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南京邮电大学2013-2014级《线性代数与空间解析几何》模拟试题三及参考答案

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(D) A 的行向量组线性无关 （D） BCA I
二、填空题（每小题 2 分，共 12 分） 1．设 || || || || 1, || || 3 ，则 || || ＝
。
0 1 0 1 2．设 A 1 1 0 ，则 A 的逆矩阵 A ＝ 0 0 1 x2 3.过点原点且与直线 y 1 t 垂直的平面方程为 z 1 2t
7
7 1 7 4 0 9 0 1 0
向量组的秩＝3， 8分
4 3 0 1 0
2 5 7 1 0 1 1 2 2 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 2 10分
。
。 。
4.设 n 阶矩阵 A 的行列式 | A | 2 ，则行列式 2 A1 ＝
Hale Waihona Puke 5.设 n 矩阵 A 的每一行的元素的和为 5，则 A 有一个特征值 ＝ 。 6.已知 1 , 2 为 2 维列向量，矩阵 A (21 2 , 2 1 ), B (1 , 2 ) 。若 | A | 6,
2 0 0 1 3.设矩阵 A 2 a 2 与 B 2 相似，求 a, b 的值和 A 的特征值。 3 1 1 b
得分 评卷人
四、计算题(每小题 8 分，共 16 分) 1. 二 次 型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 x2 x3 为 正 定 的 二 次 型，确定 的取值范围。
当 0 时方程组 无解，
1 1 原方程组的通解为： x c1 2 3 ， c1 为任意常数。 8分 1 0
五、计算题（每小题 8 分，共 16 分） 1.解 由于四元非齐次线性方程组的矩阵 A 的秩为 3， 因此对应齐次线性方程组的基础解 系的向量个数为 1 个， 2分 由于 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组的三个解，因此对应齐次线性方程组的基础解系
2 求过点 A(1, 3, 2) 且与平面 2 x y 3 z 4 和平面 x 2 y 2 z 5 都垂直的平面方程。
得分 评卷人
六、证明题(每小题 8 分，共 16 分) 1．设 A 为 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，证明： | A || A |n1 。
2.设 A, B 为 n 阶矩阵，证明： AB 与 BA 的特征值相同。
(D) A 有 n 个不同的特征向量 4．设 A 为 m n 矩阵，则线性方程组 Ax 0 有非零解的充分必要条件为（ (B) R ( A) n （B） CBA I (C) | A | 0 5．设 I 为 n 阶单位矩阵， n 阶矩阵 A, B, C 满足： ABC I ，则必有（ （C） ACB I
)。
(A) 0 (B) 1 （C） n 1 （D） n 2．设 a , b 为 R 3 中的任意向量， 为 a , b 的夹角，则下列等式成立的是（ ） 。 (A) a b b a （B） a b b a (C) || a b |||| a |||| b || sin (D) a b || a |||| b || sin 3．n 阶实对称矩阵 A 是正定的充分必要条件（ (A) A 有 n 个不同的特征值 (C) A 的特征值全为正的 (A) R ( A) m (A) BAC I 得分 评卷人 ） 。 (B) A 有 n 个线性无关的特征向量 ） 。 ） 。
5. 5,
6. 2.
三、计算题（每小题 10 分，共 30 分） 1.解 ( A I ) B ( A I )( A I ) ， 4分
0 0 3 | A I | 0 2 0 6 5 分 1 0 0 1 2 5 3 1 1 2.解 (1 , 2 , 3 , 4 ) 5 3 1 1 4 7 2 0 3 B A I 0 4 0 10分 1 0 2
则 | B |
。
得分 评卷人
