浅谈矩阵对角化及其应用(米亚兄) - 天津商业大学商学院【优秀资料】

对角化原理
对角化原理是线性代数中的一个重要概念，它涉及到将一个矩阵转换为对角矩阵的过程。

通过对角化，我们能够将一个复杂的矩阵问题简化，从而更容易地解决相关问题。

对角化原理的基本思想是将一个矩阵相似于一个对角矩阵。

对角矩阵是一个除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的特征向量和对应的特征值。

为了将对角化原理应用于实际问题，我们需要找到一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。

这个过程称为矩阵的对角化。

如果存在这样的可逆矩阵P，那么称矩阵A是可对角化的。

矩阵可对角化的条件是其所有特征值都是非零的，且每个特征值对应一个线性无关的特征向量。

如果这些条件满足，则存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是对角矩阵。

对角化原理的应用非常广泛，包括数值分析、信号处理、图像处理、控制系统等领域。

例如，在信号处理中，对角化可以用于将信号分解为一组正交的基函数，从而更好地理解和分析信号的特性。

在控制系统理论中，对角化可以用于分析系统的稳定性和性能。

总之，对角化原理是一种重要的数学工具，它可以简化复杂矩阵问题，并将其分解为一组简单的特征向量和特征值。

通过将对角化原理应用于实际问题，我们可以更好地理解和分析相关问题的特性，从而为实际应用提供更好的解决方案。

浅谈矩阵对角化及其应用（米亚兄）- 天津商业大学商学院【优秀资料】(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）浅谈矩阵对角化及其应用写在前面：结识高等代数已经快一年了，我们从最初的认识行列式，一直到到现在的欧几里得空间，逐一学习了线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换，现在就浅谈一下自己对矩阵对角化及其应用的认识。

众所周知：n维向量空间V中的线性变换δ可否对角化的问题是高等代数中十分重要的内容，而δ可对角化的充要条件是δ关于V的矩阵A可对角化。

内容摘要：文章综述了矩阵可以对角化的条件，讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。

关键词：矩阵对角化特征多项式特征值特征向量导言：文章由矩阵可对角化出发，说明矩阵可对角化的条件、讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。

具体内容：1、矩阵可对角化的条件：1）设δ是n维线性空间的一个线性变换，δ的矩阵可以在某一组基下维对角矩阵的充分必要条件是δ有n 个线性无关的特征向量。

2）方块矩阵A被称为可对角化的，如果它相似于对角矩阵，就是说，如果存在一个可逆矩阵P使得P−1AP是对角矩阵。

3）设A 是数域F上的n阶矩阵，如果存在F上n阶可逆矩阵T，使得T1-AT=∧,那么，就说矩阵A 是可以对角化的。

可对角化矩阵的基本性质和结论：1）数域F上n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

2）数域F上n阶矩阵A在F内有n个不同的特征根，那么A可以对角化。

3） 属于不同特阵值的特征特真向量是线性无关的。

4）如果在n 维空间V 中，线性变换δ的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即δ有n 个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形的。

毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵可对角化的判定条件一、前言部分矩阵(matrix) 是代数学中的一个基本概念，也是代数学的主要研究对象之一.“矩阵”（该词来源于拉丁语，表示一排数的意思）这一术语是英格兰数学家西尔维斯特(J.J.Sylvester,1814 — 1897) 在1850 年首先使用的.从19 世纪50 年代开始，英国数学家凯莱和西尔维斯特进一步发展了矩阵理论，且把矩阵作为极为重要的研究工具.凯莱一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章. 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他给出了现在通用的一系列定义，如两个矩阵的相等、零矩阵、单位矩阵、两个矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆矩阵、转置矩阵等.矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支—矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域.如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及X 射线照相术等方面都有广泛的应用.随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础.矩阵是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到.它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置.矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分，在矩阵论中占有重要的作用，研究矩阵对角化问题很有实用价值，关于矩阵对角化问题的研究，这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究，没有进行系统的分类归纳和总结.因此，我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结，对一些理论进行应用和举例，给出算法.特别给出了解题时方法的选择.矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的，本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究．根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断，这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具，也把矩阵和有限维空间相结合．在现代科技中，很多问题都是运用此类方式.矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题，但是一个基础问题，这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识，就显得格外的重要．通过对《高等代数》，《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究，为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论.二、主题部分(1)设()n A M F ∈，12...,m σσσσ=其中i σ为互不相交的循环置换，且12,1,2,...,,...,i i m n i m n n n n σ==+++=则矩阵A 可σ广义对角化的充要条件是11......,s s t na a a a F S S S S +=⊕⊕⊕⊕⊕并且i a S 关于矩阵A 的最小多项式为()(0),1,2,...,;i n i i i x x i s ψμμ=-≠=ja S 关于矩阵 A 的最小多项式为 1111(),1,2,...,;...;...;1,2,...,;...,jk k k r j q q t k k m s x x j s s t r r q s t t k m s s t t t ψ++--==++++=+++=-+++= 必要时调整12,,...,m n n n 的排列顺序.利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件，给出了矩阵可广义对角化的一种算法.做了矩阵广义对角化的探讨[1].(2)设A 是n 阶方阵，12,λλ是A 的仅有的两个互异的特征根，则A 可对角化当且仅当 12()()0.E A E A λλ--=并且1E A λ-的线性无关的列向量组就是A 的属于2λ的线性无关的特征向量；2E A λ-的线性无关的列向量组就是A 的属于1λ的线性无关的特征向量.有关n 阶方阵对角化问题的研究有很多，针对数域F 上的n 阶方阵A ，当A 仅有两个互异的特征根，并且A 与对角阵相似时，给出了矩阵A 的特征向量的一种求法，从而得到可逆矩阵T 使1T AT -为对角形矩阵.给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法[2].任意n 阶矩阵A 可以对角化的充要条件是A 相似于一个n 阶循回阵， 形式最简单的矩阵是对角阵.矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题，但不是任何一个n 阶矩阵都可以对角化,利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件[3].（LU 分解） 设A 的前1n -个顺序主子矩阵非奇异，则存在单位下三角阵L 及上三角阵U ,使,A LU = 而且这样的分解是唯一的.矩阵方程的快速求解是矩量法计算电大问题的关键,LU 分解是求解线性方程组的有效方法.该文详细地分析了Doolittle LU 分解过程,基于分解过程的特点,在MPI （Message-Passing interface ）并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法.实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度[4] .数域K 上n 级矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量12,,...,,n ααα此时令 12(,,...,),n p ααα=则 {}112,,...,,n P AP diag λλλ-= 其中i λ是i α所属的特征值，1,2,...,.i n =上述对角矩阵称为A 的相似标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，A 的相似标准形是惟一的.数域K 上n 级矩阵A 可对角化的充分必要条件是：A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n .矩阵是高等代数研究及解决问题的一个重要的工具,在高等代数课程中应用的范围很广，阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化[5].设,,n n A B P ⨯∈且22,,.A A B B AB BA ===则存在可逆阵p ，使,A B 可同时对角化.如果12(,,...,)n n n p diag p λλλ⨯=∈有n 个互不相同的对角元，对某个n n B P ⨯∈，则PB BP =当且仅当B 本身是对角矩阵.从幂等阵及可交换阵的性质出发，讨论了矩阵可对角化的条件，并给出了矩阵只有两个特征值的特殊情况下可对角化的一种简单判别方法.矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用，矩阵的对角化有多种判别方法[6].（3）并不是所有的22⨯分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化，如果分块矩阵没有极大元，则需分得更细，才能对角化.矩阵m n A ⨯的一种分块方法()ij s t A ⨯可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是：存在1s -行且存在1t -列有极大元.矩阵的初等变换与分块是两个不同的经典问题，对于分块矩阵可以直接将其对角化，分块矩阵22()ij A ⨯可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是：它有一个极大元，定义了分块矩阵的初等变换与初等分块矩阵，给出了非满秩情况下分块矩阵可以对角化的条件[7].（4）设(),T T A I A λλ=-其判定及求解步骤如下：对((),)T A I λ作初等变换化为((),()),D p λλ其中12()((),(),...,()),n D diag d d d λλλλ=则A 的特征值恰是12()()...()0n d d d λλλ=的根；如果A 的特征值全在F 内，且对每个i λ有()i D λ中零行数目=i λ的重数，则A 可以对角化，否则，A 不可以对角化；对于每个i λ在()i p λ中取出与()i D λ中零行对应的行向量12,,...,,i T T T i i im p p P 得A 属于i λ的线性无关的特征向量；若A 可以对角化，作可逆矩阵11112112(,,...,,...,,,...,)s T T T T T T m s s sm T P P P P P p =则11122(,,...,),s s i T AT diag I I I I λλλ-=为单位矩阵.在以往关于矩阵可对角化的判定条件的基础上，利用矩阵可以对角化的判定，以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归纳为矩阵乘法的原理，使得矩阵的特征值与特征向量同步求解，从而得出矩阵可对角化更为直接的简单判定[8].（5）从特征值，特征向量和若尔当标准形入手讨论n 阶方阵可对角化的相关条件.n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于特征值的重数（即A 的每个特征子空间V λ的维数等于特征值i λ的重数）.n 阶方阵可对角化的充要条件A 有n 个互不相同的特征值，通过对n 阶方阵作初等变化是否可得到一个上三角阵来判断该矩阵与对角阵的相似性，则主要通过讨论n 阶方阵可对角化的充要条件来简化对其的判断过程[9].设,()n n i j n n A a C⨯⨯=∈（C 表示复数集），n H μ∈（n μ表示全体n n ⨯酉矩阵的集合）.H A 表示矩阵的共轭转置，,,S V P 为n 维列向量.可以将矩阵化为双对角矩阵.矩阵计算的基本途径是设法把一个较复杂的矩阵计算问题转化为一个简单的、易于求解的矩阵计算问题，尤其是研究线性系统特性或求特征值问题.将系数矩阵化为双对角矩阵或三角形矩阵会对矩阵特征值的研究及问题的求解带来极大的便利.复系数矩阵通过若干次变换可化为上双对角矩阵，该方法在工程上具有较强的应用意义，并且该方法为计算复系数矩阵的条件数提供了思路，在研究实矩阵三角化计算方法的基础上给出了复系数矩阵上双对角化的一种通用计算方法[10].（6）如果方阵A 以一次多项式为一个零化多项式，则A 可以对角化.假定,,a b c 为实数，如果n 阶方阵A 适合条件220(40),A bA cE b c ++=->则A 可以对角化.矩阵的对角化理论是线性代数教学中的一个重要内容.然而，在教学中，多数相关的结论比较抽象.从教学的角度讨论了方阵对角化的另外一种解释.该解释可和二次方程的结论进行类比，从而易于学生理解记忆，便于教学[11].设01,00B ⎛⎫= ⎪⎝⎭T 是任意数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换，若存在V 的一个基，使T 在这个基下的矩阵是准对角形矩阵12...t K B K B K B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其中i K 是不为零的数(1,2,...,),i t =则称T 可亚对角化.设01,00B ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 是数域F 上的一个n 阶方阵，若存在数域F 上的一个可逆矩阵T ，使 121...t KB K B T AT K B -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中0(1,2,...,),i K i t ≠=则称A 可亚对角化. 引入了线性变换可亚对角化的定义，并给出了线性变换可亚对角化的充要条件[12].（7）设12,,...,s λλλ是A 在数域p 上的全部互不相同的特征值.作多项式12()()()...(),s g λλλλλλλ=---则A 在p 上可以对角化的充要条件是()0.g A =多判定条件加以改进，得出更为直接的简单判定对角化的条件[13].三、总结部分按照矩阵的特性，我们将分几类讨论对角化的问题：第一类是一般矩阵（方阵）的对角化问题，第二类是一类特殊矩阵的对角化问题——实对称矩阵的对角化.还有一类是复系数矩阵的对角化问题和矩阵广义对角化的研究等等，通过本文的写作，归纳和总结矩阵可对角化的条件，掌握矩阵对角化的计算步骤以及矩阵分解理论.了解矩阵分解在解决具体问题中的应用，将解题思路应用解决实际问题中.运用矩阵分析的相关知识，可以很好分析可对角化的思路，有助于提高判定的有利条件和提高解题的速度.矩阵可对角化的研究，对于矩阵的一些性质有了更进一步的掌握，计算方法的探讨从而也帮助了我们大大减少了计算量，以至于能在大工程中得到应用，为判定矩阵可对角化的条件给出了比较清楚的分析，为矩阵的发展做出了积极的探索[14-15].四、参考文献[1] 王新哲，蒋艳杰. 矩阵广义对角化的探讨[J]. 大学数学,2009,(4):140-144.[2] 张力宏，辛大伟.一类特殊矩阵可对角化的判别及特征向量的求法[J]. 大学数学, 2008,（4）:134-136.[3] 曲春平.矩阵可对角化的充分必要条件[J] .辽宁省交通高等专科学校学报,2003,（3）:50-51.[4] 黄明游，刘播，徐涛.数值计算方法[M] .北京:科学出版社,2005.[5] 丘维声.高等代数（上）[M] .北京:清华大学出版社,2005.[6] 贺福利，万小刚，许德云.关于矩阵可对角化的几个条件[J] .高等函授学报,2004,（1）:14-16.[7] 李大林.分块矩阵的对角化方法[J] .柳州职业技术学院学报,2002,（2）:64-67.[8] 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矩阵对角化问题高等代数中，在讲到线性空间和线性变换时，一个主要内容是讨论矩阵对角化,即在什么条件下矩阵与对角矩阵相似.而矩阵对角化的原始问题是：设V 是有限维复线性空间,A 是V 上的线性变换，能否在V 中找到一个基,使得A 在这个基下的矩阵比较简单.作为纯粹的几何问题就是V 能否分解成一些不变子空间的直和.讨论这个几何问题的证明对于了解线性空间有很大好处.本文将对V 分解成所谓根子空间的直和给出一种较为初等的证明，并由根子空间分解定理推出线性变换(或n 阶方阵)可对角化的充要条件.把这些充要条件与其他线性变换（或n 阶方阵）可对角化的充要条件进行汇总比较，从而得到线性变换的矩阵对角化的方法的优劣，便于学习和研究根据具体情况选用.1．预备知识1.1有关定义定义 1.1.1[]1 线性空间V 一个变换A 称为线性变换，如果对于V 中任意的元素αβ和数域P 中任意数K 都有A (α+β)=A （α）+A （β）A (k α）=k A(α) 定义1.1.2[]1 设A 是数域P 上的线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果W 中的向量在A 下像仍在W 中，换句话说，对于W 中任一向量ξ，有A ξ∈W ,我们就称W 是的A 不变子空间，简称A -空间.定义 1.1.3[]1设1V ,2V 线性空间V 的子空间，如果和1V +2V 中每个向α=1α+2α,1122,V V αα∈∈是唯一的,这个和就称为直和.定义1.1.4[]1如果数域P 上的n 阶矩阵A 相似于对角阵，则A 可对角化定义1.1.5[]1设A 是数域P 上的n 阶矩阵，如果数域P 上的多项式()f x 使得()f A = 0,则称()f A 以A 为根.在以A 为根的多项式中次数最低且首相系数为1的多项式称为A 的最小多项式.定义1.1.6 设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，如果存在非零向量V ξ∈,数λ∈P ,m ∈N,使得()0m A λεξ-=，那么称ξ为属于λ的根向量.线性变换A 的属于特征根λ的根向量的全体，再添上零向量所组成的V 的子集是V 的一个子空间，称V 的这个子空间为A 的属于特征值λ的根子空间.Sylvester 不等式 设,A B 均为n 阶矩阵，秩（A ）+秩(B )≤n +秩（AB ）1.2 线性空间根子空分解定理引理 设A 是n 维复线性空间V 的线性变换, 12,...s λλλ是A 的所有不同的特征值,且12...s V V V V λλλ=++其中12,,...,s V V V λλλ是V 的全部根子空间,则i A λε-在i V λ上为幂零线性变换,而在1211......i i s V V V V V λλλλλ-+++++++上为可逆线性变换.证明 不失一般性,只证明1A λε-在1V λ上为幂零线性变换,而在23...s V V V λλλ++上为可逆线性变换.在1V λ中取一个基 12,...t γγγ, 则有正整数12,...t p p p ,使1()0i p i A λεγ-= , i = 1，2，…, t ,取p = max {}12,...t p p p , 有()10pi A λεγ-=, i = 1 ,2…t ,于是对任意γ∈1V λ，令1ti i i k γγ==∑,则1()pA λεγ- =1()pA λε-(1ti ii k γ=∑ )=11()0tPii i k A λεγ=-=∑ ,即在1V λ上,1()p A λε- =ϑ (ϑ为零变换) ,所以1A λε-在1V λ上为幂零线性变换.令W =2...s V V λλ++,若1()A W λε-不可逆,则1()A W λε-一定有一个特征根是0 ,因而1A λε-在W 上有属于特征根0 的特征向量0ξ (0ξ∈W) ,即有10()A W λεξ-=1()A λε-0ξ=0, 亦即010()A ξλξ=(0ξ≠0). 又因0ξ∈W = 2...sV V λλ++ ,所以有0ξ=23...s ξξξ++,其中ii V λξ∈ ( i = 2 ,…,s ) 于是有正整数i m ,使()0im i i A λεξ-= , i = 2 ,…,s ,令()()22...s m m s A A τλελε=--,则τ(i ξ) = ()()22...s m ms A A λελε--i ξ= 0 , i = 2 ,…, s ,从而τ(0ξ) = τ(2ξ) + … + τ(ξs) = 0 , 另一方面, 因为()010A ξλξ=，又τ(0ξ)=21()...()s m m s A A λελε--0ξ=()()2121...0s m ms λλλλ--≠这就导致了矛盾.所以1A λε-在2...s V V λλ++ 上为可逆线性变换.定理1.2.1 (根子空间分解定理) 设A 是n 维复线性空间V 的线性变换, 12,...s λλλ是A 的所有不同的特征值,i V λ是属于i λ 的根子空间, i = 1 ,2 ,…, s ,则12...S V V V V λλλ=⊕⊕⊕.证明 设A 的特征多项式为1212()()()...()s s f x x x x γγγλλλ=--- 令()()()ii i f x g x x γλ=- i = 1 ,2 ,…, s , 则12(),(),...,()s g x g x g x 互素, 于是有多项式12(),(),...,()s u x u x u x , 使1()()1si i i g x u x ==∑, 将A 代入上式, 得 1()()si i i g A u A ε==∑,(ε为单位变换), 任给ξ ∈ V ,有ξ =ε(ξ) =()()1s i i i g A u A =⎛⎫⎪⎝⎭∑ξ=1(()())siii g A u A ξ=∑, 记()()i i i g A u A ξξ=, i = 1 ,2 ,…, s ,于是12...s ξξξξ=+++. 下面证明i i V ξ∈ , i = 1 ,2 ,…,s因为()()()i i i f x x g x γλ=-,由哈密尔顿- 凯莱定理()()()i i i A g A f A γλεϑ-== (ϑ为零变换),于是有()i i i A γλεξ-=()()()i i i i A g A u A γλεξϑ-=（ϑ为零变换）即i i V λξ∈, i = 1 ,2,… , s ,所以12...S V V V V λλλ⊂+++,又显然12...S V V V V λλλ⊃+++ ,故12...S V V V V λλλ=+++.再证明上面的和是直和,设12...0,i s i V λαααα++=∈, i = 1 ,2 ,…,s 由引理知i A λε-在i V λ上为幂零变换，所以存在正整数i n ,使得在i V λ上()i n i A λεϑ-=(ϑ为零变换),又由引理 ，i A λε-在111.......i i s V V V V λλλλ-++++++上为可逆变换,所以()i n i A λε- 在111.......i i s V V V V λλλλ-++++++上也是可逆变换,于是0 =()(0)i n i A λε-=()i n i A λε-（12...s ααα++）= ()i n i A λε-i α+()i n i A λε-（1211...i i s ααααα-++++++）=()i n i A λε-（1211...i i s ααααα-++++++）从而1211...i i s ααααα-++++++=0 ,于是()1211......0i i i s αααααα-+=-+++++= , i = 1 ,2 ,… s,由零向量的表法唯一知12...S V V V V λλλ=⊕⊕⊕ 根子空间分解定理全部证完.运用根子空间分解定理可以推出一些矩阵对角化的充要条件.对角矩阵可以认你为是矩阵中最简单的一种，一些复杂的矩阵可以通过适当的方法化为对角阵.通过相应对角阵的研究学习,可以推知这些复杂矩阵的性质,促进对复杂矩阵的了解,简化很多复杂工作,给学习和研究带来很大方便.下面就矩阵对角化的充要条件作一详细论述.2. 矩阵可对角化的一些充要条件及矩阵对角化方法2.1 特征向量法定理2.1.1 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换, A 的矩阵可以在某一组基下为对角阵充要条件是, A 有n 个线性无关的特征向量.证明 设A 在基12,...n εεε下具有对角阵1...n λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.即i i i A ελε= i=1,2…n 因此, 12,,...,n εεε就是A 的n 个线性无关的特征向量.反过来,如果A 有n 个线性无关的特征向量,那么就取12,,...,n εεε为基.显然, A 在这组基下的矩阵是对角阵. 证 毕.例1. 设线性变换A 在基12,,...,n εεε下的矩阵是(1)122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, (2)310410482A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭,问A 是否可以对角化? 解 (1)因为特征多项式为122212221E A λλλλ----=------=()()215λλ+-所以A 的特征值是-1(二重)和5把特征值-1代入齐次方程组得()()()123123123122021202210x x x x x x x x x λλλ---=⎧⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩ (1)解得基础解系是101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦和011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因此属于-1的两个线性无关的特征向量是112223,ξεεξεε=-=-把特征值5代入(1)得基础解系111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以属于5的全部特征向量为3123ξεεε=++ 则A 在基123,,ξξξ下的矩阵为B=100010005-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(2) E A λ-=310410482λλ--+-=()()212λλ-+，所特征值为1(二重)和-2. 对应特征值1的特征向量为11233620ξεεε=-+ 对应特征值-2的特征向量为23ξε=由此知A 有两个线性无关的特征向量，由定理1知A 不能对角化.运用此定理判定一个线性变换的矩阵是否可以对角化的方法简单易懂,但是过程比较繁琐.先计算一个行列式求出A 的特征值,再利用方程组和特征向量的有关理论及求法计算出A 是否有n 个线性无关的特征向量.计算过程容易出错.下面利用最小多项式给出一个线性变换的矩阵可角化的充要条件.此定理比定理2.1.1简洁实用2.2 最小多项式法引理 设A 是一个对角阵A=12A A ⎛⎫⎪⎝⎭，并设1A ,2A 的最小多项式为12(),()g x g x ，那么A 的最小多项式为12(),()g x g x 的最小公倍数[]12(),()g x g x .证明 ()g x =[]12(),()g x g x ，首先12()()()g A g A g A ⎛⎫= ⎪⎝⎭=0.因此()g x 能被A 的最小多项式整除.其次()0h A =.那么12()()()h A h A h A ⎛⎫= ⎪⎝⎭=0, 1()h A =0,2()h A =0,因而11()()g x h x ，22()()g x h x .并由此得()()g x h x .这样就证明了()g x 是A 的最小多项式. 这个结论可以推广到A 为若干矩阵组成的准对角阵的情形.即如果A=1 (00)S A A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，i A 的最小多项式为()i g x ，i=1,2,…,s.那么A 的最小多项式为[]12(),(),...,()s g x g x g x .定理2.2.1 数域P 上n 级矩阵A 与对角阵相似的充要条件为A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积.证明 根据引理的推广形式，条件的必要性是显然的. 下面证明充分性.根据矩阵和线性变换之间的关系，我们可以定义任意线性变换A 的最小多项式，它等于其对应矩阵A 的最小多项式.所以只需证明,若数域P 上某线性空间V 的线性变换A 的最小多项式()g x 是P 上互素的一次因式的乘积1()()li i g x x a ==-∏，则A 有一组特征向量做成V的基.实际上，由于()0g A V =.由定理 1.2.1同样的步骤可证12...l V V V V =⊕⊕⊕，其中{}()0,i i V A a V ξεξξ=-=∈,把12,...l V V V 各自的基合起来就是V 的基，而每个基向量都属于某个i V ，因而是A 的特征向量. 证毕.推论 复数矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的最小多项式无重根. 不利用定理2.2.1,该推论也可证明.下面给出令一种证明.证明 必要性设A 相似diag 12(,...)n λλλ，所以存在可逆矩阵T 使1T AT -=∧,(∧为对角阵),从而1i i T A T -=∧,不妨12,...k λλλ是A 的互不相同的特征根()k n ≤ 记()()()11211()......k k k k k g a a a λλλλλλλλλλ--=---=+++ 因而()11111(...)k k k k T g A T T A a A a A a E T----=+++=1111111...k k k k T A T a T A T a T AT a T ET ------+++=11...k k k a a E -∧+∧++=()g ∧ 而()11...k k k g a a E -∧=∧+∧++=1111211121(,...)(,...)...(,...)k k k k k k n n k k k diag diag a a a diag a a a λλλλλλ---++= 11111.........k k k k k n n k a a a a λλλλ-⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭=diag ()()()12(),...n g g g λλλ=0所以()g A =0.于是()()A m g λλ，但是()g λ没有重根，因而()A m λ没有重根.充分性 设12,...n λλλ为最小多项式()A m λ的互不相同的根,则由()A m λ无重根()A m λ=()()()12...k λλλλλλ---，于是()A m A =()()()12...k A E A E A E λλλ---=0 令rank ()i A E λ-=i γ，则dim I V λ=n -i γ,所以A 共有()()()12...k n n n s γγγ---=个线性无关的特征向量并且显然s n ≤.另一方面()12...1k k n γγγ+++≤-.因而又有()()()12...k s n n n n γγγ=---≥，故s n =.这就说明了A 有n 个线性无关的特征向量由定理2.1.1知A 可对角化. 证毕.例2. 判下列矩阵是否可以对角化.（1）001010110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）3131131331311313--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭解（1）可求的A 的特征多项式为()()2010101110E A λλλλλλ--=-=-+-由于A 的最小多项式为()()211λλ-+的因式，计算得0A E -≠,0A E +≠.而()A E -()A E +=0.因此A 的最小多项式为()()11λλ-+.显然A 的最小多项式是实数域上互素的一次因式的乘积，从而由定理2.2.1知A 可对角化.（2）可求得A 的最小多项式为E A λ-=3131131331311313λλλλ-----+---+=4λ由于的最小多项式为4λ的因式，计算得A 0≠, 2A =0.因此A 的最小多项式为2λ.从而由定理2.2.1知A 不可对角化.例3 k A =E,则A 与对角阵相似.(k=1，2…)证明 由k A E =知A 为多项式()1k f x λ=-的零点，即()f A =0.因A 的最小多项式()()A m f λλ，而()f λ无重根，所以()A m λ无重根，故由推论知A 与对角阵相似.对于单纯的判断一个线性变换的矩阵能否对角化运用定理 2.2.1及其推论是很简洁方便的，它部避免了运用定理2.1.1的繁琐过程.但是对于既要判定某个数域上的线性变换的矩阵是否可对角化，对于可对角化的矩阵又要求出相似变换矩阵及矩阵特征值的题目来说运用定理2.2.1及推论是达不到要求的.而运用定理2.1.1虽然能达到要求但方法却很繁琐.下面给出的方法仅需利用矩阵的乘法运算便可判定一个矩阵是否相似与对角阵，并且在判定的过程中简洁的构造出相似变换矩阵完全不需解性方程组.2.3 矩阵的乘法运算法定理 2.3.1 设12,,...,s λλλ为n 阶矩阵A 的全部相异特征值，其重数分别为12,,...,s n n n ，1sii nn ==∑,则A 与对角阵相似的充要条件是1()si i E A λ=-∏=0.(i=1,2,…,s)证明 必要性若A 相似于阵对角阵∧，则存在可逆矩阵P 使得A =P 1...s E E λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1P -,其中i E 为in 阶单位矩阵（i=1,2,…,s ）于是()i E A λ-=()1i P E P λ--∧=()()111...i i s s E P P E λλλλ--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,于是1()s i i E A λ=-∏=()11s i i P E P λ-=-∧∏= P ()()1111...s i i si s s i E E λλλλ==⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭∏∏1P - 由于()i j j iE λλ-∏=0（j=1,2,…,s ）.所以1()si i E A λ=-∏=0.充分性 因为对于任何n 阶矩阵A 都存在可逆矩阵P ，使得A= P 12...S J J J ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1P -,其中jJ 为jordan 块(j=1,2,...,s).因此要证A 可对角化，只要证j J =j j E λ（j=1,2,…,s ）,由于()i E A λ-=()i P E J λ-1P -=P ()()()1122...i i i s s E J E J E j λλλ-⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭1P - ()()()()111221...i i i i i i s s i E J E J E A P P E J λλλλ-⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪-= ⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭∏∏∏∏所以若()0i iE A λ-=∏.则因P 可逆而有()0i j j iE J λ-=∏（j=1,2,…,s ）.又当i j ≠时()0ijλλ-≠，()i jj EJ λ-可逆，所以()i j j E J λ-0≠，即j j j J E λ=(j=1,2,…,s)定理2.3.2 设12,,...,s λλλ时n 阶矩阵的全部相异特征根，其重数分别为12,...s n n n ，则A 于对角阵相似的充要条件是()j i i jW E A λ≠=-∏的秩为()j j R W n =（j=1,2,…,s ）.证明 必要性()()()111...i i j j i i ji s S i E W E A P P E λλλλλ≠-≠⎛⎫- ⎪⎪=-=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭∏∏∏=()110...0ijji js P P Eλλ-≠⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∏ 其中0,j j E 分别是j n 阶的零矩阵和单位矩阵（j=1,2,…,s ）.由于P 满秩且i j λλ≠.所以()j R W =()i j j i j R E λλ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏=()j j R E n =.充分性 用反证法假设()i j j i j R E λλ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏不可对角化，则因几何重数≤代数重数[]5，必至少存在一整数k 使得()k R E A λ->()j R E []3，于是j k ≠时.由sylvester 不等式知j n =()k i j R E A λ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏≥()()2i i jR E A s n λ≠---∑>()()2j i j n n s n ≠---∑=()()()12i j j i js n n s n n n n n ≠-=--=--=∑矛盾.所以A 可对角化.推论 1 设12,,...,s λλλ为n 阶矩阵A 的相异的特征根，其重数为12,,...,s n n n ，则矩阵j W =()k i jE A λ≠-∏的列向量中由对应于j λ的j n 个线性无关的特征向量.证明 因A 可对角化，由定理2.3.1得()i i jE A λ≠-∏=0，()jE A λ-()i i jE A λ≠-∏=()j jE A Wλ-=0.由此，j W 中每一列非零向量都是方程组()i E A λ-X=0解向量,即j λ的特征向量.又有定理2.3.2知()j j R W n =，所以j W 的列向量组中有恰好对应于j λ的j n 个线性无关的特征向量.上述的结论表明，要构造可对角化矩阵 A 的相似变换矩阵P ,完全可以不像传统的方法那样解方程组()k E A λ-X=0，而只需对每一特征值j λ（j=1,2,…,s ）从矩阵乘积()ki jE A λ≠-∏中直接找出jn个与j λ对应的线性无关的特征向量，这样所得的j n n =∑个特征向量为列作一n 阶矩阵即可.推论2 若n 阶可对角化矩阵A 只有两个相异特征值1λ（k 重）和2λ（n k -重），则矩阵()1E A λ-（或()2E A λ-的n k - (或k )个线性无关列向量就是对应2λ（或1λ）的特征向量的极大无关组.这一结论进一步表明，在可对角化矩阵A 只有2个相异特征值的情况下，不仅不需要解方程组，而且不需要计算矩阵的乘积就可以把对应于不同特征值的特征向量立即求出.例4 求下列矩阵A 相似变换矩阵.(1)A =741471444-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （2）A =1220212022100001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 （1）A 的特征值1λ=12，2λ=3（二重）21541451448W E A λ-⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭,124441W E A λ-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭－４１－４－４１由于()()120E A E A λλ--=,所以A 可对角化，有推论2知1λ的一个特征向量()11,1,1α=-（取1W 的第3列）2λ的2个线性无关的特征向量()()234,5,4,1,1,8αα=-故相似变换矩阵P =()123,,ααα=141151148-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，1(12,3,3)PAP diag -=（2）A 的特征值1λ=-1(二重)，2λ=5，3λ=1，而()()123W E A E A λλ=--=8448*4400-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ()()1300*08E A E A λλ⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭２Ｗ＝,3Ｗ＝88*80⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭由推论2可得1λ的特征向量()()1284404αα''=--=-，，，，，8，-4，0. 23λλ，的特征向量分别为()()3400088880αα==，，，，，，，于是相似变换矩阵为P=()1234αααα，，，==84008440000-⎛⎫⎪⎪⎪--⎪⎝⎭8-488－8 P A 1P -=diag(-1,-1,5,-1).上文讨论了矩阵是否可对角化的判定及矩阵对角化方法问题，给出了简便易行的判定和求法.区别于传统的方法，定理2.3.1定理2.3.2及推论把矩阵对角化问题归结为矩阵的乘法运算，不需要解方程组就可以得到特征向量及相似变换矩阵,但是上述方法都没有达到特征值，特征向量，相似变换矩阵同步求解的效果.下面引入λ-矩阵，改进在一般情形下矩阵对角化的方法，使判定和求解一步到位并得到矩阵对角化十分简单的方法，主要依据下面两个定理.2.4 引入λ-矩阵推出数字矩阵可对角化的充要条件定理2.4.1 设A 是数域P 上的n 阶方阵，()()A E A λλ=-为其特征矩阵E 为n 阶单位阵.如果()A λ经过初等变换化为对角阵()D λ,则A 的特征值为()D λ的对角线上元素的乘积的多项式的根. （证明略）定理2.4.2 在定理2.4.1 的假设下，如果()()(),T A D λλ经初等变换化为()()(),D P λλ,且()D λ为对角阵，则（1） 对于A 的每个特征值i λ，()i P λ中与()i D λ的零行对应的行向量生成属于i λ的特征子空间.（2） 若A 的特征值都在P 内，设12,,...,s λλλ为A 的全部不同的特征值，其重数分别为12,,...,s γγγ，则A 可以对角化的充要条件是()i D λ中零行的数目=i λ的重数i γ（i=1,2,…,s ）证明 (1)因为()D λ与()T A λ的秩为n ，则总有可逆的λ-矩阵()P λ,()Q λ,使()()()()()()()12(,,...,)T n P A Q diag d d d D λλλλλλλ==.即对()T A λ施行()P λ对应的一些行初等变换和()Q λ对应的一些列初等变换可使()T A λ化为对角阵()D λ，有()()()(),T P A Q E λλλ→()()(),D P λλ (1) 这里相当于初等列变换的()Q λ右乘作用在()T A λ而不作用于E.因为()()()T P A Q λλλ=()D λ，所以()()()()T T T Q A P D λλλλ==()D λ.于是对A 的每个特征值i λ有()()()T T i i i Q A P λλλ=diag(()()()12,,...,i i n i d d d λλλ)设()i D λ中有i m 个零行，相应的i m 个为的对角元记为()()()12...0i i i i i im i d d d λλλ====()1i m n ≤≤，取()T i P λ中对应的列向量1,2,...,i i i im P P P ,则()()T i i Q E A λλ- ()1,2,...,i i i im P P P =0.因为()T i Q λ可逆，所以()i E A λ- ()1,2,...,i i i im P P P =0 （2）由于()T i P λ可逆，故()12,,...,i T T T i i im P P P 列满秩，从而由（2）知12,,...,i T T Ti i im P P P 正是A 属于iλ的i m 个线性无关的特征向量，再从（1）式，注意到()i D λ中n -i m 个非零行是行满秩的.由[]7中定理1知A 属于i λ的线性无关的特征向量就是()i P λ中与()i D λ的零行对应的行向量，他们生成i λ对应的特征子空间.(2) A 可对角化⇔秩()i E A λ-=i n γ-=i n m -,即i m =i γ（i=1,2,…,s ） 证毕. 基于以上讨论我们不难得到矩阵对角化的简单方法，其步骤如下： (1)对(),TiE A E λ-作初等变换化为()()(),D P λλ,其中()()()()12(,...,)n D diag d d d λλλλ=，，则A 的特征值恰是()()()12...n d d d λλλ=0的根. (2) 如果A 的特征向量全在P 内，且对每个i λ有()i D λ中零行数目=i λ的重数，则A 可以对角化，否则不可对角化.(3) 对于每个i λ，在()i P λ中取出与()i D λ中零行对应的行向量12,,...,i i i im P P P 得A 属于i λ线性无关的特征向量.(4) 若A 可以对角化，作可逆矩阵()1121,,...,,...,,...,si i im s sm T P P P P P =，则11122(,,...,)s s T AT diag E E E λλλ-=，i E 为i γ阶矩阵.例5 判定下列矩阵可否对角化，若可以求可逆矩阵T ，使1T AT -为对角阵.(1) A =011111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (2) A =321222361-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭解 ()()10100,111010011100T A E λλλλ-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭→2011002011111001λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭ →21110010111102011λλλλλ--⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪---⎝⎭→210000101111020011λλλ-⎛⎫ ⎪-+ ⎪ ⎪--⎝⎭→()22100001010111001231λλλλλλλ⎛⎫-⎪-+ ⎪ ⎪⎪---++-++⎝⎭故P 的特征值是120,1λλ==(二重),因()1D 中的零行数目2λ≠的重数,故P 不可对角化.(2)()()2323100121001,22601002240121210010242103T A E λλλλλλλλλλλ⎛⎫----+⎛⎫⎪ ⎪=-+-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭⎝⎭()()2100001100001022*******012024241030242103λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+-+--+-+⎝⎭⎝⎭()()()1000010200120024121λλλλ⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--+--+⎝⎭故A 的特征值为12λ=（2重根）, 24λ=-.又()2D 中零行数=2=1λ的重数；()4D -的零行数=1=2λ的重数,故P 可对角化，且由()()()2,2D P =100001000012000123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭可得出()()αβ''＝０，１，２，＝１，－２，－３是A 属于2的线性无关特征向量由()()()4D -，Ｐ－４=100001060012000123⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭得()1,2,3γ'=-是A 属于-4的线性无关的特征向量.令T=011122233⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭,则1224T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭参考文献[1] 北京大学数学系.高等代数.北京：高等教育出版社，第88版，1988.[2] 许以超.代数学引论[]M.上海：社会科学技术出版社，1966[3] 钱吉林.矩阵及其广义矩阵[]M.武汉：华中师范大学出版社.[4] 王心介.高等代数与解析几何[]M.北京：科学出版社,2002.[5] 张远达.线性代数原理.上海：上海教育出版社，1980.[6] 彭海明.对“矩阵特征值与特征向量同步求解方法探讨”的改进意见[]J.数学通报，1993(2):45-47.[7] 刘国洪.王宝智.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值和特征向量同步求解,数学通报,1996,2.。

