八年级数学上册二次根式二次根式的除法同步练习2含解析 (2)

填空题1. 有意义的条件是 。

【答案】x ≥4【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥0，解得x ≥42. 当__________【答案】-2≤x ≤21【分析】x+2≥0，1-2x ≥0解得x ≥－2，x ≤213. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。

【答案】m ≤0且m ≠﹣1【分析】﹣m ≥0解得m ≤0，因为分母不能为零，所以m ＋1≠0解得m ≠﹣14. 当__________x 是二次根式。

【答案】x 为任意实数【分析】﹙1－x ﹚2是恒大于等于0的，不论x 的取值，都恒大于等于0，所以x 为任意实数5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。

【答案】﹙x 2＋3﹚﹙x ＋3﹚﹙x －3﹚，﹙x －2﹚2【分析】运用两次平方差公式：x 4－9＝﹙x 2＋3﹚﹙x 2－3﹚＝﹙x 2＋3﹚﹙x ＋3﹚﹙x －3﹚，运用完全平方差公式：x 2－22x ＋2＝﹙x －2﹚26. 2x =，则x 的取值范围是 。

【答案】x ≥0【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x ≥0，解得x ≥07. 2x =-，则x 的取值范围是 。

【答案】x ≤2【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－x ≥0，解得x ≤28. )1x p 的结果是 。

【答案】1－x【分析】122+-x x ＝2)1(-x ，因为()21-x ≥0，x ＜1所以结果为1－x9. 当15x ≤p 5_____________x -=。

【答案】4【分析】因为x ≥1所以()21-x ＝1-x ，因为x ＜5所以x －5的绝对值为5－x ，x －1＋5－x ＝410. 把的根号外的因式移到根号内等于 。

【答案】﹣a -【分析】通过a a 1-有意义可以知道a ≤0，a a 1-≤0，所以a a 1-＝﹣⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯a a 12＝﹣a -11. =成立的条件是 。

2019-2020年八年级数学上册2.7二次根式二次根式的混合运算同步练习2含解析新版北师大版一、选择题1.计算2-的结果是（ ） A.-7B. C. D.2．下列计算正确的是( )．A ．b a b a b a -=-+2))(2(B ．C ．32)23(6+=+÷D ．641426412)232(2-=+-=- 3．等于( )．A ．7B ．C ．1D ． 4．下列计算正确的是( )．A ．B ．C ．D ．5.计算的结果是（ ）A. 6B.C.D. 12二、填空题6.若三角形的一边长为cm ，这条边上的高为cm ，则此三角形的面积是 cm 2.7．合并二次根式：(1)________；(2)________．8．(1)规定运算：(a *b )=｜a －b ｜，其中a ，b 为实数，则_______．(2)设，且b 是a 的小数部分，则________．三、解答题计算下列各题：9．10．11． 12．13．14.对于任意实数a，b,定义一种运算“&”如下:a&b = a(a -b) + b(a+b)，如3&2=3×(3-2) + 2×(3 + 2) = 13，求&的值.15．已知，求49(2+-+xx的值．+)25(4)516．已知求．(精确到0.01)17.阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务.斐波那契(约1170〜1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数. 斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列的第n个数可以用表示(其中，n≥1）这是用无理数表示有理数的一个范例.任务:请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.参考答案1.D 解析原式()222653266=--+=---=--.故选D. 2．D ．3．B ．4．D ．5.D 解析：(12===,故选D.6.解析根据三角形面积公式,得))13362S =⨯⨯=+. 7．(1) (2)8．(1)3；(2)9．10．11．12．13．(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．14.解:由a&b ＝a(a-b)＋b(a ＋b)得253== 15．4．16．约7.70．17.解:第1个数:当n ＝1时,1.==⎭第2个数:当n ＝2时,=+⎭⎝⎭＝1.837432 9238 鈸33413 8285 芅V35561 8AE9 諩 38771 9773 靳40473 9E19 鸙ue(-28586 6FAA 澪。

