【精品】2018年全国高考数学试题及解答分类★★★★★(14 算法初步、框图)

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保持平常心，顺其自然2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】分析：根据交集定义求结果.详解：由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2. 若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.5. 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l 交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN 所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S 点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，当n≥2时，S n=2a n﹣1+1，②，﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试全1文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2018·全国Ⅰ卷,文1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于( A )(A){0,2} (B){1,2}(C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.(2018·全国Ⅰ卷,文2)设z=+2i,则|z|等于( C )(A)0 (B)(C)1 (D)解析:因为z=+2i=+2i=+2i=i,所以|z|=1.故选C.3.(2018·全国Ⅰ卷,文3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( A )(A)新农村建设后,种植收入减少(B)新农村建设后,其他收入增加了一倍以上(C)新农村建设后,养殖收入增加了一倍(D)新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析:设新农村建设前,农村的经济收入为a,则新农村建设后,农村的经济收入为2a.新农村建设前后,各项收入的对比如下表:新农村建设前新农村建设后新农村建设结论后变化情况种植收入60%a 37%×2a=74%a 增加A错其他收入4%a 5%×2a=10%a 增加一倍以上B对养殖收入30%a 30%×2a=60%a 增加了一倍C对养殖收入+第三产业收入(30%+6%)a=36%a(30%+28%)×2a=116%a超过经济收入2a的一半D对故选A.4.(2018·全国Ⅰ卷,文4)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( C )(A)(B)(C)(D)解析:因为a2=4+22=8,所以a=2,所以e===.故选C.5.(2018·全国Ⅰ卷,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O 1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( B )(A)12π(B)12π(C)8π(D)10π解析:设圆柱的轴截面的边长为x,则由x2=8,得x=2,所以S圆柱表=2S底+S侧=2×π×()2+2π××2=12π.故选B.6.(2018·全国Ⅰ卷,文6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )(A)y=-2x (B)y=-x (C)y=2x (D)y=x解析:法一因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.7.(2018·全国Ⅰ卷,文7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则等于( A )(A)-(B)-(C)+(D)+解析:=+=-(+)+=-.故选A.8.(2018·全国Ⅰ卷,文8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B )(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.9.(2018·全国Ⅰ卷,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( B )(A)2(B)2(C)3 (D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N位于OP的四等分点)如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=×16=4,OM=2,所以MN===2.故选B.10.(2018·全国Ⅰ卷,文10)在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( C )(A)8 (B)6(C)8(D)8解析:如图,连接AC1,BC1,AC.因为AB⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角,所以∠AC1B=30°.又AB=BC=2,在Rt△ABC1中,AC1==4,在Rt△ACC1中,CC1===2,所以V长方体=AB·BC·CC1=2×2×2=8.故选C.11.(2018·全国Ⅰ卷,文11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|等于( B ) (A)(B)(C)(D)1解析:由cos 2α=,得cos2α-sin2α=,所以=,即=,所以tan α=±,即=±,所以|a-b|=.故选B.12.(2018·全国Ⅰ卷,文12)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是( D )(A)(-∞,-1] (B)(0,+∞)(C)(-1,0) (D)(-∞,0)解析:法一①当即x≤-1时,f(x+1)<f(2x)即为2-(x+1)<2-2x,即-(x+1)<-2x,解得x<1.因此不等式的解集为(-∞,-1].②当时,不等式组无解.③当即-1<x≤0时,f(x+1)<f(2x),即1<2-2x,解得x<0.因此不等式的解集为(-1,0).④当即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.综上,不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,0).故选D.法二当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(x+1)<f(2x),则需或所以x<0,即不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,0).故选D.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·全国Ⅰ卷,文13)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a= .解析:因为f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,所以1=log2(9+a),所以9+a=2,所以a=-7.答案:-714.(2018·全国Ⅰ卷,文14)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.由z=3x+2y得y=-x+.作直线l0:y=-x,平移直线l,当直线y=-x+过点(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+2×0=6.答案:615.(2018·全国Ⅰ卷,文15)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.所以圆心C(0,-1),半径r=2.圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==,所以|AB|=2=2=2.答案:216.(2018·全国Ⅰ卷,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.解析:因为bsin C+csin B=4asin Bsin C,所以由正弦定理得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C>0,所以sin A=.由余弦定理得cos A===>0,所以cos A=,bc==,所以S△ABC=bcsin A=××=.答案:三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(2018·全国Ⅰ卷,文17)(12分)已知数列{an }满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.解:(1)由条件可得=an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得=,即=2bn ,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.18.(2018·全国Ⅰ卷,文18)(12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q ABP的体积.(1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解:由已知可得DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=45°.如图,过点Q作QE⊥AC,垂足为E,则QE DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q ABP的体积为=×S△ABP×QE=××3×2sin 45°×1=1.19.(2018·全国Ⅰ卷,文19)(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数1 32 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 频数 1 5 13 10 16 5(1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解:(1)如图所示.(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m 3).20.(2018·全国Ⅰ卷,文20)(12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN.