2.3.1数学归纳法(一)

则当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1＋2k＋1 2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)、(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
3．用数学归纳法证明不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1>16247成立时，
起始值 n 至少应取为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
【解析】∵1＋12＋14＋…＋271－1＝11－－12127 ＝2－216＝272－6 1＝16247， 而 1＋12＋14＋…＋281－1>16247，故选 B.
方法规律总结： 用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假 设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其 中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等 方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决．
利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除， 证P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p 整除⇒P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存 在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，将P(k＋1)变形转化分解因式 产生因式p.
命题方向3：用数学归纳法证明整除问题 例3：求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1， 命题显然成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除， 则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除， 故当n＝k＋1时命题也成立． 由(1)、(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．

【答案】B
4．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n＋3)2(n＋4)(n∈N*)，当 n＝1 时，左边应为______．
【解析】当n＝1时，n＋3＝4， 所以等式左边为1＋2＋3＋4. 【答案】1＋2＋3＋4
5．用数学归纳法证明某个命题时，左边为1·2·3·4＋2·3·4·5 ＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，从n＝k到n＝k＋1左边需增加 的代数式为________． 【解析】当n＝k时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k ＋2)(k＋3)． 当 n ＝ k ＋ 1 时 ， 左 边 ＝ 1·2·3·4 ＋ 2·3·4·5 ＋ … ＋ k(k ＋ 1)(k ＋ 2)(k＋3)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)，所以从n＝k到n＝k＋1 左式应增加(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)． 【答案】(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)
2．应用数学归纳法时特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与 正整数n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
例题讲解： 例 1：证明： 1×1 3＋3×1 5＋…＋(2n－1)1(2n＋1)＝2nn＋1.(n∈N*)
【解析】第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成 立，第二步假定 n＝k(k∈N*)时命题成立，即
1×1 3＋3×1 5＋…＋(2k－1)1(2k＋1)＋(2k＋1)1(2k＋3) ＝2k＋k 1＋(2k＋1)1(2k＋3)＝(2kk(＋2k1＋)(32)k＋＋13) ＝(22kk＋2＋1)3(2kk＋＋13)＝2kk＋＋13＝2(k＋k＋1)1＋1. 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)、(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
点评：证明过程的关键是第二步由n＝k到n＝k＋ 1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系， 并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．

问题情境三 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步 骤才能做到？ 骤才能做到？ 处理第一个问题；（ ；（相当于推倒 （1）处理第一个问题；（相当于推倒 第一块骨牌） 第一块骨牌） （2）验证前一问题与后一问题有递推 ） 关系；（相当于前牌推倒后牌） ；（相当于前牌推倒后牌 关系；（相当于前牌推倒后牌）
2 2 2 2 2
(1)证明当 证明当n=1时猜想成立 证明当 时猜想成立 相当于第一张牌能倒下 (2)证明若当 证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命 时命题成立， 证明若当 时命题成立 时命 题也成立. 题也成立 相当于使所有骨牌倒下的第2个条件 相当于使所有骨牌倒下的第 个条件 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜 对于所有的正整数n都是成立的 都是成立的。 想对于所有的正整数 都是成立的。
3.数学归纳法的应用： 数学归纳法的应用： 数学归纳法的应用 （1）恒等式例1例2例3 ） （2）不等式 ） （3）三角方面 ） （4）整除性例4 ） （5）几何方面例5 ） （6）计算、猜想、证明 ）计算、猜想、
问题情境
情境1.观察下列各等式，你发现了什么？ 情境 观察下列各等式，你发现了什么？ 观察下列各等式
是等差数列， 如果{an } 是等差数列，已知首项为 a1，公差为 d ，那么 a n = a1 + ( n − 1)d n ∈ N ∗ 都成立． 都成立． 对一切 递推基础 证明：（ ） 证明：（1）当n=1时， ：（ 时 左边 = a1 , 右边 = a1 + 0 ⋅ d = a1 , 等式是成立的． 等式是成立的． 时等式成立， （2）假设当 ）假设当n=k时等式成立，就是a k = a1 + ( k − 1)d , 时等式成立 那么当n=k+1时， 时 那么当

1-(1-1)a
②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,
即ak= (k-1)-(k-2)a ,
k -(k -1)a
则当n=k+1时,ak+1=
1 2-ak
=
2-
1 (k -1)-(k -2)a
k -(k -1)a
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
=
k -(k -1)a
2[k -(k -1)a]-[(k -1)-(k -2)a]
2 | 数学归纳法的步骤
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. ( ✕ ) 2.数学归纳法的第一步中n0的初始值一定为1. ( ✕ ) 3.数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( √ ) 4.用数学归纳法证明命题时,归纳假设一定要用上. ( √ )
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 选修2-2 人教A版
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2.3 数学归纳法
1 | 数学归纳法的概念 一般地,证明一个与① 正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行: 1.证明当n取第一个值② n0(n0∈N*) 时命题成立; 2.假设③ n=k(k≥n0,k∈N*) 时命题成立,证明当④ n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
= k(2k 3) 1
(2k 1)(2k 3)
= 2k 2 3k 1
(2k 1)(2k 3)
= (2k 1)(k 1)
(2k 1)(2k 3)
= k 1 .
2(k 1) 1
故当n=k+1时,等式也成立.