函数的极值和最值及其应用

§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3， 检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x， 设g (x )＝ln x ＋1x， 则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m， 故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意． 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值， 即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3， 因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2， 则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0， 所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x， 分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ， 所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1， 所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)． 由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x， 由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1， 令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0， 一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0， 得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0， 所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2， 由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)， 记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12， 则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2， 故m ≤－32－ln 2.。

函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
新知学习
例1
新教材《选择性必修二》
函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数 y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
②函数


1

y＝f(x)在区间－2，3内单调递减；


③函数 y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
1
3
2 3
3
2 3
f(x)在 x＝－ 3 处取得极大值 9 ，在 x＝ 3 处取得极小值－ 9 .
跟踪训练
(2)f(x)＝x2e－x.
解 函数f(x)的定义域为R，
新教材《选择性必修二》
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
④当 x＝－2时，函数 y＝f(x)有极大值；
⑤当 x＝2 时，函数 y＝f(x)有极大值.
③⑤
则上述判断中正确的序号是________.
新知学习
解析
新教材《选择性必修二》
对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
例2 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
解 函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－6x－9，
新教材《选择性必修二》
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)

极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极

小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，

所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，

f(x)有最小值f(-2)=− .

1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义[1]在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某个领域内有定义, 对该邻域内异于()00,x y 的点(),x y ,如果都适合不等式()()00,,f x y f x y < ,则称函数在点()00,x y 取极大值; 如果都适合不等式()()00,,f x y f x y >,则称函数在点()00,x y 取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）()()322223z x y x y =+-+图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元原点是极大值函数()()12,...,n u f p f x x x ==于点0P 的邻域内有定义, 并且当()00,p P p δ<<时,()()0f P f p ≥ (或()()0f P f p ≤) ,则说函数()f p 在点0P 有极大值(或极小值) ,点0P 称为函数()u f p =的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则. 2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点)(,z x y =在点()00,x y 具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即()()0000,,0x y f x y f x y ==将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2 设函数()()12,...,n u f p f x x x ==在点()0012,,,n P x x x 的邻域内有定义,()u f p =在点0P 具有偏导数,可微分的函数()f p 仅在稳定点0P 即在偏导数是0的点0P 能达到极值,所以函数()f p 的极值点应当满足方程组()00ix f P =(1,2,...,i n =) .证明:()f p 在点0P 取得极值,则固定0022,,n n x x x x ==, ()()12,...,n u f p f x x x ==在点011x x =取得极值, ()100x f P ==,同理()()002,,ix f P i n ===.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数)(,z x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令()00,0x f x y =,()00,0y f x y =令()00,0xx f x y =, ()00,0xy f x y =,()00,0yy f x y =,则(),f x y 在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:1) 20AC B ->时具有极值,且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值; 2) 20AC B -<时没有极值;3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论.现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭, ()12,,,n f x x x 在点0P 的某邻域内有直至n 阶的连续偏导数,又设0P 是稳定点, ()()101,2,...,x f P i n ==,记()()()()()()20200011,2,...,;1,2,...,,...,,...,i j n n n ij x x n x x nn x x n n a f P i n j n a f P a P a f P -=====,()()12112010,...,n x x n x x a f P a f P ==()()()()()21221020001,...,,...,n n n x x n x x nn x x n n a f P a f P a P a f P -===,即: ()()01,2,...,;1,2,...,i j ij x x a f P i n j n ===,再记矩阵 111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ , ()111212122212......1,2,...,...............n n n n nn a a a a a a A i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-== ⎪ ⎪---⎝⎭则: (1)若矩阵()ij nn A a =的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭全大于零,就有()u f p =在点0P 取得极小值.