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矩阵相似对角化的条件

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矩阵的相似与对角化

矩阵的相似与对角化

矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中的重要概念之一，而相似性与对角化是矩阵理论中的两个关键概念。

本文将从相似性与对角化的概念入手，探讨它们的定义、性质以及在线性代数中的应用。

1. 相似矩阵的定义与性质相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵具有相同的特征值，但其特征向量的基和矩阵元素可能不同。

具体来说，如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和矩阵B满足A = PBP^(-1)，则可以称矩阵A和矩阵B是相似的。

相似矩阵的性质包括：1) 相似矩阵具有相同的特征值，即它们的特征多项式相同。

2) 相似矩阵的特征向量对应相同的特征值，但基可能不同。

3) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。

4) 相似矩阵具有相同的幂，即A^k与B^k相似。

2. 对角化的定义与性质对角化是线性代数中与相似性概念紧密相关的一个概念。

简而言之，对角化就是将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。

具体来说，如果一个n阶矩阵A相似于一个对角矩阵D，即存在一个可逆矩阵P，使得A = PDP^(-1)，则称矩阵A是可对角化的。

对角化的性质包括：1) 可对角化矩阵与其特征值和特征向量有关，特征向量构成的基是将矩阵对角化的基。

2) 可对角化矩阵具有简洁的形式，对角线上的元素是矩阵的特征值，其他元素都为0。

3) 可对角化矩阵的幂可以通过对特征值的幂进行对角化得到。

3. 相似与对角化的关系和应用相似的关系为矩阵的对角化提供了有力的理论基础。

具体而言，如果一个矩阵是可对角化的，那么它就必然与一个对角矩阵相似。

换句话说，对角化是相似的一种特殊情况。

相似与对角化的关系在线性代数中有广泛的应用，例如：1) 矩阵的相似性可以简化矩阵的计算，例如求解线性方程组、计算矩阵的幂等等。

2) 对角化可以简化矩阵的求幂运算，从而方便计算高阶矩阵的幂。

3) 对角化可以帮助我们理解矩阵的性质，例如特征向量的重要性、矩阵的谱分解等。

总结：本文从相似性与对角化的定义和性质出发，对相似矩阵与对角化的关系与应用进行了讨论。

矩阵的相似性与对角化

矩阵的相似性与对角化

矩阵的相似性与对⾓化概要介绍相似矩阵、对⾓化以及⼀⼤堆性质.相似矩阵的定义从⼀节中，我们了解到每⼀个可逆矩阵都是⼀个可变换基的矩阵，每⼀个可变换基的矩阵也都是可逆的. 设 B 是向量空间V的⼀组基，T是V上的⼀个线性变换，A=B[T]B, 则T的所有基表⽰的集合是{B1[I]B⋅B[T]B⋅B[I]B1:B1is a basis of V}={S−1AS:S∈M n(F)is invertible}这恰是所有与A的相似的矩阵的集合，说明了相似矩阵正好就是单个线性变换的不同的基表⽰. 于是研究相似性可以看成是研究线性变换固有的性质或者是它们所有的基表⽰共有的性质。

与任何等价关系类似，相似性将集合M n分划成不相交的等价类。

每个等价类是M n中⼀个给定矩阵（这个类的⼀个代表元）相似的所有矩阵组成之集合。

⼀个等价类中所有的矩阵是相似的，不同等价类中的矩阵是不相似的，关键的结论是处于⼀个相似类中的矩阵共同享有许多重要的性质。

相似矩阵的性质相似矩阵有相同的特征多项式 **证明**：计算 \\begin{align\*} p\_B(t)&=\mathrm{det}(tI-B)=\mathrm{det}(tS^{-1}S-S^{-1}AS)=\mathrm{det}(S^{-1}(tI-A)S) \\\\ &=\mathrm{det}\\,S^{-1} \mathrm{det}(tI-A) \mathrm{det}S=( \mathrm{det}\\,S)^{-1}(\mathrm{det}\\,S) \mathrm{det}(tI-A)=\mathrm{det}(tI-A)=p\_{A}(t) \\end{align\*} 基于此有个简单的推论，对相似性来说，有相同的特征值是⼀个必要但⾮充分的条件，⽐如01 00与0000有相同的特征值但不相似。