可对角化矩阵的应用两例【优秀资料】(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）可对角化矩阵的应用两例1 Fibonacci数列研究的矩阵方法在预备知识§3的例6中．我们已经证明了著名的Fibonacci数列0,1,1,2,3,5,8,13,…的通项公式，同学们自然会问，这个公式是如何发现的？下面利用矩阵特征值、对角化工具来回答这个问题，并求．这个数列的递推关系为，k=0，1，2， (1)初始条件为．令因为，所以． (2)取，则(2)式成为． (3) 由(3)式得出． (4) 于是，欲求Fibonacci数列的通项公式，只要计算，我们利用A的相似简化来计算．A的特征多项式为||=，它的两个根：，，是A的特征值．因此A可对角化．解齐次线性方程组得到它的一个基础解系．同理可得的一个基础解系是．令，则．于是(5) 从(4)式及初始条件得． (6) 比较(6)式两边的第2个分量得． (7) 这就是Fibonacci数列的通项公式．容易算出：． (8)以上极限的近似值0.618在最优化方法中有重要应用．一些实际问题常常可归结为求目标函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值(或最小值)，其中y=f(x)的解析表达式并不知道．假定y=f(x)在[a，b]上只有一个极值点(否则可将区间[a，b]划分)，这时称y=f(x)是单峰函数．为了求单峰函数y=f(x) 在[a，b]上的最大值点，可以在区间[a，b]的若干点上做试验求出函数值，再比较函数值的大小．如何选取这些试验点，使得所做试验次数比较少，又能迅速找出最大值点？可采用如下的优选方法：第一个试点t1=a+0.618(b－a)，第二个试验点=a+0.382(b－a)，即是点t1关于区间[a，b]中点的对称点，比较与，若>，则由于y=f(x)是单峰函数，其最大值点不可能出现在区间[a，]里，从而可以去掉[a，]，剩下区间[，b]．第三个试验点t2=+0.618(b－)，第四个试验点=+0.382(b－)．比较f(t2)与f()，如果f(t2)<f()，则去掉区间[t2，b]，剩下区间[，t2]．依次进行下去，当剩下的区间长度比指定的正数 小时，就取剩下区间的中点作为所要求的点，称它为最优点(与真正的最大值点很接近的点)．上述方法称为0.618法，也称为黄金分割法．它的优点是可以迅速缩短搜索区间，以便找出最优点．2 某地区居民色盲遗传情况的研究每一个人都有46个染色体．染色体是成对的，有22对是常染色体，一对是性染色体．男性的一对性染色体是(X，Y)；女性的一对性染色体是(X，X)．基因位于染色体上，因此基因也是成对的．在一对染色体的某一点位上的一对基因称为两个等位基因．显性的基因用A表示，隐性的基因用a表示．色盲基因是隐性的，且只位于X染色体上．一个女性居民若她的一对性染色体的某一点位P上的两个等位基因是X a X A(包括X A X a这一情形，以下同)或X a X a，则她患色盲，其中X a表示色盲基因．若她的点位P上的两个等位基因是X A X A，则她不患色盲．设N个女性居民中有N1个人的点位P上的两个等位基因是X A X A，N2个人的点位P上的两个等位基因是X A X a，N3个人点位P上的两个等位基因是X a X a．则这N个女性居民中色盲基因的频率为． (9)令，，． (10)则r，2s，t为这N个女性居民中点位P上的等位基因分别为X A X A，X A X a，X a X a的人所占的比例，这些比例记成(r，2s，t)．显然有r+2s+t=1．用这些记号，则这N个女性居民中色盲基因的频率为s+t．类似地，一个男性居民若他的一对性染色体的某一点位P上的两个等位基因是X a Y，则他患色盲；若他的点位P上的两个等位基因是X A Y，则他不患色盲．设M个男性居民中有M1个人的点位P上的两个等位基因是X A Y，M2个人的点位P上的两个等位基因是X a Y，则这M个男性居民中色盲基因的频率为．令p=，q=． (11)则这M个男性居民中色盲基因的频率为q．这里p，q为这M个男性居民中点位P上的等位基因分别为X A Y，X a Y的人所占的比例，这些比例记成(p，q)．显然有p+q=1．由此可见，男性居民的色盲基因频率等于男性色盲者的比例q．现在设某地区第一代男性居民中，点位P上的等位基因分别为X A Y，X a Y的人所占的比例为(p，q)；女性居民中点位P上的等位基因分别为X A X A，X A X a，X a X a的人所占的比例为(r，2s，t) ．则第一代男性居民，女性居民的色盲基因频率分别为q，s+t．我们来求该地区第二代男性居民，女性居民的色盲基因频率．这里假设第一代男性居民与女性居民的结合是随机的．设第二代男性居民共有L人，其中具有等位基因X A Y的人，由于他的基因X A来自母亲，而第一代女性居民中，基因X A的频率为． (12)因此具有等位基因X A Y的人的数目为L(r+s)．同理，具有等位基因X a Y的人的数目为L(s+t)．因此第二代男性居民中色盲基因的频率(它等于男性色盲者的比例)为． (13)由此看出，第二代男性居民中色盲基因的频率等于第一代女性居民中色盲基因的频率．设第二代女性居民共有W人，其中具有等位基因X A X A的人的数目为Wp(r+s)，具有等位基因X A X a的人的数目为W[p(s+t)+(r+s)q]，具有等位基因X a X a的人的数目为Wq(s+t)．由此得出，第二代女性居民色盲基因的频率为． (14)由(14)式看出，第二代女性居民中色盲基因的频率等于第一代男性居民和女性居民的色盲基因频率的算术平均值．我们用，分别表示该地区第i代男性居民和女性居民的色盲基因频率，由上述知道． (15)其中i=2，3，…．若知道了b1，c1，我们来求b n，c n．从(15)式得． (16) 把(16)式右端的系数矩阵记作B．从(16)式容易得出． (17)由此可见，求b n，c n归结为求出B n-1．为此我们来化简B，求其特征多项式，得B的特征值1，－．由此看出，B可对角化：解齐次线性方程组(I2－B)X=0，得到它的一个基础解系：；解齐次线性方程组(－I2－B)X=0，得到它的一个基础解系：．令,则．于是． (18) 因此． (19) 由(19)式得． (20)这说明，尽管第一代男性居民、女性居民的色盲基因频率可能不相同，但是经过好几代(每一代都是随机结合)之后，两个性别的居民的色盲基因频率将接近相等．（本文摘自庄瓦金编著的《高等代数教程》, 国际华文出版社）第四节 实对称矩阵的对角化一个n 阶矩阵A 具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对A 为实对称矩阵的情况进行讨论. 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.内容分布图示★ 实对称矩阵的性质 ( 1 ) ★ 实对称矩阵的性质 ( 2 ) ★ 对称矩阵对角化的方法★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题4-4 ★ 返回内容要点：定理1 实对称矩阵的特征值都为实数.注: 对实对称矩阵A ，因其特征值i λ为实数, 故方程组0)(=-X E A i λ是实系数方程组, 由0||=-E A i λ知它必有实的基础解系, 所以A 的特征向量可以取实向量.定理2 设21,λλ是对称矩阵A 的两个特征值, 21,p p 是对应的特征向量. 若21λλ≠, 则1p 与2p 正交.定理 3 设A 为n 阶实对称矩阵,λ是A 的特征方程的k 重根,则矩阵E A λ-的秩k n E A r -=-)(λ,从而对应特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量.定理4 设A 为n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P ,使 Λ=-AP P 1,其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵P 将实对称矩阵A 对角化的步骤为：(1) 求出A 的全部特征值s λλλ,,,21 ;(2) 对每一个特征值i λ, 由0)(=-X A E i λ求出基础解系（特征向量）; (3) 将基础解系（特征向量）正交化；再单位化;(4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P ，使 Λ=-AP P 1.注：P 中列向量的次序与矩阵Λ对角线上的特征值的次序相对应.例题选讲：例1 (讲义例1) 设实对称矩阵,320222021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求正交矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵.例2 (讲义例2) 设有对称矩阵,310130004⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 试求出正交矩阵P , 使AP P 1-为对角阵.例 3 (讲义例3) 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a A 2020002(其中0>a )有一特征值为1, 求正交矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵.例4 (讲义例4) 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2112A , 求.nA课堂练习1.设实对称矩阵,020212022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 试求出正交矩阵P , 使AP P 1-为对角阵.2.设n 阶实对称矩阵A 满足A A =2,且A 的秩为r , 试求行列式|2|A E -的值.学院2021届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导老师：A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2021Diagonalization of the Matrix and its ApplicationsStudent Name Student No.:Specialty:Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等.矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题.本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式IAbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutory matrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomialII目录摘要 (I)Abstract (II)绪言 (1)课题背景 (1)目的和意义 (1)国内外概况 (1)预备知识 (2)相关概念 (2)矩阵的对角化 (4)特殊矩阵的对角化 (14)矩阵对角化的应用 (22)总结……………………………………………………………………………………… 24 致谢………………………………………………………………………………………25 参考文献 (26)独创声明 (28)III1 绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1 课题背景在由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版社出版的《高等代数》一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念.在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的.在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2 课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1) 研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3 国内外概况实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破.实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中.矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善. 12 预备知识给出本文内容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解.定义1 常以Pm⨯n表示数域P上m⨯n矩阵的全体，用E表示单位矩阵.定义2n阶方阵A与B是相似的，如果我们可以找到一个n阶非奇异的方阵矩阵T∈Pn⨯n，使得B=T-1AT或者A=T-1BT.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：A=E-1AE；②对称性：若A相似于B，则B相似于A；③传递性：如果A相似于B，B相似于C，那么A相似于C.定义3n阶方阵A与B是合同的，如果我们可以找到一个n阶非奇异方阵T∈Pn⨯n，使得B =TTAT或者A=TTBT.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A=ETAE；②对称性：由B=TTAT即有A=(T-1)TBT-1；③传递性：由A1=T1AT1和A2=T2TA1 T2有A2=(T1T2)TA(T1T2).⎛b10 0b2 定义4 式为 00⎝⋯⋯⎫⎪⎪⎪的m阶方阵叫对角矩阵，这里bi是数⎪⋯bm⎪⎭000T（i=1,2,⋯⋯m).定义5 方阵A∈Pn⨯n，若A=T-1BT，T非奇异，B是对角阵，则称A可相似对角化. 定义6 方阵A∈Pn⨯n，若A=TTBT，T非奇异，B是对角阵，则称A可合同对角化. 定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i行(列)于j行(列)；⑵用非零数c∈P乘以矩阵第i行(列)；⑶把矩阵第j行的t倍加到第i行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三 2种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得P(i,j)且P(i,j)-1=P(i,j)；②单位矩阵经过初等变换⑵得P(i(t))且P(i(t))-1=P(i(1/t)；③单位矩阵经过初等变换⑶得P(i,j(t))且P(i,j(t))-1=P(i,j(-t)).定义9 设方阵B∈Pn⨯n，若B2=E，就称B为对合矩阵.定义10 设方阵A∈Pn⨯n，若Am=A，就称A为幂幺矩阵.定义 11 设方阵C∈Pn⨯n，若C2=C，就称C为幂等矩阵.定义 12设方阵A∈Pn⨯n，λ∈P，若存在向量，满足Al=λX，我们就称λ是A的特征值，X 是A属于特征值λ的特征向量.定义13A∈Pn⨯n，定义mA(λ)为矩阵A的最小多项式，mA(λ)的一个根为A而且比其他以A为根的多项式的次数都低，mA(λ)首项系数是1.33 矩阵的对角化本章介绍数域P上n阶方阵阵的对角化问题.先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1 如果μ1，…，μk是矩阵Q的不同的特征值，而αi1,…，αiri是属于特征值λi的线性无关的特征向量，i=1,2…,k，那么α11,…,α1r，…,αk1，…，αkr也线性无1k关.证明：假设t11α11+t12α12+…+t1r1α1r1+…+tk1αk1+…+tkrkαkrk=0，令ti1αi1+…tij∈P ，+tikiαiki=ηi，则Qηi=λiηi（i=1,2...,k），且 η1+η2+...+ηk=0 (1)分别用E,Q,Q2,…,Qk-1左乘以（1）两端，再由引理4得：Qmηi=λiηi，（m=1,2...k-1 ;i=1,...,t),由此有ηk=0,⎧η1+η2+...⎪λη+λη+...λη=0,Kk⎪1122⎪222⎨λ1η1+λ2η2+...λKηk=0,⎪...................................⎪k-1k-1k-1⎪λη+λη+...λ1122kηk=0.⎩该线性方程组的系数矩阵为111⎫⎛1⎪λλ λ 2k⎪D= 1，D为范德蒙行列式，又由λi(i=1,2...k)互异有D≠0. ⎪ k-1⎪k-1k-1⎪λλ2 λk⎭⎝1根据克拉默法则就有ηi=0，即ti1αi1+…+tikiαiki=0，再由αi1,...,αiri线性无关得：ti1=ti2=...=tiki=0(i=1,2...k) ，故α11,...,α1r1...,αiri...,αkrk线性无关.推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1Q∈Pn⨯n与对角阵相似⇔Q有n个特征向量，它们是线性无关的.证明：Q可以对角化⇔存在可逆矩阵T=(T1,T2，…，Tn)使得40⎫0⎫⎛λ1⎛λ1 ⎪⎪λλ ⎪⎪22T-1QT= QT=T，即⎪⎪⇒⎪⎪ 0⎪ λn⎭λn⎪⎝⎝0⎭(QT1,QT2,…,QTn)=（λT1,λT2,…,λTn).因此Q可以对角化⇔存在Ti（i=1,2…,n）∈P使得QTi=λiTi，也即Q有n个线性无关的特征向量.根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵Q∈Pn⨯n有n个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.证明：由Q有n个不同的特征值及引理1的推论有Q有n个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q可以对角化.注意：该推论为对角化的充分条件.定理2 μ1,μ2,...,μt（互不相同）是B∈Pn⨯n的特征值，μi∈P(i=1,2,...,t)，B可对角化⇔∑r(μiE-B)=(t-1)n （r表示矩阵的秩）.i=1t证明：(μiE-B)X=0的基础解系的一组基向量的个数为：n-r(μiE-B)，我们可以得到关于μi的线性无关的特征向量的个数是n-r(μiE-B)（i=1,2,...,t)，再由引理1推出矩阵B有∑(n-r(μiE-B))个线性无关的特征向量.i=1t根据定理1就有：n阶方阵B可对角化⇔B有n个线性无关的特征向量⇔⇔∑(n-r(μE-B))=n， ii=1tt∑r(μE-B)=(t-1)n. ii=1定理3 Q∈Pn⨯n与对角矩阵相似的充要条件：λi∈P(i=1,2...,t)且n-(λiE-Q)=ri(ri表示λi的代数重数).证明：设λi的线性无关的特征向量为βi1,βi2,...,βiri，由引理1有：5β11,β12,...,β1r,...,βir,...,βtr线性无关. 1it若r1+r2+...+rt=n，那么Q就有n个线性无关的特征向量⇔Q可以对角化.若Q与对角矩阵相似，则Q的属于不同特征值的特征向量总数一定为n.否则根据定理1就可以推出λ1,λ2,...,λt线性相关，矛盾.相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算.下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.引理2 设n阶方阵A,B∈Pn⨯n，则有r(A+B)≤r(A)+r(B).证明：先证rank[A,B]≤rank(A)+rank(B)……(2). 根据矩阵秩的定义有r[A,B]≤n⨯2n阶矩阵[A,B]的线性无关的行数≤方阵A的线性无关的行数+方阵B的线性无关的行数≤r(A)+r(B).⎡E⎤对方阵矩阵B+A=[B,A]⎢⎥，由(2)式有r(B+A)≤r[A,B]，所以⎣E⎦r(A+B)≤r(A)+r(B).引理3 对于n阶方阵C,D有r(AB)≥r(A)+r(B)-n.⎛CO⎫⎛CT⎫证明：先证r(C)+r(D)=r OD⎪⎪≤rOD⎪⎪……（3），其中T为任意n阶方阵.⎝⎭⎝⎭显然当C,D中有一个为O时结论成立；另设r(C)=p,r(D)=q，则C有p阶子式M1≠0，D有q阶子式M2≠0.⎛CT⎫于是 OD⎪⎪有p+q阶子式⎝⎭M1*=M1M2≠0, OM2⎛CT⎫因此r OD⎪⎪≥p+q=r(C)+r(D). ⎝⎭要证r(AB)≥r(A)+r(B)-n，只需证明：运用分块矩阵的初等变换有：6 r(AB)+n≥r(A)+r(B)⎛En O⎝O⎫⎛En⎪→ AB⎪⎭⎝AO⎫⎛En⎪→ AB⎪⎭⎝A-B⎫⎛-BEn⎫⎪→ ⎪ O⎪，O⎪A⎭⎝⎭有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有：⎛-BEn⎫⎪ r(AB)+n=r ≥r(A)+r(B). O⎪A⎭⎝⎛Ep另证：令r(A)=p，则存在可逆矩阵C,D使得CAD= O⎝OO⎫-1O⎫-1⎛⎪D ⎪，若令C ⎪⎪O⎭⎝OEn-p⎭=H,则r(H)=n-p以及A+H=C-1D-1.又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此r(B)=r(C-1D-1B)=r(AB)+r(HB)≤r(AB)+r(H)≤r(AB)+n-p.引理3的一般形式：（Syl希尔维斯特不等式）设A，B，C∈Pn⨯n分别为i⨯j,j⨯k,k ⨯t矩阵，则r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B).证明：要证r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)只需证明r(ABC)+r(B)≥r(A B)+r(BC),因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而O⎫⎛EA⎫⎛ABCO⎫⎛EO⎫⎛OE⎫⎛AB ⎪⎪⎪⎪ = OE⎪ O⎪ -CE⎪ EO⎪ B-BC⎪⎪，B⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭也即AB⎫⎛ABO⎫⎛ABCO⎫⎛ABCAB⎫⎛O ⎪⎪⎪⎪， →→→ O⎪⎪⎪⎪B⎭⎝OB⎭⎝-BCB⎭⎝B-BC⎭⎝再有定理(3)就得O⎫⎛ABCO⎫⎛AB⎪⎪rank =rank≥rank(AB)+rank(BC). O⎪⎪B⎭⎝⎝B-BC⎭推论3设B1,B2,...,Bt为数域P上的n阶方阵，则r(B1)+r(B2)+...+r(Bt)≤(t-1)n+r(B1B2...Bt).定理4 设n阶方阵Q∈Pn⨯n，μ1≠μ2，且(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0，则Q可对角化. 7证明：由μ1≠μ2，(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0有矩阵Q的特征值为μ1或μ2，根据引理2，引理3得：r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)=n，从而Q的特征向量(线性无关)共有n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)=n个.由定理1即得矩阵Q可对角化.定理4' 设n阶方阵Q∈Pn⨯n,μ1,μ2,...,μt两两互不相等，若(μ1E-Q)(μ2E-Q)⋯(μt-1E-Q)(μtE-Q)=0则Q与对角阵相似.r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n,从而方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q)=tn-(r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q))≥tn-(t-1)n=n.又因为r(Q)≤n，故方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n，由此矩阵Q可对角化. 推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)=(t-1)n.定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.定理5设μ1,μ2,...,μt（互不相同）是Q∈Pn⨯n的的特征值，重数分别为s1,s2,...,st且s1+s2+ ...+st=n，Q可对角化⇔∏(μE-Q)=0. ii=1t证明：先证明必要性⎛μ1 Q与V= ⎝μ2⎫⎪⎪⎪相似，则存在非奇异矩阵T满足⎪μT⎪⎭8⎛ μ1E1⎫Q=TVT-1=T μ⎪2E2⎪⎪T-1，⎝μ⎪tEt⎪⎭其中Ei(i=1,2,...t)为si阶单位矩阵，于是(μiE-Q)=T(μiE-V)T-1⎛ (μi-μ1)E1⎫=T (μi-μ2)E⎪2⎪-1⎪T，⎪⎝(μi-μt)Et⎪⎭从而有∏tt(μ-1iE-Q)=∏T(μiE-V)Ti=1i=1⎛⎫∏(μi-μ1)E1⎪i=T ∏⎪(μi-μ2)E2⎪i⎪T-1.⎪⎝∏(μi-μ⎪t)Eti⎪⎭由于∏(μi-μj)Ej=0(j=1,2,...,t)，因此i∏(μiE-Q)=0. i再证充分性：对于n阶矩阵Q，存在可逆矩阵T，使得⎛ J1⎫Q=TJT-1 J⎪=T 2⎪⎪T-1，⎝J⎪t⎪⎭Ji(i=1,2,...,t)是Jordan块，若Jj=μjEj(j=1,2,...t)，Q就可以对角化，而(μiE-Q)=T(μiE-J)T-1⎛ (μi-J1)E1⎫=T (μJ⎪i-2)E2⎪⎪T-1，⎪⎝(μi-Jt)Et⎪⎭9⎛∏(μi-J1)E1 i (μE-Q)=T∏i i ⎝i∏(μii-J2)E2⎫⎪⎪⎪T-1. ⎪⎪(μi-Jt)Et⎪∏⎪i⎭所以，若(μiE-Q)=0，则因T可逆有∏(μiEi-Jj)=0(j=1,2,...,t)，又因为当i≠j时，(μi≠μj)≠0，(μiEj-Jj)可逆，所以(μjEj-Jj)=0，即μjEj=Jj(j=1,2,...,t). 引理4X∈Pn⨯n,∂1,∂2…∂m...是X的关于特征值λ的特征向量，我们有∑ki∂ii=1m（ki,i=1,2,...,m不全为0，ki∈P）也是X的关于λ的特征向量.证明：已知X∂i=λ∂i，则kiX∂i=kiλ∂i，也即Xki∂i=λki∂i，因此X∑ki∂i=λ∑ki∂i，i=1i=1mm又ki不全为0，因此∑ki∂i≠0，由特征向量的定义有∑ki∂i是矩阵X的属于特i=1mmi=1征值λ得特征向量.定理6μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n阶矩阵Q的所有特征值，它们的代数重数依次是s1,s2,...,st ，则方阵Q与对角矩阵相似⇔r(Aj)=sj(j=1,2,...,t),Aj=∏(μiE-Q).i≠j证明：先证必要性.Q可对角化⇒存在可逆矩阵T使得Q=Tdiag(μ1,μ2,...,μt)T-1，从而Aj=∏(μiE-Q)i≠j⎛∏(μi-μ1)E1 i≠j =T ⎝∏(μi≠ji-μ2)E2⎫⎪⎪⎪-1⎪T ⎪(μi-μt)Et⎪∏⎪i≠j⎭10⎛O1 =T ⎝∏(μi≠ji-μj)Ej⎫⎪⎪⎪-1⎪T，⎪⎪Ot⎪⎭其中Oj为sj阶0矩阵，Ej为sj阶单位矩阵（(j=1,2,...,t). 因T可逆，且μi≠μj，所以有r(Aj)=r(∏(μi-μj)Ej)=r(Ej)=sj(j=1,2,...,t).i≠j再证充分性：用反证法.假设方阵Q不与对角矩阵相似，由几何重数≤代数重数得：至少存在一个整数q，使得r(μqE-Q)>n-sq，于是当j≠q时，由引理3有sj=r(∏(μiE-Q))≥∑r(μiE-Q)-(t-2)n>∑(n-sj)-(t-2)ni≠j=(t-1)n-(t-2)n-∑sii≠j=n-(n-sj)=sj.矛盾，假设不成立，故Q与对角矩阵相似.定理7μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n级方阵Q∈Pn⨯n的所有特征根，若对任意m∈Z+满足r(μi E-Q)m=r(μiE-Q),则矩阵Q与对角矩阵相似.证明：设μ1,μ2,...,μt的重数分别为s1,s2,...,st，由Cayley-Hamilton第三版，高等教育出版社)得：定理(高等代数(μ1E-Q)s1(μ2E-Q)s2...(μtE-Q)st=O，再有引理3的推论就有r(μ1E-Q)s1+r(μ2E-Q)s2+...+r(μtE-Q)st≤(t-1)n+r((μ1E-Q)s1...(μtE-Q)st)=(t-1)n.11对任意正整数m，有r(μiE-Q)m=r(μiE-Q)，因此r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n.从而有方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q) =tn-[r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...r(μtE-Q)]≥tn-(t-1)n=n.又r(Q)≤n，从而Q的线性无关的特征向量的个数小于或等于n，因此Q共有n个线性无关的特征向量，再根据定理1就有矩阵Q与对角矩阵相似.接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.定理8 n阶方阵Q与对角矩阵相似⇔矩阵Q的最小多项式mQ(μ)无重根.证明：先证必要性.Q和对角阵相似⇒存在非奇异矩阵T∈Pn⨯n，满足⎛μ1Q=TVT-1=T⎝⎫⎪⎪-1T，⎪⎪μn⎪⎭从而有T-1QmT=Vm，令μ1,μ2,...,μt(t≤n)是方阵Q的互不相同的特征值,记f(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)..μ.(-μt) =μt+s1μt-1+...+st-1μ+st. 因为T-1f(Q)T=T-1(Qt+s1Qt-1+..+.st-1Q+stE)T=T-1QtT+s1T-1Qt-1T+...+st-1T-1QT+stT-1ET=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE=f(V).又 f(V)=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE⎛μ1t= ⎝tμ2⎫⎛s1μ1t-1⎪⎪ + ⎪⎪ t⎪ μn⎭⎝t-1s1μ2⎫⎛st⎪⎪ +...+⎪⎪ t-1⎪ s1μn⎭⎝st⎫⎪⎪⎪⎪st⎪⎭12⎛μ1t+s1μ1t-1+...+sk = ⎝⎛f(μ1) = ⎝f(μ2) tt-1μ2+s1μ2+...+sk⎫⎪⎪⎪⎪tt-1μn+s1μn+...+sk⎪⎭⎫⎪⎪⎪=0.⎪f(μn)⎪⎭所以f(Q)=0，于是mQ(μ)f(μ)，然而f(μ)无重根，故mQ(μ)无重根.再证充分性：mQ(μ)的互不相同的根是μ1,μ2,...,μt，由mQ(μ)无重根就有：mQ(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)...(μ-μt-1)(μ-μt)，于是mQ(Q)=(μ1E-Q)(μ2E-Q)...(μtE-Q)=0.令r(μiE-Q)=qi，则μi的特征子空间的维数为n-qi，因此Q总共有(n-q1)+(n-q2)+..+.(n -qt)=s个线性无关的特征向量，且s≤n. 又因为q1+q2+...+qt≤(t-1)n，故s=(n-q1)+(n-q2)+...+(n-qt)≥n.从而s=n，也即矩阵Q有n个线性无关的特征向量，由定理1就得Q可以对角化.134某些特殊矩阵的对角化4.1 实对称矩阵的对角化问题实对称矩阵这种矩阵很特别，在诸多方面的到运用，如常用来研究对称变换，对线性变换进行分类.而研究对称矩阵的对角化，是进行分类的初步.引理5 ]每一个n阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似，并且上三角矩阵主对角线上的元素为复矩阵的特征值.对任意A∈Cn⨯n，可逆矩阵T，使得*⎫⎛λ1 ⎪λ2 ⎪T-1AT= ，其中λ1,λ2,...,λn是矩阵A的特征值. ⎪⎪ λn⎪⎝⎭引理6 实对称矩阵的特征值为实数.证明：设λ0实对称矩阵A的一个特征值，则存在非零向量⎛x1⎫⎪ x⎪η= 2⎪，⎪ x⎪⎝n⎭满足 Aη=λ0η.令⎛1⎫⎪⎪= 2⎪，i称为xi的共轭复数(i=1,2,...n)，则=0. ⎪⎪⎝n⎭观察下面式子'(Aη)=A'η=(A)'η=(Aη)'η，上式左边等于λ0'η，右边等于0η，故0'η=λ0'η,又'η=1x1+...+nxn≠0，14故λ0=0，即λ0是一个实数.引理7 设M,N为n⨯n实方阵，我们有如下结论：M,N在实数域上相似⇔M,N在复数域C上相似.证明：必要性显然，下面证明充分性.M,N在复数域上相似⇒∃n级可逆复矩阵，使得M=P-1NP.令P=A+iD，A ,D∈Rn⨯n，则(A+iD)M=N(A+iD)⇒AM=NA,DM=ND.所以对任意λ属于R都有(A+λD)=N(A+λD) (4)记h(x)=A+λD(实数系多项式)，因为h(i)=A+iD=P≠0，所以h(x)≠0.因此，A+λD有有限个实数根，则存在η属于R，使得A+ηD≠0.由(4)式得M=(A+ηD)-1N(A+ηD), 也即M,N在实数域上相似.定理9⑴n级实对称矩阵A的特称根全是实数⇔存在正交矩阵T，满足T-1AT=T'AT=D，D 是上三角矩阵.⑵A正交且特征值全是实数⇒A是对称矩阵.证明：先证明必要性，根据引理5有，存在可逆矩阵P，使得*⎫⎛λ1 ⎪λ ⎪2P-1AP= ⎪. ⎪ λn⎪⎝⎭再根据引理7，矩阵如果在复数域上相似则一定在实数域上相似，因此可以令P=Q T为实矩阵，Q乃正交矩阵，T是上三角矩阵且主对角上元素全是实数，于是就有*⎫⎛λ1 ⎪λ2 ⎪Q-1AQ=T(P-1AP)T-1= ⎪⎪ λn⎪⎝⎭由T是上三角矩阵知他的逆T-1也是上三角矩阵，再由上三角矩阵之积仍然是上三角矩阵知Q-1AQ为上三角矩阵.再证充分性：A为n阶实矩阵，且存在正交矩阵Q使得Q-1AQ=Q'AQ为上三角矩阵，即15*⎫⎛λ1 ⎪λ ⎪2Q-1AQ= =Q'AQ，⎪⎪ λn⎪⎝⎭由此易知λ1,λ2,...,λn为实数且为A的特征根.⑵由⑴容易得到Q-1AQ=Q'AQ=D为上三角矩阵(Q是正交矩阵)，又正交矩阵的积为正交矩阵，从而D为正交矩阵.因而D'=D-1，但是D-1是上三角矩阵，而D'为下三角矩阵，故D必为对角矩阵.从而A'=(QDQ')'=QD'Q'=QDQ'=A，也即A为对称矩阵.引理8 设A是对称变换，V1是A-子空间，则V1的正交补也是A-子空间. 定理10对任意n级实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵T，使得T'AT=T-1AT为对角矩阵.证明定义A是与A对应的对称变换，只要证A有一组标准正交基（n个向量组成）.下面用数学归纳法进行证明.当n=1时结论明显成立.假设对n-1结论成立.对n维欧氏向量空间Rn，β1为线性变换A的一个特征向量，对应的特征值是λ1.将β1单位化，并记为α1，再作α1的生成向量空间L(α1)的正交补，记为V1，由引理8有V1是对称变换A的不变子空间，他的维数为n-1，显然A限制在V1上仍然是对称变换A1，根据假设A1有特征向量α2,α3,...,αn做成V1的标准正交基，从而α1,... ,αn使Rn的标准正交基，又是A的n个特征向量.根据归纳假设定理得证.例4.1 已知⎛011-1⎫⎪10-11 ⎪A= ， 1-101⎪⎪ -1110⎪⎝⎭求正交矩阵T使得T-1AT为对角矩阵.解：第一步，求矩阵A的特征值. 由16-1-11-1μ1-1 μE-A=μ-11μ-11-1-1μ0μ-1μ-11-μ2=0μ-10μ-100μ-1μ-11-1-1μ11-1-μ=-(μ-1)3101011=(μ-1)3(μ+3)由此有1（3重），-3为A的特征值.第二步，求特征值1对应的特征向量. 将μ=1带入下式⎧⎪μx1-x2-x3+x4=0,⎪⎨-x1+μx2+x3-x4=0,⎪-x1+x2+μx （5）3-x4=0,⎪⎩x1-x2-x3+μx4=0.得基础解系为μ1=(1,1,0,0)，μ2=(1,0,1,0)，μ3=(-1,0,0,1)..将基础解系正交化，得β1=(1,1,0,0)，β12=(,-122,1,0)，β1113=(-3,3,3,1)..再将上式单位化，有17η1=(11,,0,0)， 22η2=(η3=(-112,-,,0)， 6661113,,,). .上式为属于特征值1（三重）的三个标准正交特征向量.同理可求得特征值-3的标准正交特征向量为η4=(1/2,-1/2,-1/2,1/2).特征向量η1,η2,η3,η4构成R4的一组标准交基，所求正交矩阵',η2',η3',η4')， T=(η1此时⎛1⎫⎪ 1⎪T-1AT= ⎪. 1 ⎪ -3⎪⎝⎭4.2幂等矩阵⎛Er定理11幂等矩阵A与对角矩阵 O⎝O⎫⎪相似. ⎪O⎭证明：根据A2=A有，矩阵A的最小多项式mA(λ)整除λ2-λ.因λ2-λ=0无重根，由引理5 就有mA(λ)无重根，再由定理8就得矩阵A可对角化.4.3对合矩阵定理12对合矩阵A可对角化.证明：A2=E⇒mA(λ)λ2-1，易知λ2-1=0无重根，根据引理5得mA(λ)无重根，再根据定理8，A能够对角化.18。

矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的理论与应用分析（可编辑）矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的理论与应用分析矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的理论与应用分析学院:数学与信息科学学院专业:数学与应用数学摘要:矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化是对矩阵的研究有很大的意义,而且也是解题的重要工具.利用它们的性质可以帮助我们解决许多的问题.关键词:矩阵等价;矩阵合同;矩阵相似;矩阵的逆The Theory And Application Analysis Of TheEquivalence,Congruence,Similarity And Orthogonal Similarity Diagonalization Of MatrixAbstract: The equivalence, congruence, similarity and orthogonal similarity diagonalization of matrices is important to the study of Matrix, and is also an important tool of problem-solving. Use the properties of them can help us solve many problems.Key words: equivalence of matrices; congruence of matrices; similarity of matrices; inverse of a matrix0前言本文从矩阵等价、合同、相似与正交相似对角化的定义、性质出发来探求判断两个矩阵的等价、合同、相似,并应用这些知识解决一些问题.并对它们之间的关系进行了简单的探索.并在结尾简单的给出了合相似与合对角化的定义.1矩阵的等价1.1定义1 矩阵与称为等价的,如果可以由经过一系列初等变换得到.1.2矩阵等价的性质反身性:,对称性:若,则,传递性:若,,则.例1 用初等变换将下列矩阵化为标准型,解1.3 矩阵等价的判断1.3.1 利用定义:如果可以由经过一系列初等变换得到,则称矩阵与称为等价的.1.3.2 、等价的充分必要条件是有初等矩阵,,使得1.4 矩阵等价的应用矩阵的等价在线性代数中具有重要的作用,而且也是解题的重要工具。

矩阵的对角化的应用摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。

对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。

本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似定义1：如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为=diag(,,,)定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。

定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。

定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和P都有，则称为V的一个线性变换定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。

定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X使得B=AX，则称A相似于B，记为A B，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。

二．矩阵对角化条件常用的充要条件（1）可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量；（2）可对角化当且仅当特征子空间维数之和为；（3）可对角化当且仅当的初等因子是一次的；（4）可对角化当且仅当的最小多项式无重根。

