最新-【数学】2018年高考数学试题精编：20182极限与连续性 精品

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2018年高考数学理科试卷（江苏卷)数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{}8,2,1,0B，那么==A，{}8,6,1,1-=A．⋂B2．若复数z满足i1+⋅，其中i是虚数单位，则z的实部为．=zi23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π, 则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅，则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、, 120=∠ABC ,ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|,{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡．．．指．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1)11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+= （1）求cos2α的值; （2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△,要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1)求椭圆C 及圆O 的方程;（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点"．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点"，求实数a 的值；（3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点"，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列． （1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明:存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立,并求d 的取值范围(用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．［选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． (1）求A 的逆矩阵1-A ;（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．［选修4—4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．［选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分）若x ，y ,z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．（本小题满分10分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P,Q分别为A 1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分）设*n ∈N ，对1,2，···,n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1），（3,1),则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n 的表达式（用n 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8｝2．2 3．90 4．85．［2,+∞）6．3107．π6-8．29．210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：(1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC,所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差)及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：(1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ,所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ)，△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ)．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈［θ0，π2）时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是[14，1）．答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ）平方米,△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是[14，1）．(2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2）,则222()cos sin sin(2sin sin1)(2sin1)(sin1)fθθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0fθ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6)时，()>0fθ′，所以f（θ）为增函数;当θ∈(π6，π2)时，()<0fθ′,所以f（θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f（θ）取到最大值．答：当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此,点P的坐标为．②因为三角形OAB 的面积为26，所以2126AB OP ⋅=，从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ,由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去),则2012y =,因此P 的坐标为102(,)． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x —2，则f ′（x ）=1，g ′(x ）=2x +2． 由f （x ）=g (x ）且f ′（x ）= g ′（x ),得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此,f （x )与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =, 则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x )的“S "点，由f （x 0)与g （x 0)且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*)得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时,120e x -=满足方程组(＊），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．（3）对任意a 〉0,设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈(0,1），使得0()0h x =,令03002e (1)x x b x =-,则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-=-=′，′． 由f （x ）与g （x )且f ′（x ）与g ′（x )，得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩(**) 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g (x ）在区间（0,1）内的一个“S 点”． 因此,对任意a >0，存在b >0,使函数f （x ）与g (x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点"． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1)由条件知:112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3,4均成立, 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3,4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知:111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2,3，···，m +1)成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+， 即当2,3,,1n m =+时,d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-,对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时,1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时,有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时,数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0)=1．当2n m ≤≤时,111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =OC =2,所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2:矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P （x ，y ），则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为（3，–1)． C ．［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2,0),直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=, 则直线l 过A (4，0）,倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ,则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径,从而∠OBA =π2, 所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 D ．[选修4—5：不等式选讲］本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明:由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时,不等式取等号，此时244333x y z ===，，, 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ,A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--，故111||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅==⋅⨯．因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为310．（2)因为Q 为BC 的中点,所以31(,0)2Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,2220.y y z ⎧+=⎪⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n ，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3,4的排列，利用已有的1，2,3的排列,将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2)对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ,所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后,将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=, 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理)（北京卷）本试卷共5页,150分。