AB I A 2 B 。
三、计算题(每小题 10 分，共 30 分) 1 0 3 1 ． 设 A 0 3 0 ， I 是 3 阶 单 位 矩 阵 ， 求 矩 阵 B 满 足 ： 1 0 1
2． 求向量组 1 (1, 3, 5, 1) T , 2 (2, 1, 3, 4) T , 3 (5, 1, 1, 7) T ， 4 (7, 7, 9, 1)T 的秩， 并将 3 表示成向量组 1 , 2 的线性组合。
南京邮电大学 2013-2014 级《线性代数与空间解析几何》 模拟试题三及参考答案
题号 得分
评卷人
一
二
三
四
五
六
总成绩
得分 评卷人
一、单项选择（每小题 2 分，共 10 分） 1 ． 设 A 为 n 阶 方 阵 且 R ( A) n 1 ， A* 为 A 的 伴 随 矩 阵 ， 则
R ( A* ) =(
( 3) x1 x2 2 x3 x1 ( 1) x2 x3 有无穷多解，并求此时方程组 2.问 为何值时，线性方程组 3( 1) x x ( 3) x 3 1 2 3
的通解。
得分 评卷人 通解
五、计算题(每小题 8 分，共 16 分) 1 设四元非齐次线性方程组的矩阵 A 的秩为 3，已知 1 , 2 , 3 是它 们三个解，且 1 (1, 2, 3, 4)T , 2 23 (1, 3, 5, 9)T ，求该方程组的
故此 b 3 2 ， 9分
A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 2 。 10分
四、计算题（每小题 8 分，共 16 分）
1 0 2 1.解 二次型对应的矩阵 A= 1 P 1 / 2 1 2 0 ， 4分 ， 3分 0 / 2 1 2 1 2 P2 1 0 ， 5分 P3 | A | 1 0 | | 2 ， 7分 1 1 2
2 3 ( 2 1 ) 2(3 1 ) ， 6分 4 3 2 1 3 2 x c 8分 4 3 3 4 2.解 设所求平面的法向量为 n ，已知 n1 (2, 1, 3), n2 (1, 2, 2) ， 2分 则 n n1 , n n2 , 取 n n1 n2 2 1 3 ( 8, 1, 5) ， 6分 1 2 2 i j k
因此，当 | | 2 时，二次型为正定二型。 8分
3 1 2 1 1 2( 1) ， 3分 2. 解 | A | 3( 1) 3
4分 当 1 时， R ( A) R ( A, b) 2, 方程组有无穷多解， 5分
原 方 程 组 的 通 解 为
所求的平面方程： 8 x y 5 z 15 0 。 8分 六、证明题（每小题 8 分，共 16 分） 1.证：根据 AA | A | I ，得： | A || A ||| A | I || A | n 3分 如果 | A | 0, 则 | A || A |n1 5分 如果 | A | 0 ，则 AA 0 ，若 | A | 0 ，则 A 可逆，从而 A 0 ，因此 A 0 矛盾， 所以 | A | 0 | A | n1 。 8分 2.证：如果 0 是 AB 的特征值，则 0 | 0 I AB || A || B || B || A || 0 I BA | ， 因此 0 也是 BA 的特征值。 3分 设 是 AB 的特征值且 0 ，对应的特征向量为 ，则 AB ， 5分
模拟试题三参考答案：
一、单项选择（每小题 2 分，共 10 分） 1.B 2.C 3.C 二、填空题（每小题 2 分，共 12 分）
4.B
5.D
1.1,
1 1 0 2. 1 0 0 , 0 0 1
3. y 2 z 0 ,
4. (1) n 2 n 1 ,
BA( B ) B ，于是 B 0 ，否则， A( B ) 0 ，得到 0
与 是 AB 的特征向量矛盾，故此 是 BA 的特征值，对应的特征向量为 B ， 7分 同理可证，如果 是 BA 的特征值，则 也是 AB 的特征值。 8分
3 2 6分 1 0
3.解 由于 A 与 B 相似，因此 A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 b ， 3分
0 | 2 I A | 2 2 a 2 4 a, a 0 1
，
6分
2 0 0 | I A | 2 2 ( 2)( 1)( 2) 3 1 1

