2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x =.(2) 设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为.(3)1+∞=⎰.(4) 设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂.(5) 微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为.(6) 设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E是单位矩阵, 则B =.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰,2x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( )(A),,.αβγ (B),,.αγβ(C),,.βαγ (D),,.βγα (8) 设()(1)f x x x =-, 则 ( )(A) 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B) 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C) 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(D) 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.(9) 22lim ln(1)n n→∞+ ( )(A)221ln xdx ⎰. (B)212ln xdx ⎰.(C)212ln(1)x dx +⎰. (D)221ln(1)x dx +⎰(10) 设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 ( )(A)()f x 在(0,)δ内单调增加. (B)()f x 在(,0)δ-内单调减小. (C)对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. (D)对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.(11) 微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 ( )(A)2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. (B)2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. (C)2sin y ax bx c A x *=+++. (D)2cos y ax bx c A x *=+++(12) 设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()D f xy dxdy ⎰⎰等于 ( )(A)11()dx f xy dy -⎰⎰. (B)22()dy f xy dx ⎰⎰.(C)2sin 2(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. (D)2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰(13) 设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为 ( )(A)010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B)010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (C)010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (D)011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(14) 设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有 ( )(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(16)(本题满分10分)设函数()f x 在(,-∞+∞)上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(I)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (II)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.(17)(本题满分11分)设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(I)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (II)求()f x 的值域.(18)(本题满分12分)曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(I)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.(19)(本题满分12分)设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-.(20)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注：kg 表示千克,/km h 表示千米/小时)(21)(本题满分10分)设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂.(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解(23)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】0.【详解】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点. 对不同的x , 先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.由2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+，显然当0x =时,()0f x =；当0x ≠时, 2(1)()lim 1n n x f x nx →∞-=+22211(1)lim(1)lim 11lim n n n x xx n n x x x n n →∞→∞→∞--===⎛⎫++ ⎪⎝⎭1x =, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠，故 0x =为()f x 的间断点.(2)【详解】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的参数方程求出二阶导数22d y dx , 再由220d ydx <确定x 的取值范围. ()323133dy t t t dt '=-+=-，()323133dxt t t dt'=++=+ 所以 2222331331dy dy dt t t dx dx dt t t --===++221111t t +--=+2211t =-+ 222221113(1)d y d dy dt dx dt dx dx t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()222413(1)1t t t =⋅++2343(1)t t =+, 令220d y dx <(或220d y dx≤)，即23403(1)t t <+(或23403(1)tt ≤+) ⇒0t <()0t ≤或 又331x t t =++， 2330x t '=+>，所以()x t 单调增, 当0t =时，1x =，所以当0t <时()()01x t x <=(或当0t ≤时，()()01x t x ≤=)，即(,1)x ∈-∞(或(,1]x ∈-∞)时，曲线凸(3)【答案】2π. 【详解】利用变量代换法可得所求的广义积分值. 方法1：作积分变量变换，令sec x t =，则2221sec 1tan x t t -=-=，sec sec tan dx d t t tdt ==，:02t π→，代入原式：22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰.方法2：令1x t =，则211dx d dt t t ==-，:10t →，代入原式：1120111)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰.(4)【答案】2.【详解】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 方法1：复合函数求偏导，在 232x zz ey -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z ze x x-∂∂=-∂∂, 23(3)2x z z z e y y -∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x z x z z e x e--∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 所以 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+ 方法2：令23(,,)20x zF x y z ey z -=+-=，则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 所以2323232322(13)13x z x z x z x zz e e FFx z x e e ----∂⋅∂∂=-=-=∂∂∂-++, 232322(13)13x z x z z FFy z y e e--∂∂∂=-=-=∂∂∂-++, 从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+ 方法3：利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x z x z e dx dy e dz --=+-即2323(13)22x zx zedz edx dy --+=+，得232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---=+++所以 2323213x z x z z e x e --∂=∂+, 23213x zz y e -∂=∂+从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+(5)【答案】315y x =+【详解】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解. 方法1：原方程变形为21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程 102dy y dx x-= 的通解:分离变量：12dy dx y x=两边积分得： 1ln ln ln 2y x c =+ y ⇒=用常数变易法，设(y c x =则((y c x c x ''=，代入21122dy y x dx x -=，得211(((22c x c x c x x x'-=，即321()2c x x '=, 积分得352211()25c x x dx x C ==+⎰,于是非齐次方程的通解为：53211()55y x C x =+=又由于165x y==代入通解，得316155= 1C ⇒=,故所求特解为 315y x =.