(1)解:当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM 的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线, 所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0), M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1>0,x 2>0. 由得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=,y 1y 2=-4. 直线BM,BN 的斜率之和为 k BM +k BN =+=.①将x 1=+2,x 2=+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)===0.所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.21.(2018·全国Ⅰ卷,文21)(12分)已知函数f(x)=ae x -ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a ≥时,f(x)≥0.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ae x-.由题设知,f′(2)=0,所以a=.从而f(x)=e x-ln x-1,f′(x)=e x-.当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)证明:当a≥时,f(x)≥-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-.当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥时,f(x)≥0.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(2018·全国Ⅰ卷,文22)[选修44:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l 1,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.23.(2018·全国Ⅰ卷,文23)[选修45:不等式选讲](10分) 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为{x|x>}.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,则|ax-1|<1的解集为{x|0<x<},所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].2018年普通高等学校招生全国统一考试全2文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2018·全国Ⅱ卷,文1)i(2+3i)等于( D )(A)3-2i (B)3+2i(C)-3-2i (D)-3+2i解析:i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.故选D.2.(2018·全国Ⅱ卷,文2)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B等于( C )(A){3} (B){5}(C){3,5} (D){1,2,3,4,5,7}解析:A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5}.故选C.3.(2018·全国Ⅱ卷,文3)函数f(x)=的图象大致为( B )解析:因为y=e x-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,所以f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.因为f(1)==e-,e>2,所以<,所以f(1)=e->1,排除C,D选项.故选B.4.(2018·全国Ⅱ卷,文4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.5.(2018·全国Ⅱ卷,文5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( D )(A)0.6 (B)0.5 (C)0.4 (D)0.3解析:设2名男同学为a,b,3名女同学为A,B,C,从中选出两人的情形有(a,b), (a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,而都是女同学的情形有(A,B),(A,C),(B,C),共3种,故所求概率为=0.3.故选D.6.(2018·全国Ⅱ卷,文6)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( A )(A)y=±x (B)y=±x(C)y=±x (D)y=±x解析:双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0.又因为离心率==,所以a2+b2=3a2.所以b=a(a>0,b>0).所以渐近线方程为ax±ay=0,即y=±x.故选A.7.(2018·全国Ⅱ卷,文7)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB等于( A )(A)4(B)(C)(D)2解析:因为cos =,所以cos C=2cos2-1=2×()2-1=-.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=52+12-2×5×1×(-)=32,所以AB==4.故选A.8.(2018·全国Ⅱ卷,文8)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( B )(A)i=i+1 (B)i=i+2 (C)i=i+3 (D)i=i+4解析:由题意可将S变形为S=(1++…+)-(++…+),则由S=N-T,得N=1++…+,T=++…+.据此,结合N=N+,T=T+易知在空白框中应填入i=i+2.故选B.9.(2018·全国Ⅱ卷,文9)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:如图,因为AB∥CD,所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中,设AB=2,则BE=,则tan∠EAB==,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.故选C.10.(2018·全国Ⅱ卷,文10)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( C )(A)(B)(C)(D)π解析:f(x)=cos x-sin x=cos(x+).当x∈[0,a]时,x+∈[,a+],所以结合题意可知,a+≤π,即a≤,故所求a的最大值是.故选C.11.(2018·全国Ⅱ卷,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( D )(A)1-(B)2-(C) (D)-1解析:由题设知∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|= c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a,所以(+1)c=2a,故椭圆C的离心率e===-1.故选D.12.(2018·全国Ⅱ卷,文12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于( C )(A)-50 (B)0 (C)2 (D)50解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(1-x)=-f(x-1).由f(1-x)=f(1+x),所以-f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)=0.又因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)=0,所以f(-2)=0.又f(1)=2,所以f(-1)=-2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2018·全国Ⅱ卷,文13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.=2,解析:因为y′=,y′|x=1所以切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.答案:y=2x-214.(2018·全国Ⅱ卷,文14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).目标函数z=x+y取得最大值⇔斜率为-1的平行直线x+y=z(z看作常数)的截距最大,由图可得直线x+y=z过点C时z 取得最大值.=5+4=9.由得点C(5,4),所以zmax答案:915.(2018·全国Ⅱ卷,文15)已知tan(α-)=,则tan α= .解析:tan (α-)=tan(α-)==,解得tan α=.答案:16.(2018·全国Ⅱ卷,文16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.=·SA2=8,解析:在Rt△SAB中,SA=SB,S△SAB解得SA=4.设圆锥的底面圆心为O,底面半径为r,高为h,在Rt△SAO中,∠SAO=30°,所以r=2,h=2,所以圆锥的体积为πr2·h=π×(2)2×2=8π.答案:8π三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(2018·全国Ⅱ卷,文17)(12分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn ,并求Sn的最小值.解:(1)设{an }的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an }的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.18.(2018·全国Ⅱ卷,文18)(12分)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2, …,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解:(1)利用模型①,可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下(写出一种,合理即可):(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.19.(2018·全国Ⅱ卷,文19)(12分)如图,在三棱锥P ABC中,AB=BC=2,PA=PB= PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.