§2.5.2 向量在物理中的应用举例

2.5.2 向量在物理中的应用举例教学目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.教学重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程导入新课你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.应用示例例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?解:图1不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道|F 1|＝|G |2cos θ2.通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 例2.如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m |v |=(M +m )|v 0|. ①由于机械能守恒,所以21(M +m )v 02=(M +m )gh . ② 联立①②解得|v |=.2gh mm M + 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2. 课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W =F ·s .知能训练1.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )A.215kmB.6 kmC.84kmD.8 km【答案】B2.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F,则F=___________.图4【答案】41(5,4)。

F1+F2+G=0 |F1|=| 2|=10N = |=|F
A 120° 120° O C
B
2.两个人共提一个旅行包， 2.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引 两个人共提一个旅行包 体向上运动，根据生活经验， 体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹 角大小与所耗力气的大小有什么关系? 角大小与所耗力气的大小有什么关系?
作业： 作业： P113习题2.5A P113习题2.5A组：3，4. 习题2.5A组 B组：2.
W=F·s= 24 6 J.
F3
北
F1
西 南
F2
东
小结作业
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： 1.利用向量解决物理问题的基本步骤： 利用向量解决物理问题的基本步骤 问题转化， ①问题转化，即把物理问题转化为数学 问题； 建立模型， 问题；②建立模型，即建立以向量为载 体的数学模型； 求解参数， 体的数学模型；③求解参数，即求向量 的模、夹角、数量积等； 回答问题， 的模、夹角、数量积等；④回答问题， 即把所得的数学结论回归到物理问题. 即把所得的数学结论回归到物理问题. 2.用向量知识解决物理问题时 用向量知识解决物理问题时， 2.用向量知识解决物理问题时，要注意 数形结合.一般先要作出向量示意图， 数形结合.一般先要作出向量示意图，必 要时可建立直角坐标系， 要时可建立直角坐标系，再通过解三角 形或坐标运算，求有关量的值. 形或坐标运算，求有关量的值.
F1
θ
F2
探究（ 探究（二）：向量在运动学中的应用
1.如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸， 1.如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸， 如图 已知船在静水中的速度| 10㎞/h，水流速度| 已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝ /h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的 2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度 的 大小是多少？ 大小是多少？

F3 S
F1 F2
S (4 2,4 2) F2 (2 3,2)
东X
F3 (3,3 3)
三、巩固练习
练习：某人骑车以 a km/h(a 0)的速度向东行驶， 感觉风从正北方向吹来；而当速度为2a km/h时，感
到风从东北方向吹来。实际上风的速度和方向一直 没变。试求实际风速和方向。
四、总结提升
向量在物理中的应用举例
晋江市毓英中学 苏素素
一、前置学习
1、用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具， 如图所示，已知每根绳子的拉力大小为10 N，则 灯具重为________ N.
物理解法： 利用平行四边形法则，作图， 求合力
一、前置学习
2、已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的 位移S的大小为100m，且F与S的夹角为60°，则力F 所做的功W=_______J
北
F3 S
F1 F2
东
二、新知探究
变式2、一个物体受到平面内三个力F1,F2,F3的作用，
沿北偏东45°的方向移动了8m，其中力F1大小2N，
方 向 为 北 偏 东 30 ° ， 力 F2 大 小 4N ， 方 向 为 北 偏 东
60°，力F3大小6N，方向为北偏西30°，求合力所
作的功。
北Y
F1 (1, 3)
求解参数 利用向量知识求模、夹角、数量积等
回答问题 把所得结论回归物理问题
五、课后作业
1、必做题：①课本P113 A组 第4题 ②用等长的两根绳子挂一个物体,物体受到的重力 为G。请用向量的知识证明两绳之间的夹角θ越大， 绳子受到的拉力越大。
2、选做题：某质量为G的物体用绳子绑着，某人 手拉着绳子在水平面上匀速行走。若物体与地面 的动摩擦系数为 ，3 则当绳子与地面所成角多大 时，拉力最小？ 3

名师微博
向量运算是解题的灵魂. 【名师点评】 向量可以解决直线 ( 线段 ) 的
平行、垂直、夹角、距离 ( 长度 ) 等问题．解 决的关键是顺利把几何中的元素转化为向量 ,
常用方法有坐标法和几何法，用坐标法注意
坐标轴和原点的选取，用几何法要注意基底 的选取．
变式训练
1.已知△ABC三边长分别为a，b，c，试用 向量的方法证明：a＝bcosC＋ccosB.
→ → 则AM＝(x，y－b)，MQ＝(a－x，－y)， 3→ → ∵AM＝－ MQ， 2 3 ∴(x，y－b)＝－ (a－x，－y)， 2 x y ∴a＝ (x>0)，b＝－ ， 3 2 y x 则 A0，－ ，Q ，0， 2 3
y → 3 → PA＝3，－2，AM＝x，2y， 3 2 → → ∵PA²AM＝0，∴3x－ y ＝0， 4 ∴所求轨迹方程为 y2＝4x(x>0)．
典题例证技法归纳
题型探究 向量在平面几何中的应用
例1 ( 本题满分 12 分 ) 三角形 ABC 是等腰直
角三角形，∠ B＝ 90 °，D是 BC边的中点，
BE ⊥ AD ，延长 BE 交 AC 于 F ，连接 DF ，求
证：∠ADB＝∠FDC.
【证明】 如图所示，建立直角坐标系，设 A(2，0)，C(0，2)， 则 D(0，1)，于是 → → AD＝(－2，1)，AC＝(－2，2)， → → → → 设 F(x，y)，由BF⊥AD，得BF²AD＝0， 即(x，y)· (－2，1)＝0，4 分 ∴－2x＋y＝0.①
等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理的合成 和分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与位移s的数量积．
做一做
一艘船以5 km/h的速度在河中行பைடு நூலகம்，同时河