方法2：原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式：()()()()()P x dx P x dx P x dx f x Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰这里()()211,22P x Q x x x =- =，代入上式得：1122212dx dx x x y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 由于方程0x =处方程无定义，所以解的存在区间内不能含有点0x =.因此解的存在区间要么为0x >的某区间，要么为0x <的某区间. 现在初值给在1x =处，所以0x >，于是11ln ln22212x x y ex e dx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎥⎦⎦⎰再6(1)15y C =⇒=, 从而特解为315y x =.(6) 【答案】91 【详解】方法1：已知等式两边同时右乘A ，得**2ABA A BA A A =+，由伴随矩阵的运算规律：**A A AA A E ==，有2AB A B A A =+，而210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=，于是有 A B AB +=63，移项、合并有 A B E A =-)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(36)363A E B A E B A -=-==，而 36A E -21010031206010001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦630600030360060300003006003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 3303(1)(3)(3)3330+=--=-⨯⨯27=，故所求行列式为B 33627A A E ==-19= 方法2：由题设条件**2ABA BA E =+，得 **2ABA BA -=*(2)A E BA E -=由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有 **(2)21A E BA A E B A E -=-==其中210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=；由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则 1n A A-*=.所以，312A AA -*===9 ； 又 0102100001A E -=1210(1)01+=-=1. 故1192B A E A*==-.二、选择题 (7)【答案】 (B) 【详解】方法1：202200tan 2lim limlim 0cos cos x xx x x x xxt dtβα+++→→→⋅= =⎰⎰洛必达，则β是α的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又233000lim lim lim x x x x x t dtγβ+++→→→= ⎰⎰洛必达201lim 4x x x +→=∞等价无穷小替换， 可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 方法2：用kx (当0x →时)去比较.221000cos cos limlimlim ,xkkk x x x t dt x xxkxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，有2200lim cos cos lim lim 1lim x x x x t txx x α++++→→→→===，所以(当+→0x 时)α与x 同阶.211300000tan tan 222lim limlim lim lim x k k k k k x x x x x x x x x x x kx kx kx β+++++---→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =, 有3320002tan 2tan 2lim lim lim 333x x x x x x x x β+++-→→→===， 所以(当+→0x 时)β与3x 同阶.3131322221110000sin lim limlim lim lim ,222kkk k k x x x x x t dt x x x x xx x kx kx kxγ+++++-----→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取2k =, 有22101lim lim 224x x x x x γ++-→→==⋅， 所以(当+→0x 时)γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选(B).(8)【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.方法2：写出()y f x =的分段表达式： ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,从而()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩, ()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,()00lim ()lim 1210x x f x x ++→→'=-=>，所以01x <<时，()f x 单调增， ()0lim ()lim 1210x x f x x --→→'=-+=-<，所以10x -<≤时，()f x 单调减， 所以0x =为极小值点.当10x -<<时,()20f x ''=>，()f x 为凹函数； 当10x >>时,()20f x ''=-<，()f x 为凸函数, 于是(0,0)为拐点.(9)【答案】 By【详解】由对数性质，lim ln (1)n n →∞+212lim ln (1)(1)nn nn n n →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1)ln(1)ln(1n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1nn i i n n →∞==+∑102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰(10)【答案】 (C)【详解】函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f .即当)0,(δ-∈x 时，0x <，有()(0)f x f <；而当),0(δ∈x 时，0x >有()(0)f x f >.(11)【答案】A【详解】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 则特征根为 i λ=±,对2021(1)y y x e x ''+=+=+为()()x m f x e P x λ=型，其中()20,1m P x x λ= =+，因0不是特征根, 从而其特解形式可设为2021()y ax bx c e ax bx c *=++=++对 sin y y x ''+=, 为()()()cos sin x l n f x e P x x P x x λωω=+⎡⎤⎣⎦型，其中0λ=，()()0,1l n P x P x ω=1,= =，因0i i i λω+=+=为特征根, 从而其特解形式可设为2(sin cos )y x A x B x *=+由叠加原理，故方程 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++(12)【答案】D【详解】由{}22(,)2D x y x y y =+≤，则积分区域是以()0,1 为圆心，1为半径的圆及其内部， 积分区域见右图.在直角坐标系下, 先x 后y ，x ≤≤02y ≤≤则应是20()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰先y 后x ，由()2211x y +-≤1111y x ⇒≤≤+≤≤，则应是1111()()Df xy dxdy dx f xy dy -=⎰⎰⎰⎰故应排除[],[]A B .在极坐标系下, cos ,sin x r y r θθ== ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰, 故应选D.或直接根据极坐标下，其面积元素为rdrd θ，则可排除C(13)【答案】(D)【详解】由题设，将A 的第1列与第2列交换，即12010100001AE A B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将B 的第2列加到第3列，即100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D).(14)【答案】(A)【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为n m ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，由0AB =知，()()r A r B n +≤，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数因A 为非零矩阵，故()1r A ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r B n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.因B 为非零矩阵，故()1r B ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r A n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.故应选(A).方法2：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，将B 按列分块，由0AB =得，[]12,,,0,0,1,2,,.s i AB A A i s ββββ====因B 是非零矩阵，故存在0i β≠，使得0i A β=. 即齐次线性方程组0Ax =有非零解. 由齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件()r A n <, 知()r A n <. 所以A 的列向量组线性相关.又()0T T TAB B A ==，将TA 按列分块，得12[,,,]0,0,1,2,,.T T T T TTT T m i B A B B i m αααα====因A 是非零矩阵，故存在0T i α≠，使得0T Ti B α=，即齐次线性方程组0Bx =有非零解. 由齐次线性方程组0Bx =有非零解的充要条件，知TB 的列向量组线性相关，由TB 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 方法3：设 (),i j m n A a ⨯=()i j n s B b ⨯=, 将A 按列分块，记 ()12n A A A A =由0AB =⇒()11121212221212s s n n n ns b b b b b b A A A b b b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎝⎭()111111,,0n n s ns n b A b A b A b A =++++= (1)由于0B ≠, 所以至少有一个 0i j b ≠(1,1i n j s ≤≤≤≤), 又由(1)知,11220j j i j i nj n b A b A b A b A +++++=, 所以12,,,m A A A 线性相关. 