则．（1）（2）（3）2.如图，以点为等边三角形顶点向左右两侧各作等边和等边，连接、交于点，连接，求证：．．平分．（1）（2）3.如图，已知与都是等边三角形，连结、，求证：．与所夹锐角为．4.如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点，下列结论中正确的是 ．（只填序号即可）①；②；③．A.≌B.≌C.D.5.如图，已知等边和等边在线段同侧，则下面错误的是（ ）．6.如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连结，以下六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分，恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）．7.已知，如图等边和等边，连接并延长交于点，求的度数．（1）（2）8.已知是等边三角形，点是直线上一点，以为一边在的右侧作等边．如图，点在线段上移动时，直接写出和的大小关系．如图，点在线段的延长线上移动时，猜想的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由．（1）（2）9.如图，在等边中，是边上动点，以为边，向上作等边，连接．求证：．若点运动到延长线上，其它条件不变，是否仍有？2. 等腰直角三角形手拉手核心考点：如果两个等腰直角三角形共顶点，必有手拉手全等．如图，已知和均为等腰直角三角形，结论：（） ≌ ；（）；（）．同理，正方形也有类似的结论．A. B. C. D.10.已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下结论：①；②；③；其中结论正确的个数是（ ）．11.在中，分别以，为边，向外作正四边形，、相交于点．则．12.已知：如图， 在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．则= ．12（1）（2）13.已知，在中，以边为底边作等腰三角形，连接，以为腰作等腰三角形，且．将线段沿着射线的方向平移，得到线段，连接．设，．如图，当时．图根据题意补全图形．求的值．如图，直接写出与之间满足的等量关系．图3. 任意等腰三角形手拉手核心考点：条件：,均为等腰三角形且结论：①≌；②；③；④平分（易忘）（1）（2）14.在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．图图如图，如果，则 ．如图，设，，当点在线段上移动时，请写出、之间的数量关系，请说明理由．（1）（2）15.已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证：≌．试猜想、有何关系，并证明．（1）（2）16.以点为顶点作等腰，等腰，其中，如图所示放置，使得一直角边重合，连接、．图试判断、的数量关系，并说明理由． 延长与交于点试求的度数．17.在中，分别以，为边，向外作正五边形，、相交于点．．18.如图所示，，，，，，则．19.如图，和都是等腰三角形，且，，，，在同一条直线上．求证：．（1）（2）（3）20.已知：和都是等腰直角三角形，．如图①，点在内，求证：．如图②，、、三点在同一条直线上，若，，求的面积．如图③，若，点在上运动，求周长的最小值．4. 任意等腰三角形手拉手核心考点：条件：,均为等腰三角形且结论：①≌；②；③；④平分（易忘）（1）（2）（3）21.如图，，，，、交于点，连接．求的度数．（用表示）求证：平分．如图，若，、分别是、的中点，连接、、．请判断三角形的形状，并证明你的结论．（1）（2）22.如图，在中，，，的平分线交于．求证：．如图，过点作交于，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接、，求证：．（1）（2）（3）23.已知点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点．如图，若，则的度数为 ．图如图，若，连接，则的度数为 （用含的式子表示）．图将图中的绕点顺时针旋转，如图，连接、、，，则的度数为多少？图（1）（2）（3）24.已知是等腰三角形，．特殊情形：如图，当时，有．（填“”，“”或“”）图发现探究：若将图中的绕点顺时针旋转（）到图位置，则（）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图拓展运用：如图，是等腰直角三角形内一点，，且，，，求的度数．图　（1）（2）25.如图，与为等腰三角形，其中，，，、交于．求证：．求和的度数．全等之手拉手模型1. 等边三角形手拉手核心考点：如果两个等边三角形共顶点，必有手拉手全等．核心考点：和均为等边三角形，三点共线．结论：（）≌；（）；（）；（）≌；（）；（）≌；（）；（）为等边三角形；（）；（）平分．【备注】【教法指导】这10个结论，看孩子水平。

