高考数学精品复习 课时作业(二十一)

12．已知11＋ －ttaannxx＝3＋2 2，则 sinx(sinx－3cosx)的值为________。
解析 由11＋ －ttaannxx＝3＋2 2得 tanx＝ 22，所以 sinx(sinx－3cosx)＝sin2x －3sinxcosx＝sins2ixn－2x＋3sicnoxsc2oxsx＝tanta2xn－2x＋3ta1nx＝13－ 2。
C．35
D．45
解析 sinα＝45，cosα＝35，sinα－2 0217π＝－cosα＝－35。故选 B。 答案 B
4．若 cosπ2－α＝ 32，则 cos(π－2α)＝(
)
A．29
B．59
C．－29
D．－59
解析 由 cosπ2－α＝ 32，得 sinα＝ 32。所以 cos(π－2α)＝－cos2α＝ －(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×29－1＝－59。故选 D。
解析 原式＝cosα sin2αco＋s2cαos2α＋sinα· sin2αsi＋n2cαos2α＝cosα|co1sα|＋ sinα|si1nα|，因为 α 是第二象限角，所以 sinα>0，cosα<0，所以 cosα|co1sα|＋ sinα|si1nα|＝－1＋1＝0，即原式等于 0。
答案 0
答案 A
7．已知
α∈23π，2π，且满足
cosα＋2
0217π＝35，则
sinα＋cosα＝(
)
A．－75
B．－15
C．15
D．75
解析 因为 cosα＋2 0217π＝cosα＋1 008π＋π2＝－sinα＝35，且 α∈ 23π，2π，所以 sinα＝－35，cosα＝ 1－sin2α＝45，则 sinα＋cosα＝－35＋45＝ 15。故选 C。

课时作业(二十一)一、选择题 1．已知t >0，假设 (2x －2)d x ＝8，那么t ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．4或2解析：由题意得(x 2－2x )t 0＝t 2－2t ＝8.因此t ＝4或t ＝－2<0(舍去)．答案：C2．(2021年山东青岛一模)直线y ＝2x ＋4与抛物线y ＝x 2＋1所围成封锁图形的面积是解析：直线与抛物线在同一坐标系的图象如图，那么其围成的封锁图形的面积是2x ＋3)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＝323.答案：C3．(2021年福建莆田高三质检)如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部份面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e D ．e 2－2e ＋1解析：面积S ＝＝(e x －e x )21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e.答案：B4．(2021年江西九校联考) d x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32π的值为( )A ．3 ＋1 ＋3解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋|x －π2|d x ＝1＋5π28.答案：B5．(2021年广州一模)已知a ＝ (3cos x －sin x )d x ，那么二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝ (3cos x －sin x )d x ＝3sin x ＋cos x＝－2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的通项T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )(－2x －1)r ＝(－2)r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝1，∴r ＝3. 现在x 的系数为(－2)3C 35＝－80 答案：D 6．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )B ．4D ．6解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得其交点坐标为(4,2)，因此y＝x与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为答案：C二、填空题7．(2021年西安质检)(sin x ＋2x )d x ＝________.解析：依题意得(sin x ＋2x )d x ＝－cos x ＋x 2⎪⎪⎪⎪2－2＝(－cos 2＋22)－[－cos (－2)＋(－2)2]＝0.答案：0 8.(2021年郑州模拟)曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是________．解析：结合图形知其面积为S ＝cos x d x ＋答案：39．(2021年山东)设a >0.假设曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封锁图形的面积为a 2，那么a ＝________.解析：由题意可得曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封锁图形的面积S ＝＝a 2，解得a ＝49.答案：49三、解答题10．计算以下定积分： 解：(1)∵x (x ＋1)＝x 2＋x ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2′＝x ， ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－0＝143.(2)∵(ln x )′＝1x，(e 2x )′＝e 2x ·(2x )′＝2e 2x ，＝12e 4－12e 2＋ln 2.