即A 的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量12,,,n m R ααα∈，有m 个不全为零的数12,,,m k k k R ∈，使11220m m k k k ααα++=成立，则称12,,,m ααα线性相关.)又将B 按行分块，记 12n B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 同样，0AB =⇒11121121222212n n m m mn n a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭111122121122221122n n n n m m mn n a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭0= 由于0A ≠,则至少存在一个0i j a ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 使11220i i i j j in n a B a B a B a B ++++=,由向量组线性相关的定义知，12,,,m B B B 线性相关, 即B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法4：用排除法.取满足题设条件的,A B .取001000,10010001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有00100100,10001AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 的行向量组，列向量组均线性相关，但B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.又取110100,00000100A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有1101000000100AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).三、解答题.(15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【答案】16-【详解】此极限属于型未定式.可利用洛必达法则,并结合无穷小代换求解.方法1： 2cos 2cos ln ln 332cos 3xxx x x x ee++⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫== ⎪⎝⎭原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=1x e x -302cos ln 3limx x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3limx x x →+-=（）20(ln 2cos ln 3)lim()x x x →'+-'（）洛01sin 2cos lim2x x x x →⋅-+（）=011sin lim 22cos x x x x →=-⋅+ 0011sin 11lim lim 122cos 23x x x x x →→=-⋅=-⋅⋅+16=-方法2：原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=1x e x -202cos ln 3limx x x →+⎛⎫⎪⎝⎭20cos 1ln 3limx x x→-+=（1）()ln 1x x +2200cos 11cos limlim 33x x x xx x→→--=- 222021cos lim 23x x x xx → - -16=-.(16)【详解】(I)当20x -≤<,则022x ≤+<,由题设：区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-知,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4]k x x =++-2(2)(4)k x x x =++(2)(4)kx x x =++.(II) 由(I)知：[][)2(4),0,2()(2)(4),2,0x x x f x kx x x x ⎧- ∈⎪=⎨++ ∈-⎪⎩，所以2(0)0(04)0f =⋅-=，按函数在某点可导的充要条件：在这点的左右导数存在且相等. 所以根据导数的定义求()f x 在0x =的左右导数，使其相等，求出参数k .200()(0)(4)0(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→---'===--00()(0)(2)(4)0(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++-'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.(17)【详解】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.(I) 要证()f x 是以π为周期的周期函数，即证：()()f x f x π=+因为2()sin x xf x t dt π+=⎰，所以()f x π+()()2sin x x t dt πππ+++=⎰32sin x x t dt ππ++=⎰利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性，设t u π=+, 因为3:2t x x ππ+→+，所以:2u x x π→+，则有()f x π+=2sin()()x xu d u πππ+++⎰()sin sin u uπ+=-2sin x xu du π+⎰()f x =,故()f x 是以π为周期的周期函数.(II) 因为()f x 是以π为周期的周期函数, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 又因()f x 为积分函数，则一定连续，根据有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值，所以()f x 的值域就是区间[min (),max ()]f x f x .令 ()sin()sin cos sin 02f x x x x x π'=+-=-=, 在区间[0,]π内求得驻点，14x π=, 234x π=, 且334444()sin sin 0sin 4f t dt t t dt πππππ= > =⎰⎰554433443()sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=-⎰⎰⎰又 2200(0)sin sin 1f t dt t dt ππ===⎰⎰, 3322()sin (sin )1f t dt t dt πππππ==-=⎰⎰,比较极值点与两个端点处的值，知()f x的最小值是2, 故()f x 的值域是[2.(18)【详解】(I) 旋转体体积：2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰旋转体的侧面积：0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰022x x t e eπ-⎛+= ⎝⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰022x x t e e π-⎛+= ⎝⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰2022x x t e e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 所以 ()()S t V t 2020222x x tx x t e e dx e e dx ππ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰2=. (Ⅱ) 在x t =处旋转体的底面积为2()x tF t y π==22x x x te e π-=⎛⎫+= ⎪⎝⎭22t t e e π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以20222()lim lim ()2xxt t t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰20222=lim 2x x t t t t e e dx e e -→+∞-'⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰222lim 222t t t t t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lim t t t t t e e e e --→+∞+=-221=lim 1t t t e e --→+∞+-1=(19) 【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数()2ln f x x =在()2[,],a b e e⊂上连续，且在(),a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数()2ln f x x =在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()()()22222ln ln ln ln ,b a b a b a e a b e ξξξξ'-=-=- <<<<下证：22ln 4eξξ>. 设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(tt t -='ϕ，当t e >时，1ln 1ln 0t e -<-= ，即,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，又因为2e ξ<，所以)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，得22ln 4e ξξ> 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 方法2：利用单调性， 设x ex x 224ln )(-=ϕ，证()x ϕ在区间()2,e e 内严格单调增即可. 24ln 2)(e x x x -='ϕ，(222222ln 444()20e e e e e e ϕ'=-=-=，)2ln 12)(xx x -=''ϕ, 当x e >时，1ln 1ln 0x e -<-=，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，2()()0x e ϕϕ''>=，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即a e a b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 方法3：设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-，21ln ()2x x x ϕ-''=, ⇒x e >时, 1ln 1ln 0x e -<-=，得()0x ϕ''<，⇒()x ϕ'在2(,)e e 上单调减少, 从而当2e x e <<时, 22244()()0x e e eϕϕ''>=-=，⇒()x ϕ在2(,)e e 上单调增加. 