丽水学院2012届学生毕业论文矩阵对角化及应用理学院数学082 缪仁东指导师：陈巧云摘要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征.关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量.矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择.1．矩阵对角化概念及其判定所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵.定义1.1 矩阵A是数域P上的一个n级方阵. 如果存在一个P上的n级可逆矩阵X,使X-1AX 为对角矩阵,则称矩阵A可对角化.矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关.定义 1.2 设A是一个n阶方阵,λ是一个数,如果方程组AX=λX (1)存在非零解向量,则称λ为的A一个特征值,相应的非零解向量X称为属于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成,(λE-A)X=0 (2)这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式λE-A=0, (3)丽水学院2012届学生毕业论文λ-a11即 -a21-an1-a12λ-a22-an2-a1n-a2n=0 λ-ann上式是以λ为未知数的一元n次方程,称为方阵A的特征方程．其左端A-λE是λ的n次多项式,记作f(λ),称为方阵的特征多项式．λ-a11fA(λ)=|λE-A|=-a12-a1n-a2n -a21-an1λ-a22-an2λ-ann+an-1λ+an =λn+a1λn-1+显然,A的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n阶矩阵A有n个特征值．设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,（ⅰ）λ1+λ2+（ⅱ）λ1λ2λn,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 +ann;+λn=a11+a22+λn=A.若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程A-λE=0的根, 因此又称特征根,若λ为方程A-λE=0的ni重根,则λ称为A的ni重特征根．方程 (A-λE)X=0的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算A的特征多项式第二步：求出特征方程第三步：对于λE-A；λE-A=0的全部根,即为A的全部特征值；的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组：(λE-A)X=0的一个基础解系ξ1,ξ2,k1ξ1+k,ξs,则A的属于特征值λ的全部特征向量是．ξ2+2+ksξs（其中k1,k2,,ks是不全为零的任意实数）设P是数域, Mn (P) 是P上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P) , λ1,λ2,,λt 为A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如：(1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量;(2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;丽水学院2012届学生毕业论文(3) A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的;(4) A 可对角化当且仅当A 的最小多项式无重根我们知道线性变换A 的特征多项式为f (λ) ,它可分解成一次因式的乘积f(λ)=(λ-λ1)r1(λ-λ2)r2(λ-λi)ri则V 可分解成不变子空间的直和i其中Vi = {ξ| （A-λiE）=V=V1⊕V2⊕r⊕Vs;ξ∈V}引理 1.1:设A, B 都是n 阶矩阵, 则秩( AB) ≥秩( A) + 秩( B) - n.定理 1.1:设A 是实数域F上的一个n 阶矩阵, A 的特征根全在F 内, 若λ1, λ2,...,λK 是A 的全部不同的特征根, 其重数分别为r1, r2,... rk, 那么⎛⎫ (Ⅰ) 可对角化的充要条件是秩∏(λiE-A)⎪=rj j=1, 2,.......k⎝i≠j⎭(Ⅱ) 当( 1) 式成立时, ∏(λE-A) 的列空间就是A 的属于特征根λ的特征子子空间. ii i≠j证明: (Ⅰ) 设A 可对角化, 则存在可逆阵T, 使T-1AT=diag{λ1E1,λ2E2,...,λkEK}这里右边是分块对角矩阵, Ej 为ri阶单位阵, 于是有⎛-1⎛⎛⎫⎫⎫⎛⎫秩∏(λiE-A)⎪=秩T ∏(λiE-A)⎪T⎪=秩∏(λiE-T-1AT)⎪⎪⎝i≠j⎭⎝i≠j⎭⎭⎝i≠j⎭⎝⎛⎫ =秩∏(λiE-diag{λ1E,λ2E2,...,λKEK})⎪⎝i≠j⎭=秩⎛⎫diagλ-λE,λ-λE,...,λ-λE,(ij)1(ij)2(ij)K⎪ ∏⎝i≠j⎭{}⎛⎧⎫⎫ =秩 diag⎨0,0,...0,∏(λi-λj)Ej,0,0,...,0⎬⎪=rj j=1,2, ......k. ⎪i≠j⎩⎭⎭⎝反之,若秩(∏(λE-A))=r i=1,2,.....k, 反复用引理可得 ij秩(∏λiE-A)rj≥∑秩(λiE-A)-(K-2)n≥∑(n-ri)-(k-2)ni≠ji≠j丽水学院2012届学生毕业论文=n-∑ri=rj j=1,2,...,k.i≠j这里用到了齐次线性方程组(λiE-A)X=0的解空间的维数不大于λi的重数不大于rj 这个结论.于是又∑秩(λE-A)=∑(n-r)从而秩(λ-A)=n-r i=1,2,......k. 这样的矩阵可iiii i≠ji≠j以对角化.(Ⅱ)设( Ⅰ)式成立,则A 可对角化.故A的最小多项式为k∏(x-λ)从而 ii=1k∏(λE-A)=0 即(λE-A)∏(λE-A)=0 iiii=1i≠j这就是说,列空间包含在λi的特征子空间中,但是由(1),是rj的特征子空间的维数,所以结论(Ⅱ) 成立. ∏(λE-A)的列空间的维数是n,它正ii≠j推论: 设A 为实数域F上的n阶矩阵,A 的特征根全为F 内,且λ1, λ2 是A的全部不同的特征根, 其维数分别为r1, r2, 若秩(λ1E-A)=r2,秩(λ2E-A)=r1,则A 可以对角化,且(λE-A)的列向量组的极大无关组恰是属于λ2 的极大线性无关的特征向量组,λ2E-A的列向量组的极大无关组恰是属于λ1的极大无关的特征向量组.⎛460⎫⎪例1: 判断A= -3-50⎪能否对角化,并求特征向量.-361⎪⎝⎭解: 易知A的特征根λ1 =-2 , λ2 =1.⎛-6-60⎫⎛-3-60⎫⎪⎪350360 和=λ1E-A = λE-A2 ⎪⎪3-6-3⎪ 360⎪⎝⎭⎝⎭⎛0⎫⎛-2⎫⎛1⎫⎪⎪⎪的秩分别为2与1,故A可对角化. 又因为可以选取 0⎪和 1⎪为的列空间的一个基, -1⎪是属-1⎪ 1⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于λ1的特征向量.定理和推论把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来,给出了一个不 4丽水学院2012届学生毕业论文用解线性方程组而求得可对角化矩阵的特征向量的方法, 在矩阵的不同特征根较少时, 这个方法较方便.2．实对称矩阵对角化的计算方法我们知道任意实对称矩阵,总正交相似于一对角阵. 该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值, 正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量. 给定一实对称阵A ,如何求正交相似变换矩阵P ,使PAP=PAP为对角阵. 理论上的解决方法为:首先利用特征方程: | λI - A | = 0 求出全部特征值,针对不同特征值求出相应的完全特征向量系,合在一起构成实对称阵A 的完全特征向量系. 再利用施密特正交化法得到A 的规范化正交特征向量系. 以此作为列向量得到正交相似变换矩阵P , PAP-1-1T=PAPT为对角阵, 参见文献[5 ]. 此方法理论可行,但在具体操作时,由于要事先求出实对称阵A 的全部特征值,操作上有如下困难: (1) 特征方程: | λI- A | = 0 给出困难; (2) 特征方程求根困难(5 次以上的代数方程没有统一的求根公式) . 因此有必要寻求方法.定义2.1 (瑞雷商) 设A 为n 阶实对称阵,对于任一n维非零列向量x ,称R ( x) =( A x , x)/( x , x) 为关于向量x 的瑞雷商.引理2.1 设A 为n 阶实对称阵, λ1≥λ2≥......≥λn 为A 的特征值.λ1=maxn(Ax,x),λ=min(Ax,x) 1x∈R/{0}x,xx∈R/{0}x,xn定义2.2 设w 为n 维列向量,且ww= 1 ,则n 阶矩阵H = I - 2ww 称为Householder 阵.引理2.2 Householder 矩阵具有如下性质:(1) H=H(2) HH=HH=I ( H 是正交阵) .引理2.3 设x , y ∈R, x ≠y , X=Y,则存在Householder 矩阵H, 使Hx = y. 其中H=I-2(x-y)(x-y)/x-y定理2.1 设A 是实对称矩阵,λ, x (X2T2TTTTTn = 1) 是A 的一个特征值和相应的特征向量, 5丽水学院2012届学生毕业论文则存在P 为一个正交阵,使Px =e1 = (1,0,0...,0). 且PAP的第一行和第一列的第一个元素为TTλ,其余元素均为零.证设A 是实对称矩阵, λ1≥ λ2≥ ...≥ λn为A 的特征值. 根据引理2.1 ,利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得λ1 及相应的规范化特征向量X1 . 不妨假设‖X1 ‖ = 1 ,由引1,0,0,...,0).且PAP的第一行和第一列的第一个理2.3 ,存在P1为一个正交阵,使P1X1=e1=(TT⎛λ1元素为λ1 , 其余元素均为零. 设PAP= 1⎝0T10⎫⎪, 为对称阵,故A1 也为对称阵,设λ2 及A1⎭X2 为A1最大特征值及相应的规范化特征向量,则根据引理2.3 ,存在Q2为一个正交阵,使TQ2x2=e1=(1,0,0,...,0).且Q2AQ12 的第一行和第一列除λ2 外其余元素均为零. 令T⎛10⎫P2= ⎪,容易验证P2亦为正交阵, 满足: 0Q⎝2⎭⎛λ1TTP2PAPP= 112⎝0⎛λ100⎫⎪=0λ2Q2A1Q2T⎭ 00⎝0⎫⎪0⎪ A2⎪⎭T依此类推, 存在正交阵p1,p2 , ⋯,pn-1, 使得pn-1...p2p1Ap1Tp2T...pn-1T=D,则PAP=D,其中D 为对角阵,令P=Pn-1 P2P1,则PAP=D,P即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵. T⎛2102⎫⎪例2: 设矩阵A= 105-8⎪, λ1≥λ2≥λ3为A的特征值.按上面的算法进 2-811⎪⎝⎭行对角化,求出正交矩阵P及特征根和特征向量.解: (1)利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得λ1 = 18 ,相应的特征向量⎛1为x1= ,⎝32,32⎫-⎪ 3⎭T(2) 计算正交矩丽水学院2012届学生毕业论文p1=p1=I-2(x-e1)(x-e1)T⎛1 3 2/x-e1= 23 2 - ⎝3232-31-32⎫-⎪3⎪1-⎪, 3⎪⎪2⎪-⎪3⎭⎛1800⎫T ⎪T-90⎪,至此已实现对角化. 借此可求得= λ2=9 , 满足p1x1=e1=(1,0,0)且P1AP1= 0 009⎪⎝⎭212⎫λ3 = - 9. 相应的特征向量分别为x2=⎛-,-,- ⎪,33⎭⎝321⎫⎛2x3= ,-,-⎪.33⎭⎝3TT3．循环矩阵对角化方法的研究⎛a0an-1 在复数域C 上,形如A= ... ⎝a1a1a0...a2a2...an-1⎫⎪a1...an-2⎪的矩阵,称关于元素列a0,a1,...,an-1的.........⎪⎪a3 0⎛0 0循环矩阵.已知n阶循环矩阵K=... ⎝110⎫⎪01...0⎪,并令K=Ki (i=1,2,i.........⎪...⎪00...0⎭0...,n),称E,K1,K2,....,Kn-1为循环矩阵基本列(其中E= Kn为单位矩阵).循环矩阵基本列有如下特点: ①E,K1,K2,...,Kn-1都是循环矩阵; ②Kn+i=Ki ,即K n+i=Ki;③n 阶循环矩阵K有n 个特征根: λm=cosmxmx+isin (m=0,1,nn,n-1)④关于元素列a0,a1,a2,...n 阶循环矩阵A 可用循环矩阵基本列表示为na-,的1丽水学院2012届学生毕业论文A=a0E+a1K+a2K2+...+an-1Kn-1,反之,能用循环矩阵基本列线性表示的矩阵,则一定是循环矩阵.循环矩阵的性质性质1 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.性质2 同阶循环矩阵的乘积满足交换律.性质3 同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵.性质4 循环矩阵的逆矩阵为循环矩阵.n阶矩阵A 关于多项式函数f (x) 生成的矩阵为f (A) ,A 的特征根与f (A) 的特征根有下面的结论:命题3.1 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若λ是矩阵A 的特征根,则f (λ) 是矩阵f (A) 的特征根.命题3.2 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若矩阵A 相似于矩阵B , 则矩f (A) 相似于矩阵f (B) .考察n 阶循环矩阵K,K的特征多项式为:λE-K=λ-1=∏(λ-η),η=enjjj=0n-12πin(i=如果n 阶循环矩阵A 记为A=fA(K)=a0E+a1K+a2K2+...+an-1Kn-1不难求得K中与特征值ηj相应的特征向量,记:⎡ηj⎤⎡ηj⎤⎡1⎤⎢2j⎥⎢2j⎥⎢j⎥ηη⎥(j)⎢⎥=ηj⎢η⎥=ηjx(j)⎢kx==⎢...⎥⎢...⎥⎢...⎥⎢⎥⎢⎥⎢n-1⎥⎢⎢⎣η⎦, ⎣1⎥⎦⎣1⎥⎦命n-1x(j)则由(1)(m)题-1k3.1 mkn-1得Ax(j)=fA(K)x(j)=fA(ηj)x(j),可以验证(x,x)=∑ηk=0.η⎧0,1≠m(j).将这n 个两两正交的向量x单位化,可得标=∑(m-1)k=⎨k=0⎩1,1=m(n-1)⎫x⎬,令矩阵⎭准正交基(0)x,(1)x,..., 8丽水学院2012届学生毕业论文(0)T=x,(1)x,...,11...1⎛1⎫⎪2n-11ηη...η⎪(n-1)⎫ 242(n-1)1η⎪xη...η⎬=⎪⎭...............⎪ 1η(n-1)η2(n-1)...η(n-1)(n-1)⎪⎝⎭则T-1=T'=x(0),(x(1)...x(n-1)-1)命题3.3 任意n 阶循环矩阵A=fA(K) 在复数域C 上都可对角化,即TAT=diag[fA(0)fA(η1),...,fA(ηn-1)]推论 n 阶循环矩阵A 可逆的充要条件是fA(ηi)≠0(i=0,1,...,n-1).⎛1 4 例3:求四阶循环矩阵A= 3 ⎝2214332144⎫⎪3⎪的特征根,并对角化. 2⎪⎪1⎭100001000⎫⎪0⎪ 1⎪⎪0⎭⎛0 0解: 令f(x)=1+2x+3x2+4x3 得 A=f(A)(K),K=0 ⎝1由于η=e2πin=i, 所以A的特征根分别为:f(A)(η0)=10 , f(A)(η1)=-2-2i, f(A)(η2)=-2, f(A)(η3)=-2+2i⎛1111⎫⎛1111⎫⎪⎪1-i-1i1 1-i-1-i⎪1⎪ , T-1= T=2 1-11-1⎪2 1-11-1⎪⎪⎪1-i-1-i1i-1-i⎝⎭⎝⎭4．特殊矩阵特殊对角化的研究前面对实对称矩阵循环矩阵的对角化问题作了研究,本部分主要讨论,当矩阵只有两个特征根时的对角化问题,方法简捷. 对于数域F 上的n 阶矩阵A ,若仅有的两个特征根都在F 内,并且可以对角化,不通过解线性方程组求特征向量,而用初等变换求出可逆矩阵T,使TAT为对角形矩阵.-1丽水学院2012届学生毕业论文定理4.1 设数域F 上的n 阶矩阵A 可以对角化,其特征根为λ1,λ2,如果⎛Bn⨯s⎛λ1I-A⎫→ ⎪−−−−初等变换 *⎝I⎭⎝P,B 为列满秩矩阵,那么⎫⎪ pn⨯(n-s)⎪⎭0(i) A 的属于λ1 的线性无关的特征向量为P 的n-s个列向量;A 的属于λ2的线性无关的特征向量为B 的s个列向量.⎛λ1⎫⎪... ⎪⎪λ1-1(ii) 令T = ( P ,B) ,则T 可逆,且有TAT= ⎪ λ2 ⎪⎪... ⎪ λ2⎪⎝⎭其中λ1 有n-s个, λ2有s个.证因为初等矩阵不改变矩阵的秩,且B为列满秩,则s=秩B=秩(λ1I-A)=λ2的重数. （i）根据矩阵的初等变换和分块矩阵的运算性质,可得Pn⨯(n-s))=(B,0) 从而(λ1I-A)P=0 (λ1I-A)(*，因P为列满秩矩阵,则P的n-s个列向量为齐次线性方程组(λ1I-A)X=0 的基础解系,亦即P的n-s 个列向量为A的属于λ1的线性无关的特征向量. 又A可以对角化,且λ2的重数为s ,则有可逆矩阵Q,使得⎛λ1⎫⎛λ1⎫⎪⎪...... ⎪⎪⎪⎪λ1λ1-1A=Q ⎪Q, 令D= ⎪, λλ22 ⎪⎪⎪⎪...... ⎪⎪⎪λ2⎭λ2⎪⎝⎝⎭则有(λ1I-A)(λ2I-A)=(λ1I-Q-1DQ)(λ2I-Q-1DQ)丽水学院2012届学生毕业论文=Q-1(λ1I-D)QQ-1(λ2I-D)Q=Q-1(λ1I-D)(λ2I-D)Q = Q-1OQ=0由于B 的列向量为λ1I-A 的列空间的基,则B的s 个列向量为齐次线性方程组(λ1I-A)X=0的基础解系, B 的s 个列向量为A 的属于λ2的线性无关的特征向量. (ii) 因矩阵A的属于不同特征根的特征向量线性无关,且特征向量的个数之和等于A的阶数n,于是, 令 T=P,B) 即有TAT=D -1(⎛001⎫⎪-1例4:令矩阵A= 010⎪,求可逆矩阵T,使得TAT为对角形式.100⎪⎝⎭解: 方法一,先求A的特征根0-1⎫⎛λ2 ⎪fA(λ)= 0λ-10⎪= (λ-1)(λ+1)-10λ⎪⎝⎭则λ1 = 1 (二重) , λ2 = - 1. 可见,此例为定理所述的情况.对矩阵作初等列变换,即⎛λ1I-A⎫⎪⎝I⎭⎛1 0⎛λ1I-A⎫ -1 ⎪= ⎝I⎭ 10 0⎝0-1⎫⎛1⎪ 00⎪ 001⎪ -1⎪→ 00⎪ 110⎪ 0⎪⎪01⎭⎝000⎫⎪00⎪00⎪⎛B0⎫⎪= ⎪01⎪⎝*P⎭ 10⎪⎪01⎪⎭T所以,由定理4.1 知,A 的属于λ2 = - 1 的线性无关的特征向量为a1=(1,0,-1);A 的属于λ1 =1 的线性无关的特征向量为a2=(0,1,0) , a3=(1,0,1) TT⎛011⎫⎛1⎫⎪⎪-11令T= 100⎪,则有TAT= ⎪. 这与[1 ]的结果一致.01-1⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭方法二在矩阵(λI-A)中,亦可取λ2=-1,这时丽水学院2012届学生毕业论文⎛-10-1⎫⎛-100⎫⎪⎪0-200-20 ⎪⎪⎛-I-A⎫ -10-1⎪ -100⎪⎛B0⎫⎪→ ⎪= ⎪= ⎪ I10010-1*P⎝⎭⎭⎪⎪⎝ 010⎪ 010⎪001⎪⎪ 001⎪⎪⎝⎭⎝⎭则A 的属于λ1=1 的线性无关的特征向量为a1=(-1,0,-1) , a2=(0,-2,0) ;A 的属于TT λ2=- 1 的线性无关的特征向量为a2=(-1,0,1)⎛-10-1⎫⎛1⎫⎪⎪-11令T= 0-20⎪,则有TAT= ⎪.-101⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭T5．常规矩阵对角化方法的新探众所周知,对数域P上一个n阶矩阵A是否存在一个可逆矩阵T,使得TAT为对角形矩阵,当这种矩阵存在时,如何去寻求它.一般有关教材中都是先计算一个行列式,求出A的特征值,再利用线性方程组和特征向量的有关理论及求法解决此问题的.在这里利用矩阵的初等变换解决此问题的,它比教材中的常规方法简单一些,因为不必解若干的齐次线性方程组,有时也不必计算行列式. -15.1理论依据为说话方便,我们规定如果数域P上,对n阶矩阵存在一个可逆矩T,使得TAT为对角形矩阵, 则称矩阵在数域P上可对角化.当可对角化时, 我们说将A对角化,即指求矩阵T,使-1T-1AT为对角形矩阵.若矩阵n在数域P上可对角化, 则有P上可逆矩阵T,使得T-1AT=B为对角形矩阵.于是B的主对角线上的元素,即为A的全体特征值, 并且可表示：T=QQ12...QS, 其中Qi为初等矩阵,i=1,2,...,s,-1于是,B=Q-1SQ-1S-1...Q1-1AQQ12...QS,又Qi也是初等矩阵, 由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系, 即知Q1-1AQ , 相当于对A施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里, 我们称此种初等变换为对A施行了一次相似变换.显见, 可对A施行一系列的相似变换化为B.又由, T=EQQ12...QS（E此处表单位矩阵）可如下进行初等变换, 则可将A化为对角形矩阵B, 且可求得T：丽水学院2012届学生毕业论文⎛A⎫对A施行一系列相似变换⎛B⎫→ ⎪,对E只施行其中的初等列变换.⎪−−−−−−−⎝E⎭⎝T⎭当A不可对角化时, 也可经相似变换化简A后, 求得其特征值, 判定它可否对角化. 类似地, 可由T-1=Q-1SQ-1S-1...Q1-1E,做如下初等变换则可将A化为对角形矩阵B,且可求得T或由B求A的特征值, 判定可否对角化：(A对A施行一系列相似变换E)−−−−−−−→(BT),对E只施行其中的初等行变换. 并且在施行相似变换时, 不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行, 可施行若干次行或列变换后再施行若干次相应的列或行变换, 只要保持变换后, 最后所得矩阵与Ａ相似即可.5.2 应用举例为叙述简便,这里用ri表示i第行,ci表示第i列,ri+krj表示用数k乘第j行后再加到第i行上,ci+kcj表示用数k乘第j列后再加到第i列上.例5 求如下矩阵的特征值, 并判定它们可否对角化,若可则将其对角化:⎛1111⎫⎛5-11⎫⎪11-1-1 ⎪⎪. 02⎪, (2)B= (1)A= 6 1-11-1⎪ -311⎪⎪⎝⎭1-1-11⎝⎭⎛5-11`⎫⎛4-11⎫⎪⎪r3+r1c1-c3→ 602⎪ −−−→ 402⎪=C,知A与C相似. 解：（1）由A−−−202⎪ 002⎪⎝⎭⎝⎭易得,C的特征值为2,2,2,且2E-C的秩为2,所以C不能对角化,从而知A的特征值为2,2,2且A不可以对角化.⎛1111⎫⎛1111⎫⎪⎪11-1-12200 ⎪⎪ 1-11-1⎪ 2020⎪⎪⎪1-1-112002c1-ci,i=2,3,4ri+r1,i=2,3,4⎪−−−−→ ⎪ −−−−−→ （2）由 1000⎪ 1000⎪⎪⎪ 0100⎪0100⎪ 0010⎪ 0010⎪ 0001⎪⎪ 0000⎪⎪⎝⎭⎝⎭丽水学院2012届学生毕业论文⎛-2 0 0 0 1 -1 -1 -1⎝⎛-2 0 0 0 1 -1 -1 -1⎝⎛111⎫ -2⎪ 200⎪⎪020 0⎪ ri,i=2,3,4002⎪r1-14→ 0⎪000 1⎪ 100⎪-1⎪010 ⎪ -1⎪001⎭ -1⎝020014341-41-40020141-4341-40⎫⎪0⎪0⎪⎪2⎪1⎪, ⎪4⎪1⎪-⎪4⎪1-⎪4⎪⎪3⎪⎪4⎭1220001001202000101⎫2⎪⎪0⎪0⎪⎪ci+1c1,i=2,3,442⎪→0⎪⎪0⎪⎪0⎪1⎪⎭知B可以对角化,B的特征值为-2,2,2,2.1⎛1 4-13 4令T=-1-1 4 1 -1-⎝4141-4341-41⎫4⎪⎪⎛-21⎪- ⎪4, 则-1 0TAT=⎪ 01⎪- 4⎪⎝03⎪⎪4⎭000⎫⎪200⎪. ⎪020⎪002⎭当不易直接用相似变换化简判定时, 可先求出特征值, 再用相似变换.⎛1-200⎫⎪-3200⎪可否对角化,若可,则将其对角化. 例6判定A=002-3⎪⎪00-43⎝⎭解法1（教材中的方法）丽水学院2012届学生毕业论文x-12003x-2002由xE-A= =(x-4)(x-6)(x+1), 00x-23004x-3知A的特征值为4,6,-1,-1.⎛2⎫ -3⎪⎪1解齐次线性方程组(4E-A)X=0得一基础解系⎪0⎪ 0⎪⎪⎝⎭⎛0⎫⎪0 ⎪解齐次线性方程组(6E-A)X=0得一基础解系 3⎪-⎪4⎪ 1⎪⎝⎭⎛1⎫⎛0⎫⎪⎪10解齐次线性方程组(-E-A)X=0得一基础解系⎪, ⎪ 0⎪ 1⎪⎪⎪⎝0⎭⎝1⎭⎛2 -3 1于是可,A可对角化,且取T= 0 0⎝⎫10⎪⎛4000⎫⎪⎪010⎪0600-1⎪. ,则TAT= ⎪ 00-10⎪3-01⎪⎪4000-1⎪⎝⎭⎪101⎭0⎛1-200⎫⎛1-200⎫⎪⎪-3200-4400 ⎪⎪ 002-3⎪ 002-3⎪⎪⎪00-4300-66c1+c2,c3+c4r2-r1,r4-r3⎪ −−−−⎪−−−−→→ 解法2由 1000⎪ 1000⎪⎪⎪01000100 ⎪⎪ 0010⎪ 0010⎪ 0001⎪⎪ 0001⎪⎪⎝⎭⎝⎭丽水学院2012届学生毕业论文⎛-1-200⎫⎪0400 ⎪ 00-1-3⎪⎪0006 ⎪ 1000⎪⎪ 1100⎪ 0010⎪ 0011⎪⎪⎝⎭⎛-1 0 0 0 1 1 0 0⎝04002-5350000-1000110006→23r1-r2,r3-r4572⎛-1- 54 00 0 000 1 110 0 00⎝⎫0⎪⎪00⎪3⎪-1-⎪7⎪06⎪⎪00⎪00⎪⎪10⎪11⎪⎭0→23c2-c1,c4-c357⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 0⎪⎪⎪0⎪⎪3⎪-⎪7⎪4⎪⎪7⎭2⎛⎫1-00 ⎪5 ⎪3⎛-1 100⎪⎪05-1知,A可对角化,且取.T= ⎪,TAT=0 001-3⎪7⎪⎝0 ⎪4001⎪7⎭⎝0⎫⎪400⎪⎪0-10⎪006⎭00两法比较, 法2比法1简便, 因不必计算行列式和解几个线性方程组.上述内容为本人对各类基本常见的矩阵类型的对角化计算方法,计算技巧的一些探讨,比较传统的计算方法、计算技巧,有一些优越性.计算简便,步骤简单具体,有较强的实用性.参考文献：[1] 张禾瑞赫炳新高等代数[M] 第四版北京：高等教育出版社 1998.166－410 [3] 毛纲源线性代数[M] 解题方法与技巧归纳第二版华中科技大学出版社1997,7.213－241. [4] 丘维声抽象代数[M] 北京：高等教育出版社 2003.160－190.[5] 王萼芳石生明高等代数[M] 北京：高等教育出版社 1987.176－254.丽水学院2012届学生毕业论文[6] 王萼芳高等代数教程[M] 北京清华大学 1996.91－184.[7] 张爱萍循环矩阵的性质及其对角化[J] 广西师范自然科学报,2000,12.No.8.168－170.[8] 高吉全矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨[J] 数学通报,1991.12.No.7.23－26.[9] 郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化[J]河南机电高等专科学校学报．2006．No.4．106－108．[10]张正成可对角化矩阵的应用[J] 科技资讯.2007.No.24.252－253.[11]张学元线性代数能力试题解题[M] 武汉：华中理工大学出版社, 2000.34－37[12]向人晶矩阵可对角化的简单判定[J] 数学通报,2003,3.No.12.13－15.[13]靳廷昌有两个特征根矩阵对角化[J] 数学通报,1997,11.No.23.53－57.[14]李世余代数学的发展和展望[J] 广西大学学报．1985．No．1.146－148.[15]周立仁矩阵同时对角化的条件讨论[J] 湖南理工学院学报．2007．Vol.20．No.1．8－10．致谢本论文是在指导师陈巧云老师细心指导下完成.陈老师认真、负责、真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神,令我很受触动.同时,在论文的选题、修改、定稿都凝聚了陈老师的大量心血.陈老师尽心的指导与严格的监督,促使我最终完成了论文.值此论文完成之际,我谨向陈老师致以深深的敬意和感谢!On the martix diagonatization and applicationCollege of science Mathematics 082 Miao Rendong Director:Chen Qiaoyun Abstract:This paper initially studied about matrit diagonatization concluding and summarizing about the necessary condition of matrix diagonalization,Through caclulation and research on read synmetrices matrices,cycle matrix,and special matrix diagonalizational ways it proride simple and fast ways of solution on the question of matrix diagonalization in the characteristic root,charateristic rector,and reversible matrix.Key words: diagonal matrix; matrix diagonalizationv; real symmetric matrix; eigenvalue; eigenvectors。

