[精校版]甘肃省张掖市高二上期末数学试卷理有答案
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2017-2018学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）抛物线y 2=4x 的准线方程是（ ）A ．x=﹣1B ．x=1C ．x=﹣2D ．x=22．（5分）数列{a n }满足a n =4a n ﹣1+3（n ≥2且n ∈N*），a 1=1，则此数列的第3项是（ ）A ．15B ．255C ．20D ．313．（5分）命题“∃x 0∈R ，f （x 0）＜0”的否定是（ ）A ．∃x 0∉R ，f （x 0）≥0B ．∀x ∉R ，f （x ）≥0C ．∀x ∈R ，f （x ）≥0D ．∀x ∈R ，f（x ）＜04．（5分）在等差数列{a n }中，a 2=5，a 6=17，则a 14=（ ）A ．45B ．41C ．39D ．375．（5分）实数a ，b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ．18B ．6C ．2D ．26．（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）F 1，F 2为椭圆的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．8．（5分）设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．（5分）椭圆中，以点M（﹣2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（）A．B．C．D．10．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．411．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=112．（5分）当|m|≤1时，不等式1﹣2x＜m（x2﹣1）恒成立，则x的取值范围是（）A．（﹣1，3）B． C．（﹣3，1）D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）若等比数列{an }满足a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{an}的前n项和Sn= ．15．（5分）方程表示焦点在x轴上椭圆，则实数k的取值范围是．16．（5分）已知数列{an }中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{an}的通项公式为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实数根，命题q：函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）解关于x的不等式2ax2﹣（2a+1）x+1＞0（a＞0）．19．（12分）已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．20．（12分）已知点P 为曲线C ：x 2+y 2=4上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在曲线C 上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程，并说明点M 轨迹是什么？21．（12分）已知各项都为整数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5=35，且a 2，a 3+1，a 6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ．22．（12分）如图，椭圆的两顶点A （﹣1，0），B （1，0），过其焦点F （0，1）的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（1）当|CD|=时，求直线l 的方程；（2）当点P 异于A ，B 两点时，求证：点P 与点Q 横坐标之积为定值．2017-2018学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）抛物线y 2=4x 的准线方程是（ ）A ．x=﹣1B ．x=1C ．x=﹣2D ．x=2【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y 2=4x ，其开口向右，且p=2，则其准线方程为：x=﹣1；故选：A ．2．（5分）数列{a n }满足a n =4a n ﹣1+3（n ≥2且n ∈N*），a 1=1，则此数列的第3项是（ ）A ．15B ．255C ．20D ．31【解答】解：数列{a n }满足a n =4a n ﹣1+3（n ≥2且n ∈N*），a 1=1，a 2=4a 1+3=7，a 3=4a 2+3=31．故选：D ．3．（5分）命题“∃x 0∈R ，f （x 0）＜0”的否定是（ ）A ．∃x 0∉R ，f （x 0）≥0B ．∀x ∉R ，f （x ）≥0C ．∀x ∈R ，f （x ）≥0D ．∀x ∈R ，f （x ）＜0【解答】解：∵命题“∃x 0∈R ，f （x 0）＜0”是特称命题．∴否定命题为：∀x ∈R ，f （x ）≥0．故选C ．4．（5分）在等差数列{a n }中，a 2=5，a 6=17，则a 14=（ ）A ．45B ．41C ．39D ．37【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2=5，a 6=17得，=3，则a 14=a 6+（14﹣6）×3=17+24=41，故选：B ．5．（5分）实数a ，b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ．18B ．6C ．2D ．2【解答】解：实数a ，b 满足a+b=2，则3a +3b ≥2=2 =2=6，当且仅当a=b=1时，取得等号，即3a +3b 的最小值是6．故选：B ．6．（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）；∴时，cos =1； ∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件； ∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A ．7．（5分）F 1，F 2为椭圆的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：由椭圆的定义，4a=16，a=4，又e==，∴c=2，∴b 2=a 2﹣c 2=4，则椭圆的方程是故选D8．（5分）设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y ，得y=﹣， 平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B （1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为z=1+2×1=3，故选：B ．9．（5分）椭圆中，以点M （﹣2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），点M （﹣2，1）为AB 的中点，x 1+x 2=﹣4，y 1+y 2=2A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆得，两式相减得+=0，可得﹣=， 即k==，∴弦所在的直线的斜率为，故选：D ．10．（5分）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．4【解答】解：∵抛物线C 的方程为y 2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C11．