3.2边缘分布

f ( x, y ) = 1 2π σ 1σ 2 − 1 ( x − µ1 ) 2 exp 2 2 2 1− ρ 2(1 − ρ ) σ 1
( y − µ2 )2 − 2ρ + , 2 σ 1σ 2 σ 2 −∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞,
• 其中µ1,µ2,σ1,σ2,ρ都是常数,且σ1>0,σ2>0, |ρ|<1.称(X,Y)为 服从参数µ1,µ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布, 记为 (X,Y)~N(µ1,µ2,σ12,σ22,ρ). 试求二维正态随机变量的边缘 概率密度.
x →+∞
= F ( ∞， y )
三、离散型随机变量的边缘分布律
对于二维离散型随机变量( X , Y )，已知其联合分布律为
Pij = P { X = xi ， Y = y j }
( i，j = 1， 2， ⋯)
现求随机变量 X 的边缘分布律为：
P{ X = xi } = ∑ pij ,
j =1
∞
+∞ −∞
f ( x, y ) d x
(2.4)
例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度 6, x 2 ≤ y ≤ x, f ( x, y ) = 0, 其它. 求边缘概率密度f X ( x), fY ( y ).
y y=x y=x2 o 1
解:
f X ( x) = ∫
∞
y
−∞
f ( x, y ) d y
则分量 X 的边缘分布函数为 FX ( x ) = P { X ≤ x} = P { X ≤ x， Y < ∞}
= lim F ( x， y ) = F ( x， ∞ )

缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2

e
2 1 2

1

2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,

记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．

边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。

f ( x, t )dx dt
y

y

fY (t )dt
例4：设G是平面上的有界区 域，其面积为A，若二维随机变 量(X,Y)具有概率密度
1 A , ( x, y ) G f ( x, y ) 0 , 其他
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
0.2 b
已知：P(Y 1| X 1) 0.5
求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) P( X 1| Y 1)
0.2 又P(Y 1| X 1) 0.3 a 0.2 1 b=0.3 a 0.1， 0.3 a 2
(2) X
解：(1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4


f ( x, y )dy f ( x, y)dx

从而X，Y的边缘分布函数为
FX ( x) F ( x, ) x f (t , y )dy dt
f X (t )dt

x
同理：
FY ( y) F (, y)
解：样本空间S及D,F的取值如下 样本点 1 D F 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 7 8 9 10 4 2 4 3 4
0
1
1
1
1
2 1 1 1
2
D所有可能取值：1,2,3,4
F所有可能取值：0,1,2
求（D,F)取 (i,j),i=1,2,3,4,j=0,1,2的概率
如
P{D=1,F=0}=1/10, P{D=2,F=1}=4/10
从而可求出D和F的联合分 布律及边缘分布律