沪教版八年级数学-教师-平面向量
- 格式：doc
- 大小：566.72 KB
- 文档页数：9
~ 1 ~ 初中数学备课组
教师 班级 学生
日期 上课时间
平面向量及其加减运算
知识精要
一、向量概念与表示
1.向量的概念与表示方法
1) 有向线段:规定了方向的线段.有向线段的三要素：起点、方向、长度。
向量：既有大小，又有方向的量,如风速，力。双重性:方向,大小。
2） 向量表示法： ①图形表示：用有向线段表示：
②符号表示：有向线段的起点终点AB；字母a.
3）向量的模：向量的大小叫做向量的模（向量的长度）记做：||||ABa，.
2.零向量的概念
1）定义：长度为0的向量，记作0。
2） 结论：aa＝0．
3）简单说：零向量：大小为0，方向任意．即：00＝．
4）说明：零向量是向量，故零向量既有大小，又有方向的量．
3.相等向量、相反向量，平行向量
1）相等向量：方向相同且长度相等的两个向量。（说明：既要考虑方向，又要考虑长度）。
2）相反向量：方向相反且长度相等的两个向量。（既要考虑方向，又要考虑长度）。
3）平行向量：方向相同或相反的两个向量。（只要方向相同或相反，与长度无关）。
说明：我们规定0与任意向量平行。
二、平面向量的加法
1. 向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
2．向量加法的法则：
三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么，以第一个向量的起点为起到，第二个向量的终点为终点，所得的向量即是者两个向量的和向量。
3.向量加法的运算律：交换律和结合律 BABAObaa~ 2 ~ 1） 已知ab与，求作：ab＋ ，ba＋。
如图：cab＋；dba＋。
即加法满足交换律。
2） 结合律类似。
4. 向量加法的多边形法则：
几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，它们的和向量是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则。
1）思考：已知四边形ABCD及其向量,,ABBCCD, ABBCCD=
得出：多个向量的加法可以多边形法则。
2）例题：如图：梯形ABCD中，AB//DC，CE//AD，点E在AB上，
那么AEECCDBE＋＝__________________。BC
ABBCCEAD＋＝__________________。AC
三、平面向量的减法：
1、问题1：已知向量,ab，如果a是b与另一个向量x相加所得的和向量，即bxa；那么怎样求出x?
由作图得出：图2：bBCa；即：abBC； 图3：abAC；即：abAC。
2.向量的减法：在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。
又：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
3.向量减法法则：三角形法则。
4. 向量减法的平行四边形法则： bacbadbaDCBADECBAbaCBAbaCBAa-b图1 图2 图3 ~ 3 ~ 如果,ab是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与,ab相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是,ab的和向量.——这个规定叫做向量加法的平行四边形法则。
要素： ① 起点相同； ②以两个向量为邻边做平行四边形； ③ 由起点指向平行四边形的对顶点所得的向量即为和向量。
热身练习：
1.下列各量中，不是向量的是 （ D ）
A.浮力 B. 风速 C. 位移 D.密度
2．下列说法中正确的是（ A ）
A. 相反向量是平行向量 B. 平行向量是相等向量
C.平行向量的方向相同 D.平行向量的方向相反
3．下列说法中错误的是（ A ）
A. 如果向量b与向量a平行，那么存在唯一的实数m使得amb；
B. 如果m、n为实数，那么amnanm)()(；
C. 如果m、n为实数，那么anamanm)(；
D. 如果m、n为实数，那么bmambam)(．
4． 如果CDAB，那么下列结论中，正确的是（ B ）
A . DBAC B.BDAC C.BCAD D.CBAD．
5．在Rt△ABC中，∠C=90º,点D是斜边AB的中点，bCAaCB,那么CD等于（ C ）
A.ba2121 B.||21||21ba C.||21ba D. ||21||21ba．
6.在△ABC中，bCAaBC,，则AB等于（ C ）
A.ba B.ba C.ba D.ab ~ 4 ~ 7．在□ABCD中，O是对角线的交点,那么._________21ACABDBDOOB21或或
8．如果向量a、x满足关系式xxa)(3，用向量a表示向量x，则x＝ a23 ．
9．. 计算：)216(31)32(32abba=___a67_______．
10.已知在 A ABCD中，bADaAB,，
(1)试用ba,表示DBAC,；
(2)当ba,满足什么条件时，AC和DB垂直；
(3)当ba,满足什么条件时，AC和DB相等。
解：（1）,ACabDBab
（2）当ab时，AC和DB垂直；
（3）当ab时，AC和DB相等
精解名题
例1、作图：已知向量,ab，平行四边形法则作图：ab+；ab-.