(3)由(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，得＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－0－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2π－12sin 0 ＝π2. 11．求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积． 解：在同一直角坐标系下作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图象．所求面积为图中阴影部份的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x得交点(1,1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32·32－13·33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32·12－13·13＝133. 12．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线和x 轴所围的面积为112.试求：切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解：如图，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S 曲边△AOB ＝⎠⎜⎛x 0x 2d x ＝13x 3x00＝13x 30，S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30.即：S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. 因此x 0＝1， 从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1. [热点预测]13．由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封锁图形的面积为 ( ) A ．2 3B ．9－2 3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2xy ＝3－x 2解得x ＝－3，或x ＝1，因此封锁图形的面积为(3－x 2－2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪⎪1－3＝323.答案：D14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈1，e](e 为自然对数的底数)，那么f (x )d x 的值为________．解析：答案：4315．设f (x )＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1且f (－x )d x ＝m ，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为________．解析：因为f (x )＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1.故n ＝2，a ＝1.因此f (－x )d x ＝(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 221＝56＝m ，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋1612＝1.答案：1。

高考数学一轮复习 21课时作业一、选择题1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.B.C.D.答案 C解析 A 中0既是非负数又是非正数；B 中0又是偶数；D 中自然数也是整数，也是有理数．2．函数y ＝11－1x的定义域是( )A ．{x |x ∈R 且x ≠0}B ．{x |x ∈R 且x ≠1}C ．{x |x ∈R 且x ≠0且x ≠1}D ．{x |x ∈R 且x ≠0或x ≠1} 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠01－1x≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ≠1，故选C3．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2，②y ＝x＋1，③y ＝2x，④y ＝log 2|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 D解析 对于①、②，M 中的2,4两元素在N 中找不到象与之对应，对于③，M 中的－1,2,4在N 中没有象与之对应．故选D.4．(08·江西)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1)答案 B解析 要使g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2x －1≠0，解得0≤x <1，故定义域为[0,1)，选B.5．定义x ⊙y ＝3x－y ，则a ⊙(a ⊙a )等于( ) A ．－a B ．3aC ．aD ．－3a答案 C解析 由题意知：a ⊙a ＝3a－a ，则a ⊙(a ⊙a )＝3a－(a ⊙a )＝3a－(3a－a )＝a .选C. 6．(2011·湖北八校联考)设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝12，且f (2010)＝2，则f (0)等于( )A ．12B ．6C ．3D ．2答案 B解析 ∵f (x ＋2)＝12f x，∴f (x ＋4)＝12fx ＋2＝f (x )．∴f (x )的周期为4，f (2010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.又f (2)＝12f 0，∴f (0)＝122＝6. 7．