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课时提能演练(二十九)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分) 1.互为共轭复数的两复数之差是( ) (A)实数 (B)纯虚数 (C)0 (D)零或纯虚数2.(2011·福建高考)i 是虚数单位，若集合S={-1,0,1}，则( ) (A)i ∈S (B)i 2∈S (C)i 3∈S (D)2i ∈S3.(2011·大纲版全国卷)复数z=1+i,z 为z 的共轭复数，则z z -z-1=( ) (A)-2i (B)-i (C)i (D)2i4.(2011·辽宁高考)a 为正实数，i 为虚数单位，a i i+ =2,则a=( )(A)2 (D)15.(预测题)若(x-i)i=y+2i,x 、y ∈R,则复数x+yi=( ) (A)-2+i (B)2+i (C)1-2i (D)1+2i6.（2012·福州模拟）在复平面内，复数23i 34i-+-所对应的点位于（ ）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 二、填空题(每小题6分，共18分)7.i 为虚数单位，3571111iiii+++=________.8.（2012·泉州模拟）已知复数z 满足（1+i ）z=2,则z=_____.9.定义一种运算如下：1122x y x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=x 1y 2-x 2y 1，则复数i 1z i i ⎤-=⎥⎥⎦(i 是虚数单位)的共轭复数是________. 三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2011·上海高考)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11.(易错题)复数z 1=1+2i,z 2=-2+i,z 3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 【探究创新】(16分)已知A(1，2)，B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b ∈R)是复平面上的四点，且向量A B C D ，对应的复数分别为z 1,z 2. (1)若z 1+z 2=1+i,求121i 1i .z z +-+(2)若z 1+z 2为纯虚数，z 1-z 2为实数，求a 、b.答案解析1.【解析】选D.设互为共轭复数的两个复数分别为z=a+bi,z =a-bi(a 、b ∈R)，则z-z =2bi 或z -z=-2bi.∵b ∈R,当b ≠0时，z-z ,z -z 为纯虚数； 当b=0时，z-z =z -z=0.故选D.【误区警示】混淆了复数和虚数概念，误认为共轭复数就是共轭虚数，当得到z-z =2bi 时，就认为是纯虚数，错误地选B. 2.【解析】选B.∵i 2=-1,而集合S={-1,0,1},∴i 2∈S.3.【解题指南】先求出z 的共轭复数，然后利用复数的运算法则计算即可. 【解析】选B. z =1-i,z z -z-1=(1+i)(1-i)-(1+i)-1=-i.4.【解析】选B.因为a i 2,i+=故可化为|1-ai|=2,又由于a 为正实数，所以1+a 2=4,得故选B.5.【解析】选B.∵(x-i)i=y+2i,∴1+xi=y+2i,根据复数相等的条件，得x=2,y=1,∴x+yi=2+i.6.【解析】选B ()()23i 34i 23i 18i .34i2525-++-+-+==-18i ,2525=-+所对应点为1812525-（，），位于第二象限. 7.【解析】3571111iiii+++=-i+i-i+i=0.答案：0【变式备选】(1)已知复数()2iz ,z1=-是z 的共轭复数，则z ·z =_______.【解析】方法一：1z,2==21z z z.4==·方法二：i i z ,44==-+i i 1z z ()().44444=---=·答案：14(2)已知复数z=1-i ，则2z 2z z 1--=_______. 【解析】()()()221i 21i z 2z z 11i 1----=---2i 22i2i 2i.ii i--+-===---·答案：-2i8.【解析】由已知得2z 1i.1i==-+答案：1-i 9.【解析】由定义知,))()))z i i i 111i,z 11i.=-⨯-=+=-故10.【解析】设z 2=a+2i(a ∈R)，由已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,得z 1=2-i ，又已知z 1·z 2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z 2=4+2i. 【变式备选】复数z 1＝3a 5+＋(10-a 2)i ，z 2＝2(2a 5)i 1a--＋，若12zz +是实数，求实数a 的值.【解析】()21232z z a 10i (2a 5)ia 51a--+-＋＝＋＋＋()()()2232()a 10(2a 5)ia 51aa 13(a 2a 15)i.a5a 1--+---+-＝＋＋［＋］＝＋＋∵12z z ＋是实数，∴a 2＋2a-15＝0，解得a ＝-5或a ＝3.又(a ＋5)(a-1)≠0，∴a ≠-5且a ≠1，故a ＝3. 11.【解析】如图，z 1、z 2、z 3分别对应点A 、B 、C. ∴A BO B O A ,=-∴A B 所对应的复数为z 2-z 1=(-2+i)-(1+2i) =-3-i,在正方形ABCD 中，D CA B=，∴D C 所对应的复数为-3-i,又D C O C O D =-，∴O DO C D C=-所对应的复数为z 3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-i,∴第四个顶点对应的复数为2-i.【变式备选】已知复数z 满足|z|=1,求|z-(1+i)|的最大值与最小值. 【解题指南】|z|=1⇒复数z 对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点⇒所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值.【解析】因为|z|=1，所以z 对应的点是单位圆x 2+y 2=1上的点，而|z-(1+i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离.11,=1 1.=【探究创新】【解析】(1)∵A B =(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),C D=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),∴z 1=(a-1)-i,z 2=-3+(b-3)i, ∴z 1+z 2=(a-4)+(b-4)i, 又z 1+z 2=1+i,∴a 41a 5,,b 41b 5-==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩∴z 1=4-i,z 2=-3+2i,()()()()()1222221i 1i 1i 1i z z 4i 32i1i 4i 1i 32i 413235i 5i 4682i.1713221221+-+-∴+=+--+++---=++-++-+=+=-+(2)由(1)得z 1+z 2=(a-4)+(b-4)i, z 1-z 2=(a+2)+(2-b)i,∵z 1+z 2为纯虚数，z 1-z 2为实数，∴a40a4 b40,.b2 2b0-=⎧=⎧⎪-≠∴⎨⎨=⎩⎪-=⎩。