从而当2e a x b e <<≤<时, ()()0x a ϕϕ>=. ⇒()0b ϕ>，即2224ln ln ()b a b a e ->-.(20) 【详解】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 方法1：由题设，飞机质量9000m kg =，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ，速度为()v t ，则 0)0(,)0(0==x v v .根据牛顿第二定律，得kv dt dv m-=. 又dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=.由以上两式得dv k m dx -=，积分得.)(C v kmt x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，所以0(0)0.m x v C k =-+= 故得0v kmC =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时，).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 方法2：根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm-=, 分离变量：dv k dt v m =-，两端积分得：1ln kv t C m=-+， 通解：t mk Cev -=，代入初始条件00v vt ==，解得0v C =，故.)(0t mk ev t v -=飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v →，对应地t →+∞. 于是由dx vdt =，有0000() 1.05().k k t t mmmv mv x v t dt v edt ekm kk+∞--+∞+∞===-==⎰⎰ 或由()0kt mdx v t v e dt-==，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→方法3：由kv dtdv m -= ，dxv dt =，化为x 对t 的求导，得dt dx k dt x d m -=22, 变形为 022=+dt dxm k dtx d ，0(0)(0),(0)0v x v x '=== 其特征方程为 02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ，故.21t m ke C C x -+=由 2000000,kt m t t t t kC dxx v e v dt m -=======-=，得,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0t m ke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→ 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .(21)【详解】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.令 22,xyu x y v e =-=，则22(,)(,)xyz f x y e f u v =-=， 所以2,2u u x y x y ∂∂==-∂∂，,xy xy v v ye xe x y∂∂= =∂∂ 所以z x ∂=∂f u f vu x v x∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy x f ye f ''=+，z y ∂=∂f u f v u y v y ∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy y f xe f ''=-+ 2zx y ∂=∂∂()122xy z y f xe f x y x⎛⎫∂∂∂''=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭11122221222xy xy xy u v u v y f f e f xye f xe f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()1112222122222xy xy xy xy xy y xf ye f e f xye f xe xf ye f ''''''''''=-+++++ 2221112222=42()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''-+-++++(22) 【详解】方法1：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1()(2,)i i i n ⨯-+=行行11112000a a a B naa +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对||B 是否为零进行讨论：当0a =时，()1r A n =<，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是()r A n <. 故此方程组有非零解，把0a =代入原方程组，得其同解方程组为,021=+++n x x x ()*此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量. 选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式，得基础解系,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有1111210001a B n+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)12,3i i n ⨯-+=行()(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程组也有非零解，把2)1(+-=n n a 代入原方程组，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.方法2：计算方程组的系数行列式：11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦000111100022220aa a nnnn ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵加法 aE =+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111aE Q ∆ +， 下面求矩阵Q 的特征值：11112222E Q nnn n λλλλ---------=----1111201(-)(2,3,,)00i i i n n λλλλλ-----⨯+=-行行(1)1112()1000(2,3,,)n n i i i n λλλ+----⨯+=列列1(1)2n n n λλ-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则Q 的特征值2)1(,0,,0+n n ，由性质：若Ax x λ=，则()(),m mkA x k x A x x λλ==，因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故，A 的特征值为(1),,,2n n a a a ++, 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得 A 行列式.)2)1((1-++=n a n n a A 由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是n 阶矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是0=A . 可知，当0=A ，即0a =或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11112222A nnnn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1)(2,)i i i n ⨯-+=行（行1111000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，. 故方程组的同解方程组为,021=+++n x x x此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式， 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时， 1111210001aB n+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)1(2,3)i i n ⨯-+=行(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即 0000210001n⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量. 选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.(23) 【详解】A 的特征多项式为12314315E A aλλλλ---=----2(2)021114315aλλλλ---⨯-+----行（）行111(2)14315a λλλ------提出行公因数111(1)2(2)03315a λλλ-⨯-+-----行行 11012(2)033015a λλλ-+-----行行33(2)15a λλλ-=----(2)[(3)(5)3(1)]a λλλ=---++2(2)(8183).a λλλ=--++已知A 有一个二重特征值，有两种情况，(1)2=λ就是二重特征值，(2)若2=λ不是二重根，则28183a λλ-++是一个完全平方(1) 若2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得2a =-. 由E A λ-2(2)(8183(2))λλλ=--++⨯-2(2)(812)λλλ=--+2(2)(6)0λλ=--=求得A 的特征值为2,2,6, 由1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1231(-1)2,000113000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行倍加到行行的倍加到行，知()21E A -=秩，故2=λ对应的线性无关的特征向量的个数为312n r -=-=，等于2=λ的重数. 由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 从而A 可相似对角化.(2) 若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得 .32-=a 当32-=a 时，由E A λ-=22(2)(8183())3λλλ=--++⨯-2(2)(816)λλλ=--+2(2)(4)0λλ=--=知A 的特征值为2，4，4，由32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1133⨯+行行323103000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知()42E A -=秩，故4=λ对应的线性无关的特征向量有321n r -=-=, 不等于4=λ的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 知A 不可相似对角化.。