2018届高三数学综合测试（一）(概率与统计、极限、导数、复数)一、选择题：(本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的1. 若6)(',)(03==x f x x f ,则0x 的值是2.A 2.-B 2.±C 1.±D2. 0)('0=x f 是函数)(x f 在点0x 处有极值的.A 充要条件 .B 充分条件 .C 必要条件 .D 不充分也不必要条件3.函数32)3()(-=x x f ,点3=x 是)(x f 的.A 连续不可导点 .B 可导不连续点 .C 可导且连续点 .D 非极值点4.已知x x a y 3sin 31sin +=在3π=x 处有极值,则2.-=a A 2.=a B 332.=a C 0.=a D 5.函数155345++-=x x x y 在区间]2,1[-上的最大值与最小值分别是 1,2.A 10,1.-B 7,2.-C 10,2.-D6. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)3(,)3(,39)(2x A x x x x f 在3=x 处连续,则常数=A0.A 3.B 6.C 9.D7.设),,(~p n B ξ已知49,3==ξξD E ,则n 与p 值分别为 43,4.A 41,12.B 43,12.C 81,24.D8.已知数列}{n b 是等差数列, ,145,110211=+++=b b b b 则=+∞→nn n b b 1lim1.-A 0.B 31.C 1.D 9. =⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1113lim 31x x x 31.A 32.-B 1.-C 1.D10.已知函数)(x f 在点a 处可导,则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∞→)()2(lim a f n a f n n)('.a f A )('21.a f B )('2.a f C )('2.a f D - 一、填空题(本大题共有4小题,每题5分,共20分,把答案填在题中横线上)11.若复数满足方程,1-=i zi 则._______=z12.若函数,ln )(x x f = 则x x f x g -+=)1()(的递减区间是__________;值域是________. 13.垂直于直线0162=+-y x 且与曲线1323-+=x x y 相切的直线方程为______. 14.函数2)(x e x f x ⋅=的单调递减区间为____________,增区间为_______________. 三、解答题(本大题共有6题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题12)如果函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增,求a 的取值范围. 16. (本题13)分甲、乙两人独立解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36. 求：(1)甲独立解出该题的概率; (2)解出该题的人数ξ的数学期望.17. (本题13)已知cx bx ax x f ++=23)(, 其导函数)('x f 的图象如图所示. (1)根据图示写出函数)(x f 的单调区间； (2)求)(x f 的解析式和极值.18. (本题13)如图所示，在二次函数24)(x x x f -=的图象与x 轴所为成的图形中有一个内接矩形ABCD ，设点B 的坐标为)0,(x ，问x 取何值时，矩形的面积最大？19. (本题14)设,10<<k 数列{}n a 的各项都为正数,并记该数列的前n 项和为n S .如果对任意正整数n , 0)1(2121=--+++n n n n ka a a k a 都成立 (1)若,47,131==S a 求k 的值; (2)求.lim 1nn n S S +∞→20. (本题满分15分) 设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P ,且曲线在P 点处的切线方程为01224=-+y x ,若函数在2=x 处取得极值为16-.(1)求函数解析式；(2)确定函数的单调递增区间；(3)证明：当.5.92)0,(<-∞∈y x 时，x)x2018届高三数学综合测试（一）参考答案一、CDABD CBDBC2．0)('0=x f ，函数)(x f 在点0x 处不一定有极值，如,0)0(',)(3==f x x f 但0)0(=f 不是极值；函数)(x f 在点0x 处有极值但不一定可导，如||)(x x f =，在0=x 处有极小值，但导数不存在.又如第3题.3.,)3(32)('31--=x x f 在3=x 处不可导, 0)('3,0)('时300>><<x f x x f x 时，，,所以3=x 处有极小值,又,0)3()(lim 3==→f x f x 故选.A9.32)1)(1()1)(2(lim 1113lim 2131-=++--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→x x x x x x x x x . 10.)('22)()2(lim 2)()2(lim 02a f na f n a f a f n a f n nn =-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→∞→.11. i +112. ]0,(),,0(-∞+∞ 解: ,1)(',)1ln()(+-=-+=x x x g x x x g 令0)(0101>⎪⎩⎪⎨⎧>+<+-x x x x ，解得定义域,令,01=+-x x0=x 解得,且0=x 是)(x g 唯一的极值点, .0)0()()(===g x g x g 极大值最大值 13. 023=++y x 14. ),0()2,(),0,2(+∞--∞-和15.解：若,0=a 则)(x f 为一个二次函数，在),(+∞-∞上不是单调函数，故;0≠a ………(2分) ,123)('2+-=x ax x f 函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递增，…………………………(5分) 01232≥+-∴x ax 在),(+∞-∞上恒成立，因此有……………………………………(8分).310134)2(02≥⇒⎩⎨⎧≤⋅⋅-->a a a 所以a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31.……………………(12分) 16.解(1)设甲独立解出该题的概率为,p 则乙独立解出该题的概率也为,p 由题意得 ……(1分) ,36.0)1)(1(1=---p p 解得2.0=p …………………………………………………(5分) 所以甲独立解出该题的概率是0.2.……………………………………………………(6分) (2)由题意知ξ的可能取值为0、1、2.且………………………………………………(7分))10(04.02.02.0)2(,32.02.08.08.02.0)1(,64.0)2.01)(2.01()0(分 =⋅===⋅+⋅===--==ξξξp p p所以ξ的概率分布为:4.004.0232.0164.00=⨯+⨯+⨯=ξE (人) …………………………………………(12分) 所以解出该题的人数ξ的数学期望是0.4人. ……………………………………(13分) 17.解:(1)由函数)(x f 的图象可知,当20><x x 或时, ;0)('>x f当20<<x 时, ,0)('<x f ……………………………………(3分)所以)(x f 的单调递增区间是)0,(-∞及),2(+∞,递减区间是)2,0(. ………………………………………………(5分)(2) c bx ax x f ++=23)('2 , ………………………………(7分) 其图象经过点(0,0)、(1，-2)和(2,0),.232)(.32,2,0.0412,223,03x x x f a b c c b a c b a c -=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=∴……………(11分)由(1)可知, )(x f 在0=x 处取得极大值,在2=x 处取得极小值,所以.34)2()(,0)0()(====f x f f x f 极小值极大值………………………………………(13分)18.解: 因为点B 的坐标为)2,0(),0,(∈x x ,由题意可知相关点及其坐标是:点)4(),4,(2x C x x x A --点, …………………………………………(3分)则x BC x x AB 24||,4||2-=-=设内接矩形ABCD 的面积为S , …(5分) 则)2,0(,16122),24)(4()(232∈+-=--=x x x x x x x x S ,………………………………………………………………………(8分)16246)('2+-=x x x S ………………………………………………(9分)x)令,0162462=+-x x 解得3322±=x ,又)2,0(∈x ,所以3322-=x ,…………………(11分) 因为只有一个极值点,所以当3322-=x 时,矩形有最大面积,为3932.………………(13分) 19.解(1)由0))((0)1(112121=-+⇒=--+++++n n n n n n n n ka a a a ka a a k a ,…………………(3分),0,011n n n n n ka a ka a a =⇒=-∴>++ ………………………………………(5分) 所以数列{}n a 是以k 为公比的等比数列.因此,由⎪⎩⎪⎨⎧=--=⇒==471)1(147,131131k k a a S a ,…………………………………………………(7分)解得2321-==k k 或, 又,10<<k 所以.21=k ……………………………………………………………………………(9分)(2)由(1)知, )1(1)1(1≠--=k kk a S n n ,…………………………………………………(10分) 所以, .11lim 1)1(1)1(lim lim11111nn n n n n nn n k k kk a k k a S S --=----=+∞→+∞→+∞→……………………………………(12分)因为,10<<k 所以.1lim1=+∞→nn n S S …………………………………………………(14分)20. 解(1)因为),,0(d P ……………………………………………………………………(1分)c bx ax y ++=23'2,由题意得如下方程组…………………………………………(3分) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=++-=+⨯+⨯=-+⨯,16248,0412,240203,012024d c b a c b a c b a d .…………………………………………………………(7分) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=⇒=-===⇒1224312243123x x x y d c b a ……………………………………………(8分)(2) 2463'2-+=x x y ,令024632>-+x x ,解得24>-<x x 或, ………………(9分)所以函数的单调递增区间是),2(4,(+∞--∞及. ……………………………(10分)(3)令024632<-+x x ,解得24<<-x ,所以,原函数的减区间是)2,4(-, ………………………………………………(11分) 再由(2)可知, 当时)0,(-∞∈x ,4=x 是原函数的极大值点,且是唯一的极值点,…(12分)所以4=x 时的函数值是最大值, …………………………………………………(13分) 所以当时)0,(-∞∈x ,，92|4=≤=x y y …………………………………………………(14分) 所以, 当.5.92)0,(<-∞∈y x 时，恒成立. …………………………………………(15分)。