课时提能演练(三十五)(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2012·龙岩模拟）设a,b ∈R,若b-|a|>0,则下列不等式中正确的是（ ）(A)a-b>0 (B)a+b>0 (C)a 2-b 2>0 (D)a 3+b 3<0 2.（2012·南平模拟）若a,b ∈R,则2211ab成立的一个充分不必要条件是（ ）(A)b>a>0 (B)a>b>0 (C)b<a (D)a<b3.(预测题)若x ∈(12,1),a=log 2x,b=2log 2x,c=log 23x,则( )(A)a ＜b ＜c (B)c ＜a ＜b (C)b ＜a ＜c (D)b ＜c ＜a4.（2012·石家庄模拟）设a 、b 、c 、d ∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的 是( )（A ）a+c ＞b+d （B ）a-c ＞b-d （C ）ac ＞bd （D ）a b d c＞5.若A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，则A ，B 的大小关系为( )(A)A<B (B)A=B(C)A>B (D)不确定6.若1＜a＜3,-4＜b＜2,则a-|b|的取值范围是( )(A)(-1,3) (B)(-3,6)(C)(-3,3) (D)(1,4)二、填空题（每小题6分，共18分）7.以下不等式：①a＜0＜b;②b＜a＜0;③b＜0＜a;④0＜b＜a;⑤ab＞0,a ＞b，其中使11a b＜成立的充分条件是___________.8.（易错题）设x,y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤2xy ≤9，则34xy的最大值是________．9.（2012·福州模拟）设a＞b＞c＞0,x y==z=x,y,z的大小顺序是_________.三、解答题（每小题15分，共30分）10.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品至少140件,所需租赁费最多不超过2 500元，写出满足上述所有不等关系的不等式.11.已知b＞a＞0，x＞y＞0，求证：x y.x a y b++＞【探究创新】（16分）已知奇函数f(x)在R 上是单调递减函数，α，β，γ∈R ，α+β＞0,β+γ＞0,γ+α＞0,试说明：f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系.答案解析1.【解析】选B.由b-|a|>0知b>|a|≥0, ∴不论a 是正还是负，都有a+b>0.2.【解析】选A.2211ab即b 2>a 2>0,显然b 2>a 2成立的一个充分不必要条件是b>a>0，故选A.3.【解题指南】利用对数函数的性质与不等式性质求解. 【解析】选C.∵x ∈(12,1),∴-1＜log 2x ＜0.∴c-a=log 2x(log 2x+1)(log 2x-1)＞0,即c ＞a. a-b=-log 2x ＞0,∴a ＞b,∴c ＞a ＞b,故选C. 4.【解析】选A.由不等式的可加性可知a+c ＞b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，B 不一定成立， C ，D 中a 、b 、c 、d 符号不定，不一定成立. 5.【解析】选A.因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6) =(x 2+10x+21)-(x 2+10x+24)=-3<0, 故A<B.6.【解题指南】由已知先求出|b|的范围而后求得-|b|范围,再用不等式同向可加性可解.【解析】选C.由-4＜b ＜2得0≤|b|＜4，故-4＜-|b|≤0,又1＜a ＜3，故-3＜a-|b|＜3,故选C.7.【解析】①中a ＜0＜b,则1a＜0,1b＞0，故11a b＜成立.②中b ＜a ＜0，则11ba＞，即11ab＜成立.③中b ＜0＜a,则1a＞0,1b＜0,故11a b＞，故11ab＜不成立.④中0＜b ＜a ，则11a b＜成立.⑤中ab ＞0,若a ＞b ＞0，则11a b＜成立，若b ＜a ＜0，则11ab＜也成立.答案：①②④⑤8.【解题指南】利用待定系数法，即令32m2n 4x x()(x y )yy=，求得m,n 后整体代换求解. 【解析】设32m 2n4x x()(x y ),yy=则x 3y -4=x 2m+n y 2n-m ,∴2m n 3,2n m 4.+=⎧⎨-=-⎩即m 2,n 1.=⎧⎨=-⎩∴322214x x()(x y ),yy-=又由题意得22xy（）∈［16,81］，21x y∈［11,83］ ，所以32242x x1()yyx y=∈［2,27］，故34x y的最大值是27．答案:27【方法技巧】1.解答本题的关键 设32m 2n4x x()(x y )yy=是解答本题的关键，体现了待定系数法的思想.本题是幂式之间的关系，与以往的多项式之间的关系相比较是一大创新之处，要注意这一高考新动向. 2.解决最值问题的新方法此类问题的一般解法是先用待定系数法把目标式用己知式线性表示，再利用不等式的性质求出目标式的范围，对于多项式问题，也可以考虑用线性规划的方法求解.【变式备选】已知x,y 为正实数，满足1≤lg(xy)≤2,3≤lg xy ≤4,求lg(x 4y 2)的取值范围.【解析】设a=lgx,b=lgy,则lg(xy)=a+b, lg xy =a-b,lg(x 4y 2)=4a+2b,设4a+2b=m(a+b)+n(a-b),m n 4,m 3,m n 2.n 1.+==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩解得∴lg(x 4y 2)=3lg(xy)+lg xy,∵3≤3lg(xy)≤6,3≤lg x≤4,y∴6≤lg(x4y2)≤10.9.【解析】∵a＞b＞c＞0,∴y2-x2=b2+(c+a)2-a2-(b+c)2=2c(a-b)＞0,∴y2＞x2，即y＞x,z2-y2=c2+(a+b)2-b2-(c+a)2=2a(b-c)＞0,故z2＞y2，即z＞y,故z＞y＞x.答案：z＞y＞x【一题多解】特值代换法，令a=3,b=2,c=1,则则x＜y＜z,故z＞y＞x.10.【解析】设甲种设备需要生产x天,乙种设备需要生产y天,则甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况如表所示:则x、y满足的关系为:5x 6y 50,5x 6y 50,10x 20y 140,x 2y 14,200x 300y 2 500,2x 3y 25,x N ,y N.x N ,y N.+≥+≥⎧⎧⎪⎪+≥+≥⎪⎪⎨⎨+≤+≤⎪⎪⎪⎪∈∈∈∈⎩⎩即 【方法技巧】用不等式表示不等关系问题的解题步骤(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，把文字语言“翻译”成对应的数学符号语言，用不等式表示不等关系;(3)设变量后，数量化不等关系(列出不等式(组)). 11.【解题指南】利用作差比较法进行证明. 【证明】()()()()x y b y x a x y x ay bx a y b +-+-=++++()()b x a y,x a y b -=++∵b ＞a ＞0，x ＞y>0, ∴bx ＞ay,x+a ＞0，y+b ＞0,b x a y x y 0,.(x a )(y b )x ay b-∴∴++++＞＞【探究创新】【解析】由α+β＞0得α＞-β,∵f(x)是R 上的单调递减函数，故f(α)＜f(-β)， 又∵f(x)是R 上的奇函数，故f(α)＜-f(β)， ∴f(α)+f(β)＜0.同理可得f(β)+f(γ)＜0,f(α)+f(γ)＜0, ∴2f(α)+2f(β)+2f(γ)＜0,故f(α)+f(β)+f(γ)＜0.。