如图,连接OB.因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知,PO⊥平面ABC.(2)解:如图,作CH⊥OM,垂足为H,又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°.所以OM=,CH==.所以点C到平面POM的距离为.20.(2018·全国Ⅱ卷,文20)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2), 所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.21.(2018·全国Ⅱ卷,文21)(12分)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.(1)解:当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.令f′(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.(2)证明:因为x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6-<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(2018·全国Ⅱ卷,文22)[选修44:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+ 3cos 2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.23.(2018·全国Ⅱ卷,文23)[选修45:不等式选讲](10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).2018年普通高等学校招生全国统一考试全Ⅲ文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2018·全国Ⅲ卷,文1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B等于( C )(A){0} (B){1} (C){1,2} (D){0,1,2}解析:因为A={x|x-1≥0}={x|x≥1},所以A∩B={1,2}.故选C.2.(2018·全国Ⅲ卷,文2)(1+i)(2-i)等于( D )(A)-3-i (B)-3+i (C)3-i (D)3+i解析:(1+i)(2-i)=2+2i-i-i2=3+i.故选D.3.(2018·全国Ⅲ卷,文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( A )解析:由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.4.(2018·全国Ⅲ卷,文4)若sin α=,则cos 2α等于( B )(A)(B)(C)-(D)-解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.故选B.5.(2018·全国Ⅲ卷,文5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( B )(A)0.3 (B)0.4 (C)0.6 (D)0.7解析:由题意可知不用现金支付的概率为1-0.45-0.15=0.4.故选B.6.(2018·全国Ⅲ卷,文6)函数f(x)=的最小正周期为( C )(A)(B)(C)π (D)2π解析:由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.7.(2018·全国Ⅲ卷,文7)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( B )(A)y=ln(1-x) (B)y=ln(2-x)(C)y=ln(1+x) (D)y=ln(2+x)解析:函数y=f(x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=对称,令a=2可得与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是函数y=ln(2-x)的图象.故选B. 8.(2018·全国Ⅲ卷,文8)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( A )(A)[2,6] (B)[4,8](C)[,3] (D)[2,3]解析:由题意知圆心的坐标为(2,0),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==2,所以圆上的点到直线的最大距离是d+r=3,最小距离是d-r=.易知A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以2≤S≤6.即△ABP面积的取值范围△ABP是[2,6].故选A.9.(2018·全国Ⅲ卷,文9)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( D )解析:法一f′(x)=-4x3+2x,则f′(x)>0的解集为(-∞,-)∪(0,),f(x)单调递增;f′(x)<0的解集为(-,0)∪(,+∞),f(x)单调递减.故选D.法二当x=1时,y=2,所以排除A,B选项.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=>2,所以排除C选项.故选D.10.(2018·全国Ⅲ卷,文10)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )(A) (B)2 (C)(D)2解析:由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2.故选D.11.(2018·全国Ⅲ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为,则C等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:因为S=absin C===abcos C,所以sin C=cos C,即tan C=1.因为C∈(0,π),所以C=.故选C.12.(2018·全国Ⅲ卷,文12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D ABC体积的最大值为( B ) (A)12(B)18(C)24(D)54解析:由等边△ABC的面积为9可得AB2=9,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=AB=2.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d===2.所以三棱锥D ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D ABC体积的最大值为×9×6=18.故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2018·全国Ⅲ卷,文13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .解析:由题易得2a+b=(4,2),因为c ∥(2a+b),所以4λ=2,得λ=.答案:14.(2018·全国Ⅲ卷,文14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.解析:因为客户数量大,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以最合适的抽样方法是分层抽样.答案:分层抽样15.(2018·全国Ⅲ卷,文15)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是.解析:画出可行域如图所示阴影部分,由z=x+y得y=-3x+3z,作出直线y=-3x,并平移该直线,当直线y=-3x+3z过点A(2,3)时,目标函数z=x+y取得最大值,即=2+×3=3.zmax答案:316.(2018·全国Ⅲ卷,文16)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)= .解析:因为f(x)+f(-x)=ln(-x)+1+ln(+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2,所以f(a)+f(-a)=2,所以f(-a)=-2.答案:-2三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(2018·全国Ⅲ卷,文17)等比数列{an }中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn 为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.解:(1)设{an }的公比为q,由题设得an=q n-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an =(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an =(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an =2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.18.(2018·全国Ⅲ卷,文18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图,(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m 不超过m 第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=,.解:(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下(写出一种,合理即可):①由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.②由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.③由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高.④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.(2)由茎叶图知m==80.2×2列联表如下:超过m 不超过m 第一种生产方式15 5第二种生产方式 5 15(3)由于K2==10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.(2018·全国Ⅲ卷,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.20.