初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题（含解析）一•选择题（共7小题）1 •若式子.有意义，则x的取值范围为（）x-3A. x>2B. X M3C. x> 2 或X M3D. x>2 且X M32 •下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A.三B.产C.上D.3•如果■、. ’•二；,那么X取值范围是（）A. X<2B. x v2C. X>2D. x>24. 若1v x v 2,则|—卜：「的值为（）A. 2X- 4B.- 2C. 4- 2XD. 25. 下列各式计算正确的是（）A.匚+ 二二二B. 4 二-3 二=1C. 2 二X 3 二=6 二D. =十二=36. 若.T订是正整数，最小的整数门是（）A. 6B. 3C. 48D. 27. 下列根式中，不能与=合并的是（）二.填空题（共7小题）8. 计算"•'的结果是—.V39. _______________________________________________________ 三角形的三边长分别为3、m、5,化简｛（卜™）'-心旷对星= _____________________ .10 .若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简：.ii .- [--= ------------ . - -11. __________________________________________________ 若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a= _____________________________ .第2页(共24页)12. 计算：（匚+1）（二-1）= ______13 .已知x、y都是实数，且y= •- 1-' +4，则y X= ____解答题(共26小题) 计算：—_.计算：(占-1)(弋二+1) — (— ) 2+| 1 - ：| —( n- 2) °+七.32 - - 先化简，再求值：-亠？亠-亠，其中a=二+1. ,-1 丁 1计算：一^+「(「- _) + -.V2-1当x=wL''」时，求代数式x 2+5x - 6的值. 化简求值：：「'七，求歸的值.已知a ， b , c 在数轴上如图所示，化简:“丁 - ^+卜，+ . I. I| b0 c-J ------------- 1 ----- 1—>计算3- 9.；.二+3 =(~+不)+ (九上-7)计算：匚+ (- 2013) °-(石)-1+| - 3|二二-」x r +.三.先化简，再求值：(「一+「)宁「，其中a=^+1.aT a 2-2a+La-1已知 a= (*) -1，，c= (2014- n)d=|1-走|，15. 16. 17.18. 19. 20. 21.aI22. (1) (2)23.(1) (2)24. 25.(1) (2)26. 27.14.如果厂〔+ . . — =0,那么第2页(共24页)化简这四个数；把这四个数，通过适当运算后使得结果为2.请列式并写出运算过程.先化简：(2x+1) 2+ (x+2) (x- 2) - 4x (x+1)，再求值，其中x=-^p-.£先化简，再求值，其中■■- ;.x+2 x+228•若a 、b 为实数，且b 二•「•+4,求a+b 的值.a+729•计算：（二―二）2-（二+ 二）2. 30. 计算: (1)4 三一叨汁4 .：(2) (- 2.r )J(〒 +3 了 - J) 31. 计算:(1)4- ■ . : - I(2)]汁.| T _ ： I ' -•-]32. 计算：(-3) °- =+| 1 -二|+ -.V3+V236. 计算与化简（1），二1_ !一 （2）_ 「 _ .37. （1） 一个正数的平方根是2a - 3与5 -a ,求这个正数.（2）已知x 、y 都是实数，且■ ■-> ■-,求y 的值.38. 若x ，y ，a ，b 满足关系式〒-+ =丄;，二〔丨心 •，试求x ， y 的值.39. 已知a, b 为等腰三角形的两条边长，且 a ，b 满足b=「+仁】】+4，求此 三角形的周长. 40.已知 a , b , c ABC 的三边长，且（ =+ ） 2=3 （甘二二+!汇+ ■）,试说明这个三角形是什么三角形.42•计算:（"-1）（甘.:■+〔）—（—一） 2+| 1 -计—（冗―2） 0+ ■:. 33.先化简，，其中x=' ,34.已知：._汁1「.二，工.41.计算:343• （1）计算：Tx - 4X ■ X（1- "） °;2 k2 k2 ’___ （2）先化简，再求值：（_:_- +「）宁，其中a, b满足-■ +|ba2-2ab+ b2a2-ab-1 =°.244•先化简，再求值：---------- ----- ，其中a= =+1.a2-l a-145 .计算：一+ （二-二）+ 匚.V2~l46•计算：5 +•不-「X ；+.〒- =初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题（含解析）参考答案与试题解析一•选择题（共7小题）1. （2016?乐亭县一模）若式子：：有意义，则x的取值范围为（）x-3A. x>2B. X M3C. x> 2 或X M3D. x>2 且X M3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解. 【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x-2>0且x- 3M 0,解得：X>2且X M 3.故选D.【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义. 考查的知识点为：分式有意义，分母不为0; 二次根式的被开方数是非负数.2. （2015?锦州）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A、 B.三C. - D.【分析】A、B选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式.【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项错误；B、不是最简二次根式，故本选项错误；C、不是最简二次根式，故本选项错误；D、是最简二次根式，故本选项正确；故选D.【点评】本题考查了对最简二次根式定义的应用，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幕的指数等于或大于2，也不是最简二次根式.3. （2015?维坊模拟）如果.，那么x取值范围是（）A. x<2B. x v2C. x>2D. x>2【分析】根据二次根式的被开方数是一个》0的数，可得不等式，解即可.【解答】解:T」=2- x,x—2w 0,解得x<2.故选A.【点评】本题考查了二次根式的化简与性质.解题的关键是要注意被开方数的取值范围.4. （2016?呼伦贝尔）若1v x v2,则.■.. 的值为（）A. 2x —4B.—2C. 4—2xD. 2【分析】已知1v x v2,可判断x —3v0, x—1>0,根据绝对值，二次根式的性质解答. 【解答】解：••• 1vxv 2,•- x—3v 0, x —1 >0, 原式=|x-3|+ :：1'=|x—3|+| x—1|=3 —x+x —1=2.故选D.【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a>0）的代数式叫做二次根式.当a>0时，■■表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）.2、性质：「=| a| .5. （2015?潜江）下列各式计算正确的是（）A.匚+ 二二二B. 4 二—3 二=1C. 2 7x 3 二=6 二D. =* 二=3【分析】分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可.【解答】解：A.好［好二，无法计算，故此选项错误，B4.；t- 3化二「；，故此选项错误，C.2二x 3二=6X 3=18，故此选项错误,故选D.【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键.6. （2015?安徽模拟）若"E-是正整数，最小的整数门是（）A. 6B. 3C. 48D. 2【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值.【解答】解：.冇=4帀，由于.冇是正整数，所以n的最小正整数值是3, 故选B.【点评】此题考查二次根式的定义，解答此题的关键是能够正确的对二次根式进行化简.7. （2015?凉山州）下列根式中，不能与二合并的是（）A. B ；C , D--【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果.【解答】解：A、；-2_，本选项不合题意；D、」；二；'「，本选项不合题意;故选C.【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键.二•填空题（共7小题）8. （2015?南京）计算一的结果是5 .【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可.【解答】解：——-=;莎X -=5.V3故答案为：5.【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键.9. （2016?山西模拟）三角形的三边长分别为3、m、5，化简辰费-皿乔= 2m-10 .【分析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可.【解答】解：•••三角形的三边长分别为3、m、5，二2v m v8，•••-：_,「「；=m- 2-（8-m）=2m- 10.故答案为：2m- 10.【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系.故答案为：-a- b.【点评】正确地根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断.11. （2016?山西模拟）若二次根式沁…-是最简二次根式，则最小的正整数a=2 .【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.【解答】解：二次根式/.；.小是最简二次根式，则最小的正整数a=2, 故答案为：2.【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个10（2016春？惠山区期末）若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，贝U化简：.,| ■-〔-一= -a-b . - »【分析】先根据数轴上各点的位置判断出a，b的符号及a+c与b-c的符号，再进行计算即可.【解答】解：由数轴可知，c v b v0v a, |a| v|c|，••• a+c v 0，b- c>0，•原式=-（a+c）-（b - c）= - a - b.条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.12. （2014?畐州）计算：（「+1）（ _- 1）= 1 .【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.就可以用平方差公式计算.结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）.【解答】解：（匚+1）（二-1）= ：「故答案为：1.【点评】本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单.13. （2014?苏州模拟）已知x、y都是实数，且y= J 垃-3+V3-X+4，则y x= 64【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值代入y x进行计算即可.【解答】解:Ty=.. -<+4，解得x=3，.y=4，••• y x=43=64. 故答案为：64.【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件及有理数的乘方，能根据二次根式有意义的条件求出x的值是解答此题的关键.14. （2015春？泰兴市期末）如果除\」+ ==0,那么【分析】先由非负数的性质求得a, b的值，再代入原式化简计算可得答案.【解答】解：•••化-+『—=0,而心0, 》0;• a=1, b=2•原式=1+ _=1+ 7.故本题答案为：1+ ".【点评】本题考查了二次根式的化简，还利用了非负数的性质：若两个非负数的和为0,则这两个数均为0.三.解答题（共26小题）15. （2016?德州校级自主招生）计算：「.丄.-【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式=二-- 二+2二然后利用二次根式的性质化简后合并即可.【解答】解：原式=山-：二+2 7=4 —空并+2 ■■=4+聲汇【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算.16. （2014?张家界）计算：（■—1）（，+1）-（-［）—2+| 1 — : —（n—2）0+匚.【分析】根据零指数幕、负整数指数幕和平方差公式得到原式=5 —1 —9+匚—1-1+2匚，然后合并即可.【解答】解：原式=5 - 1-9+匚-1 - 1+2 -=-7+3 匚.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式， 再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕、负整数指数幕.通分和约分，本题难度不大.【分析】先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并. 【解答】解：原式=匚+1+3 - 3匚+匚【点评】本题考查了二次根式的混合运算， 解答本题的关键是掌握二次根式的化 简和乘法法则.17. （2016?安徽三模）先化简，再求值:2-T 亠-"，其中 a=「+1.【分析】首先把‘ 2节寸1写成 泌'，然后约去公因式（a+1），再与后一项式子进行通分化简，最后代值计算. 【解答】解: oa +2N +1 aa 2-l 蔦孑= ___ a_=a+l _ n二-I--I【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点, 解答本题的关键是分式的18. （2015?闵行区二模）计算:V2-1卜二（二-二）+ 匚.19. （2015?湖北模拟）当x 二匸「时，求代数式X 2+5X -6的值.【分析】可直接代入求值. 【解答】解：当x 二匸〕时，2x +5x - 6=（L - ） 2+5 （也■■）- 6 =6 - 2 "+5 - - 5- 6 =2%「! ■.【点评】主要考查二次根式的混合运算，要掌握好运算顺序及各运算律.【分析】本题需先对要求的式子和已知条件进行化简，再把所得的结果代入即可 求出答案. ：(a+b) (d~b)3(a+b)-+1; b= \「，./-b '=(血+1?_(竝_¥=2人卜 ::知条件进行化简是本题的关键.21 . （ 2016春？日照期中）已知a ，b ，c 在数轴上如图所示，化简： --I - - -： :，-.a b0 ciiIi =20. （2016春？潮南区期中）化简求值:2 k 2 求-的值.【解答】解:【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值, 在解题时要能对要求的式子和已3a+3b【分析】根据数轴abc的位置推出a+bv 0，c- a>0，b+cv 0，根据二次根式的性质和绝对值进行化简得出-a+a+b+c- a- b- c，再合并即可.【解答】解：•••从数轴可知：a v b v O v c,••• a+b v0, c- a>0, b+c v0,••• r—|a+b|+ +| b+c|=-a+a+b+c - a - b - c =-a.