课时提能演练(三十三)(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2012·沈阳模拟）设数列{(-1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n =( )(A)()nn 112--［］(B)()n 1112--+(C)()n112-+ (D)()n112--2．数列{a n }、{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60，则{a n ＋b n }的前20项和为( )(A)700 (B)710 (C)720 (D)730 3.(易错题)已知数列{a n }的通项公式n 2n 1a log n 2+=+(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ,则使S n ＜-5成立的自然数n( ) （A ）有最大值63 （B ）有最小值63 （C ）有最大值31 （D ）有最小值314.(2012·大连模拟)已知数列{a n }：112,233+，123444++,…,123101010++ +…+910，…，若n n n 11b a a +=,那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) (A)nn 1+ (B)4nn 1+ (C)3nn 1+ (D)5nn 1+ 5.（2012·福州模拟）在等比数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3+a 4=158,239a a 8=-,则12341111a a a a +++=（ ） ()()()()5353A B C D 3535- - 6.已知数列2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 011项之和S 2 011等于( )(A)2 008 (B)2 010 (C)1 (D)0 二、填空题（每小题6分，共18分） 7.设()n 1111S ,2612n n 1=+++⋯++若n n 13S S 4+=g ，则n 的值为________. 8.（2012·衡水模拟）已知f(3x )=4xlog 23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于__________.9.数列{a n }的前n 项和S n =n 2-4n+2,则|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=________. 三、解答题（每小题15分，共30分）10.（预测题）已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60,且a 6为a 1和a 21的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n+1-b n =a n (n ∈N *)，且b 1=3，求数列n1{}b 的前n 项和T n . 11.（2012·宁德模拟）已知数列{a n }的各项均不为零，其中a 1=1,且对于任意n ∈N *,均有6a n+1-a n+1a n -2a n =0,设n n1b .a =（1）求数列{b n }的通项公式；（2）记数列{a n }的前n 项和为T n ，求证：T n <2.【探究创新】（16分）已知公差为d(d ＞1)的等差数列{a n }和公比为q(q ＞1)的等比数列{b n }，满足集合{a 3,a 4,a 5}∪{b 3,b 4,b 5}={1,2,3,4,5}, （1）求通项a n ,b n ;（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .答案解析1.【解析】选D.∵数列{(-1)n }是首项与公比均为-1的等比数列,∴()()()()()n nn 11111S 112---⨯---==--.2．【解题指南】根据等差数列的性质可知，｛n n a b ＋｝仍然是等差数列，所以利用等差数列的求和公式求解即可.【解析】选C.由题意知{n n a b ＋}也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前20项和为：1120202020(a b a b )20(5760)S 720.22⨯＋＋＋＋＋＝＝＝3．【解析】选B.n 12n 222223n 123n 1S a a a log log log log ()34n 234n 2++=++⋯+=++⋯+=⨯⨯⋯⨯++ =22log 5n 2-+＜ ∴522,n 2-+＜∴n+2＞26,∴n ＞62. 又n ∈N *，∴n 有最小值63. 4.【解析】选B.n 123n na ,n 12+++⋯+==+∴()n n n 11411b 4,a a n n 1n n 1+===-++() ∴n 11111S 4(1)()(223nn 1=-+-+⋯+-+［)］ =14n 4(1.n 1n 1-=++） 5.【解析】选C.设{a n }的公比为q ，则()23123115a 1q q q 8,9a q 8⎧+++=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得1a 3.1q 2=⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴a n =3·(12-）n-1，1234111112485.a a a a 33333∴+++=-+-=- 6.【解题指南】根据数列的前5项写出数列的前8项，寻找规律，可发现数列是周期数列.【解析】选A.由已知得a n =a n-1+a n+1(n ≥2), ∴a n+1=a n -a n-1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1,-2 008,-2 009，-1，2 008，2 009. 由此可知数列为周期数列，周期为6,且S 6=0.∵2 011=6×335+1, ∴S 2 011=S 1=2 008.7.【解析】n 11111111n S 1122334n n 1n 1n 1=-+-+-+⋯+-=-=+++, ∴n n 1n n 1n 3S S ,n 1n 2n 24++===+++g g 解得n=6. 答案：6【变式备选】已知数列{a n }的通项公式a n =4n ，b n =()2n 2n 11(log a )log a +g ,则数列{b n }的前10项和S 10=( ) (A)940 (B)522 (C)920 (D)511【解析】选B.