(2018·全国Ⅲ卷,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:2||=||+||.证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0. 由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y 3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=, 从而P(1,-),||=. 于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.21.(2018·全国Ⅲ卷,文21)已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.(1)解:f′(x)=,f′(0)=2.因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+e x+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+e x+1,则g′(x)=2x+1+e x+1.当x<-1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>-1时,g′(x)>0,g(x)单调递增;所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(2018·全国Ⅲ卷,文22)[选修44:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=时,l与☉O交于两点.。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（ 14 算法初步、框图 ）一、选择题1．（2018北京文、理）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A ．12B ．56C ．76D ．7121．【答案】B【解析】初始化数值1k =，1s = 循环结果执行如下：第一次：()1111122s =+-⋅=，2k =，23k =≥不成立；第二次：()21151236s =+-⋅=，3k =，33k =≥成立，循环结束，输出56s =，故选B ．2 （2018天津文、理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4．【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20N =，2i =，0T =， 20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=， 此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=， 此时满足5i ≥；跳出循环，输出2T =．故选B ．3．（2018全国新课标Ⅱ文、理）为计算11111123499100S =-+-++-，设计了如图的程序框图， 则在空白框中应填入（ ）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+ 3．【答案】B【解析】由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减． 因此在空白框中应填入2i i =+，选B ．二、填空1．（2018江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ．1．【答案】8【解析】由伪代码可得3I =，2S =；5I =，4S =；7I =，8S =；因为76>，所以结束循环，输出8S =．三、解答题。

2018年高考数学理科试卷（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π，则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅，则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，ο120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==Nn n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC = BC 的长． B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科#网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i L ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序，排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． （1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2 10．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分． 解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈又因为，所以， 因此．因为，所以， 因此，．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y ==． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=AB ． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）与g （x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立， 即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 112(,)n n n a n d b -=-=1 12|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即， 即当时，d 满足．因为，则，从而，，对均成立． 因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）． ①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为． ②设，当x >0时，， 所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+L 2,3,,1n m =+L 1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m q q -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+L 2,3,,1n m =+L 12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+L 2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n n n q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C截得的弦长为． D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO u u u r u u u r u u u u r为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以1,2)2P -，从而11(,2)(0,2,22),BP AC ==-u u u r u u u u r ，故111|||cos ,|||||BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为．（2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ，因此3,0)2AQ =u u u r ，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==u u u ur u u u u r ． 设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u ur n n即30,2220.y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==u u u u ru u u u r u u u u r n n n ， 所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

2502018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CBABD ABDCA BA第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分）13．6 14．63- 15．16 16．2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，∴sin =5ADB ∠.由题设知，90ADB ∠<︒，∴cos ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅∠25825255=+-⨯⨯=.∴5BC =.18．（本小题满分12分） 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，∴BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ， ∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，∴PE.又PF =1，EF =2，∴PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==，且3(0,0,0),(0,0,1,,0)22H P D -，3(1,22DP =．3(0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3sin 4HP DP HP DPθ⋅==⋅. ∴DP 与平面ABFD所成角的正弦值为4． 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A的坐标为(1,)2或(1,2-． ∴AM 的方程为20x -=或20x --=．（2）当l 与x 轴重合时， 0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴OMA OMB ∠=∠．251当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--． 由1122,y kx k y kx k =-=-得 []()()12121223()422MA MB k x x x x k k x x -+++=--．