(07·安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)答案 B解析 当x ∈[0,1]时，y ＝32x ＝32－32(1－x )＝32－32|x －1|；当x ∈[1,2]时，y ＝32－01－2(x －2)＝－32x ＋3＝32－32(x －1)＝32－32|x －1|.因此，图中所示的图象所表示的函数的解析式为y＝32－32|x－1|.8．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ba >b，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是( )答案 A解析 f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧11≤2x2x1>2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ≥02xx <0，结合图象，选A.9.(2011·沧州七校联考)已知蟑螂活动在如图所示的平行四边形OABC 内，现有一种利用声波消灭蟑螂的机器，工作时，所发出的圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播，若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设OD ＝x (0≤x ≤a )，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 本题主要考查应用函数知识解决实际问题的能力．由图象知，函数先增得快，后增得慢，故选D.二、填空题10．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________.答案 2解析 由图及题中已知可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，0≤x ≤2x －2，2<x ≤6，f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2.11．下图中建立了集合P 中元素与集合M 中元素的对应f .其中为映射的对应是________．答案 (2)(5)解析 (1)中：P 中元素－3在M 中没有象．(3)中，P 中元素2在M 中有两个不同的元素与之对应．(4)中，P 中元素1在M 中有两个不同的元素与之对应．12．(07·北京)已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出x 1 2 3 f (x )231x 1 2 3 g (x )321则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 答案 1,213．(2011·江南十校)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2000x －100，x >2000，则f [f (2010)]＝________.答案 －1解析 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2000x －100，x >2000， 得f (2010)＝2010－100＝1910，f (1910)＝2cos(π3×1910)＝2cos(636π＋2π3)＝2cos 2π3＝－1，故f [f (2010)]＝－1.三、解答题14．一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以S cm 3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y (cm)与注入时间t (s)的函数关系式及定义域．答案 y ＝4Sπd 2·t t ∈[0，πhd 24S]解析 依题意，容器内溶液每秒升高4Sπd 2cm.于是y ＝4S πd 2·t ，又注满容器所需时间h ÷(4Sπd 2)＝πhd 24S (秒)．故函数的定义域是t ∈[0，πhd 24S]．15．(2011·沧州七校联考)下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋22，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)11,9 (3)2或－14解析 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，解得x＝2或x＝－6(舍去)．若x<1，则x2＋2＝16，解得x＝14(舍去)或x＝－14.综上，可得x＝2或x＝－14.16．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的解析式．答案(1)－2 (2)f(x)＝x2＋x－2解析用赋值法(1)由已知f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)·x.令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，得f(x)－f(0)＝(x＋1)x，∴f(x)＝x2＋x－2.。

课时标准练21 三角恒等变换根底稳固组1.函数f (x )=(√3sin x+cos x )(√3cos x-sin x )的最小正周期是( ) A.π2B .π C.3π2D.2π2.(2021安徽蚌埠一模,文3)sin (α+π5)=√33,那么cos (2α+2π5)=( )A.13 B.√33C.23D.√323.2sin 2α=1+cos 2α,那么tan 2α=( ) A.43 B.-43 C.43或0 D.-43或04.cos (2π3-2α)=-79,那么sin (π6+α)的值等于( )A.13B.±13C.-19D.195.f (x )=sin 2x+sin x cos x ,那么f (x )的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A .π,[0,π] B.2π,[-π4,3π4]C .π,[-π8,3π8]D.2π,[-π4,π4]6.