【点评】本题考查了二次根式的性质，实数、数轴的应用，关键是能得出-a+a+b+c-a- b - c.22. (2014春？汉阳区期末)计算(1) 3 . :■: - 9.丄+3 . .:■:(2)(三+不)+ (九上一7)【分析】(1)首先对每一项二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可，(2)首先对每一项二次根式进行化简，然后去掉括号，进行合并同类二次根式即可.【解答】解：(1)原式=12二-3二+6二=15 「；，(2)原式=4 二+2 二+2 二--=6 '+V.:;.【点评】本题主要考查二次根式的化简，合并同类二次根式，关键在于正确的化简二次根式，正确的去括号，认真的进行计算.23. (2014春？兴业县期末)计算：(1)匚+ (-2013) 0-( 1 ) -1+| - 3|(2).丘十二-.1 x y I .•：+. =.【分析】(1)根据零指数幕和负整数指数幕的意义得到原式=3+1 - 2+3,然后进行加减运算；(2)根据二次根式的乘除法则运算.【解答】解：（1）原式=3+1 - 2+3=5；（2）原式=…： 1：； -'一.•. i _+2訂」=4 —.卜+2”;.扌叭 =4+ *（i .【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式， 再进 行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕和负整数指 数幕.24. （2016?仙游县校级模拟）先化简，再求值：（二+）- 一，其中旷1 a -2a+la_1a= T +1.【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为厶，代入a 的值即可得出结论. 【解答】解：原式=（止+ 「 ）^■，丹（a -l ） 2 ^-1=6+1）（旷1）+1 ? aT: ?，_ a=..当a=二+1时，原式=丄=二！a-l 3【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原式化简成-.本题属a -l于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据 求值是关键.（1）化简这四个数;（2）把这四个数，通过适当运算后使得结果为 2.请列式并写出运算过程.25. （2015?杭州模拟）已知a=（）c= (2014— n) 0, d=| 1 — "I ，【分析】（1）根据零指数幕和负整数指数幕和分母有理化求解;(2)可列式子为a+b-3c-d，然后把a b、c、d的值代入计算.【解答】解：(1)a=d)-1=3, b= - =匚+1, c=(2014-n °=1, d=| 1 —匚| =匚3 V2-1-1,(2) a+b - 3c- d=3+ 匚+1 - 3X 1 -匚+1=2.【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕和负整数指数幕.26. (2014?焦作一模)先化简：(2x+1) 2+ (x+2) (x-2)- 4x (x+1)，再求值, 其中* -.2【分析】根据整式的运算法则将式子进行化简，再代值计算.【解答】解：原式=4X+4x+1+x2- 4 - 4x2- 4x=«- 3,当厂时,【点评】本题不是很难，但是在合并同类项时要仔细.27. (2010?莱芜)先化简，再求值：二；:'，其中弓.孟* u 矗T £【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值.本题注意x-2看作一个整体.【解答】解：原式=三'，:，一—…x+2 x+2=X2-16X X+2.■ - '■ ■:=::■: - ■ ■:-=■ ■:=-(x+4),当时，原式= 一■■=_■ = :■:.【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解; 第15页(共24页)除法要统一为乘法运算.28. （2016春？澄城县期末）若a、b为实数，且b二-二+4,求a+b的值.【分析】根据二次根式有意义的条件列出方程，分别求出a、b的值，计算即可. 【解答】解：由题意得，a2- 1 >0, 1-a2>0, 解得，a=± 1，则b=4，••• a+b=3或5.【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.29. （2016春？闵行区期末）计算：（「- -）2-（「+ _）2.【分析】先进行完全平方公式的运算，然后合并.【解答】解：原式=3 - 2 7+2 - 3 -2「- 2=-4 '■.【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握完全平方公式以及二次根式的合并.30. （2016春?定州市期中）计算：（1） 4 ~+ . ■-口- +4 ■:（2）（- 2 .h） J （于+3」-7）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算. 【解答】解：（1）原式=4 ~+3 :-2 ~+4 -=7 +2 ：;（2）原式=4X 12-（5 二+ 二-4 二）第仃页（共24页）=48宁（2 二）=8【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式， 再进 行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.31. （2015春?黔南州期末）计算：（“ ":•…ii - 〔 •丄:（2） 「汁「「T 一 〕 「一— 【分析】（1）先化简，再进一步去掉括号计算即可；（2）利用二次根式的性质化简，平方差公式计算，再进一步合并即可.【解答】解：（1）原式=2「+• - + 7 2 4=3 一-二 4（2）原式=3 - 1 - 3 - 1+ 二+1='：-1.【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.【解答】解：:::- ::=1 - 3 二 + 匚-1 +=-3 ■+ ■:+ ■— ■:,=-2 =、.【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值的性质， 在进行此类运 32. （2011?上海）计算: (-3) 0- =+| 1 -匚|+ 1V3+\/2【分析】观察，可以首先去绝对值以及二次根式化简,再合并同类二次根式即可.算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.其中 x= , y=27. 2【分析】首先对二次根式进行化简，然后去括号、合并二次根式即可化简，然后 把x , y 的值代入求解.【解答】解：原式=（6.「+3 7T ） ；+6.「）=9 二—6 二当 x= , y=27 时, 2=---【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对二次根式进行化简是关键.【分析】本题需先对a 的值和要求的式子进行化简，然后把a 的值代入化简以后 的式子即可求出结果.a v 1，33. （2015春？封开县期中）先化简，再求值 丁34. （2003?济南）已知:)-第仃页（共24页）=—2 —:.【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解题时要能灵活应用二次根式化简的方法是本题的关键.35. （2015秋？哈尔滨校级月考）计算】【分析】把二次根式的被开方数相除，再根据二次根式的性质开出来即可.【解答】解：原式=二壯 b=2a.【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除的应用，主要考查学生的 计算和化简能力.36. （2012?深圳模拟）计算与化简（1） 乙〉］.厂：（2） -「儿【分析】（1）先化简二次根式，再进行计算即可;（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.=「 2:：;2 一岳•(2) 原式=2a 2 =+3a?5a 二x 3a 二 2 -3 一、 【解答】解：（1）原式=（(2)根据二次根式的被开方数是非负数，列出关于x的不等式组，然后解得x值，从而求得y值；最后将它们代入所求的代数式求值即可.【解答】解：(1)设该正数为x.则由题可知2a- 3+5 - a=0,解得a二—2,所以2a- 3=- 7,所以x=49,即所求的正数是49;(2)根据题意，得x_3^0解得x=3，••• y=4；.•. y x=43=64，即y x=64.【点评】此题主要考查了平方根的性质，注意如果一个数的平方等于A,那么这个数就叫做A的平方根，也叫做A的二次方根.一个正数有正、负两个平方根，他们互相为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根.38. 若x, y, a, b满足关系式心T+ 一-巳—m x "-:,试求x, y的值.【分析】由a+b- 2014》0, 2014-( a+b)>0，所以a+b=2014.再利用两个根式的和等于0,即每一个被开方数等于0.【解答】解：依题意，得a+b- 2014》0, 2014-( a+b)》0，解得a+b=2014.所以二一■:+、.U =0,3x- 6=0, 2y- 7=0,x=2, y=.【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念：式子-(a》0)叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0,这几个非负数都为0.39. (2014春？黄梅县校级期中)已知a, b为等腰三角形的两条边长，且a, b 第20页(共24页)满足b= - 1+ ：一+4，求此二角形的周长.【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，继而得出b的值，然后代入运算即可.【解答】解:•••.—,、.：有意义，--a=3,b=4,当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4=10;当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3=11.【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，注意掌握二次根式有意义：被开方数为非负数.40. （2013秋？川汇区校级月考）已知a, b,c ABC的三边长，且（：+幕+ 一）2=3 （V込初二辰），试说明这个三角形是什么三角形.【分析】先利用完全平方公式展开后合并得到a+b+c-.亍-丁- =o,再利用配方法得到（1-”；.北）2+ （”；.北-）2+ （-I - ）2=0,然后根据非负数的性质得到灵-血=0,血-讥=0，灵-叭=0，所以a=b=c.【解答】解：•（空和+心+ ）2=3 （叮'），a+b+c+2、匕：+2 了：+2 丨—3 .-1- 3 : - 3 ：'L ；=0，a+b+c- 1’- 心：- 门：=0，2a+2b+2c- 2 -1 ■ - 2 -■ —2门：=0，••（ 1-“：「.；）2+ （'，-吋二）2+ （1-悩二）2=0,•••灵-麻=0，亦-讥=0，讥-讥=0,• a=b=c,•这个三角形为等边三角形.【点评】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.41. （2016?德州校级自主招生）计算- "-''::.=4—遽 ci +2' -,y 1;'.=4+*（匚. 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各 二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算.42. （2014?张家界）计算：（山—1） （*二+1）-（-二）2+| 1-灯:—（ n — 2） 30+ ".【分析】根据零指数幕、负整数指数幕和平方差公式得到原式 =5 — 1 — 9+匚—1 —1+2匚，然后合并即可.【解答】解：原式=5- 1 — 9+ ~— 1 — 1+2 -=—7+3 _.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕、负整 数指数幕. 43. （2014?荆门）（1）计算： 丁X 〒-4X X （ 1—二）°;2.2 k 2 ________________________________________（2）先化简，再求值：（”+「）- ，其中a ，b 满足 +|b a -2ab+b 2 "a a -ab—二 | =0. 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幕的意义得到原式X - X 仁2匚-.，然后合并即可； 4（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算， 再计算括号内的运算,【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式 ：+2 ，然后利 用二次根式的性质化简后合并即可.然后约分得到原式=「，再根据非负数的性质得到a+仁0, b—二=0，解得a=—1，b b=二，然后把a和b的值代入计算即可.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式, 再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕、非负 数的性质和分式的化简求值.44. （2016?安徽三模）先化简，再求值：-亠‘亠-:，其中a=「+1.a 2-l H2 2 【分析】首先把自+严+1写成 £辛） 然后约去公因式（a+1）,再与后一 项式子进行通分化简，最后代值计算.2【解答】解：亠_'一 _ ,32-1 旷 1= ____ a：.I ； U.：...=曰+1 a=2匚-匚-4X - 4(2)原式=[："''- (a-b)=(丁一： — ')?a-b a-b=\- ?oA-_i-b-」L ： ? I.:a ] ?3(自-b)a-b b 2 =- 一，T .丨 +| b - ；|=0,••• a+1=0, b - =0,解得 a= - 1, b= ■:,当 a=- 1,【解答】解：（1）原式= b=「时,【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点，解答本题的关键是分式的 通分和约分，本题难度不大. 45. （2015?闵行区二模）计算： 一二（二-7） + 匚. V2-1 【分析】先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并. 【解答】解：原式=匚+1+3-3匚+匚 =4 -'：. 【点评】本题考查了二次根式的混合运算， 解答本题的关键是掌握二次根式的化 简和乘法法则. Y5 2 V4 Y5 【分析】先二次根式化为最简二次根和根据二次根式的乘除法得到原式 =：+ ：- 丨+3灯.宀"=2 - - 1+3,然后合并即可.=2 _- 1+3=2 _+2.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式, 再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算.,31且【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简是解此题的关键.37. （2009春?岳阳校级期末）（1） 一个正数的平方根是2a - 3与5 - a ,求这个 正数. （2）已知x 、y 都是实数，且 八门，求y "的值.【分析】（1）因为一个正数x 的平方根有两个，且互为相反数，由此即可得到关 于a 方程，解方程即可得a 的值，然后代入求x ；46. （2015春？石林县期末）计算: V4 5【解答】/。