### 对⾓矩阵的相似性由于对⾓矩阵特别简单且有很好的性质，我们乐于知道何种矩阵与对⾓矩阵相似. **证明**：假设k<n, 且="" n="" 元向量=""x(1)="",=""⋯="",x(k)="" 是线性⽆关的，⼜对每个="" i="1,"⋯,=""k="" 有="" ax(i)="λi x(i)." 设="" λ="diag(λ1,"λk),=""s1=""x(1)=""⋯=""x(k)="",="" 并选取任意⼀个="" s2=""∈=""m n,="" 使得="" s=""s1s2="" 是⾮奇异的.="" 计算="" \\begin{align\*}="" s^{-1}as="" &="S^{-1}"=""ax(1)⋯ax(k)as_2="S^{-1}" \lambda\_1="" x^{(1)}&\cdots&\lambda\_k="" x^{(k)}&as\_2\end{bmatrix}="" \\\\="" s^{-1}="" &s^{-1}as\_2\end{bmatrix}=""e_1=""⋯λ_k=""e_k=""s−1as_2="" \lambda="" c="" 0="" d="" \end{bmatrix},\quad="" \end{bmatrix}="S^{-1}AS\_2" \\end{align\*}="" 反过来，如果="" s="" 是⾮奇异的，s−1as=""且我们给分划=""s1s2,="" 其中="" m_{n,k},=""那么=""s_1=""的列就是线性⽆关的，且=""=""as1as2="AS=S"s1λ=""s1c+s2=""d.=""于是，as_1="S_1\Lambda,"所以=""的每⼀列都是=""a=""的特征向量。

第十五次课 相似矩阵及矩阵的对角化【精选】

第十五次课 相似矩阵及矩阵的对角化【精选】

合并以后仍是线性无关的。
即设 l1,l2,,lt 是矩阵A的不同的特征值，
又设
l1
对应的无关特征向量为 1(1)
,2(1)
,,
(1) i1
l2 对应的无关特征向量为 1( 2) , 2( 2) ,, i(22)

lt
对应的无关特征向量为
1(t
)
,2(t
)
,,
(t it
)
则
若 方阵A与一个对角阵L相似，则称方阵A可对角化。 记为 A~ L，并称 L 是 A 的相似标准形。
问 n 阶方阵A与一个对角矩阵L相似的条件？
下页
思考题
(X1, X2, , Xn)
l1 0 0
0
l2

0
=?
0 0 ln
(l1X1, l2X2, , ln Xn)
二、相似矩阵的性质
1. 如果方阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相 同的特征值。即 若A~B，则 |lE-A|=|lE-B|
证明：因为P-1AP=B， |lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|，
下面讨论对角化的问题
l1

l1

P -1AP

l2



AP

P

l2



ln

ln
记 P [1,2,,n ]
l1


A[1,2,,n]
[1,2,,n ]

l2

线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件

线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件

(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的 特 征 值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
(2 )若 A 与 B 相 ,且 似 A 可 ,则 逆 B 也,可 且 A 1 与 逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则 似 k与 A k相 B,k 为 似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而 似 f(x)是一,多 则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3

矩阵的相似与对角化求解

矩阵的相似与对角化求解

矩阵的相似与对角化求解矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个关键的概念。

本文将为您介绍矩阵的相似性和对角化求解方法，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的相似性矩阵的相似性是指两个矩阵具有相同的特征值和特征向量。

当两个矩阵相似时，它们的性质也会类似。

在数学中，我们用矩阵P表示可逆矩阵，如果矩阵A和B满足P^-1AP=B，那么我们称A和B是相似矩阵。

矩阵的相似性具有以下三个性质：1. 相似性是一种等价关系。

即对于任意的矩阵A，A与自身相似；若A与B相似，则B与A相似；若A与B相似，B与C相似，则A 与C相似。

2. 相似矩阵具有相同的行列式、迹和秩。

这意味着相似矩阵在行列式、迹和秩等方面具有相似的性质。

3. 相似矩阵具有相似的特征值和特征向量。

这是矩阵相似性的核心概念，相似的矩阵具有相同的特征值和特征向量。

二、矩阵的对角化求解方法对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。

对角化的求解可以简化矩阵的运算，方便研究矩阵的性质。

下面介绍一种常用的对角化求解方法——特征值分解。

特征值分解是将一个n阶矩阵A分解为A=PDP^-1的形式，其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵，D的主对角线上的元素是A的n个特征值。