(2)若矩阵()ij nn A a -=-的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...............n n i n n nn a a a a a a q i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪== ⎪⎪---⎝⎭全大于零,则()u f p =在点0P 取得极大值.若矩阵()ij nn A a =有偶数阶主子式小于零,在点0P 没有极值.证明:多元函数()u f p = , ()1112n u x x x n d df p f dx f dx f dx ==+++,由已知()()()()120010000n x x x n df p f p dx f p dx f p dx =+++= ,()11122222011n n u x x x x x x n d d f p f dx f dx x f dx ==+++=222'1111212112112222n n nn n a dx a dx dx a dx dx a dx dx a dx a dx X AX ++++++++=，其中()'1,2,,n X dx dx dx = ,将2u d 看作是n 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A 的各阶顺序主子式i p 全大于零时, 2u d 是正定的,当212220n dx dx d +++≠时,()2200d d f P =>,则()0f P 在点0P 取得极小值,而由f 是负定的充要条件就是f -是正定的,于是当A -的各阶顺序主子式全大于零, ()()200,d f P f p <在点0P 取得极大值,若矩阵()ij nn A a =有偶数阶顺序主子式小于零, 2u d 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在0P 点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况. 2.4 定理的应用[11]2.4.1 多元函数的最大值及最小值例1：在XY 坐标面上找出一点P ，使它到三点()10,0P 、()21,0P 、()30,1P 距离的平方和为最小.解：设()1,P x y 为所求之点，l 为P 到1P 、2P 、3P三点距离的平方和，即222123l PP PP PP =++，2221PP x y =+，()22231PP x y =+-所以()()222222221133222l x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+对,X Y 求偏导数，有'62x l x =-，'62y l y =-''0x l l o⎧=⎪⎨=⎪⎩即，620620x y -=⎧⎨-=⎩解方程组得驻点11,33⎛⎫⎪⎝⎭，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，因此11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为所求之点.2.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数222246u x y z x y z =++++-的极值情况. 解: 2(1)2(2)2(3)du x dx y dy z dz =++++-由2(1)02(2)02(3)0x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得稳定点()01,2,3p -- ,二阶偏导数()11022332,2,2xx a u p a a ====，1213212332310a a a a a x ======, 200020002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式全大于0,故u 在点0p 取得极小值()014u p =-. 例2, 求多元函数322122u x y z xy z =++++的极值情况. 解:由231202120220u x y x uy x y uz z⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎩得稳定点()00,0,1p -及()124,144,1p -- , 222262224u d xdx dy dz dxdy =+++, 在1p 处,11121331233212,0a a a a a a ======,1441201220002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式11140p =>, 2144120122p ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦, 30p A =>全大于零, ()u f p =则在点1p 取得极小值()16931u p =-,在点0p 处,A 的各阶顺序主子式不全大于零, 此时()222212d dz dz dy dx =++,当20,0,120,0u dz dy dy dx d =>+<<而当,,dx dy dz 均大于0时,20d >,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于0因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例. 2.5.1 引理及定理引理[1] 若函数()f x 在0x 的邻域内存在二阶导数,且()'00f x =,()''00f x ≠,则(1) 当()''00f x >时,0x 是函数()f x 的极小值点; (2) 当()''00f x <时,0x 是函数()f x 的极大值点. 引理[2] [2] 若n 元函数()12,,n u f x x x = 在驻点()000012,,,n p x x x = 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点()000012,,,n p x x x = 处作矩阵()1112121222120n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f p f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则a) 当()0H p 为正定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极小值; b) 当()0H p 为负定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极大值; c) 当()0H p 是不定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处不取得极值.定理1 设函数(),f x y 在()00,x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且()00,0f x y =, ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,则当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.证 由(),0f x y = ,得0x y x f f y +⋅= ,又0y f ≠ , 所以()()()2232,xx y xy x y x xyxx xx yyf f f f f f f f y y f f -+=-=-又因为()()0000,0,,0x f x y f x y == ,所以()()()()0000,00,,,xx xx xx x y yy x y f x y f y f f x y =-=-.由引理1知, 当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,()y x 在点0x 处取得极小值;当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,()y x 在点0x 处取得极大值.定理2 设函数()12,,,n f x x x y 在点()0012,,o n p x x x 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且()()00012,,,01,2,,ix n f x x x y n n ==,()00012,,,0n f x x x y =,()12,,,0y n f x x x y ≠. 由方程()12,,,0n f x x x y =所确定的n 元函数()12,,,n y y x x x =,则当a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值; c) 当()()0ij nnH p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处不取得极值.其中()()()000012000012,,,,,1,2,,,,i i x x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=证 由()12,,,0n f x x x y =,得0i i x y x f f y +=. 又0y f ≠ ,所以 在i i x x yf y f =-中对j x 求偏导数得()()()2i ji i j ii jx x x y y x yx yy x x y yf f f f f f y y f +-+⋅=-因为()()000012,,...,,01,2,...,ix nf x x x y i n ==,()000012,,...,,0n f x x x y =. 