2004年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0b x ae xxx，则a =______，b =______.(2) 设函数 f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则2fu v.(3) 设21,12121,)(2xx xex f x，则212(1)f x dx.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 的秩为.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则}{DX XP _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21nY Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n iji j X X Y Y En n .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2)2)(1()2sin(||)(xx x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x)在(, +)内有定义，且a x f x)(lim ，0,00,)1()(xx x f x g ，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[](9) 设f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [](10) 设有下列命题：(1) 若1212)(n n nu u 收敛，则1n n u 收敛.(2) 若1n n u 收敛，则11000n nu 收敛.(3) 若1lim1nn nu u ，则1n n u 发散.(4) 若1)(n n nv u 收敛，则1n n u ，1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[](11) 设)(x f 在[a , b]上连续，且0)(,0)(b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (a). (B) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (b). (C) 至少存在一点),(0b a x ，使得0)(0x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||aa A 时, a B ||. (B) 当)0(||a a A 时, a B ||.(C) 当0||A 时, 0||B . (D) 当0||A 时, 0||B .[](13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A) 不存在.(B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(α, 数αu 满足αu X P α}{,若αx X P }|{|, 则x 等于(A)2αu .(B)21αu. (C)21αu .(D)αu 1.[ ] 三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 222xx xx.(16) (本题满分8分)求Ddy yx)(22，其中D 是由圆422yx和1)1(22yx 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足x ax adt t g dtt f )()(，x [a , b)，b ab adt t g dt t f )()(.证明：b ab adx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR (其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数)(864264242864x xxx的和函数为S (x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)设Tα)0,2,1(1, Tααα)3,2,1(2, T b αb α)2,2,1(3, Tβ)3,3,1(,试讨论当b a,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.(21) (本题满分13分)设n 阶矩阵111bb b b b b A.(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(A P , 31)|(A B P , 21)|(B A P , 令不发生，，发生，A A X0,1.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数XY ρ;(Ⅲ) 22Y XZ的概率分布.(23) (本题满分13分) 设随机变量X 的分布函数为，，，αxαx xαβαx F β0,1),,(其中参数1,0βα. 设n X X X ,,,21为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1α时, 求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ) 当2β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0b x ae xxx，则a =1，b =4.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cos sin lim0b x ae xxx ，且0)(cos sin lim 0b xx x，所以0)(lim 0a exx，得 a = 1. 极限化为51)(cos lim)(cos sin lim0b b x xx b x ae xxxx，得b = 4.因此，a = 1，b = 4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝A ，(1) 若g(x) 0，则f (x)0；(2) 若f (x)0，且A 0，则g(x)0.(2) 设函数 f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则)()(22v g v g vu f .【分析】令u = xg(y)，v = y ，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u = xg(y)，v = y ，则 f (u , v) =)()(v g v g u ，所以，)(1v g uf ，)()(22v g v g vu f .(3) 设21,12121,)(2xx xex f x，则21)1(221dxx f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x 1 = t ，121121221)()()1(dtx f dtt f dxx f ＝21)21(0)1(12121212dx dxxe x.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 的秩为2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 323121232221222222x x x x x x x x x 于是二次型的矩阵为211121112A , 由初等变换得33021133330211A ,从而2)(A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 323121232221222222x x x x x x x x x 2322321)(23)2121(2x x x x x 2221232y y , 其中,21213211x x x y 322x x y .所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则}{DX X P e1.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于21λDX, X 的分布函数为.0,0,0,1)(xx e x F xλ故}{DX X P }{1DX X P }1{1λXP )1(1λF e1.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j jn i i.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为2121])(11[1σX X n E n ii, 2122])(11[2σY Y n E n j j,故应填2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2)2)(1()2sin(||)(xx x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2). (D) (2 , 3).[ A ]【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限)(limx f ax与)(lim x f bx存在，则函数 f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而183sin )(lim1x f x，42sin )(limx f x，42sin )(limx f x，)(lim 1x f x，)(lim 2x f x，所以，函数f (x)在( 1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限)(limx f ax与)(limx f bx存在，则函数 f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设f (x)在(, +)内有定义，且a x f x)(lim ，,00,)1()(xx x f x g ，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元xu1，可将极限)(lim 0x g x转化为)(lim x f x.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f xf xg ux x= a(令xu1)，又g(0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x，即g(x)在点x = 0处连续，当a 0时，)0()(lim 0g x g x，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.[ C ]【分析】由于 f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < < 1，当x(, 0) (0 , )时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点.显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x (, 0)时，f (x) = x(1 x)，02)(x f ，当x(0 , )时，f (x) = x(1 x)，02)(x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设有下列命题：(1) 若1212)(n n nu u 收敛，则1n n u 收敛.(2) 若1n n u 收敛，则11000n nu 收敛.(3) 若1lim1nn nu u ，则1n n u 发散.