三角函数知识点总结

1 三角函数知识点总结

一、任意角的三角函数及诱导公式

1．任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6≤α≤65}=[6，65]。

3．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

角的弧度数的绝对值是：rl，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径。

角度制与弧度制的换算主要抓住180rad。

弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝180≈0.01745（rad）。

弧长公式：rl||（是圆心角的弧度数），

扇形面积公式：2||2121rrlS。

4．三角函数定义

在的终边上任取一点(,)Pab,它与原点的距离220rab.

过P作x轴的垂线,垂足为M,

则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sinMPbOPr；cosOMaOPr；tanMPbOMa。

利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么: a的终边 P(x,y)

O x y 2 (1)y叫做的正弦,记做sin,即siny；

（2）x叫做的余弦,记做cos,即cosx；

（3）yx叫做的正切,记做tan,即tan(0)yxx。

5．三角函数线

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)Pxy，过点P作PMx轴交x轴于点M，根据三角函数的定义：|||||sin|MPy；|||||cos|OMx。

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：

当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有

cosOMx

同理,当角的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，

规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标。

这样,无论那种情况都有sinMPy。像MPOM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。

如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OAAT、,我们有

tanyATx

我们把这三条与单位圆有关的有向线段MPOMAT、、,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。

6．同角三角函数关系式

使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。

几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示) O x y

a角的终P T

M A 3

同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。

②21sin1sin2． ③当0,2x时，有sintanxxx。

7．诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2)sink，cos(2)cosk，其中kZ

诱导公式二： sin(180)osin； cos(180)ocos

诱导公式三： sin()sin； cos()cos

诱导公式四：sin(180)sino； cos(180)coso

诱导公式五：sin(360)sino； cos(360)coso

－   2 Zkk2 2

sin －sin sin －sin －sin sin cos

cos cos －cos －cos cos cos sin

（1）要化的角的形式为180ko（k为常整数）；

（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；

（3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)；

（4）sincoscos444xxx；cossin44xx。

8.思维总结

1．几种终边在特殊位置时对应角的集合为： 4 角的终边所在位置 角的集合

X轴正半轴 Zkk,360|

Y轴正半轴 Zkk,90360|

X轴负半轴 Zkk,180360|

Y轴负半轴 Zkk,270360|

X轴 Zkk,180|

Y轴 Zkk,90180|

坐标轴 Zkk,90|

2．α、2、2α之间的关系。

若α终边在第一象限则2终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

若α终边在第二象限则2终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

若α终边在第三象限则2终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

若α终边在第四象限则2终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

3．任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。

只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22rxy,那么22sinyxy,22cosxxy,tanyx。所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数。

4．运用同角三角函数关系式化简、证明

常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分 5 母同除以一个不为零的cos，得到一个只含tan的教简单的三角函数式。

二、三角函数的图象与性质

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

y=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx

2．三角函数的单调区间：

xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，

递减区间是23222kk，)(Zk；

xycos的递增区间是kk22，)(Zk，

递减区间是kk22，)(Zk，

xytan的递增区间是22kk，)(Zk，

3．函数BxAy)sin(），（其中00A

最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x， 6 初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。

4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心：

sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0) kkZ；

cosyx的对称轴为xk，对称中心为2(,0)k；

对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。