高等数学：第三节 函数的极限

§３ 函数极限存在条件引 言在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”．我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务．本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的． 首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）．一、归结原则定理１（Heine 定理） 设f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔对任何含于00(;)U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞都存在且相等．注１．{}()n f x 是数列，lim ()n n f x →∞是数列的极限．所以这个定理把函数()f x 的极限归结为数列{}()n f x 的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”．由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质． 注２．从Heine 定理可以得到一个说明0lim ()x x f x →不存在的方法，即“若可找到一个数列{}n x ，0lim n n x x →∞=，使得lim ()n n f x →∞不存在；”或“找到两个都以0x 为极限的数列{}{},n n x x '''，使l i m (),l i m (n n n n f x f x →∞→∞'''都存在但不相等，则0lim ()x x f x →不存在． 例１ 证明01lim sinx x→不存在． 注３．对于00,,,x x x x x x +-→→→+∞→-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．如当0x x +→时有：定理２ 设函数f 在0x 的某空心邻域00()U x +内有定义，0lim ()x x f x A +→= ⇔对任何以0x 为极限的递减数列{}00()n x U x +⊂，有lim ()n n f x A →∞=.二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理．现以0x x +→这种类型为例叙述如下:定理３ 设f 为定义有00()U x +上的单调有界函数，则右极限0lim ()x x f x +→存在．注：定理３可更具体地叙述如下：f 为定义在00()U x +上的函数，若（１）f 在00()U x +上递增有下界，则0l i m ()x x f x +→存在，且0()lim ()inf ()x x x U x f x f x ++→∈=；（２）f 在00()U x +上递减有上界，则0lim ()x x f x +→存在，且00()lim ()sup ()x x x U x f x f x ++→∈=. 三 函数极限的Cauchy 收敛准则定理４（Cauchy 准则） 设函数f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何00,(;)x x U x δ'''∈有|()()|f x f x ε'''-<．注：按照Cauchy 准则，可以写出0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在0ε>，对任意(0)δ>，存在00,(;)x x U x δ'''∈使得|()()|f x f x ε'''-≥.例：用Cauchy 准则说明01lim sinx x→不存在． 综上所述：Heine 定理和Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具． 作业：p55. 1, 2, 4.。