DAEBECECB CDCC AC A B 第六讲：手拉手模型模块一：“手来手”模型 知识导航手拉手的一般形式：两个顶角相等并且共顶角顶点的等腰三角形已知：△ABC ，△DBE 均为等腰三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ． 结论：△ABD ≌△CBE 二、手拉手的特殊形式：1．两个共直角顶点的等腰直角三角形已知：△ABC ，△DBE 均为等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90° 结论：△ABD ≌△CBE2．两个共顶点的等边三角形C已知：△ABC ，△DBE 均为等边三角形 结论：△ABD ≌△CBE例1：已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在AB 同侧作等边△ACD 与等边△BCE ，AE 交BD 于F ，连接CF ，求证： (1)BD ＝AE ；(2)∠BFE ＝60°；(3)CF 平分∠AFB ．练习：若【例1】中A 、C 、B 三点不在一条直线上，如下图所示，其它条件不变，问上述三个结论是否成立？证明你的结论．BA例2：（2016年武珞路八上其中第23题改编）如图：△ABD 、△AEC 中，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，DC 、BE 相交于点M ． (1)求证：BE ＝CD (2)求证：CD ⊥BE ； (3)求∠AMD 的度数．练习：（2015年洪山区八上期中第2问）如图，已知直线AB 交x 轴于点A (a ，0)，交y 轴于点B (0，b )，且a ，b 满足|a ＋b|＋(a ＋4)2＝0，若点C 在第一象限，且BE ⊥AC 于点E ，延长BE 到D ，使BD ＝AC ，连OC ，OD ，CD ，试判断△COD 的形状，并说明理由．A B EA E拓展：如图，△ACD 与△BCE 为等腰三角形，其中CA ＝CD ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝ ，BD 、AE 交于F ．(1)求证：AE ＝BD (2)求∠BFE ＝∠AFC 的度数．模块二 “手拉手”模型的应用 题型一：“手拉手”与中点的结合例3 已知如图△ACB 与△CEF 为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECF ＝90°，AE ，BF 交于点O ，M 是AE 中点，N 是BF 的中点，试判断△CMN 的形状．练习：已知△ABC ，分别以AB ，AC 为边作△ABD 和△ACD ，且AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ，连接DC 与BE ，G ，F 分别是DC 与BE 的中点． (1) 如图，若∠DAB ＝60°，则∠AFG ＝_________．DED ECEC BC AB(2)如图，若∠DAB ＝90°，则∠AFG ＝_________．(3) 如图，若∠DAB ＝α，则试探究∠AFG 与α之间的关系．模型三“手拉手”背景下的综合应用例4 （2016年武路八上其中第23题）如图，设△ADC 和△CBE 都是等边三角形，连接AE 、AB 、BD ，∠ABD ＝80°，求∠EAB 的度数．练习（2015年洪山区八上期中）如图，设△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且∠EBD ＝65°，求∠AEB 的度数．例5（2014年江岸区八上期中第24题第（1）（2）问）如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，B(a ，b)且a ，b 满足，D 为y 轴上移动点，以AD 为边做等边△ADC ，直线CB 交y 轴于点E ．(1)如图1，求A 点的坐标(2)如图2，D 在y 轴正半轴上，C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于点M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点的坐标是否发生变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理由．xy xy图1 图2EAOAOBBCD例6 （2016年武昌区八上期中）△AOB 和△ACD 是等边三角形，其中AB ⊥x 轴于E 点， (1)如图，若OC ＝5，求BD 的长度(2)设BD 交x 轴于点F ，求证：∠OF A ＝∠DF A ． (3)如图，若正△AOB 的边长为4，点C 为x 轴上一动点，以AC 为边在直线AC 下方作正△ACD ，连接DE ，求DE 的最小值．ECA B B DAA B D DB 练习：如图△ABC 是直角三角形，记BC ＝a ，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE ，正方形ACFG ，正方形BCMN ，过点C 作BA 边上的高CH 并延长交正方形ABDE 的边DE 于点K ，则四边形BDKH 的面积为_________。