二次根式专题练习（含答案）一．选择题（共10小题）1．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③2．已知：m，n是两个连续自然数（m＜n），且q=mn．设，则p（）A．总是奇数B．总是偶数C．有时是奇数，有时是偶数D．有时是有理数，有时是无理数3．化简二次根式的结果是（）A．B． C．D．4．已知，，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．95．若实数a满足方程，则[a]=（），其中[a]表示不超过a的最大整数．A．0 B．1 C．2 D．36．若实数x，y满足x﹣y+1=0且1＜y＜2，化简得（）A．7 B．2x+2y﹣7 C．11 D．9﹣4y7．已知a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．10B．12C．10 D．158．下列计算中正确的是（）A． B．C．D．9．若实数a，b满足+=3，﹣=3k，则k的取值范围是（）A．﹣3≤k≤2B．﹣3≤k≤3C．﹣1≤k≤1D．k≥﹣110．已知，，则的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共8小题）11．二次根式中字母x的取值范围是．12．若y=++2，则x y=．13．若=3﹣x，则x的取值范围是．14．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=．15．已知xy=3，那么的值是．16．当﹣4≤x≤1时，不等式始终成立，则满足条件的最小整数m=．17．若a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：=．18．设，，，…，．设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．三．解答题（共10小题）19．化简求值：，其中．20．已知：a=，b=．求代数式的值．21．已知：，求的值．22．阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）的值；（3）（n为正整数）的值．23．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：．24．已知y=+2，求+﹣2的值．25．已知x=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985．试求正整数n．26．观察下列等式：①==﹣1②==﹣③==﹣…回答下列问题：（1）化简：=；（n为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++．27．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．28．阅读下列解题过程：；．请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=；（2）利用上面所提供的解法，请化简：的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】由ab＞0，a+b＜0先求出a＜0，b＜0，再进行根号内的运算．【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0①=，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），②•=1，•===1，（故②正确），③÷=﹣b，÷=÷=×=﹣b，（故③正确）．故选：B．【点评】本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a＜0，b＜0．2．已知：m，n是两个连续自然数（m＜n），且q=mn．设，则p（）A．总是奇数B．总是偶数C．有时是奇数，有时是偶数D．有时是有理数，有时是无理数【分析】m、n是两个连续自然数（m＜n），则n=m+1，所以q=m（m+1），所以q+n=m（m+1）+m+1=（m+1）2，q﹣m=m（m+1）﹣m=m2，代入计算，再看结果的形式符合偶数还是奇数的形式．【解答】解：m、n是两个连续自然数（m＜n），则n=m+1，∵q=mn，∴q=m（m+1），∴q+n=m（m+1）+m+1=（m+1）2，q﹣m=m（m+1）﹣m=m2，∴=m+1+m=2m+1，即p的值总是奇数．故选A．【点评】本题的关键是根据已知条件求出p的值，判断p的值．3．化简二次根式的结果是（）A．B． C．D．【分析】根据二次根式找出隐含条件a+2≤0，即a≤﹣2，再化简．【解答】解：若二次根式有意义，则﹣≥0，﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2，∴原式==．故选B．【点评】本题考查了二次根式的化简，注意要化简成最简二次根式，且不改变原式符号．4．已知，，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9【分析】观察已知等式可知，两个括号里分别有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可由已知m、n的值移项，平方得出m2﹣2m，n2﹣2n的值，代入已知等式即可．【解答】解：由m=1+得m﹣1=，两边平方，得m2﹣2m+1=2即m2﹣2m=1，同理得n2﹣2n=1．又（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，所以（7+a）（3﹣7）=8，解得a=﹣9故选C．【点评】本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，可能使运算复杂，可以先求部分代数式的值．5．若实数a满足方程，则[a]=（），其中[a]表示不超过a的最大整数．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】对已知条件变形整理并平方，解方程即可得到a的值，求出后直接选取答案．【解答】解：根据二次根式有意义的条件，可得a≥1．原方程可以变形为：a﹣=，两边同平方得：a2+1﹣﹣2a=a﹣，a2+1﹣2=a．a2﹣a﹣2+1=0，解得=1，∴a2﹣a=1，a=（负值舍去）．a≈1.618．所以[a]=1，故选B．【点评】此题首先能够根据二次根式有意义的条件求得a的取值范围，然后通过平方的方法去掉根号．灵活运用了完全平方公式．6．若实数x，y满足x﹣y+1=0且1＜y＜2，化简得（）A．7 B．2x+2y﹣7 C．11 D．9﹣4y【分析】求出y=x+1，根据y的范围求出x的范围是0＜x＜1，把y=x+1代入得出+2，推出+2，根据二次根式的性质得出|2x+1|+2|x﹣3|，根据x的范围去掉绝对值符号求出即可．【解答】解：∵x﹣y+1=0，∴y=x+1，∵1＜y＜2，∴1＜x+1＜2，∴0＜x＜1，∴，=+2，=+2，=+2，=|2x+1|+2|x﹣3|，=2x+1+2（3﹣x），=7，故选A．【点评】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，绝对值等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行化简和计算的能力，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目，有一定的难度．7．已知a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．10B．12C．10 D．15【分析】由a﹣b=2+，b﹣c=2﹣可得，a﹣c=4然后整体代入．【解答】解：∵a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，∴a﹣c=4，∴原式====15．故选D．【点评】此题的关键是把原式转化为的形式，再整体代入．8．下列计算中正确的是（）A． B．C．D．【分析】根据二次根式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、+不能进行运算，故本选项错误；B、==×，负数没有算术平方根，故本选项错误；C、x﹣x=（﹣）x，故本选项正确；D、不能进行运算，=a+b，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了二次根式的性质与混合运算，是基础题，比较简单，但容易出错．9．若实数a，b满足+=3，﹣=3k，则k的取值范围是（）A．﹣3≤k≤2B．﹣3≤k≤3C．﹣1≤k≤1D．k≥﹣1【分析】依据二次根式有意义的条件即可求得k的范围．【解答】解：若实数a，b满足+=3，又有≥0，≥0，故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则﹣3≤≤0 ②①+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k，即﹣3≤3k≤3，化简可得﹣1≤k≤1．故选C．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．已知，，则的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先分母有理化求出a、b的值，再求出a2+b2的值，代入求出即可．【解答】解：∵a===+2，b==﹣2，∴a2+b2=（a﹣b）2+2ab=42+2×（5﹣4）=18，∴==5，故选C．【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，关键是求出a、b和a2+b2的值，题目比较好，难度适中．二．填空题（共8小题）11．二次根式中字母x的取值范围是x≥3．【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．【解答】解：当x﹣3≥0时，二次根式有意义，则x≥3；故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、不等式的解法；熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．12．若y=++2，则x y=9．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．【解答】解：y=有意义，必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴x y=32=9．故答案为：9．【点评】本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出x y的值是解此题的关键．13．若=3﹣x，则x的取值范围是x≤3．【分析】根据二次根式的性质得出3﹣x≥0，求出即可．【解答】解：∵=3﹣x，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3．【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，=a，当a＜0时，=﹣a．14．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．15．已知xy=3，那么的值是±2．【分析】先化简，再分同正或同负两种情况作答．【解答】解：因为xy=3，所以x、y同号，于是原式=x+y=+，当x＞0，y＞0时，原式=+=2；当x＜0，y＜0时，原式=﹣+（﹣）=﹣2．故原式=±2．【点评】此题比较复杂，解答此题时要注意x，y同正或同负两种情况讨论．16．当﹣4≤x≤1时，不等式始终成立，则满足条件的最小整数m=4．【分析】根据x的取值范围确定m的取值范围，然后在其取值范围内求得最小的整数．【解答】解：∵﹣4≤x≤1，∴4+x≥0，1﹣x≥0，∴不等式两边平方得：m2＞5+2∵当x=﹣1.5时，最大为2.5，∴m2＞10∴满足条件的最小的整数为4．故答案为4．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是确定m的取值范围．17．若a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：=3．【分析】先根据数轴判断出a、b、c的大小及符号，再根据有绝对值的性质及二次根式的定义解答．【解答】解：由数轴上各点的位置可知，a＜b＜0，c＞0，|a|＞|b|＞c，∴=﹣a；|a﹣b|=b﹣a；|a+b|=﹣（a+b）；|﹣3c|=3c；|a+c|=﹣（a+c）；故原式====3．故答案是：3．【点评】解答此题的关键是根据数轴上字母的位置判断其大小，再根据绝对值的规律计算．绝对值的规律：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．18．设，，，…，．设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．【分析】由S n=1++===，求，得出一般规律．【解答】解：∵S n=1++===，∴==1+=1+﹣，∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣=n+1﹣==．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n变形，得出一般规律，寻找抵消规律．三．解答题（共10小题）19．化简求值：，其中．【分析】由a=2+，b=2﹣，得到a+b=4，ab=1，且a＞0，b＞0，再把代数式利用因式分解的方法得到原式=+，约分后得+，接着分母有理化和通分得到原式=，然后根据整体思想进行计算．【解答】解：∵a=2+＞0，b=2﹣＞0，∴a+b=4，ab=1，∴原式=+=+=+=，当a+b=4，ab=1，原式=×=4．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后把字母的值代入（或整体代入）进行计算．20．已知：a=，b=．求代数式的值．【分析】先求得a+b=10，ab=1，再把求值的式子化为a与b的和与积的形式，将整体代入求值即可．【解答】解：由已知，得a+b=10，ab=1，∴===．【点评】本题关键是先求出a+b、ab的值，再将被开方数变形，整体代值．21．已知：，求的值．【分析】首先化简a=2﹣，然后根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，最后代入计算．【解答】解：∵a==2﹣＜1，∴原式==a﹣3+=2﹣﹣3+2+=1．【点评】此题中注意：当a＜1时，有=1﹣a．22．阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）的值；（3）（n为正整数）的值．【分析】观察问题中的三个式子，不难发现规律：用平方差公式完成分母有理化．【解答】解：（1）原式==；（2）原式==；（3）原式==．【点评】要将中的根号去掉，要用平方差公式（）（）=a﹣b．23．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：．【分析】（1）运用第二种方法求解，（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案，【解答】解：（1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．24．已知y=+2，求+﹣2的值．【分析】由二次根式有意义的条件可知1﹣8x=0，从而可求得x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可．【解答】解：由二次根式有意义的条件可知：1﹣8x=0，解得：x=．当x=，y=2时，原式==﹣2=+4﹣2=2．【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．25．已知x=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985．试求正整数n．【分析】首先化简x与y，可得：x=（）2=2n+1﹣2，y=2n+1+2，所以x+y=4n+2，xy=1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．【解答】解：化简x与y得：x=，y=，∴x+y=4n+2，xy=1，∴将xy=1代入方程，化简得：x2+y2=98，∴（x+y）2=x2+y2+2xy=98+2×1=100，∴x+y=10．∴4n+2=10，解得n=2．【点评】此题考查了二次根式的分母有理化．解题的关键是整体代入思想的应用．26．观察下列等式：①==﹣1②==﹣③==﹣…回答下列问题：（1）化简：=；（n为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++．【分析】（1）根据平方差公式，进行分母有理化，即可解答；（2）根据（1）中的规律化简，即可解答．【解答】解：（1）=；故答案为：．（2）+++…++=…+=﹣1．【点评】本题考查了分母有理化，解决本题的关键是发现分母有理化的规律．27．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【解答】解：根据，可得m=13，n=42，∵6+7=13，6×7=42，∴==．【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．28．阅读下列解题过程：；．请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=；（2）利用上面所提供的解法，请化简：的值．【分析】（1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差；（2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算就可以了．【解答】解：（1）=；（2）由题意可知：==．【点评】本题考查的是分式的加减运算，同时还考查了根据题目的已知来获取信息的能力，总结规律并运用规律是近年中考的热点之一．。