所以()()000012000012,,...,,0,,...,,i x n y np f x x x y xf x x x yiy =-=所以()()000012000012,,...,,,,...,,i j x x n y np f x x x y x x f x x x yi jy=-. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极值.其中 ()()()000012000012,,...,,,,1,2,...,,,...,,i x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 22212122880x x y x y y +++-+= 所确定的隐函数()12,y f x x =的极值.解 令()22212121,,2288F x x y x x y x y y =+++-+, 由12122221214804022880x x F x y F x x x y x y y ⎧=+=⎪==⎨⎪+++-+=⎩得驻点()12168,0,,2,0,177p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,而122111220,4x x x x x x x x F F F F ==== , ()()1215,15y y F p F p ==- ,所以()()1244001515,44001515H p H p ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而()1H p 为负定矩阵, ()2H p 为正定矩阵,由定理2知函数()12,y f x x = 在0116,07p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处取得极大值1168,077y f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;在()022,0p -处取得极小值()22,01y f =-=.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求()444123123,,f x x x x x x =++ 在条件1231x x x = 下的极值.解: 将1231x x x = 代入f 的表达式, 得()44121244121,f x x x x x x =++. 令 ()44844812121212,,1F x x f x x f x x x x =---.解得:12347438121212348347121212448488121212484104480410x x F x x f x x x x F x x f x x x x x x f x x x x ⎧=---=⎪⎪=--=⎨⎪---=⎪⎩. 得驻点()()()()12341,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3p p p p ---- .而11246428121212125612,x x F x x f x x x x =-- 22428248121212121256,x x F x x f x x x x =-- 12337337121212163232,x x F x x f x x x x =-- 4412f F x x =.所以()11132x x F p =- ()12116x x F p =- ()22132x x F p =-,()1 1.f F p =()132161632H p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且2212320,32160∆=>∆=->. 即()1H p 是正定矩阵.所以()44121244121,f x x x x x x =++在点()011,1p =处取得极小值3. 又由1231x x x = 得()31,11x =,所以在条件1231x x x =下,及()011,1p = 对应的点为()111,1,1p =.所以原函数()444123123,,f x x x x x x =++在条件1231x x x =下,在点()111,1,1p =处取得极小值,且()1,1,13f =.同理可知函数()123,,f x x x 在点()()()1112341,1,1,1,1,1,1,1,1p p p ------ 处均取得极小值且极小值为3.3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果()f x y在D上必定能取得最大值和最,,f x y在有界闭区域D上连续,则()小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数()f x y在D内的,所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数(),f x y的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数()f x y在D上的最大值(最小,值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8]3.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?”我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）:说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2分析和假设3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作b.3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立及求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为r (直径2d r =),罐的高为h ,罐内体积为V ,b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积S 是因变量,而b 和V 是固定参数,a 是待定参数.S 和V 分别为：()()222,212S r h rh r a r b b a r rh ππππ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦2V r h π=,2/h V r π=注意,饮料罐侧面的体积应为()2222h r b hr rbh hb ππππ+-=-因为b r << ,所以2hb π可以忽略.3.2.3.2 建立模型记()2,g r h r π=- (),0min ,r o h S r h >> ()..,0s t g r h =其中S 是目标函数,(),0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h 和a 使得r, h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3 模型的求解从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 从()2,0g r h r V π=-=解出2/h V r π= 代入S,使原问题化为:求/d h 使S 最小,即求r 使()()()22,1V S r h r b a r r π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦最小. 令其导数为零得()()()222222110ds V b B a r a r V sr r r ππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 解得驻点为r =因此()11V h a a π⎡⎛⎫⎡⎢ ⎪⎢==+=+ ⎪⎢⎢⎣⎝⎭⎣测量数据为/4h r = ,即41,3a a =+=,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r 确实使S 达到极小.计算''S ，()''324210V S b a r π⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦.0r ∴>,因此,这个r 确实使S 达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小.✧ 应用算术几何平均值不等式(当23n =，时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大).11n i i a n =≥∑, 0,1,...i a i n >=,当且仅12...n a a a ===时等号成立.令 ()21233,,1V n a r ra a a π====+ ,于是有()22216V b a b r r π++≥当且仅当()21V a r r π=+时等号成立,即r =结果相同. ✧ Lagrange 乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)求函数(),z x y =在条件(),0x y ϕ=下的极值，设二元函数(,)z f x y =和(),x y ϕ在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且()',x x y ϕ,()',y x y ϕ不同时为零，求函数(,)z f x y =在约束条件(),0x y ϕ=下的极值，按以下方法进行：a) 构造辅助函数()()(),,,,F x y f x y x y λλϕ=+其中λ称为拉格朗日乘数.b) 求(),,F x y λ的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得,x y 及λ，则(),x y 是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法.