用待定系数法求二次函数解析式

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法二次函数解析式是高中数学中最基本的概念，其表示的是简单的直线、抛物线或是曲线的方程。

它的复杂性使得学生更易于弄清楚，并且在数学知识的建立上也有较大的作用。

本文将介绍用待定系数法求二次函数解析式的几种方法。

首先，用待定系数法求二次函数解析式也称为求因式分解法，是一种求解二次函数解析式的有效方法。

它所给出的解析式可以使用此解析式求解函数的最大值、最小值以及极值点，有助于研究函数的拓展和深入分析。

求解二次函数解析式的待定系数法通常包括以下几个步骤：首先，将二次函数解析式以下式形式表达：ax + bx + c = 0；其次，求解ax + bx + c的系数a、b、c的解，即a、b、c的值，这样就可以得到完整的二次函数解析式；最后，根据完整的二次函数解析式，可以进行函数曲线的画法，以便对函数特征进行更深入的分析。

这种求解二次函数解析式的待定系数法还可以用来求二次不等式的解。

这些不等式的解也可以用上述的方法求出，只需将其表示成ax + bx + c 不等式的形式，并根据所给的条件来解系数a、b、c，从而得到最终的不等式解。

此外，学生也可以使用特殊的因式分解法，通过将二次函数解析式表示成ax+bx+c=f(x)形式，通过求出形式系数a、b、c来求解因式分解法。

这种方法可以用来求解多项式方程，从而得到多项式函数的解析式。

在求解二次函数时，还有一种简便而又实用的方法，即通过图表的方法，根据函数图象的特点求出函数的解析式，从而更加简单、快捷地求解二次函数。

通过以上介绍，用待定系数法求二次函数解析式的几种方法已经清楚地展示出来。

由此可见，求解二次函数解析式使用待定系数法可以得到准确、完整的解析式，从而有助于学生更好地理解函数的拓展及应用，进而深入认识数学知识，受益匪浅。

出该函数表达式。
例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0）， 求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4， 且与x 轴两交点之间的距离是6，求次二次函x1 数的解 析式。
巩固练习
• 1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3， 0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
待定系数法求二次函数表达式常见 的三种形式 ：
一般式 • 1.
：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a（x+h）²+k
(a 0)顶点坐标（ h, k)
• 3.交点式： y a(x x1)(x x2 )
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三
14.已知二次函数y=x²+2（n+3）x+16的顶点在坐标 轴上，求该二次函数表达式。
15.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（2,-1）， 图象与x轴交于A，B两点。若△PAB的x1 面积为6， 求该抛物线所对应函数的解析式。
•谢谢
14
பைடு நூலகம்
• 3.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0;x=4时， y有最大值为8，求此函数的解析式。
• 4.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是 2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上， 试求ab+c的值
三、交点式 y a(x x1)(x x2 )
已知二次函数图象与x轴两交点坐标分别为 (x1,0),(x2,0) 通常选用交点式，再根据其他即可解出a值，从而求

4 、二次函数的交点式（两根式）：y＝a(x－x1)(x－ x2)，其中x1 ，x2 为两交点的横坐标 ，它有3个待定系数a、
x1 、x2 今天学习用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、
（2,7）三点，求这个函数的解析式 解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
2 练习1：（2007· 河北省）如图，已知二次函数 y ax 4x c 的图像经过点A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两 点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离． 解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代
3 = （-m2-2m+3）+ 2 （-m） 2 3 2 9 9 3 3 2 63 = - m - m+ =- (m+ ) + 8 2 2 2 2 2
1 1 = BO•EF + 2 OC•EG 2 3
(m,-m² -2m+3 ) E G (0,3)
(-3,0) F
3 ∴当m=- 时，S四边形BOCE最大，且最大值 2 3 15 63 为 ，此时，点E坐标为（- ， ）． 2 4 8
一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标 即为方程ax2＋bx＋c＝0的解x1 ，x2 ,所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标为（ x1 ，0）， （ x2 ，0）时，二次函 数解析式y＝ax2＋bx＋c又可以写为y＝a(x－ x1)(x－ x2)， 其中x1 ，x2 为两交点的横坐标。
(-1,0)
(1,0)
以M为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有两交点;以C为圆心， MC为半径画弧，与对称轴有一个交点（MC为腰）。 作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点（MC为底边）。 P (1,6)

∴二次函数的解析式为y＝x2－4x.
∵a＝1＞0，
∴二次函数有最小值.

－
－ ××－(－)
∴当x＝－ ＝－ ＝2时，ymin＝
＝
＝－4.

×

×
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思维过关
5．(数形结合思想)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2 ＋bx＋
c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A(－2，－4)和B(3，1)两点.
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
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能力过关
3．(数形结合思想)已知某二次函数的图象如图所示，求这个二次函数
的解析式.
解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由图象可知二次函数的图象过点(0，2)，(1，0)，(2，0)，
将三个点的坐标分别代入，得
= ，
= ，
ቐ = ＋＋， 解得ቐ＝－，
(1)求b和c的值(用含a的代数式表示)；
解：把A(－2，－4)和B(3，1)代入y＝ax2＋bx＋c，
= －，
－＋＝－，
得ቊ
解得ቊ
＝－－.
+ ＋ = .
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(2)若该抛物线开口向下，且经过C(2m－3，n)，D(7－2m，n)两点，当
k－3＜x＜k＋3时，y随x的增大而减小，求k的取值范围.
ቐ = ＋＋， 解得ቐ＝－，
= －＋.
＝－.
∴抛物线的解析式为y＝2x2－x－1.
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根据图表信息求二次函数解析式
已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式.
解：由图象知二次函数过(0，3)，(－1，0)，(3，0)三点，设其解析式
为y＝ax2＋bx＋c.将三个点的坐标分别代入，得