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2013线性代数与解析几何期末试卷(A)含参考答案

2013线性代数与解析几何期末试卷(A)含参考答案

南京邮电大学2012/2013学年第一学期《线性代数与解析几何》期末试卷（A ）参考答案院(系) 班级 学号 姓名1. 设n 阶方阵A 满足220A A I --=，则矩阵A 可逆，且1A -=1()2A I - 2. 设(1012)Tα=-，(0102)β=，矩阵A αβ=，则()r A = 1 . 3. 设123,,ααα与123,,βββ都是三维向量空间3R 的一组基，且11232βααα=+-，223βαα=+， 312332βααα=++，则由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵是101213112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 4. 设12243311A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，B 是三阶非零矩阵，且0AB =，则t = -3 .5. 过两个曲面2241x y z ++=和222x y z =+的交线，母线平行于 z 轴的柱面方程是222221(1)016x y x y ----=.二、选择题（每题4分，共20分）1.已知行列式111222333x y z x y z a x y z =，则11122233362233x z y x z y x z y --=- ( C ) （A ）a - （B ）6a - （C ）6a （D ）3a -2. 设A ，B 与C 都是n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( D ) （A ）若0AB =，则0A =或0B = （B ）若AB AC =，且0A ≠，则B C =（C ）22()()A B A B A B +-=- （D ）若det 0AB =，则d e t 0A =或det 0B =装 订线 内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不作 弊3. 设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则 ( B )（A ）12αα+是0Ax =的解 （B ）112212(1)k k k k αα++=是Ax b =的解 （C ）12αα-是Ax b =的解 （D ）112212(1)k k k k αα++=是0Ax =的解 4. 设3阶矩阵A 有特征值1231,1λλλ=-==，对应的特征向量分别为1(1,1,2)T α=-，2(1,0,1)T α=-，3(1,2,4)T α=-，则100A = ( C )（A ）A - （B ）I - （C ）I （D ）100A5.若二次型22212312312(,,)282f x x x x x x ax x =+++是正定的，则a 的取值范围是( A )（A ）44a -<< （B ）4a > （C ）4a <- （D ）8a <三、 ( 8分 ) 设135347122A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX A X =-，求X .解 ()A I X A +=,且1A I +=，所以1()X A I A -=+ ………3分()A I A +=235135357347123122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭011111012021123122----⎛⎫ ⎪→---⎪ ⎪⎝⎭100014010201001110-⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭…4分1014()201110X A I A --⎛⎫⎪=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭…………1分四、（10分）设向量组()11210T α=-，()21102Tα=，()3211Ta α=的秩为2， (1)求a 的值；(2)求向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示出来.解1121121121012110130130131010130000000202006006a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等行变换初等行变换初等行变换..4 123(,,)2R ααα=，6a ∴=， (2)且12,αα是一个极大线性无关组，3123ααα=-+ (4)五、（12分）当a ，b 是何值时，非齐次线性方程组1231231233210431033(1)90x x x a x x x a x x b x +++-=⎧⎪+---=⎨⎪-+-+=⎩ (1)有唯一解，(2)无解，（3）有无穷多解，并求出其通解。

南邮,线性代数与解析几何3-5

南邮,线性代数与解析几何3-5


z a2 x2 y2 2 表示怎样的曲线？ 例8 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4
解
z a2 x2 y2
上半球面,
2 a 2 a 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
35
2. 空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、锥面、二次曲面）
7
3.5.2 旋转曲面、柱面、锥面
1. 旋转曲面 定义 在空间，一条平面曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所 生成的曲面 S称为旋转曲面.
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
4
例 3 已知 A(1,2,3)， B( 2,1,4)，求线段 AB 的垂 直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
36
例 9 如果空间一点 M 在圆柱面 x y a 上以 角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
2 2 2
2
2
旋 转 双 曲 面
11
y2 z2 2 2 1 z 轴； （2）椭圆 a 绕y 轴和 c x 0 2 y x2 z2 旋 绕 y 轴旋转 2 1 2 转 a c
线性代数模拟题三