将(1)(0)y k x k =-≠代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=． ∴22121222422=,2121k k x x x x k k -+=++，∴[]121223()4k x x x x -++3332441284021k k k k k k --++==+． 从而0MA MB k k +=，∴MA ，MB 的倾斜角互补， ∴OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠． 20．（本小题满分12分） 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()(1)f p C p p =-，且 21821720()[2(1)18(1)]f p C p p p p '=---217202(110)(1)C p p p =--．令()0f p '=，得0.1p =． 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>； 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． ∴()f p 的最大值点为0.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，202254025X Y Y =⨯+=+．∴(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，∴应该对余下的产品作检验． 21．（本小题满分12分）解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2,1a x ==时，()0f x '=， ∴()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x∈⎝⎭时，()0f x '>. ∴()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足21=0x a x -+，∴121x x =，不妨设12x x <，则21x >． 1212()()f x f x x x --121212ln ln 11x x a x x x x -=--+-1212ln ln 2x x a x x -=-+-2522222ln 21x ax x -=-+-，∴1212()()2f x f x a x x -<--等价于 22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)=0g ，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． ∴22212ln 0x x x -+<，即 1212()()2f x f x a x x -<--．（二）选考题：22. （本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]解:（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，解得43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+．23．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即2(1),()2(11),2(1).x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩∴不等式()1f x >的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时1ax -<1成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时1ax -≥1； 若a >0，1ax -<1的解集为20x a<<，∴21a≥，∴02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．2532018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 DABBA ABCCA CD第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．2y x = 14．9 15．12-16．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．∴{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．∴当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18．（本小题满分12分）解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为为(1)(0)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ∴ 216160k ∆=+>，212224=k x x k++． ∴AB AF BF =+212244(1)(+1)=k x x k +=++．由题设知2244=8k k+，解得k =–1（舍去），k =1．∴l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），∴AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005,(1)(1)16,2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）∵4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =254连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知OP OB ⊥． 由OP OB ⊥，OP AC ⊥知 OP ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O B A -，(0,2,0)C，(0,0,P ，(0,2,AP =．取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =． 设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面P AM 的法向量为(,,)x y z m =．由0,0,AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得,).y a x z a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取),,)a a -m =．所以cos OB <>=m,由已知得cos 2OB <>=m,．=． 解得4a =或4a=-（舍去）.∴4(,)333-m =．又∵(0,2,PC =-，∴3cos PC <>=m, ∴PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4． 21．（本小题满分12分）解：（1）当a =1时，()1f x ≥等价于2(1)10x x e -+-≤．设函数2()(1)1xg x x e-=+-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--． 当1x ≠时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，∴当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当a >0时，()(2)x h x ax x e -'=-．当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>．∴()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．∴2(2)14h ae -=-是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即214a e <，()h x 在255(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即214a e =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即214a e >，由于(0)1h =，∴()h x 在(0,2)内有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2x e x >，∴334221616(4)11()a a a a h a e e =-=-34161110(2)a a a>-=->．∴()h x 在(2,4)a 内有一个零点， ∴()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，214a e =．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为 (tan )2tan y x αα=+-． 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为x =1． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos t αα+++ sin )80t α-=．①∵曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，∴方程①有两个解12,t t ，且1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+． 由参数t 的几何意义得120t t +=．∴2cos sin 0αα+=，于是直线的斜率tan 2k α==-． 22．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当a =1时，24(1),()2(12),26(2).x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩当1x ≤-时，由()240f x x =+≥得2x ≥-，即21x -≤≤-；当12x -<≤时，()20f x =>； 当2x >时，由()260f x x =-+≥得 3x ≤，即23x <≤． 综上可得()0f x ≥的解集为[]2,3-． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥． 而22x a x a ++-≥+，且当x=2时等号成立．∴()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥． ∴a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．