特征值分解的步骤如下：1. 求出矩阵A的特征值。

特征值可以通过求解特征方程det(A-λI)=0来获得，其中λ是特征值，I是单位矩阵。

2. 根据特征值求出对应的特征向量。

对于每一个特征值λ，通过求解(A-λI)x=0来获得对应的特征向量x。

3. 构造可逆矩阵P。

将所有的特征向量按列组成矩阵P，即P=[x1,x2,...,xn]。

4. 构造对角矩阵D。

将特征值按照对应的特征向量顺序放在D的主对角线上。

5. 得到对角化的矩阵A。

通过A=PDP^-1可以得到矩阵A的对角化形式。

三、应用示例矩阵的相似性和对角化在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：1. 线性系统求解：矩阵的相似性可以将一个复杂的线性方程组转化为一个简单的对角形式，从而求解线性系统变得更加方便。

矩阵对角化的步骤

矩阵对角化的步骤

矩阵对角化的步骤引言矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它可以将一个矩阵变换为对角矩阵，从而简化一些运算和求解问题的过程。

本文将通过介绍矩阵对角化的基本概念、性质和步骤来深入探讨该主题。

什么是矩阵对角化矩阵对角化是指通过相似变换将一个矩阵变换为对角矩阵的过程。

对角矩阵是一种特殊的方阵，它的非主对角线上的元素全都是0，而主对角线上的元素可以是任意的数。

对角矩阵在一些问题的求解过程中具有简化运算的作用。

矩阵对角化的条件要将一个矩阵对角化，需要满足以下条件： 1. 矩阵必须是方阵，即行数和列数相等。

2. 矩阵必须有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵的维度。

矩阵对角化的步骤对于一个满足对角化条件的矩阵，下面是进行矩阵对角化的步骤：步骤1：求矩阵的特征值首先，我们需要求出矩阵的特征值。

矩阵的特征值是一个标量，它满足方程Ax=λx，其中A是矩阵，λ是特征值，而x是对应于特征值λ的特征向量。

步骤2：求特征值对应的特征向量在求得矩阵的特征值之后，我们需要求解特征值对应的特征向量。

通过解方程(A−λI)x=0，其中A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵，x是特征向量，可以得到特征向量。

步骤3：构成特征向量矩阵将步骤2中求得的特征向量按列构成一个矩阵P，这个矩阵称为特征向量矩阵。

步骤4：构成特征值矩阵将步骤1中求得的特征值按对角线排列成一个对角矩阵Λ，其它位置上的元素为0。

步骤5：对角化通过相似变换，即A=PΛP−1，将矩阵A变换为对角矩阵Λ。

这个过程中，矩阵P是特征向量矩阵，Λ是特征值矩阵。

矩阵对角化的意义和应用矩阵对角化在数学和工程中有着广泛的应用。

其主要意义在于简化问题的求解过程和分析矩阵的性质。

以下是矩阵对角化的一些具体应用：1.矩阵求幂一步计算: 对角化可以将矩阵的幂指数形式A n化简为PΛn P−1的形式，其中Λn是对角矩阵每个元素分别进行幂运算，大大简化了计算的复杂度。