根据题意()()n 2n 2n 12n 2n 11111b (,log a log a 2log a log a ++==-）所以{b n }的前10项和S 10=b 1+b 2+…+b 10=212222232102111111111()2log a log a log a log a log a log a -+-+⋯+- =21211111()2log a log a -=1115()222222-=，故选B. 8.【解析】令3x =t ，则x=log 3t ∴f(t)=4log 3tlog 23+233=4log 2t+233 ∴f(2n )=4n+233∴f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=4(1+2+…+8)+233×8=2 008. 答案:2 008【变式备选】数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a 2=2,a n+2-a n =1+（-1）n(n ∈N *),则S 100=_______.【解析】由a n+2-a n =1+(-1)n 知 a 2k+2-a 2k =2,a 2k+1-a 2k-1=0, ∴a 1=a 3=a 5=…=a 2n-1=1, 数列{a 2k }是等差数列,a 2k =2k.∴S 100=(a 1+a 3+a 5+...+a 99)+(a 2+a 4+a 6+...+a 100)=50+(2+4+6+ (100)=50+()1002502+⨯=2 600.答案:2 6009.【解析】当n=1时，a 1=S 1=-1. 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=2n-5.∴()n *1 n 1a 2n 5 (n 2,n N )⎧-=⎪=⎨-≥∈⎪⎩ 令2n-5≤0得5n ,2≤∴当n ≤2时，a n ＜0;当n ≥3时,a n ＞0, ∴()1210123410a a a a a (a a a )66.++⋯+=-++++⋯+= 答案:66【方法技巧】绝对值型数列求和的求解策略(1)a n 是先正后负型的{|a n |}的前n 项和的求解策略：找出a n 正负的分界点（假设前m 项为正），考虑当{|a n |}的项数n ≤m 时，|a n |=a n ，{|a n |}的前n 项和T n 与{a n }的前n 项和S n 相等，当n ＞m 时，{|a n |}的前n 项和T n =a 1+a 2+…+a m -a m+1-…-a n =-S n +2S m .可以总结为“一求两考虑”. (2)a n 是先负后正型的{|a n |}的前n 项和的求解策略：同样是“一求两考虑”，一求是求出a n 正负的分界点（假设前m 项为负），两个考虑是当{|a n |}的项数n ≤m 时，|a n |=-a n ，T n =-S n ，当n ＞m 时，{|a n |}的前n 项和T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=-a 1-a 2-…-a m +a m+1+…+a n =S n -2S m （S n 是数列｛a n ｝的前n 项和）. 10.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),则()()121116a 15d 60,a a 20d a 5d ,+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得1d 2,a 5=⎧⎨=⎩∴a n =2n+3. (2)由b n+1-b n =a n ,∴b n -b n-1=a n-1(n ≥2,n ∈N *)， b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n-1+a n-2+…+a 1+b 1=n(n+2) 当n=1时，b 1=3也适合上式, ∴b n =n(n+2)(n ∈N *). ∴n 11111(),b n(n 22n n 2==-++）()()2n 11111113113n 5nT (1)()2324n n 222n 1n 24n 1n 2+=-+-+⋯+-=--=+++++. 11.【解析】(1)∵6a n+1-a n+1a n -2a n =0,且a n ≠0,n 1n n 1n n 1n 1311,b 3b .a a 2211b 3(b ),44+++∴=-=-∴-=-即∴n 1b 4⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以3为公比，34为首项的等比数列， 从而n n n 1n n 13331b 3,b .4444-+-=⨯=∴=(2)由（1）得n n 4a ,31=+ n 2n 1n2n n n 4444T 313131311114()33311(1)13342(1) 2.1313-=++⋯++++++<⨯++⋯+⨯-=⨯=⨯-<-【探究创新】【解题指南】(1)结合等差数列与等比数列的项，由{a 3,a 4,a 5}∪{b 3,b 4,b 5}={1，2，3，4，5}可得a 3,a 4,a 5,b 3,b 4,b 5的值，从而可求数列的通项.(2)由于{a n },{b n }分别为等差数列、等比数列，用“乘公比错位相减”求数列的前n 项和S n .【解析】(1)∵1,2,3,4,5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1,3,5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1,2,4. 而{a 3,a 4,a 5}∪{b 3,b 4,b 5}={1，2，3，4，5}， ∴a 3=1，a 4=3，a 5=5，b 3=1，b 4=2，b 5=4, ∴a 1=-3，d=2,b 1=14,q=2,∴a n =a 1+(n-1)d=2n-5,b n =b 1×q n-1=2n-3. (2)∵a n b n =(2n-5)×2n-3,∴S n =（-3）×2-2+(-1)×2-1+1×20+…+(2n-5)×2n-3, 2S n =-3×2-1+(-1)×20+…+(2n-7)×2n-3+(2n-5)×2n-2,两式相减得-S n =(-3)×2-2+2×2-1+2×20+…+2×2n-3-(2n-5)×2n-2 =()n 1n 23122n 524----+--⨯ ∴()n 2n 7S 2n 724-=+-⨯.【变式备选】已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为-4， （1）求数列{a n }的通项公式;（2）设()n 1*n n b 4a q (q 0,n N )-=-≠∈，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】(1)设{a n }的公差为d,由已知得113a 3d 6,8a 28d 4.+=⎧⎨+=-⎩ 解得a 1=3,d=-1. 故a n =3-(n-1)=4-n.（2）由（1）可得,b n =n ·q n-1,于是012n 1n S 1q 2q 3q n q .-=+++⋯+g g g g若q≠1，将上式两边同乘以q,qS n=1·q1+2·q2+…+(n-1)·q n-1+n·q n. 两式相减得到(q-1)S n=nq n-1-q1-q2-…-q n-1=()n1nnnnq n1q1 q1nqq1q1+-++--=--于是,()()n1nnnq n1q1 S,q1+-++ =-若q=1，则()nn n1S123n2+=+++⋯+=.所以，()()()()n1nn2n n1q1,2Snq n1q1(q1,q0).q1++⎧=⎪⎪=⎨-++⎪≠≠⎪-⎩。