引入参数0γ≠ ,令()()()22,,21L r h b rh a r r h V λπλπ⎡⎤=++--⎣⎦()()()22212202200L b b r h rh r L br r r b r hL r V ππλπλππλπλ∂⎧=++-=⎡⎤⎣⎦⎪∂⎪∂⎪=-=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩从第2, 3式解得2V h rπ= ，2b r λ=,代入第1式得3210.V br a r ππ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦()1r h a ==+和前面的结果相同. 3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为2612339.3355V π=⨯≈< ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.6/10.20.647=非常接近黄金分割比0.618.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为30.40.2 3.6++=平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此()()()22230.620.44 4.4 1.082S r r r h b r r rh b πππππππ=++++=+++.22,VV r h h r ππ==问题化为:当V 固定时,求:d h 使S 最小.由于365V =立方厘米,即()22.9,365/13.8r h r π==≈所以, : 2.4h d ≈, 高是直径的2.4倍!3.3 多元函数极值的实际应用例1[9] [冻果汁的定价]一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖x 美分，外地牌子的每听卖y 美分，则每天可卖出7054x y -+听当地牌子的果汁,()8067x y +-听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？解：既然总收益为当地牌子的果汁收益及外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数()()()()(),307054408067f x y x x y y x y =--++-+-于是求每天的最大总收益，就是求二元函数(),f x y 的最大值.求二元函数(),f x y 的偏导数，得101020010142400f x y x f x y y∂⎧=-+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 则有驻点53,55x y ==. 所以当53x =美分，55y =美分时，小店可取得最大收益.例2[3] 要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为218m 元/，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ，则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>， 由题设知86(22)216xy xy yz ++=即32()36xy z x Y ++=解出z ，得 3633122()2xy xy z x y x y--==⋅++…………………………….① 将①式代入V xyz =中，得二元函数223122xy x y V x y-=⋅+……………………………………..② 求V 对,X Y 的偏导数：()2222(122)(12)32()y xy x y xy x y V x x y -+--∂=⋅∂+，()2222(122)(12)32()x x y x y xy x y V y x y -+--∂=⋅∂+.令，0,0V V x y ∂∂==∂∂得方程组 222222(122)()(12)0(122)()(12)0y xy x y xy x y x x y x y xy x y ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩ 解之， 得2, 2.x y == 再代入 ① 式中得3z = .由问题的实际意义得知，函数(,)V x y 在0,0x y >> 时确有最大值，又因为(,)V V x y = 可微，且只有一个驻点，所以取长为2m ，宽为2m ，高为3m 时，水槽的容积最大.例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)及电台广告费1x (万元)和报纸广告费2x (万元)的函数关系式2212121212(,)1514328210R x x x x x x x x =++--- 求：（1）在不限广告费时的最优广告策略；（2）在仅用1.5万元做广告费时的最优广告策略.解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润12(,)L x x 最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为12(,)C x x ，则1212(,)C x x x x =+，于是()2212121212121212(,)(,)(,)153********,0L x x R x x C x x x x x x x x x x =-=++--->>令211122138********L x x x L x x x ∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩，解得120.751.25x x =⎧⎨=⎩ 所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为0.75万元和1.25万元.据题意这是一个条件极值问题，约束条件为12 1.5x x +=，一般的从这一约束条件中解出121.5x x =-，带入利润函数()()()2212222222222(,)1513(1.5)3181.521.510301240 1.5L x x x x x x x x x x =+-+-----=+-≤≤于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题.由于()'2212800 1.5L x x =-≥≤≤，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在2 1.5x =时取最大值.因此用1.5万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用及报纸广告费用，而不做电台广告.或构造辅助函数()221212121513318210 1.5F x x x x x x λ=+----++-2111122212138403182001.50F x x x F x x x F x x λλλ∂⎧=--+=⎪∂⎪∂⎪=--+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解得1201.5x x =⎧⎨=⎩有同样的结果.结 语函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足20xx yy xy f f f ∆=->的二阶连续可导的函数(),z f x y =的驻点()00,x y 是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在0∆=的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论及一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产.参考文献[1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990.[2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991.[3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983.[4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003.[5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000.[6] 胡运权、郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002.[7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002.[8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002[9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社.[10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005.[11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8).[12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998.[13] 黄忠霖、黄京. 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