2.线性差分方程的求解: 微分方程可以用矩阵表示，对角化可以将不易求解的高阶微分方程转化为一组一阶方程，从而简化求解过程。

相似矩阵与矩阵的对角化


相似矩阵与矩阵的对角化
用A左乘式（6-11），得 x1Ap1+x2Ap2+…+xk－1Apk－1+xkApk=0 x1λ1p1+x2λ2p2+…+xk－1λk－1pk－1+xkλkpk=0（6-12） 式（6-12）减去式（6-11）的λk倍，得 x1(λ1－λk)p1+x2(λ2－λk)p2+…+xk－1(λk－1－λk)pk－1=0 按归纳法假设p1,p2,…,pk－1线性无关，故xi(λi－ λk)=0(i=1,2,…,k－1).而λi－λk≠0(i=1,2,…,k－1)，于是得 xi=0(i=1,2,…,k－1)，代入式（6-11）得xkpk=0，而pk≠0，得 xk=0.因此，向量组p1,p2,…,pm线性无关. 因此有以下定理：
相似矩阵与矩阵的对角化
解 若用3维向量xi表示第i年后从事这三种职业的人 员总数（单位：万人），则已知
相似矩阵与矩阵的对 角化
相似矩阵与矩阵的对角化
一、 相似矩阵的概念
定义6-5
对n阶方阵A，B，若存在一个n阶可逆矩阵P，使 P－1AP=B
成立，则称矩阵A与B相似或矩阵A相似于B，记作A~B. 矩阵的相似是一种等价关系c，满足以下三个性质： （1）反身性：A与自身相似. （2）对称性：若A与B相似，则B与A相似. （3）传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.
在实际问题中，有时会将问题归结为计算一个 矩阵A的高次幂Ak，一般用矩阵乘积的行乘列法则来 计算矩阵幂是很麻烦的，特别在幂次很大时尤甚.我 们知道，从对角阵的特点可知有如下简单的结论：
相似矩阵与矩阵的对角化
自然想到，当A可对角化时，能否找到一个计算矩 阵的高次幂Ak的简单方法呢？回答是肯定的.事实上，若 A可对角化，则可建立起分解式A=PΛP－1，有

5.2 矩阵相似对角化


2 0
1 2
0 1 2
2 0 0
则有
P 1 AP 0 2 0 .
0 0 7
14
2 1 2 (2) A 5 3 3
解
1 0 2
2 1
I A 5 3
2
3 ( 1)3 0
1 0 2
所以A的特征值为 1 2 3 1.
解齐次线性方程组 (I A)x 0
再利用tr(A) tr(), 得到 2 x y 1.
6
2.若 A 与 B 相似, 则 Am与 Bm 相似( 为正整数).
分析: A ~ B ,则存在可逆矩阵 P ,使 P1AP B
P1AAP P1AP P1AP B2
3.若 A1 ~ B1 , A2 ~ B2 ,则 k1A1 k2 A2 ~ k1B1 k2B2
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
若能对角化，求出可逆矩阵 P使得 P 1 AP为对角阵。
解:
1 2 2
| I A | 2 2 4
2 4 2
22 7 0
得 1 2 2,3 7
12
将 1 2 2代入I A X 0,得方程组
x1 2x2 2x3 0 2x1 4x2 4x3 0
第5.2节 矩阵相似对角化
1
主要内容 一、矩阵相似的概念 二、矩阵相似对角形 三、小结 四、思考与练习
2
一. 相似矩阵的概念
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵B 相似，记作 A ~ B
对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。

4_2方阵的相似对角化与4-3正交矩阵


1 −3 (1) A= 3 −5 = 6 −6 −1 1 (2) B= −4 3 = 1 0
3 3 4 0 0 2
=
对角阵为 Λ=
1 −1 1 1 0 1 , 0 1 2 −2 0 0 0 −2 0 , 0 0 4
满足 P−1 A P= Λ . =
《线性代数》 返回 下页 结束
例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 似于对角阵 若相似 求可逆矩 阵P，使P−1 A P= Λ . ， =
对于特征值λ3=6，解线性方 ， 程组(6 − 程组(6E−A)X=o， 6 = ，
解得
x = 5 . y = 6
1 得其基础解系ξ3= -2 ， 3
由于A和 相似 由于 和B相似，且B是一个 对角阵，可得 的特征值为 对角阵，可得A的特征值为
《线性代数》 返回
−1 1 1 所以 P = 1 0 −2 . 0 1 3
=(λ−2)(λ−1)2=0， ，
矩阵B的特征值为 矩阵 的特征值为 λ1=λ2=1 λ3=2 . =1, =1, 对于特征值λ1=λ2=1 解线性 方程组(E− 方程组 −B)X=o， = ，
1 −3 (1) A= 3 −5 = 6 −6 −1 1 (2) B= −4 3 = 1 0
3 3 4 0 0 2
解得 例2.
1 − 1 0 阶方阵A相似于 设3阶方阵 相似于D = 2 2 0 阶方阵 0 0 3
x = −17 . y = −12
,求|A|. 求
由于矩阵A和 相似 所以|A|=|D|, 即 相似，所以 解：由于矩阵 和D相似 所以 由于矩阵 |A|=|D|＝12.
相似可知， 解：由A和B相似可知，它 和 相似可知 们的迹、行列式都相等， 们的迹、行列式都相等，即

7-2 相似矩阵与矩阵对角化


(3)若 A 与 B 相似，则 Am 与 Bm 相似.（ m 为正整数）
4
(4) 若 A 与 B 相似，而 f ( x ) 是一个多项式， 则 f ( A ) 与 f ( B ) 相似。
(5) P 1 A A P P 1 A P 1 2 1
P
1
A2 P .