单元评估检测（九）（第九、十章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·福州模拟)如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为( )(A)83 (B)84(C)85 (D)862.（2012·辽阳模拟）某单位员工按年龄分为A、B、C三个组，其人数之比为5∶4∶1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知，则该单位员工总数为( )C组中甲、乙两人均被抽到的概率为125（A）110 （B）100 （C）90 （D）80 3.有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：甲乙现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好，应检验哪项指标( )（A）期望与方差（B）正态分布（C）K2 （D）概率4.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈.③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是( )（A）①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样（B）①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样（C）①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样（D）①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样5.(2012·杭州模拟)下面的程序语句输出的结果S为( )(A)17 (B)19(C)21 (D)236. (2012·泉州模拟)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )(A)62 (B)63 (C)64 (D)657.(预测题)某样本数据的频率分布直方图的部分图形如图所示，则数据在[55,65)的频率约为( )(A)0.025 (B)0.02 (C)0.5 (D)0.058. 如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )(A)a 1>a 2 (B)a 2>a 1(C)a 1＝a 2 (D)a 1、a 2的大小不确定 9.已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )（A ）求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(n ∈N *)（B ）求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(n ∈N *) （C ）求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(n ∈N *)（D ）求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(n ∈N *) 10.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K 2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是( )（A ）90% （B ）95% （C ）97.5% （D ）99.5% 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11.如图，判断正整数x 是奇数还是偶数，①处应填______.12.如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的n 值为_____.13.某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取______名学生.14.(2012·厦门模拟)如图所示的是某班60名同学参加2011年高中数学毕业会考所得成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，根据图中可得出的该班不及格(60分以下)的同学的人数为_____.15.(2012·龙岩模拟)已知x、y的取值如下表所示：若y与x线性相关，且y$＝0.95x+a,则a＝_____.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.（13分）（2012·唐山模拟）某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名，现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩.（1）求抽取的男生和女生的人数.（2）男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率.（3）从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2：表1：表2：分别估计男生和女生的平均分，并估计这450名学生的平均分.（精确到0.01）17.（13分）给出算法：第一步：输入大于2的整数n.第二步：依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，并输出所有能整除n 的数.试将上述算法写成程序.18.（13分）（2012·济南模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值大于或等于98且小于106的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（1）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（2）由以上统计数据填写2×2列联表，问在犯错误的概率不超过0.1的前提下是否可认为“A 配方与B 配方的质量有差异”.19.（13分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a $$$＝＋；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？20.(14分)(易错题)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；(2)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为x甲＝85，x乙＝85，甲的方差为D1＝35.5，乙的方差为D2＝41.现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由.21.（14分）某商场庆“五一”实行优惠促销，规定若购物金额x在800元以上(含800元)打8折；若购物金额在500元以上(含500元)打9折；否则不打折.