课 时 授 课 计 划课次序号： 03一、课 题：§1.3 函数的极限二、课 型：新授课三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念；2.了解函数极限的性质．四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念．教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用．五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6八、授课记录：九、授课效果分析： 第三节 函数的极限复习1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞=⇔∀>∃>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多．一、x →∞时函数的极限对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．定义1 若∀ε＞0，∃X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞f （x ）?A ． 若∀ε＞0，∃X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞f （x ）?A ． 例1 证明limx 0．证 0-，故∀ε＞00-＜εε，即x ＞21ε．因此，∀ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 limx ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞=． 证 ∀ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞10x ?0． 定义2 若∀ε＞0，∃X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限：f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）．注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线．由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理．定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1x x x →∞--?1．证 ∀ε＞0，要使211x x ---?31x +＜ε，只需｜x ?1｜＞3ε，而｜x ?1｜≥｜x ｜?1，故只需｜x ｜?1＞3ε，即｜x ｜＞1?3ε． 因此，∀ε＞0，可取X ?1?3ε，则当｜x ｜＞X 时，有211x x --+＜ε，故由定义2得2lim 1x x x →∞-+?1． 二、x →x 0时函数的极限现在我们来研究x 无限接近x 0时，函数值f （x ）无限接近A 的情形，它与x →∞时函数的极限类似，只是x 的趋向不同，因此只需对x 无限接近x 0作出确切的描述即可．以下我们总假定在点x 0的任何一个去心邻域内都存在f （x ）有定义的点．定义3 设有函数y ?f （x ），其定义域D f ⊆R ，若∀ε＞0，∃δ＞0，使得x ∈U （x 0，δ）（即0＜｜x ?x 0｜＜δ）时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即｜f （x ）?A ｜＜ε），则称A 为函数y ?f （x ）当x →x 0时的极限，记为0lim x x →f （x ）? A ，或f （x ）→A （x →x 0）． 研究f （x ）当x →x 0的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时f （x ）的变化趋势，而不关心f （x ）在x ?x 0处有无定义，大小如何，因此定义中使用去心邻域．函数f (x )当x →x 0时的极限为A 的几何解释如下：任意给定一正数ε，作平行于x 轴的两条直线y ?A ?ε和y ?A ?ε，介于这两条直线之间是一横条区域．根据定义，对于给定的ε，存在着点x 0的一个δ邻域（x 0?δ,x 0?δ），当y ?f (x )的图形上点的横坐标x 在邻域 （x 0?δ,x 0?δ）内，但x ≠x 0时，这些点的纵坐标f (x )满足不等式 |f (x )?A |<ε,或 A ?ε<f (x )<A ?ε．亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图1－34所示．图1－34例4 证明211lim 1x x x →--?2． 证 函数f （x ）?211x x --在x ?1处无定义．∀ε＞0，要找δ＞0，使0＜｜x ?1｜＜δ时，2121x x ---?｜x ?1｜＜ε成立．因此，∀ε＞0，据上可取δ?ε，则当0＜｜x ?1｜＜δ时，2121x x ---＜ε成立，由定义3得211lim 1x x x →--?2． 例5 证明0lim x x →sin x ?sin x 0． 证 由于｜sin x ｜≤｜x ｜，｜cos x ｜≤1，所以｜sin x ?sin x 0｜?200cos sin 22x x x x +-≤｜x ?x 0｜． 因此，∀ε＞0，取δ?ε，则当0＜｜x ?x 0｜＜δ时，｜sin x ?sin x 0｜＜ε成立，由定义3得0lim x x →sin x ?sin x 0．有些实际问题只需要考虑x 从x 0的一侧趋向x 0时，函数f （x ）的变化趋势，因此引入下面的函数左右极限的概念．定义4 设函数y ?f （x ），其定义域D f ⊆R ，若∀ε＞0，∃δ＞0，当x ∈0(,)U x δ- (或x ∈0(,)U x δ+)时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε），则称A 为f （x ）当x →x 0时的左（右）极限，记为0lim x x -→f （x ）?A （0lim x x +→f （x ）?A ），或记为f （0x -）?A （f （0x +）?A ）． 由定义3和定义4可得下面的结论．定理2 0lim x x →f （x ）?A 的充要条件是0lim x x -→f （x ）?0lim x x +→f （x ）?A ． 例6 设cos ,0()10x x f x x x <⎧=⎨-≥⎩，研究0lim x →f （x ）． 解 x ?0是此分段函数的分段点，0lim x -→f （x ）?0lim x -→cos x ?cos0?1，而 0lim x +→f （x ）?0lim x +→（1?x ）?1． 故由定理2可得，0lim x →f （x ）?1． 例7 设,0()10x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，研究0lim x →f （x ）． 解 由于 0lim x -→f （x ）?0lim x -→x ?0，0lim x +→f （x ）?0lim x +→1?1，因为0lim x -→f （x ）≠0lim x +→f (x ),故0lim x →f （x ）不存在． 三、函数极限的性质与数列极限性质类似，函数极限也具有相类似性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证明过程相似，下面未标明自变量变化过程的极限符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立．1．唯一性定理3 若lim f （x ）存在，则必唯一．2．局部有界性定义5 在x →x 0（或x →∞）过程中，若∃M ＞0，使x ∈U (x 0)(或｜x ｜＞X )时，｜f （x ）｜≤M ，则称f （x ）是x →x 0（或x →∞）时的有界变量．定理4 若lim f （x ）存在，则f （x ）是该极限过程中的有界变量．证 我们仅就x →x 0的情形证明，其他情形类似可证．若0lim x x →f （x ）?A ，由极限定义，对ε?1，∃δ＞0，当x ∈U （x 0，δ）时，｜f （x ）?A ｜＜1，则｜f （x ）｜＜1?｜A ｜，取M ?1?｜A ｜，由定义5可知，当x →x 0时，f （x ）有界．注意，该定理的逆命题不成立，如sin x 是有界变量，但lim x →∞sin x 不存在． 3．局部保号性定理5 若0lim x x →f （x ）?A ，A ＞0（A ＜0），则∃U （x 0），当x ∈U （x 0）时，f （x ）＞0 （f （x ）＜0）．若lim x →∞f （x ）?A ，A ＞0（A ＜0），则∃X ＞0，当｜x ｜＞X 时，有f （x ）＞0（f （x ）＜0）． 该定理通常称为保号性定理，在理论上有着较为重要的作用．推论 在某极限过程中，若f （x ）≥0（f （x ）≤0），且lim f （x ）?A ，则A ≥0（A ≤0）．4. 函数极限与数列极限的关系定理6 0lim x x →f (x )?A 的充要条件是对任意的数列{x n }，x n ∈D f （x n ≠x 0）,当x n →x 0（n →∞）时，都有lim n →∞f （x n ）?A ，这里A 可为有限数或为∞． 定理6 常被用于证明某些极限不存在． 例1 证明极限01limcos x x→不存在． 证 取{x n }?12n π，则lim n →∞x n ?lim n →∞12n π?0，而lim n →∞cos 1n x ?lim n →∞cos2nπ?1． 又取{x ′n }?()121n π⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，则lim n →∞x ′n ?lim n →∞()121n π+?0,而lim n →∞cos 1'n x ?lim n →∞cos(2n ?1)π??1， 由于 lim n →∞cos 1n x ≠lim n →∞cos 1'n x ，故0lim n →cos 1x不存在． 课堂总结1.两种变化趋势下函数极限的定义；2.左右极限（单侧极限）；3.函数极限的性质：惟一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系．。

函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。

在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。

如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。

这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。

根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。

2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。

3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。

函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。

二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。

例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。

2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。

例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。

3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。

夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。