《不等式》知识点归纳
•（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值•
（2）解分式不等式f2L aa 0的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，X
g x
的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；
（3）含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是分类讨论、平方转化或换元转化）；
（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论•注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集
二、利用重要不等式a b 2・.ab以及变式ab （牙）2等求函数的最值时，务必注意a,b R
（或a ，b非负），且等号成立”时的条件是积ab或和a+ b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）.
三、•常用不等式有：牙 ab亍2了（根据目标不等式左右的运算结构选用）a、b、
a b
c R， a2 b2 c2 ab bc ca （当且仅当a b c时，取等号）
四、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
a3 b3 c 3> 3abc （ a b c 0等式即可成立，a b c或a b c 0时取等）；
Vabc w a b abc w(
3
c3
五、最值定理
（积定和最小）①x, y 0,由x y > 2 , xy，若积xy P（定值），则当x y时和x y有最小值
（和定积最大）②x, y 0,由x y > 2 xy，若和x y S（定值），则当x y是积xy有最大值-s2.
4
【推广】：③已知a,b,x, y R ,若ax by 1，贝U有则丄丄的最小值为:
x y
1 1 (ax by)( )
x y ax —>
a b 2 '、ab
④等式到不等式的转化：已知x>0, y>0, x+ 2y+ 2xy= 8,则x+ 2y的最小值是
2xy 8 (x 2y) x 2y 8 (x 2y) (x 2y)
4
(x 即
2
2y)
4
(x 2y) 8 0 (x 2y 8)(x 2y 4) 0
解得x 2y 8(舍)或x 2y 4 故x+ 2y的最小值是4
如果求xy的最大值，则2xy 8 (x 2y) x 2y 8 2xy 2 2xy，
然后解关于...xy的一元二次不等式，求xy的范围，进而得到xy的最大值
六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、
分析法和放缩法(注意：对整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径，配方、函数单调性
等”对放缩的影响).
七、含绝对值不等式的性质：
a、b 同号或有0 |a b| |a| |b| ||a| |b|||a b| ；
a、b异号或有0 |a b| |a| |b| ||a| |b|||a b|.
八、不等式中的函数思想
不等式恒成立问题
含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖
知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这
类问题的过程中涉及的函数与方程” 化归与转化”数形结合” 分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
、函数法
f(x) 0恒成立f(m) 0
c，f(X)
0恒成立 f (m) 0
f(n) 0 f (n) 0
(2) 一元二次函数f(x) ax2 bx c 0(a 0, x R)有:
1) f (x) 0对x R恒成立 a 0
0；
(1) 一次函数f (x) kx b,x [m, n]有:
2
)
f(x) 0
对x R 恒成立a 0
(3)不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
、最值法:
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有:
3,3 时，都有 f(X)max g(x)min •
(3)于任意为 3,3 ，总存在X o 3,3使得g(X o ) f (xj 成立，等价于f
是g x 的值域的子集,
三、 分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，
从而问题转化为求主元
函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。 一
例 1.设 f (x) x 2 2
mx 2，当 x [ 1,)时，f (x)
m 恒成立，求实数m 的取值范围。
解: 设 F(x) x 2
2mx 2 m ，则当x [ 1,)时，F(x) 0恒成立
F( 4(m 1)(m 2) 0即2 m 1时，F(x) 0显然成立; 0时, 如图, F(x) 0恒成立的充要条件为:
1 y
:X J;
/ W 1 1
O X
0 1) 0
2m
2 解得
综上可得实数 m 的取值范围为[3,1)。
(1) f (x) a 恒成立
a f (x)min
(2) f (x) a 恒成立
a f ( x)
max
例2•已知两个函数f(x)
2 3 2
8x 16x k , g(x) 2x 5x 4x ,其中 k 为实数.
(1)若对任意的x
,都有f(x) g(x)成立，求k 的取值范围;
⑵若对任意的％、 X 2 3,3，都有f(xj g(X 2)，求k 的取值范围.
⑶若对于任意X 1
解: (1)令 F(x)
3,3 g(x)
，总存在X 0 3,3使得g(X 0)
f(X 1)成立，求k 的取值范围•
f (x) 2x 3 3x 2
12x k ,
问题转化为F(x) 0在x 3,3上恒成立，即F(x)min 0即可
(2)由题意可知当x x 的值域
