大学物理课后习题答案
第六章
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第6章 真空中的静电场 习题及答案
1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以
2
00
200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε
故 223+=x
2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)
(2)这种平衡与三角形的边长有无关系
解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以
2
220)3
3(π4130cos π412a q q a q '=︒εε
故 q q 3
3-
=' (2)与三角形边长无关。
3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取
dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为
)
(42
20R x dq
dE +=
πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E
R O
λ1
λ2
l
x
y
2
32
2
0)
(41
cos R x xdq
dE dE x +=
=πεθ
式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。
⎰+=
2
3220)
(4dq R x x
E x πε
2
32210)(24R x R
x
+⋅=
πλπε2
3
2201)(2R x x
R +=
ελ 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为
dq E dF x =dx R x x
R 2
3
22021)(2+=
ελλ 方向沿x 轴正方向。
直线段受到的电场力大小为
⎰=dF F dx R x x
R l ⎰+=
02
322021)(ελλ2 ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-
=
2/1220211
1R l R R ελλ2 方向沿x 轴正方向。
4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。求： （1）圆心处O 点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。
解：（1）在半圆环上取ϕλλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为
2
0π4R
dq dE ε=
ϕελ
d R 0π4= ，方向沿半径向外 根据电荷分布的对称性知，0=y E
ϕϕελ
ϕd R
dE dE x sin π4sin 0=
=
R
d R E x 000
π2sin π4ελ
ϕϕελπ
==⎰
故 R
E E x 0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向。 （2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。
5．如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。
解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dx L
q
dx dq ==λ，dq 在P 点产生的场强大小为
2
02044x
dx
x dq dE πελπε==
，方向沿x 轴负方向。 故 P 点场强大小为 ⎰⎰+==L d d
P x dx
dE E 2
04πελ
()
L d d q
+π=
04ε
方向沿x 轴负方向。
6. 一半径为R 的均匀带电半球面，其电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。
解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。
在半球面上取宽度为dl 的细圆环，其带电量
rdl dS dq πσσ2⋅=⋅=θθπσd R sin 22⋅=， dq 在O 点
产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
2
3220)
(4r x xdq dE +=
πε ，方向沿x 轴负方向
利用几何关系，θcos R x =，θsin R r =统一积分变量，得
2
32
2
0)
(4r x xdq dE +=
πε
θθπσθπεd R R R sin 2cos 41
2
30⋅=
L