矩阵的对角化及其应用13届分类号:单位代码:10452临沂大学理学院毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用2013年3月20日临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)摘要矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义.本文对可对角化矩阵做出了较全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论总结出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂)利用特征值求行列式的值)由特征值和特征向量反求矩阵)判断矩阵是否相似)向量空间)线性变换等方面的应用.关键词:对角化;特征值;特征向量;相似;线性变换临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)ABSTRACTMatrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory ofmatrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words:The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)目录1 引言 (1)2矩阵对角化 (1)2.1可对角化的几个条件 (1)2.2可对角化的矩阵的性质 (3)2.3 矩阵的对角化 (5)2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 (5)2.3.2 利用内积构造齐次线性方程组的方法 (7)3 矩阵对角化的应用 (10)3.1 求具有线性递推关系( 组) 的数列的通项式与极限 (10)3.2 求解行列式的值 (14)3.3对角矩阵的其他方面的应用.................................... 15 4 结论 .......................................................... 19 参考文献 ..................................................... 19 致谢 (21)临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)1 引言对角化矩阵在求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式、求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面的应用.对角矩阵贯穿于高等代数之中，有着十分重要的作用.定义1.1 对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵.对角线上的a元素可以为 0 或其他值.因此行列的矩阵= 若符合以下的性质: nnAa，，ij,ij,10,, ij,1,2,,…，nij,=0，，.形如. ，，,,01,,V定义1.2 矩阵可对角化:设是维线性空间的一个线性变换，如果存在n,V的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化. ,, 定义1.3 矩阵是数域上的一个维方阵，如果存在数域上的级可逆APPnn,1TAT矩阵,使为对角矩阵，则称矩阵可对角化. AT2矩阵对角化通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换(初等变换)后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵(这个矩阵称为对角阵)，这个过程就叫做矩阵的对角化，并不是所有矩阵都能对角化. 2.1可对角化的几个条件矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用, 矩阵的对角化有多种判别方法.本节对矩阵对角化作一点讨论，nn，22,PABB, 引理2.1 设,，且=,,.则存在可逆矩阵,ABAABBA,P使，可同时对角化. ABnn，,Pdiag,,,,,…，引理2.2 如果=有个互不相同的对角元，对某Pn，，12nnn，,P个，则当切仅当本身是对角阵. BPBBP,BE0,,r2AA,由于任意一个幂等矩阵A必相似于对角矩阵.而且每个与对角，，,,00,,n矩阵都可以进行谱分解，即=,A,其中是的特征值，为幂等阵.那么AA,A,iiiii,1任意有限个幂等阵的线性组合是否对角化,有如下结论:1临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)定理1.1 以=，为个数，Akkk,，,，，,…kkk，，…，n1122nn12nij,为个幂等阵，且两两可换，即=，，则可对,,,，，…，,,,,An，，12nijji 角化.证明为个幂等阵，且两两可换.由引理1可知，存在可逆阵,,,，，…，n12n ,1,1,使可同时对角化.即，…，，,,,，，…，,,,PPP,,,PP12n1nnnn1111 ,1,1,,，…，是对角阵PkP,PkP,.==++…Akkk,，,，，,…，，，，，，1n11221122nn,1,1PkP,PkkP,，,，,…+k++.由知,,，…，是对角阵，，，，nnnn11221n 也为对角阵，故可对角化. Akk,，,，,…+k1122nn如果矩阵只有两个不同的特征值，可有如下结论:nn，,P定理2.2 设，，为其两个不同的特征值，则可对角化存在AA,,,12 ,,,,幂等矩阵，使得=+,其中为幂等阵. ,AE,,，，211,E,,11-1证明必要性:若可对角化，存在可逆矩阵，使=相似APPAP,,11E,,,22,1PP,于对角阵，则= A,,0,,,1 = ,PEP，,,,,1,,,E,,，，21,,,,0,,,1,1,, =+, PPPEP,，，,,2111E2,,0,,,1,, =+, PP,E，，,,2111E2,,000,,,,,,,1,,112,PPPP且相似于== ,PP,,,,,,EEE222,,,,,,,,,,故为幂等阵，即存在幂等阵使得=+. ,,AE,，，211,,,,充分性:若存在使=+.因为为幂等阵，故存在可逆阵,使,AE,T,，，211 00,,,,,1,1,,,得=,则=+TT ,TTAE,，，,,,,211EE22,,,,2临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),,0,,,1= ,TET，,,,,,,,E,,，，21,,,,,E,,11,1= TT,,E,22,,,E,,11,1,1TAT故= TT,,E,22,,即可对角化. AAB,如果满足条件的情况，有如下结论: ABBA=nn，nn，,P,P定理2.3 假设个互不相同的特征值，对某个个ABn有，则有AB,当且仅当同时对角化. ABBA=,1TPAP,证明必要性.由有个互不相同的特征值，则可对角化.设,AAndiag,,,,…，其中=.则T，，12，n,,11,,11,1,1,1,1PAPPBPPABPPBAPPBPPAPTPBPPBPT=====.即与T，，，，,1,1PBPPBP可交换，由引理2知是对角阵，从而是可对角化矩阵. B ,1AB,充分性.可同时对角化，故存在可逆阵，使得，PAPP,,1,1其中，为对角阵,,,1. BPP,,，，22,,11,1,1,,11=====. ABBAPPPP,,PP,,PP,,PPPP,,21121221对定理，我们可得到矩阵只有两个不同的特征值时可对角化的判别方法: A22,,=,,,,AE,,,/若，则可对角化，否则不可对角化.其中. AA，，，，122.2可对角化的矩阵的性质是数域上的一个可对角化的阶矩阵，是定理2.2.1 设APA,,,,,…，n12t 阶矩阵,使AA,,…，An的互不相同的特征根，则存在12t1+AAAA,，，,,,…; ，1122tt2+=E,EAAA，，…为单位矩阵; ，12t23AA,; ，ii,140,AAij,,，0为零矩阵，其中. ATBT,，ijii1证明由上一个阶可逆矩阵，使得 APTn，可对角化，则存在3临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),0,,1,,,2,1,,TATB,, ,,…,,0,t,,其中的重数为，由于 s,ii10,,,,,,,,……,,,,,,,,10 B,,,，…+,,,,1t01,,,,,,,,……,,,,,,,,01,,,,记,所以 ,,,BBB，，…+1122tt,,11ATBTTBBBT,,，，,,,…+ ，，tt1122,,,111= TBTTBTTBT,,,，，…+t t1122,,11,,TBTTBT，…+= ，，，，tt11,1记，其中 ,,,AAA，，…+ATBT,1122tti故. AAAA,，，,,,…+1122tt 2由每个为对角形幂等阵，则, BBBE，，,…+B，12ti,1,1,,,111TET=ETBBBT，，…+===AAA，，…+TBTTBTTBT，，…+，，,t12t12t12故 AAA，，…+=E12t,,11,12,,113TBTTBT由，则== ATBT,ATBTTBT，，，，，iiiiiii,121,,1==,TBTTBBTTBTiiii=Ai2故. AA,ii,,11,1,,11TBTTBTTBBT4ij,TBTTBT当时，====0;0为零矩阵 AA，，，，，ijijijij故 AAij,,0,ij4临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)15115,,,,1,2,3例2.2.1 设是数域上的矩阵.是矩阵的特征根，A,,20158PA,,,,876,,, 100231,,,,,,,,,1则存在可逆矩阵,使得=,其中T,342TAT,020B,,,,,,,,112003,,,,,,652,,,,,1， T,,431,,,,111,,,100,,,,,,,,,,,,由于，记 BBB，，23B,，，02130123,,,,,,,,,,,,001,,,,,,,,11ATBTTBBBT,,，，23所以，，123,,,111TBTTBTTBT，，23= ，，，，123,1=,其中AAA，，23ATBT,123ii，,,,,121041293111,,,,,,,,,,,,，且满足: AAA,,,,,,,18156,16124,222123,,,,,,则 ,,,,,,,,,,652431222,,,,,,123AAAA,，，; ，1232AAAE，，,; ，12323AA,i,1,2,3,; ，，，ii40,AAij,,,0为零矩阵. ，，，ij通过一个具体的可对角化矩阵，鲜明地反映了上述性质是成立的.2.3 矩阵的对角化2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法VV数域P上维线性空间的一个线性变换判定其是否在中能找到一组基n使它在此基下的矩阵为对角形矩阵; 当这种基存在时, 如何去寻求它是线性代数学上一个十分重要的问题，利用矩阵的初等变换法解决此问题.,1TAT若矩阵在数域上可对角化，则有上可逆矩阵使=为对角阵.APPBT5临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计) 于是的主对角线上的元素即为的全体特征值，并且可表示为，BATQQQ,…12s,1,,,111i,1,2,…，s其中为初等矩阵，，于是，,又也BQQQAQQQ,……QQis1112sS,,1是初等矩阵，由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系，即知相当于对施AQAQ11行了一次初等行变换和一次初等列变换，将此种变换称为对施行了一次相似变A注:为单位矩阵E换.又由，可进行如下初等变换，则可将化A TEQQQ,…，，12S 为对角矩阵，且可求得: BTAB,,,,对施行一系列相似变换A,对只施行其中的初等列变换. E,,,,,,,,,,,,ET,,,,当不可对角化时，也可经相似变换化简后，求得其特征值，判定它可否对角AA 化.-1,,,111T类似地，可有=，做如下的初等变换则可将化为对角形矩阵AQQQE…s11s,，且可求得或由求的特征值，判定可否对角化: BBAAT对施行一系列相似变换A,1AEBT,,,,,,,,,对对只施行其中的初等行变换. E，，，，并且在施行相似变换时，不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行，可施行若干次行(或列)变换后再施行若干次相应的列(或行)变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与相似即可. Ajk为叙述简便，这里用表示第行，表示第列，表示用数乘第行iicrkr，riiji jk后加到第行上，表示用数乘第列后加到第列上. iickc，ij注意到初等矩阵的逆矩阵,,11,1,1PijPijPikPijkPijkPijk,,,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,1A故用左乘A，相当于对施行了变换，右乘A，相当于对A施rkr,Pijk,，，，，ji行了变换. ckc,ji例 2.3.1 求如下矩阵的特征值,并判定它们可否对角化,若可,则将其对角化: 1111,,511,,,,,1111,,,,,,21602，，，，，,,,,1111,,,,,311,,,,1111,,,,;511,411,,,,,,,,,rr，cc,31131CC解由=,知与相似.A,,,,602,,,,402A，，,,,, ,,,,,311002,,,,C2,2,2,2EC,C易知，的特征值为的秩为，所以不可对角化，从而知的特2A6临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)2,2,2,征值为且不可对角化. A11111111,2111,,,,,,,,,,,,1111,,22000200,,,,,,,,,,,,1111,,20200020,,,,,,1111,,20020002rri，,,2,3,4cci,,,2,3,4,,,,,,i11i,,,,,,,,,,,2由，，,,,,,,100010001000,,,,,,01000100,1100,,,,,,,,,,,,00100010,1010,,,,,,,,,,,,00010001,1001,,,,,,，,2000,,111,,,2,,,,0200222,,,,,,00200200,,,,,,00020020,,1,,,2,3,4rri, ,,,1i，知可对角化，的BB111400021,,,,,,,,1,,cci，,,2,3,4ii4444,,,,,,,,,,1000,,311,,,,,1,,,,,11 00444,,,,131,1010,,,,,,,1,,,,444,1001,,,,113,,,,,1,,,,444 111,,1,,444,2,,,,,,311,,2,1,,,1,,,2,2,2,2。