作法：（1）在平面内取一点O，作OAa，OBb； C
（2）以OA、OB为邻边，作OBCA； A
（3）分别作向量OC、BA B
则OCab，BAab O
例2、已知AD是△ABC的中线，试用,,ABADAC表示向量,BDDC
ADACDCABADBD;
例3、如图，□ABCD和梯形EFGH中，EF∥HG。 图中有向线段都表示向量，它们的起点和终点分别是所在四边形的顶点。 分别指出图中的相等向量、相反向量和平行向量.
DCBAbaHGFEDCBA~ 5 ~
相等向量： AB=DC；
相反向量：BC=-AD；
平行向量：AD∥BC；DC∥AB；HG∥EF
例4、如图所示，跑步爱好者小林从A地以每小时6千米的速度向正东方向跑了40分钟后到达B地.然后折向东偏北060方向又跑了半个小时，到达C地，求AC两地的直线距离。
解：由AB=2643（千米），BC=1632（千米）
过点C作AB所在直线的垂线，交AB延长线于H，H为垂足
因为060,CBH则030BCH
所以BH=32，CH=332
在直角三角形CHA中，311422AH，CH=332，所以AC=37
例6： 如图，正六边形ABCDEFD的中心是O，已知AO=a，AB=b，
（1） 用a，b表示以下向量：EF=______________，CF=______________，
FA=_______________,CE=______________.
（2）求证：AE∥BD．
答案：（1）EF= -a，CF= -2b，FA=b-a，BF=a-2b.（2）提示:AE=BD=2a-b．
备选例题
1．已知向量,,abc；求作：（1）abc （2）abc
（例6图） AB C D E F
O a
b ~ 6 ~
2. 如图,在梯形ABCD中，AD//BC，BC=3AD,，已知AD=a, 求.ACDB
答案：过点D作DE//AC,交BC的延长线于点E,CE=AD,BE=4AD, ACDB–a4;
巩固练习
1．在ABC中，两边AB、AC的中点分别是D、E，则DAAE DE ；
DBBCCE DE 。
2．正六边形ABCDEF，其中心为O，则OAOBOCODOEOF 0
3.化简：（AB+MB）+（BO+OM）= AB
（AB-CD）-（AC-BD）= 0
4．已知□OACB,设,OAaOBb，试用向量a，b表示向量,OCAB.
baOC；abAB
5、如图所示，是四个全等且相邻的正方形，请用三角形法则说明MEDA=MADE。
解：因为MEMDDE
又因为DADAMA
所以MADAMDDEDMMA AAAAB C
cbaD
B C
HGBCDEAFMNCBAO~ 7 ~ 因为向量加法满足交换律，且MD与DM互为相反向量，0MDDM
所以0MEDAMADEMADE
所以MEDAMADE
6．已知ABCD中，ABADABAD，求证：四边形ABCD是矩形。
证明：因为ABADABBCAC，ABADDB
又ABADABAD，所以ACDB
即ABCD是矩形
自我测试，
1．在平行四边形ABCD中，设dBDcACbADaAB,,,，则下列中不正确的是（ B ）
A. cba B. dba- C. dab D. dba)(
2.下列命题中错误的是 （ C ）
A.零向量与任何向量都是平行的。 B.若则,,cbbaa∥c
C.两个起点相同的向量不相等向量，其终点也有可能是相同的
D. 如果两个向量所在的直线重合，这两个向量一定平行
3．下列说法中正确的是（ B ）
A. BCACAB B.对任意两个向量ba，abba，与-都是相反向量
C.在△ABC中，0＞ACBCAB D.在四边形ABCD中，0）（）（DACDBCAB
4. 下列说法中正确的是（ B ）
①若ba ，则 ba∥ ②若ba∥，则ba
③若 ba，则ba ④若ba，则ba
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知平面上不共线的四点A、B、C、D满足CBAD，则下列命题正确的是 （ C ）
A.四边形ABCD是平行四边形 B. 四边形ABDC是平行四边形
C. 四边形ADBC是平行四边形 D. 四边形ACDB是平行四边形