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c===5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则﹣64λ﹣36λ=25，解得λ=，所以双曲线方程为，故选：A ．12．（5分）当|m|≤1时，不等式1﹣2x ＜m （x 2﹣1）恒成立，则x 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，3）B ．C ．（﹣3，1）D ．【解答】解：构造函数f （m ）=（x 2﹣1）m+2x ﹣1，则由题意f （m ）在[﹣1，1]上恒大于0，∴，∴，∴﹣1+＜x ＜2． 故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）不等式的解集是 ．【解答】解：原不等式等价于等价于x （2x ﹣1）＜0解得故答案为（）14．（5分）若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，则数列{a n }的前n 项和S n = 2n+1﹣2 ．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，∴a 3+a 5=40=q （a 2+a 4）=20q ，解得q=2，∴20=a 2+a 4=a 1（2+23），解得a 1=2．则数列{a n }的前n 项和S n ==2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．15．（5分）方程表示焦点在x轴上椭圆，则实数k的取值范围是（，1）．【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴2﹣k＞2k﹣1＞0，解得＜k＜1．∴实数k的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．16．（5分）已知数列{an }中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{an}的通项公式为an=3n﹣2 ．【解答】解：数列{an }中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），可得an +2=3（an﹣1+2），则数列{an+2}为首项为3，公比为3的等比数列，可得an+2=3•3n﹣1=3n，即有an=3n﹣2．故答案为：an=3n﹣2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实数根，命题q：函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若x2+ax+2=0无实数根，则判别式△=a2﹣8＜0，得﹣2＜a＜2，即p：﹣2＜a＜2，函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，则a＞1，即q：a＞1，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p ，q 一个为真一个为假，若p 真q 假，则，即﹣2＜a ≤1， 若p 假q 真，则，得a ≥2， 综上实数a 的取值范围是a ≥2或﹣2＜a ≤1．18．（12分）解关于x 的不等式 2ax 2﹣（2a+1）x+1＞0（a ＞0）．【解答】解：根据题意，因为a ＞0，则2ax 2﹣（2a+1）x+1＞0⇒（2ax ﹣1）（x ﹣1）＜0⇒（x﹣）（x ﹣1）＜0，则方程2ax 2﹣（2a+1）x+1=0有两个根，为x 1=，x 2=1， 分3种情况讨论：①，＜1，即a ＞时，不等式的解集为{x|x ＞1或x ＜}；②，=1，即a=时，不等式的解集为{x|x ≠1}；③，＞1，即0＜a ＜时，不等式的解集为{x|x ＞或x ＜1}；综合可得：当0＜a ＜时，不等式的解集为{x|x ＞或x ＜1}；当a=时，不等式的解集为{x|x ≠1}；当a ＞时，不等式的解集为{x|x ＞1或x ＜}．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且2x+8y ﹣xy=0，求：（1）xy 的最小值；（2）x+y 的最小值．【解答】解：（1）∵x ＞0，y ＞0，2x+8y ﹣xy=0，∴xy=2x+8y ≥2，∴≥8，∴xy ≥64．当且仅当x=4y=16时取等号．故xy 的最小值为64．（2）由2x+8y=xy ，得：+=1，又x ＞0，y ＞0，∴x+y=（x+y ）•（+）=10++≥10+2=18．当且仅当x=2y=12时取等号． 故x+y 的最小值为18．20．（12分）已知点P 为曲线C ：x 2+y 2=4上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在曲线C 上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程，并说明点M 轨迹是什么？【解答】解：设P （x 0，y 0），M （x ，y ），D （x 0，0），∵M 是PD 的中点，∴，又P 在圆x 2+y 2=4上，∴x 02+y 02=4，即x 2+4y 2=4，+y 2=1．∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是+y 2=1． 轨迹是椭圆．21．（12分）已知各项都为整数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5=35，且a 2，a 3+1，a 6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ．【解答】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2，a 3+1，a 6成等比数列，∴（a 3+1）2=a 2a 6，∵S 5=35，∴=5a 3=35，解得a 3=7，∴， 又d 为整数，解得a 1=1，d=3，∴a n =1+3（n ﹣1）=3n ﹣2．（2）证明：b n ==，∴T n =+…++，3T n =1++…++，∴两式相减可得2T n =1+++…+﹣ =1+3•﹣，化简可得T n =﹣，∴T n ＜．22．（12分）如图，椭圆的两顶点A （﹣1，0），B （1，0），过其焦点F （0，1）的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（1）当|CD|=时，求直线l 的方程；（2）当点P 异于A ，B 两点时，求证：点P 与点Q 横坐标之积为定值．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在y 轴上，（a ＞b ＞0），由b=1，c=1，则a=，∴椭圆的标准方程：；当直线的斜率不存在时，|CD|=2，与题意不符， 设直线l 的方程为y=kx+1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），，整理得（k 2+2）x 2+2kx ﹣1=0，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣， ∴|CD|====，解得k=±． ∴直线l 的方程为x ﹣y+1=0或x+y ﹣1=0；（2）当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为y=kx+1，（k ≠0，k ≠±1），设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），∴P 的坐标为（﹣，0），x P =，由（1）可知：x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣，直线AC 的方程为y=（x+1）① 则直线BD 的方程为y=（x ﹣1）②联立①②，解得：x=， 由y 1=kx 1+1，y 2=kx 2+1，代入上式得：x=，不妨设x 1＞x 2，|x 1﹣x 2|=，∴x 1﹣x 2=，又x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣，代入①化简得x=﹣k ， 故点Q 的横坐标为﹣k ，则x P •x Q =﹣×（﹣k ）=1， 即点P 与点Q 横坐标之积为定值．。