矩阵对角化与相似矩阵矩阵对角化与相似矩阵是线性代数中的重要概念和技术，它们在矩阵理论、线性变换、特征值等领域中发挥着重要作用。

本文将探讨矩阵对角化和相似矩阵的定义、性质、计算方法和应用。

一、矩阵对角化1.1 定义对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，则称矩阵A可对角化。

可对角化的矩阵具有一些重要性质，比如方幂计算、行列式计算、特征值计算等都变得更加简单。

1.2 判定条件一个矩阵A是否可对角化，有以下等价条件：(1) 矩阵A有n个线性无关的特征向量。

(2) 矩阵A的n个特征向量构成的特征向量矩阵P是可逆的。

(3) 矩阵A的n个特征值都是互异的。

1.3 对角化的方法计算矩阵的对角化可以通过以下步骤进行：(1) 求解特征值：解方程|A-λI|=0，其中λ是矩阵A的特征值。

(2) 求解特征向量：对于每一个特征值λ，解方程(A-λI)X=0，得到特征向量X。

(3) 构造可逆矩阵P：将每一个特征向量按列构成矩阵P。

(4) 计算对角矩阵D：计算D=P^-1AP。

1.4 应用矩阵对角化在许多领域有广泛的应用。

例如，在线性变换中，对角化可以简化基变换和坐标变换的计算。

在优化问题中，对角化可以对矩阵进行简化从而提高计算效率。

此外，对角化还可以帮助分析线性系统的稳定性和动态特性。

二、相似矩阵2.1 定义对于两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则称矩阵A和B相似。

相似矩阵具有一些重要性质，比如特征值相等、迹相等、行列式相等等。

2.2 性质相似关系具有以下性质：(1) 自反性：任何矩阵都与自身相似。

(2) 对称性：如果矩阵A与B相似，则矩阵B与A相似。

(3) 传递性：如果矩阵A与B相似，矩阵B与C相似，则矩阵A与C相似。

2.3 相似矩阵的应用相似矩阵在许多领域中被广泛应用。

例如，在谱分解中，矩阵的对角化就是找到与其相似的对角阵。

在网络分析中，相似矩阵可以用来表示节点之间的相似度关系。

矩阵的对角化的应用摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。

对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。

本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幕、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、向量空间、线性变换等方面的应用•关键词：对角化；特征值；特征向量；相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似\ 0 »0 - 0定义1:如下形式的nXn矩阵A = 1° 0…入J称为对角矩阵简记为AL 1. X=diag（一，◎,，一）定义2:把矩阵A （或线性变换T ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幕的乘积，所有这些一次因式方幕（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换T ）的初等因子。

定义3:设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f（x）使得f（x）=O，则称f（x）以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。

定义4:设V是P上的线性空间，°是V上的一个变换，如果对任意①卩£ V和上€ P都有点咽丽心阶㈣ 5何，则称。

为V的一个线性变换定义5:设0是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数A 和V中非零元素CL使得加，则称玄为0的一个特征值，而称亿为0的属于特征值k的一个特征向量，由0的属于特征值2的全部特征向量再添上零元素构成的集合叫一匕|。

何一丄观创构成V的一个子空间，称为0的一个特征子空间。

定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B二X "AX,则称A相似于B,记为M' B,并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。

学院2016届本科毕业论文(设计) 矩阵的对角化及其应用学生：学号：专业：数学与应用数学指导老师：答辩时间：2016.5.22 装订时间：2016.5.25A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University forNationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016 Diagonalization of the Matrix and its ApplicationsStudent Name Student No.:Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor:Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式AbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutory matrix，the eigenvaule，the feature vector，minimalpolynomial目录摘要 (I)Abstract (II)绪言 (1)课题背景 (1)目的和意义 (1)国外概况 (1)预备知识 (2)相关概念 (2)矩阵的对角化 (4)特殊矩阵的对角化 (14)矩阵对角化的应用 (22)总结 (24)致谢 (25)参考文献 (26)独创声明 (28)1 绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1 课题背景在由大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版的《高等代数》一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的. 在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2 课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1) 研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3 国外概况实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破. 实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中. 矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善.2 预备知识给出本文容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解. 定义1 常以n m P ⨯表示数域P 上n m ⨯矩阵的全体，用E 表示单位矩阵.定义2 n 阶方阵A 与B 是相似的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异的方阵矩阵T n n P ⨯∈，使得AT T B 1-=或者BT T A 1-=.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：AE E A 1-=； ②对称性：若A 相似于B ，则B 相似于A ； ③传递性：如果A 相似于B ，B 相似于C ，那么A 相似于C .定义3 n 阶方阵A 与B 是合同的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异方阵T n n P ⨯∈，使得B =T T AT 或者BT T A T =.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A =AE E T ；②对称性：由AT T B T =即有11)(--=BT T A T ；③传递性：由111AT T A T=和2122T A T A T =有)()(21212T T A T T A T =.定义4 式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯m b b b 000000021 的m 阶方阵叫对角矩阵，这里i b 是数（),2,1m i ⋯⋯=.定义5 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A 1-=，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可相似对角化.定义6 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A T =，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i 行(列)于j 行(列)； ⑵用非零数c P ∈乘以矩阵第i 行(列)；⑶把矩阵第j 行的t 倍加到第i 行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得),(j i P 且),(),(1j i P j i P =-；②单位矩阵经过初等变换⑵得))((t i P 且)/1(())((1t i P t i P =-；③单位矩阵经过初等变换⑶得))(,(t j i P 且))(,())(,(1t j i P t j i P -=-.定义9 设方阵n n P B ⨯∈，若E B =2，就称B 为对合矩阵.定义10 设方阵n n P A ⨯∈，若A A m =，就称A 为幂幺矩阵.定义 11 设方阵C n n P ⨯∈，若C C =2，就称C 为幂等矩阵.定义 12 设方阵n n P A ⨯∈，P ∈λ，若存在向量，满足X Al λ=，我们就称λ是A 的特征值，X 是A 属于特征值λ的特征向量.定义13 n n P A ⨯∈，定义)(λA m 为矩阵A 的最小多项式 ，)(λA m 的一个根为A 而且比其他以A 为根的多项式的次数都低，)(λA m 首项系数是1.3 矩阵的对角化本章介绍数域P 上n 阶方阵阵的对角化问题.先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1 如果1μ，…，k μ是矩阵Q 的不同的特征值，而,1i α…，i ir α是属于特征值i λ的线性无关的特征向量，2,1=i …,k ，那么,11α…,11r α，…,1k α，…，kkr α也线性无关.证明：假设++12121111ααt t …++1111r r t α…++11k k t α…k k kr kr t α+=0，P t ij ∈，令+11i i t α…+i i i i k k t α=i η，则i i i Q ηλη=（2,1=i ...k ,）， 且 ++21ηη...k η+=0 (1)分别用,,,2Q Q E …1,-k Q 左乘以（1）两端，再由引理4得：i i i m Q ηλη=，（1...2,1-=k m ;t i ,...,1=),由此有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++---.0......................................,0...,0...,0...12121112222121221121k k k k k k K k K k ηληληληληληληληληληηη 该线性方程组的系数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---11211211111k k k k k D λλλλλλ，D 为德蒙行列式，又由)...2,1(k i i =λ互异有0≠D . 根据克拉默法则就有0=i η，即+11i i t α…+i i i i k k t α=0，再由i ir i αα,...,1线性无关得：)...2,1(0...21k i t t t i i i i k ===== ，故k i kr ir r αααα...,...,,...,1111线性无关.推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1 Q n n P ⨯∈与对角阵相似⇔Q 有n 个特征向量，它们是线性无关的.证明：Q 可以对角化⇔存在可逆矩阵21,(T T T =，…，)n T 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n QT T λλλ00211 ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T QT λλλ0021⇒ ,,(21QT QT …),n QT =（,,21T T λλ…n T λ,).因此Q 可以对角化⇔存在i T （2,1=i …n ,）P ∈使得i i i T QT λ=，也即Q 有n 个线性无关的特征向量.根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵n n P Q ⨯∈有n 个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.证明：由Q 有n 个不同的特征值及引理1的推论有Q 有n 个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q 可以对角化. 注意：该推论为对角化的充分条件.定理2 t μμμ,...,,21（互不相同）是B n n P ⨯∈的特征值，),...,2,1(t i P i =∈μ， B 可对角化⇔n t B E r ti i)1()(1-=-∑=μ （r 表示矩阵的秩）.证明：0)(=-X B E i μ的基础解系的一组基向量的个数为：)(B E r n i --μ，我们可以得到关于i μ的线性无关的特征向量的个数是)(B E r n i --μ（),...,2,1t i =，再由引理1推出矩阵B 有))((1B E r n ti i --∑=μ个线性无关的特征向量.根据定理1就有：n 阶方阵B 可对角化⇔B 有n 个线性无关的特征向量 ⇔))((1B E r n ti i--∑=μ=n ，⇔n t B E r ti i)1()(1-=-∑=μ.定理3 n n P Q ⨯∈与对角矩阵相似的充要条件：)...,2,1(t i P i =∈λ且i i r Q E n =--)(λ (i r 表示i λ的代数重数).证明：设i λ的线性无关的特征向量为i ir i i βββ,...,,21，由引理1有：titr ir r βββββ,...,,...,,...,,111211线性无关.若n r r r t =+++...21，那么Q 就有n 个线性无关的特征向量⇔Q 可以对角化. 若Q 与对角矩阵相似，则Q 的属于不同特征值的特征向量总数一定为n . 否则根据定理1就可以推出t λλλ,...,,21线性相关，矛盾.相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算.下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.引理2 设n 阶方阵B A ,n n P ⨯∈，则有)()()(B r A r B A r +≤+.证明：先证)()(],[B rank A rank B A rank +≤……(2). 根据矩阵秩的定义有 ≤],[B A r n n 2⨯阶矩阵],[B A 的线性无关的行数≤方阵A 的线性无关的行数+方阵B 的线性无关的行数 ≤)()(B r A r +.对方阵矩阵=+A B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡E E A B ],[，由(2)式有],[)(B A r A B r ≤+，所以)()()(B r A r B A r +≤+.引理3 对于n 阶方阵D C ,有n B r A r AB r -+≥)()()(.证明：先证⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+D O T C r D O O C r D r C r )()(……（3），其中T 为任意n 阶方阵.显然当D C ,中有一个为O 时结论成立；另设q D r p C r ==)(,)(，则C 有p 阶子式01≠M ，D 有q 阶子式02≠M .于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛D O T C 有q p +阶子式0*2121≠=M M M OM , 因此)()(D r C r q p D O T C r +=+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.要证n B r A r AB r -+≥)()()(，只需证明：)()()(B r A r n AB r +≥+运用分块矩阵的初等变换有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A O E B O A B E AB A O E AB OO E n nnn， 有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有：)()()(B r A r A O E B r n AB r n +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+.另证：令p A r =)(，则存在可逆矩阵D C ,使得CAD =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O OO E p，若令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--p n E O O O C 11-D =H ,则)(H r p n -=以及A H +=11--D C . 又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此)(B r =r (B D C 11--) =)()(HB r AB r + ≤r(AB)+r(H) p n AB r -+≤)(.引理3的一般形式：（Syl 希尔维斯特不等式）设A ，B ，C n n P ⨯∈分别为t k k j j i ⨯⨯⨯,,矩阵，则)()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥. 证明：要证)()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥只需证明)()()()(BC r AB r B r ABC r +≥+, 因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛BC B O ABO E E O E C O E B O O ABC E O A E ， 也即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛BC B O AB B BC AB O B O AB ABC B O O ABC ， 再有定理(3)就得)()(BC rank AB rank BC B O ABrank B O O ABC rank +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 推论3设t B B B ,...,,21为数域P 上的n 阶方阵，则)...()1()(...)()(2121t t B B B r n t B r B r B r +-≤+++.定理4 设n 阶方阵Q n n P ⨯∈，21μμ≠，且0))((21=--Q E Q E μμ，则Q 可对角化.证明：由21μμ≠，0))((21=--Q E Q E μμ有矩阵Q 的特征值为1μ或2μ，根据引理2，引理3得：n Q E r Q E r =-+-)()(21μμ，从而Q 的特征向量(线性无关)共有n Q E r n Q E r n =--+--)()(21μμ个.由定理1即得矩阵Q 可对角化.定理4' 设n 阶方阵Q n n P ⨯∈,t μμμ,...,,21两两互不相等，若0))(())((121=--⋯---Q E Q E Q E Q E t t μμμμ则Q 与对角阵相似.证明：根据0))(())((121=--⋯---Q E Q E Q E Q E t t μμμμ有Q 的特征值在t μμμ,......,21中取得. 再由引理3的推论有n t Q E r Q E r Q E r t )1()(...)()(21-≤-++-+-μμμ,从而方阵Q 的线性无关的特征向量的个数为)(...)()(21Q E r n Q E r n Q E r n t --++--+--μμμ))(...)()((21Q E r Q E r Q E r tn t -++-+--=μμμn t tn )1(--≥n =.又因为n Q r ≤)(，故方阵Q 的线性无关的特征向量的个数为n ，由此矩阵Q 可对角化.推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：n t Q E r Q E r Q E r t )1()(...)()(21-=-++-+-μμμ.定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.定理5 设t μμμ,...,,21（互不相同）是n n P Q ⨯∈的的特征值，重数分别为t s s s ,...,,21且n s s s t =+++...21，Q 可对角化⇔0)(1=-∏=Q E ti iμ.证明：先证明必要性Q 与V =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T μμμ21相似，则存在非奇异矩阵T 满足 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-t t E E E T TVT Q μμμ221111-T ， 其中),...2,1(t i E i =为i s 阶单位矩阵，于是1)()(--=-T V E T Q E i i μμ=12211)()()(-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---T E E E T t t i i i μμμμμμ ， 从而有∏∏=-=-=-ti it i iTV E T Q E 111)()(μμ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∏∏∏i t t i iii i E E E T )()()(2211μμμμμμ1-T . 由于),...,2,1(0)(t j E ij j i ==-∏μμ，因此0)(=-∏Q E ii μ.再证充分性：对于n 阶矩阵Q ，存在可逆矩阵T ，使得1211--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==T J J J T TJT Q t， ),...,2,1(t i J i =是Jordan 块，若=j J j j E μ),...2,1(t j =，Q 就可以对角化，而1)()(--=-T J E T Q E i i μμ12211)()()(-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=T E J E J E J T t t i i i μμμ ， 12211)()()()(-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-∏∏∏∏T E J E J E J T Q E i t t i iii i ii μμμμ. 所以，若0)(=-Q E i μ，则因T 可逆有),...,2,1(0)(t j J E ij i i ==-∏μ，又因为当j i ≠时，(j i μμ≠0)≠，)(j j i J E -μ可逆，所以0)(=-j j j J E μ，即),...,2,1(t j J E j j j ==μ. 引理4 nn PX ⨯∈,1∂,2∂…...m ∂是X 的关于特征值λ的特征向量，我们有imi i k ∂∑=1（m i k i ,...,2,1,=不全为0，P k i ∈）也是X 的关于λ的特征向量.证明：已知i i X ∂=∂λ，则i i i i k X k ∂=∂λ，也即i i i i k Xk ∂=∂λ，因此i mi i i m i i k k X ∂=∂∑∑==11λ，又i k 不全为0，因此01≠∂∑=i m i i k ，由特征向量的定义有i mi i k ∂∑=1是矩阵X 的属于特征值λ得特征向量.定理6 t μμμ,...,,21(互不相同)是n 阶矩阵Q 的所有特征值，它们的代数重数依次是t s s s ,...,,21，则方阵Q 与对角矩阵相似⇔),...,2,1()(t j s A r j j ==,∏≠-=ji i j Q E A )(μ.证明：先证必要性.Q 可对角化⇒存在可逆矩阵T 使得121),...,,(-=T Tdiag Q t μμμ，从而)(Q E A ji i j -=∏≠μ12211)()()(-≠≠≠⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∏∏∏T E E E T j i t t i ji ij i i μμμμμμ11)(-≠⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∏T O E O T t ji jj iμμ， 其中j O 为j s 阶0矩阵，j E 为j s 阶单位矩阵（),...,2,1(t j =. 因T 可逆，且j i μμ≠，所以有j j j j ji i j s E r E r A r ==-=∏≠)())(()(μμ),...,2,1(t j =.再证充分性：用反证法.假设方阵Q 不与对角矩阵相似，由几何重数≤代数重数得：至少存在一个整数q ，使得q q s n Q E r ->-)(μ，于是当q j ≠时，由引理3有∑∏≠≠---≥-=ji i ji i j n t Q E r Q E r s )2()())((μμ∑≠--->ji j n t s n )2()(∑≠----=ji i s n t n t )2()1(j j s s n n =--=)(.矛盾，假设不成立，故Q 与对角矩阵相似.定理7 t μμμ,...,,21(互不相同)是n 级方阵Q n n P ⨯∈的所有特征根，若对任意m +∈Z 满足)()(Q E r Q E r i m i -=-μμ,则矩阵Q 与对角矩阵相似.证明：设t μμμ,...,,21的重数分别为t s s s ,...,,21，由Hamilton Cayley -定理(高等代数第三版，高等教育)得：O Q E Q E Q E t s t s s =---)...()()(2121μμμ，再有引理3的推论就有t s t s s Q E r Q E r Q E r )(...)()(2121-++-+-μμμ))...()(()1(11t s t s Q E Q E r n t --+-≤μμn t )1(-=.对任意正整数m ，有)()(Q E r Q E r i m i -=-μμ，因此n t Q E r Q E r Q E r t )1()(...)()(21-≤-++-+-μμμ.从而有方阵Q 的线性无关的特征向量的个数为)(...)()(21Q E r n Q E r n Q E r n t --++--+--μμμ )](...)()([21Q E r Q E r Q E r tn t -+-+--=μμμn n t tn =--≥)1(.又n Q r ≤)(，从而Q 的线性无关的特征向量的个数小于或等于n ，因此Q 共有n 个线性无关的特征向量，再根据定理1就有矩阵Q 与对角矩阵相似. 接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.定理8 n 阶方阵Q 与对角矩阵相似⇔矩阵Q 的最小多项式)(μQ m 无重根. 证明：先证必要性.Q 和对角阵相似⇒存在非奇异矩阵n n P T ⨯∈，满足1211--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==T T TVT Q n μμμ，从而有m m V T Q T =-1，令t μμμ,...,,21)(n t ≤是方阵Q 的互不相同的特征值,记))...()(()(21t f μμμμμμμ---= =t t t t s s s ++++--μμμ111.... 因为 T E s Q s Q s Q T T Q f T t t t t )...()(11111++++=----ET T s QT T s T Q T s T Q T t t t t 1111111...------++++==E s V s V s V t t t t ++++--111...)(V f =.又 E s V s V s V V f t t t t ++++=--111...)(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---t tt t n t t t n t t s s s s s s (111)2111121μμμμμμ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=---k t n t n kt t kt t s s s s s s (1)112121111μμμμμμ 0)()()(21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n f f f μμμ. 所以0)(=Q f ，于是)()(μμf m Q ，然而)(μf 无重根，故)(μQ m 无重根.再证充分性：)(μQ m 的互不相同的根是t μμμ,...,,21，由)(μQ m 无重根就有：)(μQ m ))()...()((121t t μμμμμμμμ----=-，于是0))...()(()(21=---=Q E Q E Q E Q m t Q μμμ.令i i q Q E r =-)(μ，则i μ的特征子空间的维数为i q n -，因此Q 总共有s q n q n q n t =-++-+-)(...)()(21个线性无关的特征向量，且n s ≤. 又因为n t q q q t )1(...21-≤+++，故n q n q n q n s t ≥-++-+-=)(...)()(21.从而n s =，也即矩阵Q 有n 个线性无关的特征向量，由定理1就得Q 可以对角化.4某些特殊矩阵的对角化4.1 实对称矩阵的对角化问题实对称矩阵这种矩阵很特别，在诸多方面的到运用，如常用来研究对称变换，对线性变换进行分类.而研究对称矩阵的对角化，是进行分类的初步.引理5 ]每一个n 阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似，并且上三角矩阵主对角线上的元素为复矩阵的特征值.对任意n n C A ⨯∈，可逆矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλλ211*，其中n λλλ,...,,21是矩阵A 的特征值. 引理6 实对称矩阵的特征值为实数.证明：设0λ实对称矩阵A 的一个特征值，则存在非零向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 21η，满足 ηλη0=A . 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 21η，i x 称为i x 的共轭复数),...2,1(n i =，则ηλη0=A .观察下面式子ηηηηηηηη)()()('='=''='A A A A ，上式左边等于ηηλ'0，右边等于ηηλ'0， 故ηηλ'0=,0ηηλ'又0...11≠++='n n x x x x ηη，故00λλ=，即0λ是一个实数.引理7 设N M ,为n n ⨯实方阵，我们有如下结论：N M ,在实数域上相似⇔N M ,在复数域C 上相似.证明：必要性显然，下面证明充分性.N M ,在复数域上相似⇒∃n 级可逆复矩阵，使得NP P M 1-=.令iD A P +=，n n R D A ⨯∈, ，则ND DM NA AM iD A N M iD A ==⇒+=+,)()(.所以对任意λ属于R 都有)()(D A N D A λλ+=+ (4)记D A x h λ+=)((实数系多项式)，因为0)(≠=+=P iD A i h ，所以0)(≠x h . 因此，D A λ+有有限个实数根，则存在η属于R ，使得0≠+D A η. 由(4)式得)()(1D A N D A M ηη++=-, 也即N M ,在实数域上相似. 定理9 ⑴n 级实对称矩阵A 的特称根全是实数⇔存在正交矩阵T ，满足D AT T AT T ='=-1，D 是上三角矩阵.⑵A 正交且特征值全是实数⇒A 是对称矩阵.证明：先证明必要性，根据引理5有，存在可逆矩阵P ，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AP P λλλ211*. 再根据引理7，矩阵如果在复数域上相似则一定在实数域上相似，因此可以令P QT =为实矩阵，Q 乃正交矩阵，T 是上三角矩阵且主对角上元素全是实数，于是就有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==---n T AP P T AQ Q λλλ21111*)( 由T 是上三角矩阵知他的逆1-T 也是上三角矩阵，再由上三角矩阵之积仍然是上三角矩阵知AQ Q 1-为上三角矩阵.再证充分性：A 为n 阶实矩阵，且存在正交矩阵Q 使得AQ Q AQ Q '=-1为上三角矩阵，即AQ Q AQ Q n '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-λλλ211*， 由此易知n λλλ,...,,21为实数且为A 的特征根.⑵由⑴容易得到AQ Q AQ Q '=-1D =为上三角矩阵(Q 是正交矩阵)，又正交矩阵的积为正交矩阵，从而D 为正交矩阵. 因而1-='D D ，但是1-D 是上三角矩阵，而D '为下三角矩阵，故D 必为对角矩阵.从而A Q QD Q D Q Q QD A ='=''=''=')(，也即A 为对称矩阵.引理8 设A 是对称变换，1V 是-A 子空间，则1V 的正交补也是-A 子空间. 定理10 对任意n 级实对称矩阵A ，存在n 阶正交矩阵T ，使得AT T AT T 1-='为对角矩阵.证明定义A 是与A 对应的对称变换，只要证A 有一组标准正交基（n 个向量组成）.下面用数学归纳法进行证明.当1=n 时结论明显成立.假设对1-n 结论成立. 对n 维欧氏向量空间n R ，1β为线性变换A 的一个特征向量，对应的特征值是1λ. 将1β单位化，并记为1α，再作1α的生成向量空间)(1αL 的正交补，记为1V ，由引理8有1V 是对称变换A 的不变子空间，他的维数为1-n ，显然A 限制在1V 上仍然是对称变换1V A ，根据假设1V A 有特征向量n ααα,...,,32做成1V 的标准正交基，从而n αα,...,1使n R 的标准正交基，又是A 的n 个特征向量.根据归纳假设定理得证. 例4.1 已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=0111101111011110A ， 求正交矩阵T 使得AT T 1-为对角矩阵.解：第一步，求矩阵A 的特征值. 由μμμμμ111111111111--------=-A Eμμμμμμμμ1111100101011102---------=110101111)1(3μμ----=)3()1(3+-=μμ 由此有1（3重），-3为A 的特征值.第二步，求特征值1对应的特征向量. 将1=μ带入下式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--.0,0,0,04321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x μμμμ （5） 得基础解系为)0,0,1,1(1=μ， )0,1,0,1(2=μ， )1,0,0,1(3-=μ..将基础解系正交化，得)0,0,1,1(1=β，)0,1,21,21(2-=β，)1,31,31,31(3-=β..再将上式单位化，有)0,0,21,21(1=η，)0,62,61,61(2-=η， )123,121,121,121(3-=η. .上式为属于特征值1（三重）的三个标准正交特征向量.同理可求得特征值-3的标准正交特征向量为)2/1,2/1,2/1,2/1(4--=η.特征向量4321,,,ηηηη构成4R 的一组标准交基，所求正交矩阵()4321,,,ηηηη''''=T ， 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31111AT T . 4.2幂等矩阵定理11幂等矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O OO E r相似. 证明：根据A A =2有，矩阵A 的最小多项式)(λA m 整除λλ-2. 因02=-λλ无重根，由引理5 就有)(λA m 无重根，再由定理8就得矩阵A 可对角化.4.3对合矩阵定理12对合矩阵A 可对角化. 证明：E A =2⇒)(λA m 12-λ，易知12-λ=0无重根，根据引理5得)(λA m 无重根，再根据定理8，A 能够对角化.4.4幂幺矩阵引理9 λ是矩阵X 的任一特征根λ⇔是X 的最小多项式的根. 证明：用反证法假设0λ是矩阵X 的特征根而不是其最小多项式)(λX m 的根，则有1))(,(0=-λλλX m ，故存在多项式)(),(λϕλφ，使得1)()())((0=+-λλϕλλλφX m ， 将X 带入上式有E X m X E X X X =+-)()())((0ϕλφ， 即有 E E X X =-))((0λφ.所以E X 0λ-可逆（即00≠-E X λ），与0λ是矩阵X 的特征根矛盾. 故假设不成立，定理得证.定理13幂幺矩阵A 与对角矩阵相似.证明：因为E A m =，所以矩阵A 的最小多项式)(λA m 整除1-m λ（m 为正整数），而1-m λ无重根，根据引理9就得)(λA m 无重根，再由定理8即得矩阵A 与对角矩阵相似.注意：幂幺矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21相似，其中),...,2,1(1n i mi ==λ. 4.5矩阵的逆、伴随矩阵的对角化定理14n n P A ⨯∈能够对角化⇒*1,A A -可对角化. 证明：(I)根据题设条件，存在非奇异矩阵T 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AT T μμμ211 由矩阵T 可逆就有),...,2,1(0n i i =≠μ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----1121111n T A T μμμ , 从而1-A 与对角矩阵相似. (II)由1*-=A A A 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---22111*1///μμμA A A T A T A T A T从而*A 也与对角矩阵相似.4.6某些正交矩阵的对角化 4.6.1二阶正交矩阵的对角化问题设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211b b b b A 是正交矩阵，根据正交矩阵的性质就有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+01122211211222212221211b b b b b b b b ， 从而二阶正交矩阵A 有两种形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααααcos sin sin cos A 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααcos sin sin cos A . 定理15若⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααcos sin sin cos A ，则矩阵A 与对角矩阵相似.证明：A 的特征多项式为μαμαμαμαμ-----=-cos sin sin cos E A1cos 22+-=αμμ由0=-E A μ得矩阵A 的特征值为1cos cos ,1cos cos 2221--=-+=ααμααμ.当01cos 2≠-α时，容易得到21μμ≠，故正交矩阵A 有两个不同的特征值，容易看出此时正交矩阵A 有两个线性无关的特征向量，由定理1即有正交矩阵A 可对角化.当01cos 2=-α，即1cos ±=α时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001，此时正交矩阵A 显然与对角矩阵相似.定理16若 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααcos sin sin cos A ，那么A 与对角矩阵相似. 该定理的证明与定理⑴类似，在此不做赘述.4.6.2几类三阶正交矩阵的对角化定理17正交矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33322322110000b b b b b A 可对角化.证明：由A 是正交矩阵可得，111±=a .当111=b 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001A ， )1cos 2)(1(cos sin 0sin cos 0012+--=----=-θλλλλθθθλθλλA E . i)当01cos 2≠-θ时，矩阵A 有三个不同的特征值，分别为1cos cos 21--=θθλ，1cos cos 22++=θθλ，13=λ.。

毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵对角化的研究一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）（一）写作目的矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个基本问题.通过此次写作希望能比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识，深入理解其基本内容，领会其思想方法，并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外，还要在原有的基础上，得到一些有意义的结果，争取在某些方面有所创新.（二）有关概念首先，我们给出文中常用的符号如下[1]：(i)C 表示实数域；(ii)m n C ⨯表示实数域上的m n ⨯阶矩阵的集合；(iii)()n M C 表示n 阶复矩阵的集合；(iv)n n R ⨯表示n n ⨯实矩阵集合；(v)()n M R 表示n 阶实矩阵的集合；(vi)n E 表示n n ⨯阶的单位矩阵；(vii)det A 表示矩阵A 的行列式；(viii)()1122,,,nn diag a a a L 表示主对角线上为元素1122,,,nn a a a L 的对角矩阵；定义1[2]： 对角线以外的元都等于0，即当i j ≠时有(),0A i j =的方阵称为对角矩阵.记为()1122,,,nn diag a a a L .如：()112211220000,,,00nn nn a a diag a a a def a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M O M L特别地，()1,1,,1diag L 称为单位矩阵，简称单位阵，记n E .定义2[3]： 若n 阶矩阵A 与对角矩阵相似，则称A 可对角化，也称A 是单纯矩阵.（三）综述范围若一个n 阶矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化.求解矩阵对角化先得确定矩阵是否符合可对角化的条件，所以在文献[4-5]具体介绍了矩阵可对角化的条件，根据这些条件求一般矩阵以及一些特殊矩阵的对角化，在文献[6-8]中比较详细的介绍了他们的定理及证明方法.通常，矩阵可对角化问题与特征值密切相关，除此之外我们还可以通过可逆矩阵求解矩阵的对角阵.通过求矩阵可对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案[9].本文结合矩阵的基本知识原理，对矩阵对角化的各种常用求法进行梳理、归纳，并举例进行说明.（四）主要的问题矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化.如何用最简便的方法解决不同矩阵（如对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵）的对角化问题.二、主体部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）（一）历史背景矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书《九章算术》（成书于公元1世纪，作者不详）中，就有一个线性方程组的例子：323923342326x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩为了使用加减消去法解方程，古人把系数排成如下图所示的方形：=≡≡古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”，其意思与矩阵相仿.在西方，矩阵这个词是1850年由西尔维斯特（James Joseph Sylvester,1814-1897,英国人）提出的.用矩阵来称呼由线性方程组的系数所排列起来的长方形表，与我国“方程”一词的意思是一致.（二）现状和发展方向矩阵可对角化作为矩阵理论中的一个重要组成部分，目前已经有了丰富的研究成果，其中包括对实对称矩阵的对角化、幂等矩阵的对角化、对合矩阵的对角化、四元数矩阵的对角化的研究.主要成果有：刁成海[10]把判断矩阵是否可对角化与求它的特征向量联系起来，同时给出一个不用线性方程组即可求得可对角化矩阵特征向量的方法．王新民，孙霞，张景晓[11]给出了解决矩阵对角化问题的一个简便方法，即对特征矩阵E A λ-施行初等变换．应用这个方法，可同时求出A 的特征根及特征向量，判断A 是否可对角化，在A 可对角化时，可直接写出相应的可逆矩阵P ，使1P AP -为对角形矩阵．付立志,杨庆玺[12]对于对称矩阵对角化的正交变换模型进行了可行性研究，给出了相关定理的证明，以及模型法的操作原则、步骤和应用举例，使对称矩阵对角化的正交变换凸现了程序化简捷化的特点，从而回避了常规解法中求特征值要解高次方程，求特征向量要解线性方程组的繁琐过程．夏银红，赵文菊[13]在给出了次转置矩阵逆矩阵的性质的基础上，根据矩阵对角化理论，给出并证明了次转置矩阵可对角化的条件.陈惠汝[14]讨论两个矩阵可同时合同对角化、同时相似对角化的充分或充要条件，由此进一步推出了多个矩阵同时对角化的条件，并给出两个矩阵同时合同对角化和同时相似对角化的算法．姜同松, 魏木生[15] 通过引入友向量的方法，进一步研究了四元数矩阵的对角化问题，构造性地给出了四元数矩阵对角化的实用算法.岳嵘[16] 利用矩阵的对角化的方法，对两类具有特殊性质的数列的通项公式．丘维声[17]给出了特征不等于2的域F 上两个It 级对称矩阵一齐合同对角化的充分必要条件；证明了秩为1的两个2级对称矩阵一定可以一齐合同对角化.金佑来[18] 指出特征值出现重根的情形下，需用Schmidt 正交方法求正交特征向量，计算较为繁难．他给出另一种解法，即利用向量内积构造齐次线性方程组，求出每个特征值对应的特征向量，从而求出正交矩阵P .张伟涛，刘宁，楼顺天[19]针对避免奇异解的联合对角化算法计算量大的问题，提出两种改进的高效算法．在第一种改进算法中，将对角化矩阵行列武按当前更新的列展开,从而避免了计算行列式过程中的矩阵求逆．另一种改进算法将列交换后的对角化矩阵进行QR 分解，由分解得到的上三角矩阵计算对角化矩阵的行列式．由于两种改进算法减少了一次矩阵求逆，因此降低了原算法的计算量．仿真结果表明，当目标矩阵个数和维数较大时，两种改进算法的计算量分别为原算法的18．9％和13．5％．其中关于外文文献的引用参见文献[8]和文献[19] .(三) 研究内容1.矩阵A 是否可对角化,可按下列思路进行：思路1:计算出A 的特征值,如果A 得所有特征值两两互异,则A 可对角化(充分条件).如果A 的特征方程有重根；在计算对应每个特征值的特征向置，如果有n 个线性无关的特征向量，则A 可对角化(充要条件).思路2:不计算矩阵A 的特征向量，只需计算A 的特征值两两互异，则可A 对角化.思路3:计算矩阵A 的特征值，不计算A 的特征向量，只需计算特征矩阵E A λ-的秩，如果对于每个i K 重特征值i λ的特征矩阵i E A λ-的秩等于i n K -.即秩()i i E A n K λ-=-，则方阵A 可对角化，否则A 不可对角化.思路4:不计算矩阵A 的特征值和特征向量.只需证明存在可逆矩阵P 和对角矩阵B 使得1P AP B -=,则A 与B 相似，即A 可对角化.对于矩阵分解一般采用思路1，思路2和思路3的方法.2．矩阵可对角化的几个定理及引理归纳如下定理1[2] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量；定理2[10] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是特征子空间维数之和为n ；定理3[10] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 的初等因子是一次的；定理4[10] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式()A m λ无重根引理1[12] 可逆矩阵一定可化为一系列初等矩阵之积；引理2[13] 对称矩阵一定可对角化；引理3[13] 设,A B 都是n 阶矩阵，则()()()AB A B n ≥+-秩秩秩定理5[13] 设A 是实数域F 上的—个n 阶矩阵，A 的特征根全在F 内，若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根，其重数分别为12,,,k r r r L ，那么(1)可对角化的充要条件是秩()1,2,,i j i j E A r j k λ=⎛⎫-== ⎪⎝⎭∏L (2)当(1)式成立时．()ii j E A λ≠-∏的列空问就是A 的属于特征根i λ的特征子空间.推论1：设A 为实数域上F 的n 阶矩阵，A 的特征根全为F 内．且12,λλ是A 的全部不同的特征根，其维数分别为12,r r ，若秩12()E A r λ-=，秩21()E A r λ-=.，则A 可以对角化．且1E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于2λ的极大线性无关的特征向量组，2E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于1λ的极大无关的特征向量组.上述定理把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的同题联系起来，给出了一个不用线性方程而求得可对角化矩阵的特征向量的方莹.在矩阵的不同特征根较少时，这个方法较方便.定理 6 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根.作多项式()()()()12k g λλλλλλλ=---L ,则A 上可以对角化的充要条件是()()10ki i g A A I λ==-=∏定理9 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根.如果()()()120k A I A I A I λλλ---=L ,- 则A 属于i λ的特征子空间i V λ就是()1ki j j i A I λ=≠-∏的列向量空间i W . 定理7 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根，如果对每个()1,2,,i i k =L 都有(),i i i i W W V W λλ=的意义同定理那么()10kj j A I λ=-=∏,.从上述几个定理可以看出，矩阵可对角化的判定以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归结为矩阵的乘法运算.3.下面我们就实对称矩阵与等幂矩阵的对角化作写简要叙述就矩阵A 的对角化问题我们可通过正交矩阵P 实现。