手拉手模型（等线段共端点模型）1、定义：两个顶角相等且共顶点的等腰三角形形成的图形。

2、四个固定结论：判断左右：将等腰三角形顶角（头）朝上，正对读者，读者左边为着手顶点，右边为右手顶点，如图1、图2（1）经典线段相等:左拉左=右拉右找经典全等：包含A．经典线段B.两对等腰（等线段共端点）（2）共顶点旋转模型（证明基本思想“SAS”）核心导角：∠A=∠C则得出∠B=∠D,（八字图模型）核心图形：AB`=AC`,AB=AC ∠B`AC=∠BAC以上给出了连续变化的图形，图中两个阴影部分的三角形全等，注意利用三角形全等性质进项转化边或转化角3、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边找出被旋转的三角形（2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角画出旋转后的三角形4、旋转前后具有以下性质（1）对应线段和对应角分别相等（2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段的夹角都等于旋转角例题讲解：A类1：在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；解题思路：1：出现共顶点的等边三角形，联想手拉手模型2：利用边角边证明全等；3：八字导角得角相等；2：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？等边三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？等腰直角三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？解题思路：1：出现共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手模型2：利用边角边证明全等；3：八字导角得角相等；3：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯手拉手模型模型手拉手A EAEAE DDDB C B C B C图 1 图 2 图 3如图，△ ABC是等腰三角形、△ ADE是等腰三角形， AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠ DAE= 。

结论：△ BAD≌△ CAE。

模型剖析手拉手模型常和旋转联合，在考试中作为几何综合题目出现。

模型实例例 1．如图，△ ADC与△ GDB都为等腰直角三角形，连结AG、CB，订交于点H，问：（ 1）AG与 CB能否相等？C （2） AG与 CB之间的夹角为多少度？H GOADB3．在线段 AE 同侧作等边△ CDE（∠ ACE<120°），点 P 与点 M分别是线段BE 和 AD的中点。

B求证：△ CPM是等边三角形。

C DPMAE1热搜精练1．如图，在△ ABC中， AB=CB，∠ ABC=90°， F 为 AB 延伸线上一点，点 E 在BC上，且AE=CF。

C（1）求证： BE=BF；（2）若∠ CAE=30°，求∠ ACF度数。

EF B A2．如图，△ ABD与△ BCE都为等边三角形，连结AE与 CD，延伸 AE交 CD于点H ．证明： D（1） AE=DC；H（2）∠ AHD=60°； CE（3）连结 HB，HB均分∠ AHC。

AB3．将等腰 Rt △ABC 和等腰 Rt △ ADE 按图①方式搁置，∠ A=90°， AD 边与 AB 边重合， AB=2AD=4。

将△ ADE 绕点 A 逆时针方向旋转一个角度 （0°< >180°）， BD 的延伸线交 CE 于 P 。

（ 1）如图②，证明： BD=CE ，BD ⊥CE ；（ 2）如图③，在旋转的过程中，当AD ⊥ BD 时，求出 CP 的长。

BBBDDDCEACACA13P2EPE4．如图，直线 AB 的同一侧作△两者交点为H。

专题03 手拉手模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型（全等模型）【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

【常见模型及证法】（等腰）（等边）（等腰直角）公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得ABD ACE。

