中考数学黄金知识点系列专题19分式方程【含解析】

1 专题19 分式方程

聚焦考点☆温习理解

1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、判断方程为分式方程

【例1】下列各式中，是分式方程的是（ ）

A．x+y=5 B．22253xy C．165x D．1x

【答案】C．

【解析】

D、不是方程，是分式．

故选C．

考点：分式方程的定义． 2 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．

【举一反三】

下列各式中为分式方程的是（ ）

A．x+1x B．11123xx C．253x D．10x

【答案】B．

【解析】

考点：分式方程的定义．

考点典例二、分式方程的解及增根

【例2】（2015凉山州）分式方程233xx的解是 ．

【答案】9x．

【解析】

试题分析：方程的两边同乘(3)xx，得：23(3)xx，解得9x．检验：把9x代入(3)540xx．∴原方程的解为：9x．故答案为：9x．

考点：解分式方程．

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

【举一反三】 3 1. （2016广东广州第14题）方程12＝2xx－3的解是 .

【答案】x=-1.

【解析】

试题分析：方程两边同乘以2x（x-3）得，x-3=4x，解得x=-1，经检验x=-1是原方程的解.

考点：解分式方程.

2.若分式方程211xmxx有增根，则这个增根是

【答案】x=1．

【解析】

考点：分式方程的增根．

考点典例三、解分式方程

【例3】（2016浙江台州第18题）解方程：2717xxx．

【答案】x=15．

【解析】

试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

试题解析：去分母得：x+1=2x﹣14，解得：x=15，经检验x=15是分式方程的解．

考点：解分式方程．

【点睛】本题考查解分式方程的能力，注意：

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

【举一反三】

1. （2016海南省第7题）解分式方程1x－1+1=0，正确的结果是（ ）

A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解

【答案】A. 4 【解析】

试题分析：1x－1+1=0，1+x-1=0，x=0，经检验：x=0是原方程的根，故选A.

考点：解分式方程.

2. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第19题）解方程：233011xxx．

【答案】x=0．

【解析】

考点：解分式方程．

考点典例四、分式方程的应用

【例3】（2016湖南岳阳第20题）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．

【答案】3.

【解析】

试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．

试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x千米．

服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，

根据题意：6.35.22424xx，

解得：x=3，

经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意． 5 答：学生步行的平均速度是每小时3千米．

考点：分式方程的应用.

【点睛】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．

【举一反三】

1. （2016山东淄博第16题）某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是 ．

【答案】xx45860．

【解析】

考点：分式方程的应用.

2. （2016山东滨州第14题）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做 个零件．

【答案】9.

【解析】

试题分析：设甲每小时做x个零件，乙每小时做(x-3)个零件，根据题意得32030xx，解得x=9，经检验，x=9是原方程的解.

考点：分式方程的应用.

课时作业☆能力提升

一、选择题

1. （2016湖北宜昌第8题）分式方程=1的解为（ ）

A．x=﹣1 B．x=C．x=1 D．x=2

【答案】A.

【解析】 6 试题分析：去分母得：2x﹣1=x﹣2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解，所以分式方程的解为x=﹣1．故答案选A．

考点：分式方程的解法．

2. （2016湖北十堰第7题）用换元法解方程xx122﹣122xx=3时，设xx122=y，则原方程可化为（ ）

A．y=y1﹣3=0 B．y﹣y4﹣3=0 C．y﹣y1+3=0 D．y﹣y4+3=0

【答案】B．

【解析】

试题分析：∵设xx122=y，则122xx=y1，原方程可转化为：y﹣y4=3，即y﹣y4﹣3=0．故答案选B．

考点：换元法解分式方程．

3. (2016山东潍坊第10题)若关于x的方程333xmmxx=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）

A．m＜92B．m＜92且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣34

【答案】B.

【解析】

考点：分式方程的解．

4. （2016新疆第9题）两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程是（ ）

A． 152.175007500xx B．412.175007500xx

C．152.15.75.7xx D．412.15.75.7xx 7 【答案】D.

【解析】

考点：分式方程的应用.

5.若关于x的分式方程2233xmxx有增根，则m的值是( ).

A．1m B．0m C．3m D．0m或=3m

【答案】A.

【解析】

考点：1.解分式方程；2.增根的意义.

6. （2016青海第18题）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）

A.4804804160xxB.4804804160xxC.4804804160xxD.4804804160xx

【答案】B．

【解析】

试题分析：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h，根据题意，可得：4804804160xx，故选B．

考点：由实际问题抽象出分式方程．

7. （2016辽宁葫芦岛第8题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ） 8 A.120080040xx B.120080040xx C.120080040xx D.120080040xx

【答案】A．

【解析】

考点：由实际问题抽象出分式方程．

二、填空题

8. （2016江苏苏州第12题）当x= 时，分式x－22x＋5的值为0．

【答案】2.

【解析】

试题分析：∵x－22x＋5的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2.

考点：分式.

9. （2016贵州铜仁第13题）方程5302xx的解为 ．

【答案】x=﹣3．

【解析】

试题分析：去分母，得：5x﹣3（x﹣2）=0，整理，得：2x+6=0，解得：x=﹣3，经检验：x=﹣3是原分式方程的解，故答案为：x=﹣3．

考点：解分式方程．

10. （2016江苏盐城第15题）方程21xx的正根为 ．

【答案】x=2．

【解析】

试题分析：去分母得22xx，整理得220xx，解得12x，21x，经检验12x，21x都是分式方程的解，所以原方程的正根为x=2．故答案为：x=2．

考点：分式方程的解．

三、解答题