2562018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CDABC ADBCB CB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．1214．3- 15．3 16．2 （一）必考题：共60分. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．C解：∵{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}012B =，，， ∴ {}1,2AB =，∴选C ．2．D解：∵()()212223i i i i i i +-=-+-=+， ∴选D ． 3．A解：选A ． 4．B解：由已知条件，得2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴选B ．5．C解：由已知条件，得 251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =， x 4的系数为22552240rr C C ==， ∴选C ．6．A解：由已知条件，得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB == 圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=的距离为= ∴点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.∴选A ． 7．D解：令0x =，得2y =，∴A,B 不能选. 令321424()02y x x x x '=-+=-->，得2x <-或02x <<，即函数在0⎛ ⎝⎭内单调递增， ∴选D ． 8．B解：由已知条件知，X ～B (10,p )，且 10p (1－p )=2.4，解得p =0.6或p =0.4． 又由P （X=4）< P （X=6）得，即4466641010(1)(1)C p p C p p -<-，0.5p >，∴p =0.6． ∴选B ． 9．C解：由已知条件，得2222cos 44ABC a b c ab CS ∆+-==cos 1sin 22ab C ab C ==，即tan 1C =，∴4C π=．∴选C ． 10．B解：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为,,,A B C D 外接球的球心，E 为ABC ∆的重心，点F 为边BC 的中点.当点D 在EO 的延长上，即DE ⊥面ABC 时，三棱锥D ABC -体积取得最大值．V =，5分，．1=2，x，且196π．257258当366x πππ≤+≤时有1个零点，3,629x x πππ+==；当326x πππ<+≤时有1个零点，343,629x x πππ+==； 当192366x πππ<+≤时有1个零点，573=,629x x πππ+=． ∴零点个数为3，∴填3． 16．2解：由已知条件知，抛物线C 的焦点为(1,0)F ． 设22121212(,),(,)()44y yA yB y y y ≠，则由A ,F ,B 三点共线，得221221(1)(1)44y y y y -=-，∴12=4y y -． ∵∠AMB =90º，∴221212(1,1)(1,1)44y y MA MB y y ⋅=+-⋅+-，221212(1)(1)(1)(1)44y y y y =+++-⋅-2121(2)04y y =+-=， ∴12=2y y +．∴212221124244y y k y y y y -===+-，∴填2． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分） 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由534a a =，得2534a q a ==，解得2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112nn n S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+，∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍）， ∴6m =.18．（本小题满分12分） 解：（1）第一种生产方式的平均数为184X =，第二种生产方式平均数为274.7X =，∴12X X >，∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，即第二种生产方式的效率更高. （2）由茎叶图数据得到中位数80m =，∴列联表为（3）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()24015155510 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知条件知，在正方形ABCD 中，AD CD ⊥.∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，平面ABCD 半圆面CMD CD =， ∴AD ⊥半圆面CMD .∵CM 在平面CMD 内，∴AD CM ⊥，即CM AD ⊥.259OM (0,0,1)(0,-1,0)0)又∵M 是CD 上异于C ，D 的点， ∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =， ∴CM ⊥平面AMD ， ∵CM 在平面BMC 内，∴平面AMD ⊥平面（2）由条件知，2ABC S ∆=是常数， ∴当点M 到平面ABCD 的距离.最大，即点M 为弧CD 的中点时，三棱锥M – ABC 体积最大.如图，以CD 中点O 为原点，过点O 且平行于AD 的直线为x 轴，OC ，OM 所在直线为y ,Z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则由已知条件知，相关点的坐标为 A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1) ，且(0,2,0)AB =，(2,1,1)MA =--.由（1）知，平面MCD 的法向量为(1,0,0)=m .令平面MXB 的法向量为(,,)x y z =n ，则(,,)(0,2,0)=20,(,,)(2,1,1)20AB x y z y MA x y z x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅--=--=⎪⎩，n n 即0,2y z x ==， ∴取(1,0,2)=n.∴cos ,⋅<>==⋅m nm n m n ，∴sin ,5<>=m n ，即面MAB 与MCD 所成二面角的正弦值.为5.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为y kx t =+，则由22,143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(43)84120k x ktx t +++-=，①由22226416(43)(3)0k t k t ∆=-+->，得2243t k <+．②设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程①的两个根，且122843ktx x k -+=+，121226()243ty y k x x t k +=++=+． ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴1228243ktx x k -+==+，121226()2243ty y k x x t m k +=++==+． ∵0m >，∴0t >，0k <，且2434k t k+=-.③由②③得22243434k k k ⎛⎫+-<+ ⎪⎝⎭，解得12k >或12k <-.∵0k <，∴12k <-.（2）∵点()()10M m m >，是线段AB 的中点，且FP FA FB ++=0，∴2FP FM +=0，即2FP FM =-.④ 由已知条件知，()()10M m m >，，()10F ，.令(,)P x y ，则由④得：(1,)2(0,)x y m -=-，即1,2x y m ==-， ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得26034m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -.又222211221,14343x y x y +=+=， ∴两式相减，得2112211234y y x xx x y y -+=--+. 又12123=2,22x x y y m ++==，∴21122112314y y x xk x x y y -+==-=--+， 243744k t k +=-=，∴直线l 的方程为74y x =-+. 将71,4k t =-=代入方程①，得 2285610x x -+=，解得121,11414x x =-=+，1233414414y y =+=-.∴3(2FA x ==+， 32FP =,3(2FB x == ∴=2FA FB FP +，即,,FA FP FB 成等差数列，且该数列的公差28d =±． 另解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=， 两式相减，得2112211234y y x xk x x y y -+==--+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴122x x +=，122y y m +=，34k m=-． 由点()()10M m m >，在椭圆内得21143m +<，即302m <<． ∴12k <-.（2）由题设知(1,0)F .令(,)P x y ，则由FP FA FB ++=0得1122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=，∴1212=3(),()x x x y y y -+=-+. 由得=1,2x y m =-<0. ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得34m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -，且32FP =. (FA x =122x=-，同理222xFB =-.∴12=2222x xFA FB +-+-124322x xFP +=-==，即,,FA FP FB 成等差数列．把34m =代入34k m =-得1k =-，且3(1,)4M∴直线l 的方程为74y x =-+. 把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得：2285610x x -+=，于是有121212,28x x x x +==．设成等差数列的公差为d ，则26121122d FB FA x x =-=-==， d =±21．（本小题满分12分）解：由条件知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．