(4) 若1)(n n nv u 收敛，则1n n u ，1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nnu )1(，显然，1n n u 分散，而1212)(n n nu u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1n n nu u 可得到n u 不趋向于零(n )，所以1n n u 发散.(4)是错误的，如令nv nu nn1,1，显然，1n n u ，1n n v 都发散，而1)(n n nv u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f 在[a , b]上连续，且0)(,0)(b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (a). (B) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (b). (C) 至少存在一点),(0b a x ，使得0)(0x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知)(x f 在[a , b]上连续，且0)(,0)(b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ，使得0)(0x f ；另外，0)()(lim)(axa f x f a f ax ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x 使得0)()(00ax a f x f ，即)()(0a f x f . 同理，至少存在一点),(0b a x 使得)()(0b f x f . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||aa A 时, a B ||. (B) 当)0(||a a A 时, a B ||.(C) 当0||A 时, 0||B . (D) 当0||A 时, 0||B .[ D ]【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r 立即可得.【详解】因为当0||A 时, n A r )(, 又A 与B 等价, 故n B r )(, 即0||B , 故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*A若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A) 不存在.(B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ B ]【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n, 而且.1)(,0,1)(,1,)(,)(*nA r n A r n A r n A r 根据已知条件,0*A于是)(A r 等于n 或1n . 又b Ax有互不相等的解,即解不惟一, 故1)(nA r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(α, 数αu 满足αu XP α}{, 若αx X P }|{|, 则x 等于(A)2αu .(B)21αu. (C)21αu .(D)αu 1.[ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由αx X P }|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P . 故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分) 求)cos sin 1(lim 222xx xx.【分析】先通分化为“0”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】xx x x x xx xxx222220222sin cos sin lim)cos sin 1(lim =346)4(21lim 64cos 1lim44sin 212lim 2sin 41lim220230422xx xx xxx x x xx xx x.【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分) 求Ddy yx)(22，其中D 是由圆422y x 和1)1(22y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221yx y x D 减去小圆}1)1(|),{(222yx y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221y x y x D y x y x D ，由对称性，0D yd.21222222D D Ddy x dy x dy xcos 20223220220dr r d dr r d.)23(916932316所以，)23(916)(22Ddy yx .【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足x ax adt t g dtt f )()(，x [a , b)，b ab adt t g dt t f )()(.证明：b ab adx x xg dx x xf )()(.【分析】令F(x) = f (x) g(x)，x a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F(x) = f (x) g(x)，x adt t F x G )()(，由题设G(x) 0，x[a , b]，G(a) = G(b) = 0，)()(x F x G . 从而b ab ab ab ab adx x G dxx G x xG x xdG dxx xF )()()()()(，由于G(x) 0，x [a , b]，故有0)(b adx x G ，即0)(b adxx xF .因此b ab adx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR (其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQQ P E d；由Q = PQ 及dPdQQ P E d可推导)1(d E Q dPdR .【详解】(I)PPdP dQ Q P E d20.(II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dPdQ PQ dPdR .又由120PPE d，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0dPdR ，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dRd )1(，Q E dpdR d )1(，p E dQdR d)11(，d E EpER 1(收益对价格的弹性).(19) (本题满分9分)设级数)(864264242864x xxx的和函数为S (x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.【分析】对S (x)进行求导，可得到S (x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式.【详解】(I) 864264242)(864xxxx S ，易见S(0) = 0，642422)(753xxxx S )642422(642xxxx )](2[2x S xx .因此S(x)是初值问题0)0(,23y xxyy 的解.(II) 方程23xxyy 的通解为]2[3C dx exey xdxxdx22212xCex，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222x exy，因此和函数12)(222x exx S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题.(20)(本题满分13分)设Tα)0,2,1(1, Tααα)3,2,1(2, T b αb α)2,2,1(3, Tβ)3,3,1(,试讨论当b a,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk 332211是否有解的问题即易求解.【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk 332211. (*)记),,(321αααA. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有323032221111),(ba ab a βA 0101111ba b a . (Ⅰ) 当0a 时, 有11001111),(b βA .可知),()(βA r A r . 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0a, 且b a时, 有101111),(ba b a βA 01101011001aa3),()(βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111, ak 12,03k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为211)11(αa αa β．(Ⅲ) 当0ba 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有101111),(bab a βA 0111011001aa，2),()(βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为ak 111, c ak 12, c k 3，其中c 为任意常数．β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一,其表示式为321)1()11(αc αc aαa β．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分)设n 阶矩阵111bb b b b b A.(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P1为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||A Eλ和齐次线性方程组0)(x A E λ来解决.【详解】(Ⅰ)1当0b 时，111||λbbb λb b b λA Eλ＝1)]1(][)1(1[n b λb n λ,得A 的特征值为b n λ)1(11，b λλn 12．对b n λ)1(11，bn bbb bn b b b bn AEλ)1()1()1(1)1(111)1(111)1(n n n 0000111111111111n n n 000111111111111n n n 0000001111n n n n n 00110010101001解得Tξ)1,,1,1,1(1，所以A 的属于1λ的全部特征向量为Tk ξk )1,,1,1,1(1(k 为任意不为零的常数)．对b λ12，bbbb b b b b bAEλ200000111得基础解系为Tξ)0,,0,1,1(2，Tξ)0,,1,0,1(3，Tn ξ)1,,0,0,1(,．故A 的属于2λ的全部特征向量为nn ξk ξk ξk 3322(n k k k ,,,32是不全为零的常数)．2当0b时，nλλλλA Eλ)1(1010001||,特征值为11nλλ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 1当0b时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP ，则bbbn APP 11)1(112当0b时，E A，对任意可逆矩阵P , 均有E APP 1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(A P , 31)|(A B P , 21)|(B A P , 令不发生，，发生，A A X0,1.