数值分析方法

第一章 绪论

误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差

是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）

为 的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为： 即：

绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。

例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。

科学计数法：记有n位有效数字，精确到。

由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令

1. x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和

2. x-y近似值为

3. xy近似值为

4.

1．避免两相近数相减

2．避免用绝对值很小的数作除数

3．避免大数吃小数

4．尽量减少计算工作量

第二章 非线性方程求根

1.逐步搜索法

设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发， 按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(xk)=f(a+kh)的符号，若f(xk)>0(而f(xk-1)<0),则有根区间缩小为[xk-1,xk] (若f(xk)=0，xk即为所求根), 然后从xk-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|xk-xk-1|

2.二分法

设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。

3.比例法

一般地，设 [ak,bk]为有根区间，过(ak, f(ak))、 (bk, f(bk))作直线，与x轴交于一点xk,则：

1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。

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数值分析方法与地基沉降计算常用方法的比较与分析

作者：李聪 孙东晓

来源：《城市建设理论研究》2012年第28期

摘要：随着城市建设的高速发展，人们对土木工程诸多方面的研究都有突破，但对地基变形的研究却少有进展。本文拟就工程实践中应用的天然地基浅基础将有限元数值分析方法与地基沉降常用计算方法作以归纳和比较，希望引起更多同行的关注和进一步的研究探讨。

关键词：数值分析分层总和法应力面积法

Abstract: With the rapid development of urban construction, civil engineering has been broken

through in many aspects, while little progress in the study of foundation deformation. In this paper, in

the shallow foundation of the engineering practice applying natural foundation, a conclusion and

comparison between the finite element numerical analysis and the common computing methods of

foundation settlement, hoping to attract more attention from colleagues and the exploration of furture

study.

Key words: numerical analysis; layerwise summation method; stress area method

《数值分析》 课程实验指导书

实验一 函数插值方法

一、问题提出

对于给定的一元函数)(xfy的n+1个节点值(),0,1,,jjyfxjn。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。

数据如下：

（1）

jx 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05

jy 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382

求五次Lagrange多项式5L()x，和分段三次插值多项式，计算(0.596)f,(0.99)f

的值。（提示：结果为(0.596)0.625732f, (0.99)1.05423f ）

（2）

jx 1 2 3 4 5 6 7

jy 0.368 0.135

0.050 0.018 0.007 0.002 0.001

试构造Lagrange多项式6L()x，计算的(1.8)f,(6.15)f值。（提示：结果为(1.8)0.164762f, (6.15)0.001266f ）

二、要求

1、 利用Lagrange插值公式

00,()nninkkiikkixxLxyxx编写出插值多项式程序；

2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；

3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；

4、 对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。

四、实验分析：

Lagrange插值多项式的表达式：

1,,2,1,)()()(,)()(1111nixxxxxlxlyxLnijjjijiniii。

其中)(xli被称为插值基函数，实际上是一个n次多项式。)(xli的这种表示具有较好的对称性。公式具有两大优点：（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组，当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。

第一章 绪论

误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差

ε(x)=|x−x∗|是x∗的绝对误差，e=x∗−x是x∗的误差，ε(x)=|x−x∗|≤ε，ε为x∗的绝对误差限（或误差限）

er=ex=x∗−xx为x∗ 的相对误差，当|er|较小时，令 er=ex∗=x∗−xx∗

相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|er|=|x∗−x||x∗|≤ε|x∗|=εr

绝对误差有量纲，而相对误差无量纲

若近似值x∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x∗的第一位非零数字共有n位，则称近似值 x∗有n位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x∗=3,ε1(x)=0.1415926…≤0.5×100,则x∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x∗=±0.a1a2⋯an×10m(其中a1≠0),若|x−x∗|≤0.5×10m−n，则x∗有n位有效数字，精确到10m−n。

由有效数字求相对误差限：设近似值x∗=±0.a1a2⋯an×10m（a1≠0）有n位有效数字，则其相对误差限为12a1×101−n

由相对误差限求有效数字：设近似值x∗=±0.a1a2⋯an×10m（a1≠0）的相对误差限为为12（a1+1）×101−n则它有n位有效数字

令x∗、y∗是x、y的近似值，且|x∗−x|≤η(x)、|y∗−y|≤η(y)

1. x+y近似值为x∗+y∗,且η(x+y)=η(x)+η（y）和的误差（限）等于误差（限）的和

2. x-y近似值为x∗−y∗,且η(x+y)=η(x)+η（y）

3. xy近似值为x∗y∗,η(xy)≈|x∗|∗η(y)+|y∗|∗η(x)

4. η(xy)≈|x∗|∗η(y)+|y∗|∗η(x)|y∗|2

1．避免两相近数相减

2．避免用绝对值很小的数作除数