(2021湖北武汉二月调考,文9)为了得到函数y=sin 2x+cos 2x 的图象,可以将函数y=cos 2x-sin 2x 的图象( ) A.向右平移π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度 C.向右平移π2个单位长度 D.向左平移π2个单位长度 7.设f (x )=1+cos2α2sin (π2-α)+sin x+a 2sin (α+π4)的最大值为√2+3,那么实数a= .8.(2021江苏无锡一模,12)sin α=3sin (α+π6),那么tan (α+π12)=.9.(2021北京东城一模,文15)点(π4,1)在函数f(x)=2a sin x cos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在(0,π)上的单调减区间.〚导学号24190743〛10.(2021山东潍坊二模,文17)函数f(x)=2√3sin(αα+π6)cos ωx(0<ω<2),且f(x)的图象过点(5π12,√32).(1)求ω的值及函数f(x)的最小正周期;(2)将y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,g(α2)=5√36,求cos(2α-π3)的值.综合提升组11.(2021河南濮阳一模,文10)函数f (x )=sin(ωx+φ)+1(α>0,0<α≤π2)的图象的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=π6时取得最大值2,假设f (α)=95,且π6<α<2π3,那么sin (2α+2π3)的值为( ) A.1225B.-1225C.2425D.-242512.函数f (x )=cos ωx (sin ωx+√3cos ωx )(ω>0),假设存在实数x 0,使得对任意的实数x ,都有f (x 0)≤f (x )≤f (x 0+2 016π)成立,那么ω的最小值为( )A.12 016π B.14 032π C.12 016D.14 032〚导学号24190744〛13.cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈(0,π2),那么cos(α-β)的值为 . 14.(2021山东潍坊一模,文16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,A 为锐角,且b sinA cos C+c sin A cos B=√32a.(1)求角A 的大小;(2)设函数f (x )=tan A sin ωx cos ωx-12cos 2ωx (ω>0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为π2,将函数y=f (x )的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=g (x )的图象,求函数g (x )在区间[-π24,π4]上的值域.〚导学号24190745〛创新应用组15.(2021福建福州一模,文10)m=tan(α+α+α)tan(α-α+α),假设sin 2(α+γ)=3sin 2β,那么m=( )A.-1B.34C.32D.216.(2021辽宁沈阳一模,文17)函数f (x )=2cos 2x+2√3sin x cos x+a ,且当x ∈[0,π2]时,f (x )的最小值为2.(1)求a 的值,并求f (x )的单调递增区间;(2)先将函数y=f (x )的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的12,再将所得图象向右平移π12个单位长度,得到函数y=g (x )的图象,求方程g (x )=4在区间[0,π2]上所有根之和.答案：1.B f(x)=2sin(α+π6)×2cos(α+π6)=2sin(2α+π3),故最小正周期T=2π2=π,应选B.2.A由题意sin(α+π5)=√33,∴cos(2α+2π5)=cos 2(α+π5)=1-2sin2(α+π5)=1-2×(√33)2=13.应选A.3.C因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=12.假设cos α=0,那么α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z, 所以tan 2α=0.假设tan α=12,那么tan 2α=2tanα1-tan2α=43.综上所述,应选C.4.B∵cos(2π3-2α)=-79,∴cos[π-(π3+2α)]=-cos(π3+2α)=-cos 2(π6+α)=-[1-2sin2(π6+α)]=-79,解得sin2(π6+α)=19,∴sin(π6+α)=±13.应选B.5.C由f(x)=sin2x+sin x cos x=1-cos2α2+12sin 2x=1 2+√22(√22sin2α−√22cos2α)=12+√22sin(2α-π4),那么T=2π2=π.又2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2(k ∈Z ),∴k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间.应选C.6.A ∵y=sin 2x+cos 2x=√2(√22sin2α+√22cos2α)=√2cos 2(α-π8),y=cos 2x-sin2x=√2(√22cos2α-√22sin2α) =√2cos 2(α+π8) =√2cos 2[(α+π4)-π8],∴只需将函数y=cos 2x-sin 2x 的图象向右平移π4个单位长度可得函数y=sin 2x+cos 2x 的图象.7.±√3 f (x )=1+2cos 2α-12cos α+sin x+a 2sin (α+π4)=cos x+sin x+a 2sin (α+π4) =√2sin (α+π4)+a 2sin (α+π4) =(√2+a 2)sin (α+π4).依题意有√2+a 2=√2+3, 那么a=±√3.8.2√3-4 sin α=3sin (α+π6)=3√32sin α+32cos α,∴tan α=2-3√3.