1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC 和ADE 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =； (2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图22．（2022·黑龙江·中考真题）ABC 和ADE 都是等边三角形．(1)将ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接P A ，猜想线段P A 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接P A ，猜想线段P A 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC ==点D ，E 分别在边AC ，BC上，且CD CE ==AD BE =，AD BE ⊥成立．（1）将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时，在图②中补充图形，并直接写出BE 的长度；（2）当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出AD 的长度．模型2.手拉手模型（旋转相似模型） 【模型解读与图示】旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.1．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形CDE ，按如图1的方式摆放，90ACB ECD ∠=∠=︒，随后保持ABC 不动，将CDE △绕点C 按逆时针方向旋转α（090α︒<<︒），连接AE ，BD ，延长BD 交AE 于点F ，连接CF ．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当ED BC ∥时，则α=_____；(2)【初步探究】如图3，当点E ，F 重合时，请直接写出AF ，BF ，CF 之间的数量关系：_________； (3)【深入探究】如图4，当点E ，F 不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在ABC 与CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，若BC mAC =，CD mCE =（m 为常数）．保持ABC 不动，将CDE △绕点C 按逆时针方向旋转α（090α︒<<︒），连接AE ，BD ，延长BD 交AE 于点F ，连接CF ，如图6．试探究AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．2．（2022·山东烟台·中考真题）(1)【问题呈现】如图1，∠ABC和∠ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，∠ABC和∠ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．(3)【拓展提升】如图3，∠ABC和∠ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．①求BDCE的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．3．（2022·山东·东营市一模）【提出问题】（1）如图1，在等边∠ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边∠AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边∠ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰∠ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰∠AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．4．（2022·山西长治·九年级期末）问题情境：如图1，在∠ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且∥DE BC．数学思考：(1)在图1中，BDCE的值为；(2)图1中∠ABC保持不动，将∠ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将∠ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE 与∠ABC之间的数量关系．课后专项训练：1．（2022·湖南·中考真题）如图，点O 是等边三角形ABC 内一点，2OA =，1OB =，OC =AOB ∆与BOC ∆的面积之和为（ ）AB C D 2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC 内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP的延长线上，且AP 的长为2，则2CE = ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④3．（2022·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）如图，已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形OA <OM =ON )，∠AOB =∠MON =90°．(1)如图①，连接AM ，BN ，求证：AOM ∠BON ；(2)若将MON 绕点O 顺时针旋转， ①如图②，当点N 恰好在AB 边上时，求证：22220BN AN N +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若OB =4，ON =3，请直接写出线段BN 的长．4．（2022·山西朔州·九年级期末）综合与实践问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在ABC 中6AB AC ==，30BAC ∠=︒，求BC 的长． (1)探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把ABC 绕点A 顺时针旋转90︒得到ADE ，连接BD ，BE ，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求BC 的长；(2)探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把ABC 绕点A 顺时针旋转120︒后得到ADE ，连接BD ，CE 交于点F ，交AB 于点G ，请你判断四边形ADFC 的形状并证明；(3)奇异小组的同学把图3中的BGF 绕点B 顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF ，发现AF 的长度在不断变化，直接写出AF 的最大值和最小值．5．（2022·湖北武汉·八年级期末）已知ABC 中，∠BAC =60°，以AB 和BC 为边向外作等边ABD 和等边BCE ．(1)连接AE 、CD ，如图1，求证：AE =CD ；(2)若N 为CD 中点，连接AN ，如图2，求证：CE =2AN(3)若AB ∠BC ，延长AB 交DE 于M ，DB ，如图3，则BM =_______（直接写出结果）6．（2022·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图1，在Rt ∠ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点D ，E 分别为边AB ，BC 上的中点，且BD ＝BE(1)如图2，将∠BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 与AD 的关系是 ； (2)如图3，DE ∠BC ，连接AE ，判断∠EAC 的形状，并求出EC 的长； (3)继续旋转∠BDE ，当∠AEC ＝90°时，请直接写出EC 的长．7．（2022·广东·惠州一中八年级期中）ABC 为等边三角形，4AB =，AD BC ⊥于点D ．E 为线段AD 上一点，AE =AE 为边在直线AD 右侧构造等边AEF ．连结CE ，N 为CE 的中点．（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，①连结NG ，求线段NG 的长；②连结ND ，求DNG ∠的大小． （2）如图2，将AEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α．M 为线段EF 的中点．连结DN 、MN ．当30120α︒<<︒时，猜想DNM ∠的大小是否为定值，并证明你的结论．8．（2022•新乡中考模拟）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．9．（2022•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，△BAD＝△CAE，△ABC＝△ADE．（1）求证：△ABC△△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．10．（2022•长垣市一模）在△ABC中，AB＝AC，点D为AB边上一动点，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，连接BE，EC．（1）问题发现：如图①，若α＝60°，则∠EBA＝，AD与EB的数量关系是；（2）类比探究：如图②，当α＝90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝，请直接写出线段EF的长度．11．（2022·山西·寿阳县教研室九年级期末）问题情境：如图1所示，在∠ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，在图1中将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=12BD，EN=12CE，得到图3，请解答下列问题：(1)猜想证明：若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图2中，BD与CE的数量关系是_________．②在图3中，猜想∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)拓展应用：其他条件不变，若AB AC，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN与∠BAC 的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想．12．（2022·辽宁·东港市第七中学一模）如图，在ABC 、ADE 中，AB AC =，AD AE =，设BAC DAE α∠=∠=．连接BD ，以BC 、BD 为邻边作BDFC ，连接EF ．(1)若60α=︒，当AD 、AE 分别与AB 、AC 重合时（图1），易得EF CF =．当ADE 绕点A 顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段EF 、CF 的数量关系________；(2)若90α=︒，当ADE 绕点A 顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段EF 、CF 的数量关系，并证明你的结论；(3)若α为任意角度，6AB =，4BC =，3AD =，ADE 绕点A 顺时针旋转一周（图4），当A 、E 、F 三点共线时，请直接写出AF 的长度．。