16.2 二次根式的乘除第 2 课时 二次根式的除法参考答案与试题解析夯基训练知识点1二次根式的除法法则1. 计算√5×√15√3的结果是_____________.1.【答案】52.√a−3√a−1=√a−3a−1成的条件是( )A.a ≠1B.a ≥1且a ≠3C.a>1D.a ≥32.【答案】D解:由√a √a =√a b (a ≥0,b>0),得{a −3≥0a −1≥0所以a ≥3.故选D. 3.计算√34÷√16的结果是( )A.√22B.√24C.3√22D.√32 3.【答案】C解：掌握二次根式的除法，直接计算即可.4.下列计算结果正确的是( )A.2+√3=2√3B.√8÷√2=2C.(-2a 2)3=-6a 6D.(a+1)2=a 2+14.【答案】B 知识点2商的算术平方根的性质 5若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥05解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：√b a =√b √a a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．6化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．6解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式7.下列各式计算正确的是( ) A.√32=√32 B.√82=√3 C.√34=√32 D.√a 9b =√a 3b 7.【答案】C 8.若√1−a a 2=√1−a a ,则a 的取值范围是( )A.a ≤0B.a<0C.a>0D.0<a ≤18.【答案】D解:由题意得1-a ≥0且a>0,解得0<a ≤1.此题容易忽略1-a ≥0这个条件.9.下列等式不一定成立的是( )A.√a b =√a√b (b ≠0) B.a 3·a −5=1a 2(a ≠0) C.a 2−4b 2=(a+2b)(a-2b)D.(-2a 3)2=4a 69.【答案】A10.下列计算正确的是( )A.√12=2√3B.√32=√32 C.√−x 3=x D.√x 2=x10.【答案】A知识点3 最简二次根式11在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由． (1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145. 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可． 解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； (3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．题型总结题型1 利用二次根式的乘除法法则计算 12计算：(1)9√45÷3√212×32√223; (2)a 2∙√ab ∙b √b a ÷√9b 2a解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183； (2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b 3a . 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 题型2利用商的算术平方根的性质求代数式的值13.已知√x−69−x =√x−6√9−x ,且x 为奇数,求(1+x)·√x 2−5x+4x 2−1的值. 13.解:∵√x−69−x =√x−6√9−x , ∴{x −6≥09−x ≥0∴6≤x<9. 又∵x 是奇数,∴x=7.∴(1+x)√x 2-5x+4x 2-1=(1+x)√(x -1)(x -4)(x+1)(x -1)=(1+x)√(x -4)(x+1)=√(x +1)(x −4).当x=7时,原式=√(7+1)(7−4)=2√6.题型3 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围14若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝b a(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．题型4 利用商的算术平方根的性质化简二次根式15化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式拓展培优拓展角度1利用二次根式的性质活用代数式表示数16.老师在讲解“二次根式及其性质”时,在黑板上写下了下面的一题作为练习:已知√7=a,√70=b,用含有a,b 的代数式表示√4.9.甲的解法:√4.9=√4910=√49×1010×10=√7×√7010=ab 10; 乙的解法:√4.9=√49×0.1=7√0.1, 因为√0.1=√110=√770=√7√70=a b , 所以√4.9=7√0.1=7·a b =7a b .请你解答下面的问题:(1)甲、乙两人的解法都正确吗?(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法.16.解:(1)都正确.(2)∵√10=√707=√70√7=b a , ∴√4.9=√4910=√49×1010×10=710√10=710·b a =7b 10a .拓展角度2 利用二次根式的乘除法法则进行分母有理化(类比思想)19.化简√3+√2,甲、乙两位同学的解法如下:甲:√3+√2=√3-√2(√3+√2)(√3-√2)=√3−√2; 乙:√3+√2=√3+√2=√3+√2)(√3-√2)√3+√2=√3−√2.以上两种化简的步骤叫做分母有理化.仿照上述两种方法化简:√7−√5.19.解:方法1:√7−√5=√7+√5)(√7−√5)(√7+√5)=2(√7+√5)2=√7+√5. 方法2:√7−√5=√7−√5=√7+√5)(√7−√5)√7−√5=√7+√5.拓展角度3二次根式除法的综合运用20座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T ＝2π√l g ，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T ＝2π√0.59.8≈1.42，60T ＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．。