又tan π12=tan (π3-π4)=tan π3-tanπ41+tan π3·tanπ4=√3-1√3+1=2-√3, ∴tan (α+π12)=tan α+tanπ121+tan α·tanπ12=2-3√3+2-√31+32-3√3·(2-√3) =√3)·(2-3√3)(2-3√3)-3(2-√3)=-16-8√34=2√3-4.9.解 (1)函数f (x )=2a sin x cos x+cos 2x=a sin 2x+cos 2x.∵图象过点(π4,1),即1=a sin π2+cos π2,可得a=1.∴f (x )=sin 2x+cos 2x =√2sin (2α+π4). ∴函数的最小正周期T=2π2=π. (2)由2k π+π2≤2x+π4≤3π2+2k π,k ∈Z ,可得k π+π8≤x ≤5π8+k π,k ∈Z .函数f (x )的单调减区间为[απ+π8,5π8+απ],k ∈Z .∵x ∈(0,π),当k=0时,可得单调减区间为[π8,5π8].10.解 (1)函数f (x )=2√3sin (αα+π6)cos ωx=(2√3sin αα·√32+2√3cos ωx ·12)cos ωx=√3sin (2αα+π6)+√32. ∵f (x )的图象过点(5π12,√32), ∴√3sin (2α·5π12+π6)+√32=√32,∴2ω·5π12+π6=k π,k ∈Z ,即ω=6α-15.再结合0<ω<2,可得ω=1,∴f (x )=√3sin (2α+π6)+√32,故它的最小正周期为2π2=π.(2)将y=f (x )的图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=g (x )=√3sin (2α-π6)+√32的图象.由g (α2)=5√36=√3sin (α-π6)+√32, ∴sin (α-π6)=13,∴cos (2α-π3) =1-2sin 2(α-π6)=79.11.D 由题意,T=2π,即T=2πα=2π,即ω=1.又当x=π6时,f (x )取得最大值, 即π6+φ=π2+2k π,k ∈Z ,即φ=π3+2k π,k ∈Z .∵0<φ≤π2,∴φ=π3, ∴f (x )=sin (α+π3)+1. ∵f (α)=sin (α+π3)+1=95,可得sin (α+π3)=45.∵π6<α<2π3,可得π2<α+π3<π,∴cos (α+π3)=-35. ∴sin (2α+2π3)=2sin (α+π3)·cos (α+π3)=2×45×(-35)=-2425.应选D .12.D 由题意可得,f (x 0)是函数f (x )的最小值,f (x 0+2 016π)是函数f (x )的最大值.显然要使结论成立,只需保证区间[x 0,x 0+2 016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可.又f (x )=cos ωx (sin ωx+√3cos ωx )=12sin 2ωx+√32(1+cos 2ωx )=sin (2αα+π3)+√32,那么2 016π≥12·2π2α,求得ω≥14 032,故ω的最小值为14 032.13.2327 ∵α∈(0,π2),∴2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos 2α=2cos 2α-1=-79, ∴sin 2α=√1-cos 22α=4√29,又α,β∈(0,π2),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+α)=2√23,∴cos(α-β)=cos [2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =(-79)×(-13)+4√29×2√23=2327.14.解 (1)∵b sin A cos C+c sin A cos B=√32a ,∴由正弦定理,得sin B sin A cos C+sin C sin A cos B=√32sin A. ∵A 为锐角,sin A ≠0, ∴sin B cos C+sin C cos B=√32,可得sin(B+C )=sin A=√32,∴A=π3.(2)∵A=π3,可得tan A=√3,∴f (x )=√3sin ωx cos ωx-12cos 2ωx=√32sin 2ωx-12cos 2ωx=sin (2αα-π6). ∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为π2,可得T=2×π2=2π2α,解得ω=1,∴f (x )=sin (2α-π6),∴将y=f (x )的图象向左平移π4个单位长度后,图象对应的函数为y=g (x )=sin [2(α+π4)−π6]=sin (2α+π3).∵x ∈[-π24,π4],可得2x+π3∈[π4,5π6],∴g (x )=sin (2α+π3)∈[12,1].15.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m=tan(α+α+α)tan(α-α+α)=2,应选D .16.解 (1)f (x )=2cos 2x+2√3sin x cos x+a=cos 2x+1+√3sin 2x+a=2sin (2α+π6)+a+1, ∵x ∈[0,π2], ∴2x+π6∈[π6,7π6],∴f (x )的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,∴f (x )=2sin (2α+π6)+3,由2k π-π2≤2x+π6≤2k π+π2,k ∈Z ,可得k π-π3≤x ≤k π+π6,k ∈Z ,∴f (x )的单调递增区间为[απ-π3,απ+π6](k ∈Z ).(2)由函数图象变换可得g (x )=2sin (4α-π6)+3,由g (x )=4可得sin (4α-π6)=12,∴4x-π6=2k π+π6(k ∈Z )或4x-π6=2k π+5π6(k ∈Z ),解得x=απ2+π12(k ∈Z )或x=απ2+π4(k ∈Z ).∵x ∈[0,π2],∴x=π12或x=π4,∴所有根之和为π12+π4=π3.。