课题：变化率问题
教学目标：
1. 理解平均变化率的概念；
2. 了解平均变化率的几何意义；
3. 会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念. 教学过程： 一、 情景导入
为了描述现实世界中运动、
过程等变化着的现象， 在数学中引入了函数， 随着对函数的
研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、 已知物体运动的路程作为时间的函数 ，求物体在任意时刻的速度与加速度等
；
二、 求曲线的切线；
三、 求已知函数的最大值与最小值 ； 四、 求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一 般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题： 研究某个变量相对于另一个变量变化的
快慢程度. 二、 知识探究 探究一：气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程
，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的
半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是V(r)
⑴ 当V 从0增加到1时，气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
… r (1) r(0)
气球的平均膨胀率为 一^一」 0.62(dm/L)
1 0
⑵ 当V 从1增加到2时，气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为
「修 ；(1) 0.16(dm/L)
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.
……r(V 2) 思考：当空气容量从 V 增加到 W 时，气球的平均膨胀率是多少 ？—一-
探究二：高台跳水：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s)
(2)
存在函数关系
h (t )= -4.9 t +6.5 t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描述
如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么r(V)
r(V i )
V 2 V i
其运动状态？
思考计算: 0 t 0.5 和1 2的平均速度v
0.5这段时间里, 2这段时间里，v
h(0.5) h(0) 4.05(m/s)；
0.5 0
h⑵h(i) 8.2(m/s)
探究: 计算运动员在0 t
2 i
65、- ,、 s十山、、，一、——这段时间里的平均速度，并思考以下问题: 49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数
h o
65
h(-) h(0),所以v
49
2
h(t)= -4.9t+6.5t+i0的图像，结合图形可知,
65
h(--) h(0)
-^49----------- 0(s/m)，虽然运动员在0
65 c —— 0 49
65、一、，，——
这段时间里的49
平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。探
究(三)：平均变化率
1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子f(X2) f (X i)
--------------- 表小, X2 X i
称为函数f(x)从x i到X2的平均变化率
2 .若设x x2x i,y f (x2) f (x i)(这里x看作是对于x i的一个增量"可用
X1+ X代替X2,同样y f(X2) f(X i))
则平均变化率为—
x f(X2) f (X i) f(X i X) f (X i) X2 X i
思考：观察函数H X)的图象：平均变化率
直线AB的斜率
W S表示什么?
三、典例分析
2
例1.已知函数f (x )= x x 的图象上的一点 A(
2
_
x) ( 1 x) 2
3
x o 2x o x x x o c 2x o ---------------- x x
一.
2 •
所以y x 在x x o 附近的平均变化率为 2x o x
例3、求函数y= 5x 2+ 6在区间［2, 2 + ^ x ］内的平均变化率 例4、某盏路灯距离地面高
8m, 一个身 高1.7m 的人从路灯的正底下出发，以 1.4m/s 的
速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率 解：略
2
1 .质点运动规律为s t 3,则在时间(3,3
t)中相应的平均速度为 .
2 物体按照s (t )=3t 2
+t +4的规律作直线运动，求在4s 附近的平均变化率.25 3 t
3 .
3、函数f(x)从xo 到xo+Ax 的平均变化率怎么表示?
f(X 0 +Vx)- f(x 0)
Vx
解:
(1 x)2 3 ( 1 x), 1, 2)及临近一点B( 1 x, 2 y),
例2、求
x o 附近的平均变化率。
解:
(x o
、2
2
~ y x) x o ,所以——
x
(x o 、2
2
x)
x o
四.课堂练习