请设计一个算法程序框图，要求输入购物金额x，能输出实际交款额，并写出程序.答案解析1.【解析】选C.由题设去掉最高分90，最低分73，所剩数据的平均数为838287858885.5＝++++2.【解析】选B.设甲被抽到的概率为x,单位员工总数为a,由题意知乙被抽到的概率为x. ∴21x ,25=∴x=1,5∴a 5,201=∴a=100, 故选B.3.【解析】选 A.应该评价抗拉强度的大小和波动情况，故应从期望和方差入手.4.【解析】选 A.观察所给的三组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，是简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，是系统抽样，③个体有明显的差异，所以选用分层抽样法，是分层抽样，故选A. 【方法技巧】简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法,简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的.5.【解题指南】该程序是当型循环，进入依次执行循环，直至结束. 【解析】选A.i 从1开始，依次取3,5,7,9，…，当i<8时，循环继续进行，故当i ＝9时，跳出循环，故输出S ＝2×7＋3＝17.6.【解题指南】求解本题需看懂茎叶图，找出甲、乙的中位数，相加即得. 【解析】选C.由题意知：甲的比赛得分由高到低为： 41，39，37，34，28，26，23，15，13 乙的比赛得分由高到低为：47，45，38，37，36，33，32，25，24∴甲、乙的中位数分别为28，36，故和为64，选C.7.【解析】选A.在图形中并没有明确的数据分布在区间[55,65)中，但是有[50,60)，[60,70)段上的频率分布，据此估计样本在[55,65)上的频率应该在[50,60)和[60,70)的频率分布之间,因为在[50,60)之间的频率为0.02，在[60,70)之间的频率为0.03,由选项可知，选A.8.【解析】选B.∵甲、乙分数在70、80、90各分数段的打分评委人数一样多，先去掉一个最高分和一个最低分，两名选手的分数都只剩十位数为8的，故只需看个位数的和，乙的个位数字总和为25，甲的个位数字总和为20， ∴a 2>a 1，故选B.9.【解析】选 B.由所给的程序框图可知其算法为求111111S 246810210⋯⨯＝＋＋＋＋＋＋的值，共有10项，故选B. 10.【解析】选C.∵K 2＝6.023＞5.024，∴市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是1-0.025=97.5%.故选C.11.【解析】由奇数、偶数性质知正整数x 除以2的余数为1时为奇数，不为1时为偶数，再由判断框意义知①处应为r ＝1？ 答案：r ＝1?12.【解析】依次执行程序得n=3,f(x)=x 3;n=3-2=1,f(x)=x;n=1-2=-1,f(x)=x -1,此时f(x)在(0,+∞)上单调递减，满足退出条件，故输出n 的值为-1. 答案：-113.【解析】由已知，C 专业有1 200-380-420=400名学生，根据分层抽样的方法，可得C 专业应抽取400120401 200⨯=名学生. 答案：4014.【解析】由频率分布直方图可知不及格人数为60×(0.01+0.015)×10=15. 答案：1515.【解析】由于回归直线方程必过(,x y ), 而()0,1x 13424=+++=().....,1y 22434867454=+++= ∴4.5=0.95×2+a,解得a=2.6. 答案：2.616.【解析】(1)由抽样方法知： 抽取的男生人数为4525025450⨯=，抽取的女生人数为4520020450⨯=， (2)男生甲和女生乙被抽到的概率均为0.1.所以男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率为1-（1-0.1）2=0.19. (3)由(1)知：m=25-（3+8+6）=8，n=20-（2+5+5）=8，据此估计男生平均分为65375885895681.8.25⨯+⨯+⨯+⨯=女生平均分为65275585895583.20⨯+⨯+⨯+⨯= 这450名学生的平均分为81.825832082.33.45⨯+⨯≈ 17.【解析】18.【解析】(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为4222640.64,100100+==所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.64. 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为4232740.74100100+==，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.74.(2)2×2列联表：根据题中的数据计算：K 2的观测值2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（）=220064267436 2.337 5;138********⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯（） 由于2.337 5<2.706,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“A 配方与B 配方的质量有差异”. 19.【解析】(1)如图所示：(2)4i i i 1x y 3 2.543546 4.566.5=⨯⨯⨯⨯∑＝＋＋＋＝， 3456x 4.54+++＝＝， 2.534 4.5y 3.54+++＝＝， 422222i i 1x 345686=∑＝＋＋＋＝，266.54 4.5 3.566.563b 0.7864 4.58681-⨯⨯--⨯-$＝＝＝， a y bx 3.50.7 4.50.35.-⨯$$＝＝－＝故线性回归方程为y $＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤).20.【解析】(1)作出如图所示的茎叶图，易得乙组数据的中位数为84.(2)派甲参赛比较合适，理由如下：∵x甲＝85，x乙＝85，D1＝35.5，D2＝41，∴x甲＝x乙，D1<D2，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适.【变式备选】某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.【解析】(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分＝数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为225.0.08(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，÷10＝0.016.频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，＝故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是90.6.1521.【解题指南】由题意知，需分情况交款，应用条件结构和条件语句解答本题.【解析】程序框图：程序：。