(6) P 1 k 1 A1 k 2 A 2 P k 1 P 1 A 1 P k 2 P 1 A 2 P （ k 1 , k 2 为任意常数）
求得
P
1

17
A PP
1
1 1 1
1 0 1
1 0 2 1
1
3
1 3 1 2 1 6
1 3 0 1 3
1 3 1 2 1 6
（1）反身性：
A A.
A B则
（2）对称性：若
（3）传递性：若
B A.
则A C.
A B,B C ,
相似矩阵还具有如下性质： 性质1 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩. 推论 若矩阵 A n n与对角阵 相似，即
3
A n n
A 的特征值是 2 , 4 , , 2 n 即 i 2 i ,
解
A 3 E 的特征值是 f ( i ) 2 i 3
A 3E
( 2 i 3 ) ( 1) 1 3 ( 2 n 3 )
i 1
n
22
方法2：已知 A 有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化， 即存在可逆矩阵 P , 使得 2
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矩阵相似对角化的条件
一、前言
矩阵相似对角化是研究矩阵理论中的一个重要问题。

在数学、物理和工程学科中，矩阵相似对角化有着广泛的应用。

本文将从定义、性质与条件三个方面探讨矩阵相似对角化的相关条件。

二、定义
矩阵相似对角化是将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。

相似变换是指存在一个可逆矩阵P，使得相似变换前的矩阵A与相似变换后的矩阵B之间存在如下关系：
B=P^-1AP
其中，A与B是相似矩阵，P是相似变换矩阵。

三、性质
1. 相似矩阵具有相同的特征值
设A与B是相似矩阵，其相似变换矩阵为P，则有：
|B-λE|=|P^-1AP-λE|=|P^-1AP-P^-1λEP|=|P^-1||A-λE||P|=0
因此，相似矩阵A与B具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值。

2. 相似矩阵的特征向量基相同
设A与B是相似矩阵，其相似变换矩阵为P，则有：
AP=PB
设x是A的特征向量，则有Ax=λx。

将其代入上式得：
P^-1APx=P^-1PBx
即B(Px)=λ(Px)，从而Px是B的特征向量。

因此，相似矩阵A与B的特征向量基是相同的。

3. 两个矩阵同时相似于一个对角矩阵
设A、B和C是三个相似矩阵，其相似变换矩阵分别为P、Q和R，则有：
B=Q^-1AQ, C=R^-1AR
因此，有：
C=(R^-1Q)Q^-1AQ(R^-1Q)^-1
也就是说，A、B和C同时相似于对角矩阵。

四、条件
矩阵相似对角化的条件具有如下几个方面：
1. 矩阵可对角化
如果一个矩阵能够对角化，那么就存在一个矩阵P，使得A=PDP^-1，其中D是对角矩阵。

这意味着，A具有n个线性无关的特征向量。

2. 矩阵相似于对角矩阵
如果A相似于对角矩阵D，那么相似变换矩阵P的列向量应该是A的特征向量。

3. 不同特征值的特征向量线性无关
如果A的不同特征值的特征向量线性无关，那么就存在P，使得
A=PDP^-1，其中D是对角矩阵。

这是因为，在这种情况下，就有n个
线性无关的特征向量可以组成相似变换矩阵P的列向量。

4. 矩阵可对角化当且仅当有n个线性无关的特征向量
如果A有n个线性无关的特征向量，那么就存在一个可逆矩阵P，满足A=PDP^-1，其中D是对角矩阵。

反之，如果A不能对角化，那么它必然没有n个线性无关的特征向量。

五、结论
矩阵相似对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文从定义、性质与条件三个方面进行了探讨。

具有相似特征的矩阵之间具有许多相同的性质，这给矩阵理论中的问题提供了许多便利。

同时，矩阵相似对角化条件也有着重要的应用价值，对于本科数学专业的学生来说，学习这一问题可以锻炼矩阵理论的抽象思维能力，从而更好地应对各种求解实际问题的场合。