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数XY ρ;(Ⅲ) 22Y XZ的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】(Ⅰ) 因为121)|()()(A B P A P AB P ，于是61)|()()(B A P AB P B P ，则有121)(}1,1{AB P Y X P ，61)()()(}0,1{AB P A P B A P Y X P ，121)()()(}1,0{AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{AB P B P A P B A P B A P YXP ，( 或32121611211}0,0{YXP )，即),(Y X 的概率分布为：Y X10 13212161121(Ⅱ)方法一：因为41)(A P EX ，61)(B P EY ，121)(XY E ，41)(2A P EX ，61)(2B P EY，163)(22EX EXDX，165)(22EY EY DY，241)(),(EXEYXY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数1515151),(DYDX Y X Cov ρXY．方法二：X, Y 的概率分布分别为X 01Y 01P4341P6561则61,41EYEX，163DX，DY=365, E(XY)=121,故241)(),(EYEX XY E Y X Cov ，从而.1515),(DYDX Y X Cov XY(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{Y X P Z P ，41}1,0{}0,1{}1{Y X P Y X P Z P ，121}1,1{}2{YXP ZP ，即Z 的概率分布为：Z 0 12P3241121【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为，，，αxαx xαβαx F β0,1),,(其中参数1,0βα. 设n X X X ,,,21为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1α时, 求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ) 当2β时, 求未知参数α的最大似然估计量. 【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当1α时, X 的概率密度为，，，101,),(1xx xββx f β(Ⅰ) 由于11,1);(ββdxxβxdxβx xf EX β令X ββ1,解得1X X β,所以, 参数β的矩估计量为1XX β.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21, 似然函数为ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i 时, 0)(βL , 取对数得ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1ni ix βn βd βL d ，解得ni ix nβ1ln ，于是β的最大似然估计量为ni ix nβ1ln ?．( Ⅲ) 当2β时, X 的概率密度为，，，αxαx xαβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21, 似然函数为ni in nni n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,min{?21n x x x α,于是α的最大似然估计量为},,,min{?21n X X X α．。
2004年数学四试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x xb x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.完全类似的例题见《数学复习指南》P36例1.60，P43第1(3)题，P44第2(10)题、 第6题，《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34，《数学四临考演习》P79第7题， 《考研数学大串讲》P12例17、19.(2) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1121+-==e e dx dy x .【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.【详解】因为)1ln(21arctan 2++-=xxe x e y ，111222++-+='x x xx e e e e y ， 所以，1121+-==e e dx dy x . 【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导.类似例题在一般教科书上均可找到.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可. 【详解】令x - 1 = t ， ⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.完全类似的例题见《数学复习指南》P96例4.17，《数学四临考演习》P61第2题， P68第15题，《考研数学大串讲》P41例14.（4） 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则 =-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003 ．【分析】 将B 的幂次转化为A 的幂次, 并注意到2A 为对角矩阵即得答案. 【详解】因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000100012A , P A PB 200412004-=.故E EP P P A P B===--11002212004)(,=-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003.【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查．完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291例2.13. (5) 设()33⨯=ija A 是实正交矩阵，且111=a ，Tb )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是T)0,0,1(．【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果. 【详解】因为 b A x 1-=, 而且()33⨯=ij a A 是实正交矩阵, 于是 1-=A A T , A 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-0011312111a a a b A b A x T.【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算．类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司) P.174例33.(6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ 故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界； 如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例1.10，《数学四临考演习》P51 第15题.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. 完全类似的例题见《数学复习指南》P41例1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20例1.35. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. 完全类似的例题见《数学复习指南》P141例6.9，《考研数学大串讲》P96例5.(10) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.[ B ]【分析】先求分段函数f (x )的变限积分⎰=xdt t f x F 0)()(，再讨论函数F (x )的连续性与可导性即可.【详解】当x < 0时，x dt x F x-=-=⎰0)1()(；当x > 0时，x dt x F x==⎰01)(，当x = 0时，F (0) = 0. 即F (x ) = |x |，显然，F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. 故选(B).【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分. 对于绝对值函数：||0x x -在0x x =处 不可导；f (x ) =||0x x x n -在0x x =处有n 阶导数，则||)!1()(0)(x x n x f n -+=. 完全类似的例题见《数学复习指南》P95例4.15，《考研数学大串讲》P42例15. (11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. 完全类似的例题见《数学复习指南》P130例5.8，《数学题型集粹与练习题集》P70例5.4. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必须(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 从而选 (D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.相关知识要点见《数学复习指南》P.284-286.(13) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{, 若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu - . (C) 21αu-. (D) αu -1. [ B ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(B).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 见《数学复习指南》P.489分位数概念的注释.(14) 设随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布，且方差02>σ．令随机变量∑==ni i X n Y 11， 则(A) 212)(σn n Y X D +=+． (B) 212)(σnn Y X D +=-． (C) nσY X Cov 21),(=． (D) 21),(σY X Cov =． [ C ]【分析】 利用协方差的性质立即得正确答案..【详解】 由于随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布, 于是可得),(1)1,(),(11111∑∑====ni i n i i X X Cov n X n X Cov Y X Cov),(1),(11111X X Cov nX X Cov n n i i ==∑=211)(1σnX D n ==. 