第六章 自相关性
本章教学要求：本章是违背古典假定情况下线性回归描写的参数估计的又一问题。通过本章的学习应达到：掌握自相关的基本概念，产生自相关的背景；自相关出现对模型影响的后果；诊断自相关存在的方法和修正自相关的方法。能够运用本章的知识独立解决模型中的自相关问题。经过第四、五、六章的学习，要求自行选择一个实际经济问题，建立模型，并判断和解决上述可能存在的问题。
第一节 自相关性的概念
一、一个例子
研究中国城镇居民消费函数，其中选取了两个变量，城镇家庭商品性支出（现价）和城镇家庭可支配收入（现价），分别记为CSJTZC 和CSJTSR ，时间从1978年到1997年，n=20。但为了剔除物价的影响，分别对CSJTZC 和CSJTSR 除以物价（用CPI 表示），这里CPI 为城镇居民消费物价指数（以1990年为100%），经过扣除价格因素以后，记
CPI
CSJTSR
X CPI
CSJTZC
Y =
=
即如下表
回归以后得到的残差为
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 10/27/04 Time: 09:39
Sample: 1978 1997
Included observations: 20
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -103.3692 78.80739 -1.311669 0.2061
X 0.923551 0.016033 57.60388 0.0000 R-squared 0.994605 Mean dependent var 3939.341
Adjusted R-squared 0.994305 S.D. dependent var 2124.467
S.E. of regression 160.3247 Akaike info criterion 13.08692
Sum squared resid 462671.9 Schwarz criterion 13.18649
Log likelihood -128.8692 F-statistic 3318.207
Durbin-Watson stat 1.208037 Prob(F-statistic) 0.000000
二、什么是自相关性
在引出自相关性的概念之前，根据建立中国城镇居民储蓄函数，经用最小二乘法估计出参数后，得到残差序列，由此画出残差图（残差序列自身的关系），从图形上看存在t e 对1-t e 的线性关系，残差的这种现象说明了什么？
下面给出序列自相关的定义。
1、如果模型中的随机误差项i u ，满足以下关系式
s t u u C o v s t ≠≠,0),(
则随机误差项i u 之间存在自相关性。
2、一阶线性自相关。在s t u u Cov s t ≠≠,0),(中，如果1s t =-，则
,0),(
1≠-t t u u C o v 并且t u 与1-t u 之间为线性关系，即t t t u u ερ+=-1，其中t ε满足古典假定，即
ρεεσεεε,,0)(,)(,0)(22s t E E E s t t t ≠===＜1。将t u 与1-t u 的这种线性关系称为一阶线性自相关（或一阶线性自回归），简称一阶自相关（或一阶自回归）。
3、一阶线性自回归的数学性质。 设一元线性模型为
t t t u X Y ++=21ββ
并且，t t t u u ερ+=-1，其中t ε满足ρεεσεεε,,0)(,)(,0)(22s t E E E s t t t ≠===＜1。 设总体一阶序列自相关系数为 )
v a r ()v a r ()
,c o v (11--=
t t t t u u u u ρ
按照样本相关系数计算公式，样本序列自相关系数为
ˆe e ρ
=
另一方面，对一阶线性自回归t t t u u ερ+=-1，求参数ρ的最小二乘估计，即
1
2
21
2
ˆn
t t t n
t t e e
e
ρ
-=-='=∑∑
在大样本下，有ˆˆρ
ρ'≈。因此，通常可用ˆρ'表示ρˆ。 t u 的数学特性：
（1）0)(=t u E 事实上，
.,,,
)1(1211r t r t r t t t t t t t u u u u u u -+------+=+=+=ερερερ
将递推关系逐一代入，并注意当0→r 时，0→-r t r u ρ，则
∑∞
=------------=++++===+++=++=++=+=033
22
11232122121)()(r r
t r t t t t t t t t t t t t t t t t t u u u u u ερερερρεεερεερρερερεερρερ 0
()()()()0,
(()0)r
r
r t t r t r t r t r r r E u E E E E ρερερεε∞∞∞
---========∑∑∑
（2）22
2
1)var(σρσε=-=t u
[]2
2222211122222
1122
2
()()()()(2)
()()()(()0)
()1t t t t t t t t t t t t t t t t Var u E u E u E u E u E u u E u E Var u E u Var u εερερρεερερσεσσ
ρ-----=-==+=++=+=+===-
在t ε满足22()0,(),()0,,t t t s E E E t s εεεσεε===≠t ε服从正态分布，且ρ＜1。有
231232312322223222
2
3
()()
()()()()(1)
1t t t t t t t t t Var u Var Var Var Var Var εεεεεεερερερεερερερεσρσρσρσσσρρρρ
------=++++
=++++
=++++=++++
=
-
（3）2),cov(σρs s t t u u =-
按照协方差的定义，可类似推出上述结果。
三、自相关产生的原因
1、经济变量大多存在惯性的作用。如经济变量随时间运动往往存在趋势的作用，使得变量在变化中具有惯性特征。
2、许多经济变量具有滞后性的表现。
3、一些随机偶然因素的干扰或影响。
4、设定偏倚。与异方差性情况类似。
5、蛛网现象模型。这是农产品与农产品价格所固有的一种关系，即当期农产品的产出量与前期的农产品价格有关，用公式表示为
)(1-=t s t p f Q 6、时间序列更易产生自相关性。
第二节 自相关性的后果
从统计意义上讲，并参考异方差性的情况，自相关性对模型的影响主要有以下几方面。
