90=α时，k 不存
在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程
①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：11
2121
y y x x y y x x --=
--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：
1x y a b
+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）
注意：○
1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系
平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：
000=++C y B x A （C 为常数）
（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；
（ⅱ）过两条直线0:
1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程
为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直
当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，
212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点
0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组⎩⎨
⎧=++=++0
222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）
是平面直角坐标系中的两个点，
则||AB
（9）点到直线距离公式：一点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2
200B
A C By Ax d +++=
（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
典型例题
例1. 已知直线过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l 的方程。
解：设直线的截距式方程为：x a y
b +=1
则有-+-==⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪54
1125a b
ab ⇒==-a b 52，或，a b =-=524
∴-+=--=直线方程为或852*******x y x y
例2 已知两点A (-3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点． （1）求直线l 的斜率的取值范围．（2）求直线l 的倾斜角的取值范围．
分析：如图1，为使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角应介于直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角之间，所以，当l 的倾斜角小于90°时，有PB k k ≥；当l 的倾斜角大于90°时，则有PA k k ≤． 解：如图1，有分析知
=PA
k 23)1(4----＝－1， =PB k 23)
1(2---＝3．
∴ （1）1-≤k 或3≤k ．
（2）arctan3≤α≤
43π．
说明：容易错误地写成－1≤k ≤3，原因是或误以为正切函数在[)π,0上单调递增．
图1
x
例3 若三点A )3,2(-，B )2,3(-，C ),2
1(m 共线，求m 的值． 分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．
解答：由A 、B 、C 三点共线，则AC AB k k =．
∴
22
13
2332+-=+--m ，解得21=m ． 说明：由三点共线求其中参数m 的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求m 的方法最简便．
例4. 在直线上求一点，使点到两点（，），（，）的3101120x y P P -+=- 距离相等。 分析：（1）设P （x ，y ），则有y ＝3x ＋1，故点P 的坐标为（x ，3x ＋1），由距离公式得x 的方程，解得x ＝0。 （2）设P （x ，y ），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x ＋y －1＝0，再解方程组得P （0，1）。
解法1：设P （x ，y ），则有y ＝3x ＋1 故点P 的坐标为（x ，3x ＋1）
()()()()由距离公式得：
x x x x -++=
-++13223122
22
解之得：x ＝0
∴所求的点为P （0，1） 解法2：设P （x ，y ），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中垂线方程为： x y +-=<>10
1 又3102x y -+=<>
解由<1>、<2>组成的方程组得：P （0，1）
练习:
1. 直线ax by ab +=≠10()与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A. 12ab
B.
12
ab C. 1
2ab
D.
12ab
2. 过点A （4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ） A. x y +=5 B. x y -=5
C. x y +=5或x y -=40
D. x y -=5或x y +=40