(完整版)经济模型手拉手模型经济模型手拉手模型摘要经济模型手拉手模型是一种有效的经济合作模式，通过形成紧密的合作网络，促进经济发展和资源共享。

本文介绍了经济模型手拉手模型的概念、特点和实施步骤，并分析了其在促进区域发展、促进企业合作和提高经济效益等方面的优势。

1. 概念经济模型手拉手模型是指在一个区域或一个领域内，不同经济主体之间建立紧密的合作网络，通过共享资源、互相支持和合作创新，实现经济共同发展的模式。

2. 特点- 多方参与：经济模型手拉手模型中涉及的经济主体包括政府、企业、高校、科研机构等多个方面，形成了多方参与的格局。

- 资源共享：通过合作，不同经济主体可以共享资源，推动优势互补，提高资源的利用效率。

- 提供支持：经济模型手拉手模型鼓励不同经济主体间互相支持，通过技术转移、创新合作等方式提供支持，促进经济发展。

- 创新推动：经济模型手拉手模型注重合作创新，通过共同研发、技术转移等方式推动科技进步和产业升级。

3. 实施步骤实施经济模型手拉手模型需要以下步骤：1. 建立联盟：各经济主体共同协商组成联盟，明确联盟的目标和任务。

2. 制定合作方案：根据各方的资源和需求，制定合作方案，明确合作的领域和方式。

3. 共享资源：各方通过资源共享，实现优势互补，提高资源的利用效率。

4. 支持合作：各方提供技术支持、资金支持等形式的合作支持，推动合作项目的顺利进行。

5. 评估调整：不断评估合作效果，及时调整合作方案，确保合作模式的有效运行。

4. 优势和意义经济模型手拉手模型在促进区域发展、促进企业合作和提高经济效益方面具有以下优势和意义：- 提升区域竞争力：通过合作创新和资源共享，能够提升整个区域的经济竞争力。

- 促进企业合作：不同企业之间可以共享资源，加强合作，促进企业发展和规模扩大。

- 提高经济效益：通过合作创新和资源共享，可以提高资源的利用效率，提升经济效益。

- 推动科技进步：合作创新能够促进科技的进步和产业的升级，推动经济发展。