世纪金榜答案2023版数学一、填空题1.3【考点】根据观察到的图形确定几何体【解析】从上面看到竖着两个，从正面看到竖着，从侧面看到三个。
故答案为：3。
【分析】先由题目已知分析几何体的层数、列数、行数，再分析得具体的数量。
2. 3；24；30；3/5【考点】分数与除法的关系，分数的基本性质，分数与小数的互化【解析】【解答】解：3÷5=24/40=18÷30=3/5=0.6。
故答案为：3；24；30；3/5。
【分析】小数化分数，先把小数化成分母是10、100、1000等的数，然后能约分的要约分；分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；在分数与除法的关系中，分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。
3. 1/12；17【考点】合数与质数的特征，分数单位的认识与判断【解析】【解答】解：7/12 的分数单位是1/12；2=24/12，24-7=17，所以再添17个分数单位就是最小的质数。
故答案为：1/12；17。
【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫计数单位；把2写成分母是12的分数，然后确定再添的计数单位的个数。
4. 0【考点】2、5的倍数的特征，3的倍数的特征【解析】【解答】解：□里填上0，这个数既是3的倍数又是5的倍数。
故答案为：0。
【分析】3的倍数的特征：各个数所以位上的数字之和是3的倍数；5的倍数的特征：数的末尾是0和5的数；□里填的数字是0或5，当填的数字是0时，2+7+0=9，是3的倍数，0合适，当填的数字是5时，2+7+5=14，不是3的倍数，5不合适，所以□里填0。
5. 4；96【考点】正方体的特征，正方体的表面积【解析】【解答】解：这个正方体的棱长=48÷12=4（cm），再得这个正方体的表面积=4×4×6=96（cm2）。
故答案为：4；96。
【分析】正方体的12条棱长都相等，所以正方体的棱长和=棱长×12，正方体的表面积=棱长×棱长×6。
课时提能演练(十五)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1. 1.（2012·厦门模拟）已知a,b,c,d成等差数列，函数y=ln(x+2)-x 在x=b处取得极大值c,则b+d=（）(A)-1 (B)0 (C)1 (D)22.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f′(x)≥0，则必有( )(A)f(0)+f(2)＜2f(1)(B)f(0)+f(2)≤2f(1)(C)f(0)+f(2)≥2f(1)(D)f(0)+f(2)＞2f(1)3.(2011·辽宁高考)函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为( )(A)(-1，1) (B)(-1，+∞)(C)(-∞，-1) (D)(-∞，+∞)4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间[-1,2]上是减函数，那么b+c( )(A)有最大值152(B)有最大值-152(C)有最小值152 (D)有最小值-1525.函数f(x)=12e x(sinx+cosx)在区间[0，2π]上的值域为( )(A)[12，122eπ] (B)(12，122eπ)(C)[1，2e π] (D)(1，2e π)6.(易错题)已知函数y=f(x)(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x)<0的解集为( )(A)(-∞，12)∪(12,2)(B)(-∞，0)∪(12，2)(C)(-∞，12) ∪(12，+∞)(D)(-∞，12)∪(2，+∞)二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知函数f(x)=x 3+3mx 2+nx+m 2在x=-1时有极值0，则m+n=___________. 8.已知函数f(x)=alnx+x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________.9.（2012·龙岩模拟)已知α、β是三次函数f(x)=3211x a x 2b x32++ (a,b∈R)的两个极值点，且α∈(0,1),β∈(1,2),则b 2a 1--的取值范围是______.三、解答题(每小题15分，共30分)10.（预测题）已知函数f(x)=lnx-a.x(1)求函数f(x)的单调增区间;，求实数a的值.(2)若函数f(x)在［1,e］上的最小值为3211.(2011·福建高考)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=a+10(x-6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，x3每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【探究创新】(16分)某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润=产值-成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？答案解析1.【解析】选D.y ′=11x 2-+,令y ′=0，得x=-1,即b=-1,c=ln1-(-1)=1, 又a,b,c,d 成等差数列， ∴d=b+2(c-b)=3, ∴b+d=-1+3=2.2.【解题指南】分x>1和x ＜1两种情况讨论单调性. 【解析】选C.当x>1时，f ′(x)≥0, 若f ′(x)=0,则f(x)为常数函数，若f ′(x)>0，则f(x)为增函数,总有f(x)≥f(1). 当x<1时，f ′(x)≤0,若f ′(x)=0，则f(x)为常数函数. 若f ′(x)<0,则f(x)为减函数，总有f(x)≥f(1), ∴f(x)在x=1处取得最小值.即f(0)≥f(1),f(2)≥f(1),∴f(0)+f(2)≥2f(1).3.【解题指南】构造函数g(x)=f(x)-(2x+4)，判断其单调性，求解.【解析】选B.由已知，[f(x)-(2x+4)]′=f ′(x)-2＞0， ∴g(x)=f(x)-(2x+4)单调递增，又g(-1)=0，∴f(x)＞2x+4的解集是(-1，+∞). 4.【解析】选B.由f(x)在[-1,2]上是减函数，知 f ′(x)=3x 2+2bx+c ≤0，x ∈[-1,2]，则()()f 132b c 0f 2124b c 0'-=-+≤⎧⎪⎨'=++≤⎪⎩⇒15+2b+2c ≤0⇒b+c ≤-152.5.【解析】选A.f ′(x)=12e x (sinx+cosx)+12e x (cosx-sinx)=e x cosx ， 当0<x<2π时,f ′(x)>0,∴f(x)是[0，2π]上的增函数.∴f(x)的最大值为f(2π)=122e π，f(x)的最小值为f(0)= 12.∴f(x)的值域为[12,122e π].6.【解析】选B.由f(x)图象的单调性可得f ′(x)在(-∞，12)和(2，+∞)上大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x)<0的解集为(-∞，0)∪(12，2).7.