15.2二次根式的乘除运算专题一 二次根式的分母有理化1. 阅读下列运算过程：223233333⨯==⨯，225255555⨯==⨯. 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简26的结果是（ ） A ．2 B ．6 C ．63D ．6 2.化简：165+，甲、乙两位同学的解法如下： 甲：16565(65)(65)-=++-=6-5； 乙：5-6565-656565-6561=++=+=+））（（. 下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲正确，乙不正确C ．甲、乙的解法都不正确D ．乙正确、甲不正确3.观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121+=1(21)2121(21)(21)⨯--=-+-=2-1， 132+=1(32)3232(32)(32)⨯--=-+-=3-2， 同理可得：143+=4-3，… .从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121++132++143++…+120132012+）（20131+）的值．专题二 二次根式乘除中的规律与方法4. 计算：（1）(21)(21)+-=______；（2）(32)(32)+-=______；（3）(23)(23)+-=______；（4）(52)(52)+-=______；根据以上规律，请写出用n （n 为正整数）表示上述规律的式子：___________.5. 已知31a n n =+-+，2b n n =+-（0n >），试比较a b 、的大小.6. 观察下列各式及其验证过程: 222233=+，验证：3322222(22)22(21)22223321213-+-+====+--． (1) 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为自然数，且2n ≥)表示的等式，并证明它成立.状元笔记：【知识要点】1.二次根式的乘法和除法（1）a b a b ⋅=⋅（0,0a b ≥≥）. （2）a a b b=（或a b a b ÷=÷）(0,0)a b ≥>. 2.分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.【温馨提示】1.分母有理化时，应找对有理化因式.2.通过分母有理化，可以达到解题的目的.【方法技巧】两个正数比较大小，可先取倒数，再利用分母有理化比较大小.参考答案1.C 解析：22626663666===⨯. 2.A3.解：规律：111n n n n=+-++（n 是正整数，且1n ≥）. 原式=(213243-+-+-+…20132012)-+20131)+( =20131)-(20131)+(=201312012-=.4.（1）1 （2）1 （3）1 （4）1 (1)(1)1n n n n +++-=5.解：1131231n n a n n +++==+-+，11222n n b n n ++==+-. ∵3120n n n n +++>++>，∴11a b>，∴a b <.6.解：（1）猜想：44441515=+ ， 验证：()()323224444414444441515414115-+-+====+--. （2）用含n 的代数式表示上述规律为：2211n n n n n n =+--(n 为自然数，且2n ≥)， 验证：3322222(1)1111n n n n n n n n n n n n n -+-+====----21n n n +-.。