故正确答案为(C).【评注】本题是对协方差性质的考查, 属于基本题.相关知识点见《数学复习指南》P.454, 类似的例题可见《2004文登模拟试题》数三的第一套第23题.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =30422044sin 212lim 2sin 41lim xxx x x x x x -=-→→. 346)4(21lim 64cos 1lim 22020==-=→→x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.完全类似的例题见《数学复习指南》P28例1.45. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的 平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101例8.12(1)，《数学四临考演习》P16 第17题，《考研数学大串讲》P79例2. (17) (本题满分8分)设f (u , v )具有连续偏导数，且满足uv v u f v u f v u='+'),(),(. 求),()(2x x f e x y x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】先求y '，利用已知关系uv v u f v u f v u='+'),(),(，可得到关于y 的一阶微分方程. 【详解】x v x ux x e x y x x f e x x f e x x f e y 222222),(),(),(2----+-='+'+-='， 因此，所求的一阶微分方程为x e x y y 222-=+'.解得 x dxx dx e C x C dx e e x e y 232222)31()(---+=+⎰⎰=⎰(C 为任意常数).【评注】 本题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是 基本题型. 完全类似的例题见《数学复习指南》P243例11.11，《数学题型集粹与练习题集》P95例7.13、 例7.14，《数学四临考演习》P3第16题，《考研数学大串讲》P76例14. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). 这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题(经济类)》有详细的总结. 完全类似的例题见《数学复习指南》P255例12.4，《数学应用专题(经济类)》P2. (19) (本题满分9分)设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线y = F (x )之间的面积. 对任何t > 0，)(1t S 表示矩形-t ≤ x ≤ t ，0 ≤ y ≤ F (t )的面积. 求(I) S (t ) = S -)(1t S 的表达式；(II) S (t )的最小值.【分析】曲线y = F (x )关于y 轴对称，x 轴与曲线y = F (x )围成一无界区域，所以， 面积S 可用广义积分表示. 【详解】(I) 120202=-==+∞-∞+-⎰xxe dx e S ，t te t S 212)(-=，因此t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞). (II) 由于t e t t S 2)21(2)(---='，故S (t )的唯一驻点为21=t ， 又t e t t S 2)1(8)(--=''，04)21(>=''eS ，所以，eS 11)21(-=为极小值，它也是最小值.【评注】本题综合了面积问题与极值问题，但这两问题本身并不难，属于基本题型.完全类似的例题见《数学复习指南》P143例6.13，《数学题型集粹与练习题集》P80例6.11.(20) (本题满分13分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T)1,1,1,1(--是该方程组的一个解，试求(Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足32x x =的全部解．【分析】 含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它来(部分)确定未知参数.【详解】 将T)1,1,1,1(--代入方程组，得μλ=．对方程组的增广矩阵A 施以初等行变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1212)12(2001131012011422302112011λλλλλλλλλλA ，(Ⅰ) 当21≠λ时，有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→2121100212101001001A ， 43)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,21,21,0(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)2,1,1,2(--=，故方程组的全部解为T Tk ηk ξξ)2,1,1,2()0,21,21,0(0--+-=+= (k 为任意常数)．当21=λ时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000113102121101A ， 42)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,0,1,21(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)0,1,3,1(1-=，Tη)2,0,2,1(2--=,故方程组的全部解为T T T k k ηk ηk ξξ)2,0,2,1()0,1,3,1()0,0,1,21(2122110--+-+-=++=(21,k k 为任意常数)．(Ⅱ) 当21≠λ时，由于32x x =，即 k k -=+-2121，解得 21=k ， 故方程组的解为T T T ξ)1,0,0,1()2,1,1,2(21)0,21,21,1(-=--+-= ．当21=λ时， 由于32x x =，即121231k k k =--， 解得 212141k k -=，故方程组的全部解为 T T T k k ξ)2,0,2,1()0,1,3,1)(2141()0,0,1,21(22--+--+-=T T k )2,21,21,23()0,41,41,41(2---+-=， (2k 为任意常数)．【评注】：(1) 含未知参数的线性方程组的求解是历年考试的重点, 几乎年年考, 务必很好掌握.完全类似的例题可见《数学复习指南》P.341例4.9, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.161例10, 以及文登数学辅导班上讲授的例子.(2) 对于题(Ⅱ), 实际上就是在原来方程组中增加一个方程, 此时新的方程组当21≠λ时有惟一解, 当21=λ时有无穷多解. (3) 在题(Ⅱ)中，当21=λ时，解得12221k k -=，方程组的全部解也可以表示为T T k ξ)4,1,1,3()1,0,0,1(1-+-=， (1k 为任意常数)．(21) (本题满分13分)设三阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值．若T α)0,1,1(1=, T α)1,1,2(2=, T α)3,2,1(3--=, 都是A 的属于特征值6的特征向量．(Ⅰ) 求A 的另一特征值和对应的特征向量；(Ⅱ) 求矩阵A ． 【分析】 由矩阵A 的秩为2, 立即可得A 的另一特征值为0. 再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵A 也立即可得.【详解】 (Ⅰ) 因为621==λλ是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知T α)0,1,1(1=，Tα)1,1,2(2=为A 的属于特征值6的线性无关特征向量．又A 的秩为2，于是0||=A ，所以A 的另一特征值03=λ．设03=λ所对应的特征向量为Tx x x α),,(321=，则有 01=ααT，02=ααT，即⎩⎨⎧=++=+,02,032121x x x x x 得基础解系为Tα)1,1,1(-=，故A 的属于特征值03=λ全部特征向量为T k αk )1,1,1(-= (k 为任意不为零的常数)．(Ⅱ) 令矩阵),,(21αααP =，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0661AP P ，所以1066-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3131313231311100661******** ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=422242224． 【评注】 这是一个有关特征值和特征向量的逆问题, 即已知矩阵的部分特征值和特征向量,要求另一部分特征值, 特征向量和矩阵. 这在历年考研题中还是首次出现．但几乎原题可见《数学复习指南》P.362例5.8, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.186例15和例16, 以及文登数学辅导班上讲授的例子. (22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z 的概率分布为：【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型．原题可见《数学复习指南》P.434例 2.36, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.240例3, 以及文登数学辅导班上讲授的例子. (23) (本题满分13分)设随机变量X 在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求(Ⅰ) 随机变量X 和Y 的联合概率密度；(Ⅱ) Y 的概率密度； (Ⅲ) 概率}1{>+Y X P ．【分析】正确理解已知条件, 即条件密度是求解本题的关键. 【详解】 (Ⅰ) X 的概率密度为 ⎩⎨⎧<<=其他，，，010,1)(x x f X在)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，，，00,1)|(|x y x x y f X Y当10<<<x y 时，随机变量X 和Y 的联合概率密度为xx y f x f y x f X Y X 1)|()(),(|==在其它点),(y x 处，有0),(=y x f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<<<=．x y x y x f 其他，，010,1),((Ⅱ) 当10<<y 时，Y 的概率密度为⎰⎰-===+∞∞-1ln 1),()(y Y y dx xdx y x f y f ； 当0≤y 或1≥y 时，0)(=y f Y ．因此 ⎩⎨⎧<<-=．y y y f Y 其他，，010,ln )((Ⅲ) ⎰⎰⎰⎰->+==>+xx Y X dy xdx dxdy y x f Y X P 112111),(}1{ 2ln 1)12(121-=-=⎰dx x ．【评注】本题考查了二维连续型随机变量的边缘概率密度, 条件概率密度, 联合概率密度的相互关系，以及二维连续型随机变量取值于一个区域的概率的计算，属于综合性题型． 原题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.242例5, 以及文登数学辅导班上讲授的例子.。