（1）若0a =，则函数()(2)ln(1)2f x x x x =++-，且1()ln(1)11f x x x'=++-+， 2211()1(1)(1)xf x x x x ''=-=+++． ∴(0)0f =，(0)0f '=，(0)0f ''=． ∴当10x -<<时，()0f x ''<，∴当10x -<<时，()f x '单调递减． ∴()(0)0f x f ''>=，∴当10x -<<时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f <=，即()0f x <． 当x > 0时，()0f x ''>，∴当x > 0时， ()f x '单调递增．∴()(0)0f x f ''>=，∴当x > 0时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f >=，即()0f x >． 综上可得，当10x -<<时，()f x <0； 当x > 0时，()0f x >． （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当x >0时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与x=0是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数2()()2f x g x x ax =++22ln(1)2xx x ax =+-++． 由于当min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，220x ax ++>， ∴()g x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0g f ==，∴0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()g x 的极大值点．22212(2)2(12)()12x ax x ax g x x x ax ++-+'=-+++（） 22222(461)(1)(2)x a x ax a x x ax +++=+++． 如果610a +>，则当6104a x a+<<-，且m i n 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '>，∴0x =不是()g x 的极大值点．如果610a +<，则22461=0a x ax a +++存在根10x <．∴当1(,0)x x ∈，且m in 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '<，∴0x =不是()g x 的极大值点． 如果61=0a +，则322(24)()(1)(612)x x g x x x x -'=+--．当(1,0)x ∈-时，()0g x '>； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<. ∴0x =是()g x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点．综上，16a =-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

- 1 - 2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1理科数学本试题卷共623150分。

考试用时120分钟。

1II.第Ⅰ卷1至3II 卷3至5页.2.3、.4第Ⅰ卷12题5题目要求的.1.设121iziizA. 0B. 12 C. 1 D. 22(1)22izii|z|1C.2. 已知集合220Axxx RCAA.12xx B. 12xxC.2|1|xxxx D.2|1|xxxx220xx(1)(2)0xx2x1x RCA12xxB.3.- 2 -则下列结论中丌正确的是A.B.C.D.37%274%.故答案为A.4. 设nS为等差数列na的前n3243SSS12a5aA. 12B. 10C. 10D. 123243sss3221433(32=2242222ddd3(63)127dd3d52410ad 52410ad为B.5. 321fxxaxax fx yfx0,0处的切线方程为A. 2yx B. yx C. 2yx D. yxfx为奇函数得1a2()31,fxx为yx.故答案为D.6. 在ABCAD为BC E为AD EB- 3 - A.ACAB4143B. ACAB4341C.ACAB413D.ACAB434111131()22244EBABAEABADABABACABAC答案为A. 7.某圆柱的高为216. 圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A N在左视图上的对应点为BM到N A. 172 B.52 C.3 D. 2MN的长度52为B.8.设抛物线xyC4:2F0,2 32的直线不C交于NM,FNFMA. 5B.6C. 7D. 8M(12),N(4,4)FNFM8 D.9.已知函数,0,ln,0,xexfxxxgxfxxa.gx存在2a的取值范围是A.1,0 B.0, C.1, D.1,()()gxfxxa2()yfx yxa)(xf的图象如MN24- 4 - yxa)(xf1a1a C.10的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC ACAB,.ABC,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为321,,pppA. 21pp B.31pp C. 32pp D. 321ppp2ABAC,则22BC ∴区域Ⅰ的面积为112222S 231(2)222S区域Ⅱ的面积为22312SS12pp.故答案为A. 11.已知双曲线13:22yxC O F为C F的直线不C的两条渐近线的交点分别为NM,.若OMN MNA. 23 B. 3 C. 32 D. 42203xy 33yx∵OMN2ONM∴3NMk MN方程为3(2)yx.联立33(2)yxyx33(,)22N 3ON 3MON3MN B. 12. 已知正方体的棱长为1所得截面面积的最大值为- 5 - A. 433 B. 332 C.423 D. 2311ABD在与平面11ABD为由各棱的中点构成的截面EFGHMN EFGHMN的面积122333 622224S.故答案为A. 第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)生都必须作答.第(22)~(23).45分.13.若x y满足约束条件22010xyxyy32zxy_______________.标函数过点(2,0)时取得最大max32206z. 故答案为6.14.记nS为数列na的前n若21nnSa6S_______________.1121,21,nnnnSaSa12nnaa{}na为公比为2- 6 - 又因为11121aSa11a12nna 661(12)6312S故答案为-63.15.从24位男生中选31__________2恰有1122412CC恰有221244CC12416. 故答案为16.16.2sinsin2fxxx fx的最小值是______________________.()2sinsin2fxxx()fx最小正周期为2T2'()2(coscos2)2(2coscos1)fxxxxx '()0fx22coscos10xx 1cos2x cos1x.∴当1cos23x 53x,当cos1,xx∴53()332f.3()332f(0)(2)0ff()0f∴()fx最小值为332. 故答案为332..1712在平面四边形ABCD90ADC45A2AB5BD.1cosADB222DC BC.- 7 - 1ABD52sin45sinADB,∴2sin5ADB,∵90ADB,∴223cos1sin5ADBADB. 2 2ADBBDC,∴coscos()sin2BDCADBADB coscos()sinBDCADBADB,∴222cos2DCBDBCBDCBDDC,∴2282552522BC.∴5BC. 18小题满分12ABCD,EF分别为,ADBC DF为折痕把DFCC到达点P PFBF.1PEF ABFD2DP不平面ABFD所成角的正弦值. 1,EF分别为,ADBC//EFAB EFBF PFBF EFPFF BF PEF BE ABFD PEF ABFD.2PFBF//BFED PFED又PFPDEDDPD PF PED PFPE设4AB4EF2PF23PE过P作PHEFEF于H由平面PEF ABFD∴PH ABFD DH则PDHDP与平面ABFD由PEPFEFPH23234PH而4PD 3sin4PHPDH∴DP与平面ABFD所成角的正弦值34.- 8 - 1912设椭圆22:12xCy F F的直线l不C交于,AB M2,0.1l不x AM2O OMAOMB. 11x2112y 22y 2(1,)2A∴22AMk AM 2(2)2yx.2l1l方程(1)ykx1122(,),(,)AxyBxy方程有22(1),12ykxxy2222(21)4220kxkxk 2122421kxxk21222221kxxk1212121212[(23()4]22(2)(2)AMBMyykxxxxkkxxxx2222124412(4)2121(2)(2)kkkkkxxAMBMkkOMAOMB. 2012某工厂的200- 9 - 20检验)10(pp各件产品是否为丌合格品相互独立。

2018年高考数学理科试卷（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位.置上.1 •已知集合A 0,1,2,8 , B 1,1,6,8，那么A B _____________ .2 .若复数z满足i z 1 2i，其中i是虚数单位，则z的实部为__________________ .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 _______ .4 .一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为_________r ' - * ----- 一一一:I Ipll ■；While /<6 ；:1+2 ；:K |:End While ；[Print S' ；6 •某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为7 •已知函数y sin 2x是•2 x -的图象关于直线x-对称，则的值&在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 2yb21 a 0, b 0的右焦点F c,0 到一条渐近线的距离为仝c,则其离心率的值是29.函数f x满足f x 4 x x R，且在区间（2,2] 上, f xx小cos ,02 则f f 15的值为______________10.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为3 211.