2018－2018学年度上学期 高三数学同步测试（11）—《导数及应用》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．如果 0() 0x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩是连续函数，则a 等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（ ）A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f3．设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象 如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）4．若函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-)1(1315)1(223x x a x a x x 在点x =1处连续，则实数a =（ ）A ．4B ．41-C ．4或41- D ．41或－4 5．若函数f(x)=x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 （ ）6．已知函数m x x x f +-=23212)(（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 的夹角为45，则A 点的横坐标为 （ ）A ．0B ．1C ．0或61 D ．1或61 7．函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）A ．（1-e ，+∞）B ．（－∞，1-e ） C ．（0，1-e ）D ．（e ，+∞）8．一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为s=41t 4-35t 3+2t 2，那么速度为零的时刻 是（ ）A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末9．2018年春季，我国部分地区SARS 流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS 病患者治愈者数据，及根据这些数据绘制出的散点图． （ ）②若日期与人数具有线性相关关系，则相关系数r 与临界值0.05r 应满足0.05||r r >； ③根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系． 其中正确的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x =2处连续, 则a =（ ）A ．12-B ．14-C ．14 D ．111．已知函数()x f 的图象如图所示,给出下列结论（1）()x f 在点1=x 处极限存在. （2）()x f 在点1-=x 处极限存在. （3）()x f 在点1=x 处连续.（4）()x f 在点2=x 处连续.其中正确结论有 ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-19 二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2-4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______. 14．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______，（用弧度数作答） 15．设曲线C ：y=cosx 与直线的交点为P ，曲线C 在P 点处的切线经过（a ，0）点，则a 等于 .16．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，……，记这个数列 前n 项的和为S(n)，则S （16）等于 .三、解答题（本大题共6小题，共74分。

【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。

(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。