线性代数模拟题三

《线性代数与空间解析几何》模拟题三
一、填空题：(20分)
1．若97i213j54为奇排列，则i=_____, j=______.
2．设A=(ij a )n n ⨯，A 的行列式第i 行元素的余子式为，in 2i 1i M ,,M ,M 则|A|=_____________________.
3．若n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ，则R(T A )=______；R(A A T )=______.
4．若三阶方阵A 的特征值为1，-2，-1，则323I A A +-的特征值为____、______、_______；*A 的特征值为____、______、_______.
5．若32R A ⨯∈，且齐次线性方程组Ax=0一非零解为0η，则其通解为________________________；解空间的维数为________.
二、(20分) 设n 阶方阵A=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡b b b b a b b b a （1）求A 的行列式
（2）通过讨论a 和b 的关系求A 的秩
三、(20分) 设3阶方阵A=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--320222021 （1） 求A 的特征值；
（2） 求正交阵P 使AP P 1-为对角形.
四、(20分) （1）设向量组)1,2,1(1=α，T 2)3,1,2(=α，)4,1,3(3=α，
)0,2,0(4=α，)1,1,1(5=α，写出该向量组的一个极大无关组；
(2)写出线性空间33R ⨯的一组基，并求三阶单位阵3I 在这组基下的坐标.
五、(20分) 设A 为n m ⨯实矩阵，若|A|=0, 证明A A T 是半正定矩阵；若A 列满秩，证明A A T 是正定矩阵.。

南京邮电大学2013-2014《线性代数与空间解析几何》模拟试题八及答案

南京邮电大学2013-2014《线性代数与空间解析几何》模拟试题八及答案

南京邮电大学2013-2014《线性代数与空间解析几何》模拟试题八及答案一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．1 已知向量,αβ满足||2,||3,==和αβαβ的夹角为3π，则以向量 34,2A B =-=+αβαβ为邻边的平行四边形的面积是2 当13141234020020x ax x x ax x x x +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩有非零解，则a = 1/4 .3 若平面经过点(1,2,1)A -和z 轴,则此平面方程为 20x y -=.4 由曲线22140x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩围绕x 轴旋转一周所成曲面的方程是222()14x y z -+=. 5 已知3阶矩阵1231223123,,,3,32,22A B ==----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦αααααααααα 且||16B =，则||A = 4 .6设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A 且1||2A =.则1*123A A -⎛⎫-= ⎪⎝⎭n+127 已知向量β可由向量组()()()1231,2,3,0,2,5,1,0,2ααα=-=-=-线性表示, 则向量组123,,,αααβ的秩为 2 .8 设A 为3阶方阵且行列式|||2||3|0E A E A E A -=-=-=，（其中E 为3阶单位阵）。

则*A =36 .（其中E 为3阶方阵）。

9 已知四阶行列式1171318021435125D -=-. 设ij A 为行列式D 中第i 行第j 元素ij a 的代数余子式，则14243444325A A A A +-+= 010 一个动点与(1,0,0)A 的距离是此动点到平面4x =距离的一半，则此动点的轨迹方程为：22234412x y z ++=.二. (10分)计算n 阶行列式解 （1）如果0x =，任意两列对应成比例，故0n D = ----------2分 (2) 如果0x ≠,构造新的n+1阶矩阵--------2 分显然 n D A =第i 行分别减去第一行，（i=2,3,…,n+1）得（箭形行列式）-----------3分121121121121n n n n n n n n nx a a a a a x a a a a a a a a a a x a D ----++=+11212112112112110000n n n n n n n n n na a a a x a a a a a x a a a a a a a a a a x a A-----++=+11211000100100001000n n a a a a x xxA---=--0-----------3分三．（12分） 当a 为何值时，线性方程组123123123322ax x x ax ax x x x ax +++=⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 无解，有惟一解，有无穷多解？在有无穷多解的情况下，求出它的通解。