圆与圆的位置关系

第 1 页 共 12 页 4.2.2 圆与圆的位置关系

知识点 两圆位置关系的判定

思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？

答案 圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．

几何方法判断圆与圆的位置关系

设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则

(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；

(2)当d＝r1＋r2 时，圆C1与圆C2外切；

(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆C1与圆C2相交；

(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；

(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．

思考2 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？

答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．

梳理 (1)用几何法判定圆与圆的位置关系

已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，

C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，

则圆心距d＝|C1C2|＝x1－x22＋y1－y22.

两圆C1，C2有以下位置关系：

位置关系 相离 内含 相交 内切 外切

圆心距与半径的关系 d＞r1＋r2 d＜|r1－r2| |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2

图示

(2)用代数法判定圆与圆的位置关系

已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，

C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，

第 2 页 共 12 页 将方程联立 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，

消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，

则①判别式Δ＞0时，C1与C2相交；

②判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切；

③判别式Δ＜0时，C1与C2相离或内含．

类型一 两圆的位置关系

命题角度1 两圆位置关系的判断

例1 已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )

A．内切 B．相交

C．外切 D．相离

答案 B

解析 由 x2＋y2－2ay＝0，x＋y＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a，a)．

∵圆M截直线所得线段的长度为22，

∴a2＋－a2＝22，

又a＞0，∴a＝2.

∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，

即x2＋(y－2)2＝4，圆心为M(0,2)，半径为r1＝2.

又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为N(1,1)，半径为r2＝1，

∴|MN|＝0－12＋2－12＝2.

∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，

∴两圆相交．

反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤

(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．

(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.

(3)求两圆的圆心距d.

(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．

(5)根据大小关系确定位置关系．

跟踪训练1 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两

第 3 页 共 12 页 个圆的公切线的条数为( )

A．1或3 B．4 C．0 D．2

答案 D

解析 由圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝14，

得C1(1，－2)，C2(2，－1)，

∴|C1C2|＝2－12＋－1＋22＝2.

又r1＝1，r2＝12，

则r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，

∴圆C1与圆C2相交．

故这两个圆的公切线共2条．

命题角度2 已知两圆的位置关系求参数

例2 当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：

(1)外切；(2)相交；(3)相离．

解 将两圆方程写成标准方程，则

C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.

∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.

设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.

(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，

此时a＝－5或a＝2.

(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.

(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆相离，

此时a＞2或a＜－5.

反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：

①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径．

②计算两圆圆心的距离d.

③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．

(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．

跟踪训练2 若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )

第 4 页 共 12 页 A．±3 B．±5

C．3或5 D．±3或±5

答案 D

解析 圆C1与圆C2的圆心距为d＝a2＋0－02＝|a|.

当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；

当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.

类型二 两圆的公共弦问题

例3 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求公共弦所在的直线方程；

(3)求公共弦的长度．

解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则

C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，

C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，

∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝52，

圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝10.

又∵|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，

|r1－r2|＝|52－10|，

∴|r1－r2|<|C1C2|

∴两圆相交．

(2)将两圆方程相减，

得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.

(3)方法一 由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35，

∴公共弦长为l＝2r21－d2＝250－45＝25.

方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组

 x－2y＋4＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，

解得 x＝－4，y＝0或 x＝0，y＝2，

∴|AB|＝－4－02＋0－22＝25.

即公共弦长为25.

反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法

第 5 页 共 12 页 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.

(2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

跟踪训练3 (1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．

答案 3

解析 由题意知直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，

∴kAB×1＝－1，

即3－－11－m＝－1，得m＝5，

∴AB的中点坐标为(3,1)．

又AB的中点在直线x－y＋c＝0上，

∴3－1＋c＝0，∴c＝－2，

∴m＋c＝5－2＝3.

(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝254截得的弦长．

解 由题意将两圆的方程相减，

可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为

x＋y－1＝0.

又圆C3的圆心坐标为(1,1)，

其到直线l的距离为d＝|1＋1－1|12＋12＝22，

由条件知，r2－d2＝254－12＝234，

所以弦长为2×232＝23.

类型三 圆系方程及应用

例4 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．

解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为

x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，

第 6 页 共 12 页 即x2＋y2－41＋λx－4λ1＋λy－6＝0，

所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．

又圆心在直线x－y－4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，

即λ＝－13.

所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.

方法二 由 x2＋y2－4x－6＝0，x2＋y2－4y－6＝0，

得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.

由 y＝x，x2＋y2－4y－6＝0，解得 x1＝－1，y1＝－1， x2＝3，y2＝3.

所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)，

线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)．

由 y－1＝－x－1，x－y－4＝0，得 x＝3，y＝－1，

即所求圆的圆心为(3，－1)，

半径为3－32＋[3－－1]2＝4.

所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.

反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．

跟踪训练4 求过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程．

解 设过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点的圆系方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＋λ(x2＋y2－6x)＝0，

即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－(4＋6λ)x＋2y＋1＝0.

把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34.

∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋8y＋4＝0.

1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

答案 B