专题16.4二次根式的混合运算专项训练【沪科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对二次根式混合运算的理解！1．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）计算：12−3×8÷2【答案】1−2【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：12−3×8÷2=2−1−22÷2=1−2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．2．（2023秋·辽宁沈阳·1−32−12−【答案】2+【分析】根据二次根式的混合计算法则求解即可．【详解】解：原式=9×12÷3−1−23+3−23=36−4+23−533=6−23−533=2+【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．3．（2023秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：75−3−12+【答案】73−6【分析】先根据二次根式的性质，完全平方公式和分母有理化化简，再计算加减即可．【详解】解：原式=53−23−3−23+1+23−1=53−23−4+23+23−2=73−6【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握分母有理化和二次根式混合运算的法则是解题的关键．4．（2023秋·辽宁丹东·−3+23−2【答案】6−32【分析】先计算二次根式的除法运算，乘法运算，化简二次根式，再合并即可．【详解】解：原式−6×3−232+1=5−32+1=6−32．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记混合运算的运算顺序是解本题的关键．5．（2023春·广东湛江·八年级统考期末）计算：12−6÷2+3+13−1【答案】3+2【分析】先化简，进行除法和平方差公式的计算，再合并同类二次根式即可得解．【详解】解：12−6÷2+3+13−1=23−3+3−1=3+2．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质，运算法则，正确的计算，是解题的关键．6．（2023秋·陕西西安·八年级校考期中）计算：52+5−2+55−2．【答案】10+4【分析】根据二次根式的乘法和加减运算法则计算即可．【详解】52+5−2+55−2=5×2+52−52−22=10+5−5−4=10+5−1=10+4．【点睛】本题主要考查二次根式的乘法及加减运算，牢记二次根式的乘除及加减运算法则是解题的关键．7．（2023春·吉林松原·八年级统考期末）计算：23−22−327−8【答案】5−26【分析】先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则展开，然后再合并同类二次根式即可解答．【详解】解：23−22−327−8，=12−46+2−9+26，=5−26．【点睛】本题主要考查了二次根式的四则混合运算、完全平方公式等知识点，灵活运用二次根式四则混合运算法则是解答本题的关键．8．（2023春·广西河池·八年级统考期末）计算：(5−3)2+(5+3)(5−3)．【答案】10−215【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算乘法，再合并同类二次根式即可.【详解】解：原式=5−215+3+5−3=10−215【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质是解题的关键.9．（2023春·上海·八年级校考期末）计算：12+−2+1【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.2+【详解】12+=23+(3+1)−2×=23+3+1−2+−1.【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.10．（2023秋·上海闵行·=3,=13.【答案】2+2，【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【详解】解：原式==+++=2+2当=3,=13时，原式=23+=23=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．11．（2023秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）已知：2a+b+5＝4(2−2+−1)，先化简再【分析】用完全平方公式将原方程配方，由平方的非负性求出a、b的值，化简要求的式子，将a、b的值代入化简后的式子计算出结果即可.【详解】原方程可化为2a+b+5﹣42−2﹣4−1=0，即（2a﹣2﹣42−2+4）+（b﹣1﹣4−1+4）=0，∴（2−2﹣2）2+（−1﹣2）2=0，∴2−2﹣2=0，−1﹣2=0，解得a=3，b=5，将a 、b 的值代入得：原式【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方的非负性.12．（2023春·上海闵行·÷中=3+1，=3−1．【答案】3【分析】先把二次根式化为最简，再把字母的取值代入即可．【详解】解：B+)÷K=(p(−pB=+1o p ⋅(p(p=(p(p (p(p==B=B ++−BB=+B∵=3+1，=3−1，∴+=3+1+3−1=23，B =(3+1)(3−1)=2，则rB ==3．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．13．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）先化简，再求值：−中x ＝9，y ＝14．【答案】3+2；10【分析】先化简二次根式，然后合并同类二次根式，再将x 和y 值代入计算即可．【详解】解：−+=6−2−3+4=3+2，将x＝9，y＝1代入，原式=39+2，故答案为：10.【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则．14．（2023春·广东肇庆·八年级肇庆市第四中学校考期中）先化简，再求值：+−36B),=23,=27【答案】−B,−32【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．【详解】解：原式=6×+3××B−4×−6B=6B+3B−4B−6B=−B当=23时，原式=−=−18=−32【点睛】此题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则是解题的关键．15．（2023春·河南信阳·八年级统考期末）计算：(1)75÷3−0.5×12−24；(2)2−32+2−3×3．【答案】(1)5+6(2)2−6【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）原式=25−6−26=5+6（2）原式=2−32−3+3=2−3⋅2=2−6【点睛】本题考查的是二次根式混合运算，熟知二次根式的运算法则是解答此题的关键．16．（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）计算：39(2)30×23【答案】(1)5(2)32【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘除混合运算顺序和运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：原式=23×3+6×=2+3=5；（2）解：原式=30×32×÷=32÷=34×5=34×32=34×42=32．【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．17．（2023春·河南新乡·八年级统考期中）计算：(1)6×248÷3(2)−52+1+33−3−327【答案】(1)36−4(2)2+23【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．（2）直接利用二次根式的乘除运算法则、立方根的性质分别化简，进而得出答案．【详解】（1）解：原式=6×4，=36−4．（2）解：原式=5+3−3+33−3−3，=2+23．【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．18．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）计算(1)2718÷2(2)42×(3+2)2+【答案】3(2)−7−3【分析】（1）先化简括号中各式，合并后进行二次根式除法运算即可；（2）分别进行二次根式乘法、完全平方公式和分母有理化将各部分化简，再进行合并即可．【详解】（1）原式=33+−32÷2=32÷2=−3；（2）原式=26−3+26+2−2+3=26−5−26−2−3=−7−3；【点睛】本题考查二次根式混合运算，掌握相关运算法则，分析运算顺序是解题关键．19．（2023春·云南昆明·八年级云大附中校考期末）计算：(1)240−10；(2)48÷3+30−22+32．【答案】2(2)−7−26【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．【详解】（1）240−10=410−−10=2（2）48÷3+×30−(22+3)2=16+26−8+46+3=4+26−8−46−3=−7−26．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．（2023春·广西崇左·八年级统考期末）计算：(1)50−32+18(2)(3−2)(3+2)+(24−12)÷6【答案】(1)42(2)3−2【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可解答；（2）先用平方差公式和二次根式除法运算，然后再和合并同类二次根式即可解答．【详解】（1）解：50−32+18，=52−42+32，=42．（2）解：(3−2)(3+2)+(24−12)÷6=32−22+4−2，=3−2+2−2=3−2．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的加减运算等知识点，灵活运用二次根式混合运算法则是解答本题的关键．21．（2023春·山东德州·八年级统考期末）（1）计算8+3×6−32；（2）已知=5−1，求代数式2+5−6的值．【答案】（1）43；（2）35−5【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；（2）把所求式子变形为+12+3−7，然后代值计算即可．【详解】解：（1）原式=48+18−32=43+32−32=43；（2）∵=5−1，∴2+5−6=2+2+1+3−7=+12+3−7=5−1+12+3×5−1−7=52+35−3−7=5+35−3−7=35−5．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．22．（2023春·山东德州·八年级统考期中）（1）计算：18+12−32；（2）计算：3+223−22−54÷6；（3）24−−2+6；（4）3×12+−6×(−1)3−(−13)−2．【答案】（1）23−2；（2）−2；（3）−2；（4）−9【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的除法法则运算，然后化简后进行有理数的减法运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（4）先根据二次根式的乘法法则、绝对值、乘方的意义和负整数指数幂的意义计算，然后进行有理数的混合运算．【详解】解：（1）原式=32+23−42=23−2；（2）原式=9−8−54÷6=1−9=1−3=−2；（3）原式=26−26=−2；（4）原式=3×12+6×−1−9=6−6−9=−9．