若函数f x 2x ax 1 a R 在0, 内有且只有一个零点，则f x在1,1上的最大值与最小值的和为512 •在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线丨:y 2x 上在第一象限内的点， B 5,0，以AB为直径的圆C 与直线丨交于另一点D •若AB CD 0，则点A 的横坐标为 ________________13•在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c , ABC 120 , ABC 的平 分线交AC 于点D ，且BD 1,则4a c 的最小值为 __________________________________ •14. 已知集合A x | x 2n 1, n N , B x | x 2n , n N .将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列a n ,记S n 为数列a n 的前n 项和，则使得 S n 12a n 1成立的n 的最小值为 _________________________________ .二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在平行六面体 ABCD AB1GD 1中， 求证：(1) AB //平面 A 1B 1C ； (2)平面 ABB 1A 1 平面A 1BC •16 •(本小题满分14分)4已知,为锐角，tan —, cos(3(1) 求cos2的值；(2)求tan( )的值.517. （本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆0的一段圆弧MPN （P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆0的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD,大棚H内的地块形状为△ CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC 与MN所成的角为 .（1）用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积，并确定sin 的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚n内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3 .求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（・,3,丄），焦点2 F（ 3,0）, F2C 3,0），圆O 的直径为F1F2 .> 1(1)求椭圆C及圆0的方程；(2)设直线I与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线I与椭圆C交于A,B两点.若A OAB的面积为，求直线I的方程.719. (本小题满分16分)g(x0)且记f (x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数•若存在x0 R，满足f (x0)f (x o)g (x o)，则称x o为函数f(x)与g(x)的一个"S点”.(1)证明：函数f(x) x与g(x) x2 2x 2不存在“ S点”；(2)若函数f(x) ax2 1与g(x) In x存在"S点”，求实数a的值；x(3)已知函数f (x) x2 a , g(x) b^ .对任意a 0,判断是否存在bx数f (x)与g(x)在区间(0,)内存在“ S点”，并说明理由.20. (本小题满分16分)设｛a n｝是首项为a i，公差为d的等差数列，｛b n｝是首项为d，公比为q的等比数列.（1）设印0,b i 1,q 2，若|a n b n|匕对n 1,2,3,4均成立，求d的取值范围；（2 ）若a i b i 0,m N*,q （1,m2］，证明：存在d R，使得| a n b n | b i 对n 2,3,L ,m 1均成立，并求d的取值范围（用bi,m,q表示）.数学H（附加题）21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，•并在相应的•答题区域内作答•若多做，则按作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.［选修4—1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，圆0的半径为2 ,AB为圆0的直径，P为AB延长线上一点,过P作圆0的切线，切点为 C.若PC 2.3，求BC的长.B.［选修4 —2:矩阵与变换］（本小题满分10分）已知矩阵A（1）求A的逆矩阵A 1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P（3,1），求点P的坐标.C.［选修4 —4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在极坐标系中，直线1被曲线C截得的弦长. 的方程为sin（n）62，曲线C的方程为4cos ，求直线D.［选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分）若x, y, z为实数，且x+2y+2z=6，求x y2z的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤•学科#网22. (本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABGA I B I C I中，AB=AA i=2，点P, Q分别为A i B i,BC的中点.(1)求异面直线BP与AG所成角的余弦值；(2)求直线CG与平面AQC i所成角的正弦值.23．（本小题满分10 分）设n N*，对1, 2, • n的一个排列i^L i n，如果当s<t时，有i s i t，则称仏丄）是排列i i i2L i n的一个逆序，排列i i i2L i n的所有逆序的总个数称为其逆序数•例如：对 1 , 2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231 的逆序数为2．记f n（k）为1, 2,…；n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.（1）求f3（2）, f4（2）的值；（2）求f n （2）（n 5）的表达式（用n表示）.（2）因为,为锐角，所以(0, n .数学I 试题参考答案15 •本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）在平行六面体 ABCDA I B I C I D I 中，AB // A i B i . 因为AB 平面A i B i C , A i B i 平面A i B i C , 所以AB//平面A i B i C.（2）在平行六面体 ABCDA i BGD i 中，四边形ABBA 为平行四边形. 又因为AA I =AB,所以四边形 ABB i A i 为菱形，因此AB 丄A i B .又因为 AB i 丄 B i C i , BC// B i O, 所以AB 丄BC.又因为 A I B A BC=B , A I B 平面 A i BC, BC 平面 A I BC , 所以AB I 丄平面A i BC. 因为AB 平面ABB I A I , 所以平面ABB I A I !平面A i BC.i6.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力.满分14分.解：（i ）因为 tan4 tansin ，所以sin 4 cos3cos3因为sin 22cos1 , 所以2cos925因此，cos2 2cos21725i . {i , 8}2. 23. 904. 83 n5. [2 , +s)6.7. 8. 2io 69 .二io.- ii .七i2. 32 3i3. 9i4. 27、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法•每小题 5分，共计70分.、解答题又因为cos( ) 5, 所以sin()■'1 cos2 ()仝55因此tan( ) 2 .因为tan 4，所以tan22ta n243 1 tan27tan 2tan( )2因此，ta n( ) tan[2( )]1 + ta n2tan( )1117 •本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力•满分14分.解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN，所以OH=10.过O 作0E丄BC于E,贝U OE// MN,所以/ COE= 0,故OE=40cos 0, EC=40sin 0,则矩形ABCD的面积为2X 40co0 (40sin 0+10) =800 (4sin 0cos 0+cos0),、 1△ CDP 的面积为—x 2 x 40cfe(40F0si n 0) =1600 (cos 0-si n0cos0).2过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K,贝U GK=KN=10.令/ GOK= 0,贝V sin 00=1 , 00€( 0, n).4 6当0€ ［00,上)时，才能作出满足条件的矩形ABCD,2所以sin 0的取值范围是［1,1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin0cos0+cos0)平方米，△ CDP的面积为11600 (cos 0 -sin0cos0), sin 0 的取值范围是［一，1) •4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k (k>0),则年总产值为4k x 800(4sin0cos0+cos0) +3k x 1600( cos0-in 0cos 0)=8000k (sin 0cos 0+cos 0), 0€ [ 00,—).2设 f ( 0) = sin 0cos 0+cos 0, 0€ [ 00 —),2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令 f '()=0，得0= n,6当0€( 00, n)时，f ( )>0 ,所以f ( 0)为增函数;｛苇17町6当0€( n , J)时，f '( )<0，所以f (B)为减函数，6 2 因此，当0=n 时，f ( 0)取到最大值.6答：当0=上时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.618 •本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力•满分 16分.解：(1 )因为椭圆C 的焦点为F( ..3,0),F 2C. 3,0),2因此，椭圆C 的方程为—y 21 •4因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2y 2 3 •所以 (24x o )2 4(4x o 2 y o 2)(36 4y 。