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．23．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期中）（1）计算：（2）计算：÷212+16−327（3）计算：2+33−2+3+20+23−4−3−12【答案】（1）0；（2）27；（3）8【分析】（1）根据二次根式的加减进行计算即可求解；（2）根据二次根式的加减计算括号内的，然后再根据二次根式的除法进行计算；（3）根据完全平方公式，平方差公式，零指数幂，以及化简绝对值，进行计算即可求解．【详解】（1）计算：−4+6=−13×32−14×43+6×36+2×22=−2−3+3+2=0（2）计算：2416327=−6×33÷12×23+4×34−3×33=−23÷−73=27（3）计算：2+33−2+3+20+23−4−3−12=9−2+1+4−23−3+23−1=8【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．24．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）计算：(1)(10+3)2(10−3)2；(2)(25−3)2−(25+3)2．【答案】(1)1(2)−245【分析】（1）利用平方差公式进行运算较简便；（2）利用平方差公式进行运算较简便．【详解】（1）解：(10+3)2(10−3)2=[10+3×10−3]2=(10−9)2=12=1；（2）解：(25−3)2−(25+3)2=25−3+25+3×25−3−25−3=45×−6=−245．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握相关的运算法则是解答的关键．25．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）计算：（1）12−27+（2）23−123+1−1+321−32【答案】（1）2）7【分析】（1）分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；（2）先将1+321−32变形为1+31−32，然后利用平方差公式计算求解．【详解】（1）12−27+=2333+33=−3（2）23−123+1−1+321−32=232−12−1+31−32=12−1−−22=7故答案为（1）−2）7．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，积的乘方，平方差公式，合并同类二次根式，掌握以上知识是解题的关键．26．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）（1）计算：（48﹣﹣20.5）（2）化简：（(3−+B)÷【答案】(1)33；（2）a2﹣+2+a【分析】根据二次根式的性质，先化简各二次根式为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．【详解】解：（1）（48﹣20.5）=43﹣2﹣3+2=33；（2）3B÷=a2﹣+2+a．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解得关键是根据相关法则进行运算．27．（2023春·广东广州·八年级广州六中校考期中）先化简，再求值：2+32−3−3−2+3，其中=2−3．【答案】2+6，−7【分析】直接利用平方差公式以及二次根式的乘法将原式变形，进而合并同类项，进而把已知代入求出答案．【详解】解：原式=42−3−32+6+3=2+6，把=2−3代入，得，原式=2−32+62−3=2+9−62+62−18=−7．【点睛】此题主要考查了平方差公式，多项式乘单项式以及二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键．28．（2023秋·山东青岛·八年级校考期中）计算与化简(1)+3)×6(2)(3+2)2−(2−3)(2+3)3(1−3)0(4)218−32−【答案】(1)52(2)10+62(3)6【分析】（1）根据二次根式的乘法进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解；（3）根据二次根式的除法以及零次幂进行计算即可求解；（4）根据二次根式的加减进行计算即可求解．【详解】（1）解：3)×6=3×+3×6=22+32=52；（2）解：(3+2)2−(2−3)(2+3)=9+62+2−4−3=10+62；（3+(1−3)0=+1=4+1+1=6；（4）解：218−32−=32−32−22=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，零次幂，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．29．（2023秋·上海普陀·八年级校考期中）化简二次根式：23B2−−【答案】52B3【分析】先将括号内各式化为最简二次根式，再根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：原式=2×3−×当≥0时，原式=23−3−12×3=23+2×3=2×4=52B3，当<0时，原式=2−3−−143+12×3=2−3+143−123=−543×2=−52B3．【点睛】本题考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简法则以及二次根式的混合运算法则．30．（2023秋·辽宁辽阳·八年级辽阳市第一中学校联考期中）计算下列各式：(1)212+348−(2)23−12−32+132−1．【答案】(1)133(2)−43−4【分析】（1）先化简各二次根式，再合并即可；（2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可．【详解】（1）解：212+348−=43+123−33=133；（2）23−12−32+132−1=12−43+1−18+1=−43−4．【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．31．（2023春·四川凉山·八年级统考期末）计算：(1)−12019+327−1−2+8(2)已知=2+1，=2−1，求++2的值．【答案】(1)2+3(2)8【分析】（1）先利用有理数的乘方、立方根、绝对值和二次根式的性质化简，再进行计算即可；（2）将x和y的值代入，进行分母有理化，再计算即可．【详解】（1）解：原式=−1+3−2−1+22=−1+3−2+1+22=2+3；（2）解：∵=2+1，=2−1，∴++2=22++2−1+2=2−12+2+12+2=2−22+1+2+22+1+2=8．【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．32．（2023春·山东淄博·八年级淄博市博山区第一中学校考期中）（1）计算：3−22+12+（2）先化简，再求值：+2−−2，其中=3，=6．【答案】（1）7；(2)122【分析】（1）直接利用完全平方公式以及结合二次根式的性质化简进而得出答案．（2）用完全平方公式展开、合并，然后代值化简计算．【详解】（1）3−2212+=3+4-43+23+6×3=3+4-43+23+23=7(2)+2−−2=(+2B+p−(−2B+p=4B当=3，=6时原式=4B=418=122．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键，在进行代数式的运算的时候，也要能够借助因式分解的知识简便计算．33．（2023秋·全国·八年级期末）化简(1)计算212−3+348(2)324+2−32−3+6−32【答案】(1)143(2)18−【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减运算进行计算即可求解；（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】（1）解：212−+348=43−23+123=143；（2）解：324+2−32−3+6−32=3×26+62−6+3+6+9−66=18−【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．34．（2023秋·福建漳州·八年级统考期中）先化简，再求值：(−3)(+3)−o−4)，其中：=3+1．【答案】4−3；43+1【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：(−3)(+3)−o−4)=2−3−2+4=4−3，当=3+1时，原式=4×(3+1)−3=43+4−3=43+1．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．35．（2023秋·上海·八年级上海交大附中校考期中）先化简再求值：2−K6r2−=【答案】−3+1，1【分析】先将分子和分母分解因式，并根据二次根式的性质化简，再约分，最后代入计算即可．【详解】因为=2+=3)(2−3)=2−3，可知−1=2−3−1=1−3＜0.原式=(K3)(r2)r2−=−3−1−oK1)=−3+1．所以原式=2−3−3+=−1−3+2+3=1．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，根据a的大小化简(−1)2=1−是解题的关键．36．（2023春·江苏·八年级期末）计算化简(1)12+27(2)5B•−43≥0，≥0(3)1−【答案】(2)−202；(3)1；(4)3．【分析】（1）先把各二次根式化成最简二次根式，再利用二次根式的加减法则进行计算即可；（2）先把各二次根式化成最简二次根式，再利用二次根式的乘法法则进行计算即可；（3）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再计算除法即可；（4）先利用完全平方公式计算，再利用二次根式的加减法则进行计算即可．【详解】（1）解：12−23−33+39（2）解：∵≥0，≥0，∴5B•−43=−20B•B=−202；（3）解：1÷K1=1−1−÷−1=−1−÷−1=−1×−1=1；（4+2=5+25+14+5−25+14=5+25+1+5−25+14=3．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及分式的加减乘除混合运算，正确化简二次根式是解题关键．37．（2023春·山西阳泉·八年级统考期中）先化简，再求值：3+5−5−2−5+10，其中=3−1．【答案】83−11【分析】先根据平方差公式，合并同类项进行整理，再将=3−1代入计算即可．【详解】3+5−5−2−5+10=32−15−22+10+10=2+10−5当=3−1时，原式=(3−1)2+10(3−1)−5=4−23+103−10−5=83−11．【点睛】本题考查了平方差公式，整式的加减，二次根式的混合运算，先化简式子，再代值，按照二次根式的计算法则计算即可．38．（2023春·全国·八年级期中）化简：(1)48÷3−×12+24(2)2+12−1+3−22【答案】(1)4+6(2)8−43【分析】（1）先算二次根式的乘除运算，同时利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式；（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．【详解】（1）解：原式=16−6+24=4−6+26=4+6；（2）解：原式=2−1+3−43+4=8−43．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．39．（2023秋·陕西咸阳·八年级统考期末）当a＝4，b＝3时，先化简+2B−【答案】(3−3)B；43【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，再把a＝4，b＝3代入化简后的代数式，再计算即可．【详解】解：2B−。