【解析】∵f ′(x)=3x 2+6mx+n,∴由已知可得()()()()()()()3222f 113m 1n 1m 0,f 1316m 1n 0⎧-=-+-+-+=⎪⎨'-=⨯-+-+=⎪⎩∴m 1n 3=⎧⎨=⎩或m 2n 9=⎧⎨=⎩,当m 1n 3=⎧⎨=⎩时，f ′(x)=3x 2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立与x=-1是极值点矛盾， 当m 2n 9=⎧⎨=⎩时，f ′(x)=3x 2+12x+9=3(x+1)(x+3),显然x=-1是极值点，符合题意， ∴m+n=11. 答案：11【误区警示】本题易出现求得m,n 后不检验的错误. 8.【解析】∵f(x)=alnx+x ，∴f ′(x)=ax +1.又∵f(x)在[2,3]上单调递增， ∴ax +1≥0在x ∈[2,3]上恒成立，∴a ≥(-x)max =-2，∴a ∈[-2，+∞). 答案：[-2，+∞)9.【解析】f ′(x)=x 2+ax+2b,由题意知，方程f ′(x)=0有两根α、β，一根α∈(0,1),另一根β∈(1,2),∴()()()f 101a 2b 0f 002b 0,2a 2b 40f 20'<⎧++<⎧⎪⎪'>⇒>⎨⎨⎪⎪++>'>⎩⎩设b 2z ,a 1-=-结合线性规划得z 的取值范围为(14,1).答案：(14,1)10.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),且f ′(x)=221a x a x xx++=.a ≥0时，f ′(x)＞0,∴f(x)的单调增区间为(0,+∞),a ＜0时，令f ′(x)＞0,得x ＞-a,∴f(x)的单调增区间为(-a,+∞). (2)由(1)可知，f ′(x)=2x a x,①若a ≥-1,则x+a ≥0,即f ′(x)≥0在［1,e ］上恒成立，f(x)在［1,e ］上为增函数，∴f(x)min =f(1)=-a=32,∴a=-32(舍去).②若a ≤-e,则x+a ≤0，即f ′(x)≤0在［1,e ］上恒成立，f(x)在［1,e ］上为减函数，∴f(x)min =f(e)=1-ae=32,∴a=-e2(舍去).③若-e ＜a ＜-1,当1＜x ＜-a 时，f ′(x)＜0, ∴f(x)在(1,-a)上为减函数，当-a ＜x ＜e 时，f ′(x)＞0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数. ∴f(x)min =f(-a)=ln(-a)+1=32,∴综上所述，【变式备选】已知函数f(x)=2x+alnx-2(a ＞0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间;(2)若对于任意的x ∈(0,+∞)，都有f(x)＞2(a-1)成立，试求实数a 的取值范围;(3)记g(x)=f(x)+x-b(b ∈R).当a=1时，方程g(x)=0在区间［e -1,e ］上有两个不同的实根，求实数b 的取值范围. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为f ′(x)=-22a xx +，且知直线y=x+2的斜率为1. 所以f ′(1)=-22a 11+=-1,所以a=1.所以f(x)=2x+lnx-2.f ′(x)= 2x 2x-.由f ′(x)＞0,解得x ＞2;由f ′(x)＜0解得0＜x ＜2. 所以f(x)的单调增区间是(2,+∞)，单调减区间是(0,2). (2)f ′(x)=-222a a x 2xxx -+=.由f ′(x)＞0解得x ＞2a;由f ′(x)＜0解得0＜x ＜2a.所以f(x)在区间(2a,+∞)上单调递增，在区间(0, 2a)上单调递减.所以当x=2a时，函数f(x)取得最小值，y min =f(2a).因为对任意的x ∈(0,+∞)都有f(x)＞2(a-1)成立，所以f(2a )＞2(a-1)即可.则22a+aln 2a -2＞2(a-1)，即aln 2a＞a,解得0＜a ＜2e.所以a 的取值范围是(0, 2e).(3)依题意得g(x)= 2x+lnx+x-2-b,则g ′(x)=22xx 2x+-.由g ′(x)＞0解得x ＞1;由g ′(x)＜0解得0＜x ＜1.所以函数g(x)在区间(0,1)上为减函数，在区间(1,+∞)上为增函数.又因为方程g(x)=0在区间［e -1,e ］上有两个不同的实根，所以()()()1g e 0g e 0.g 10-⎧≥⎪⎪≥⎨⎪⎪⎩＜解得1＜b≤2+e-1.e+e-1］.所以b的取值范围是(1,2e11.【解析】(1)因为x=5时y=11，+10=11,所以a=2；所以a2+10(x-6)2，(2)由(1)知该商品每日的销售量y=2-x3所以商场每日销售该商品所获得的利润：+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3＜x＜6；f(x)=(x-3)[2-x3从而f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6)，令f′(x)=0得x=4,函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当x=4时函数f(x)取得最大值f(4)=42.答：当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【探究创新】【解析】(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*，且1≤x ≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x≤19).(2)P′(x)=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),∵x>0,∴P′(x)=0时,x=12，当0<x<12时，P′(x)>0,当x>12时，P′(x)<0,∴x=12时，P(x)有极大值，也是最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.(3)MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.。
阶段滚动检测（二）（第一～四章） （120分钟 150分） 第I 卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)已知命题p:对任意的x ∈R ，有sinx ≤1，则﹁p 是( ) (A)存在x ∈R ，有sinx ≥1 (B)对任意的x ∈R ，有sinx ≥1 (C)存在x ∈R ，有sinx ＞1 (D)对任意的x ∈R ，有sinx ＞12.(2011·四川高考)复数1i i-+=( ) (A)-2i (B)12i (C)0 (D)2i3.若AB =(1,1),AC =(3,8),AD =(0,1),BC CD + =(a,b),则a+b=( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)24.过原点和复数1-i 在复平面内对应点P 的直线OP 的倾斜角为( )()()()()32A B C D 4443ππππ-5.已知tan α=-12，则sin22cos24cos24sin2α+αα-α的值是( )()()()()5511A B C D 221414-- 6.(2012·青岛模拟)已知非零向量、a b 满足||+=-a b a b 且3=22a b ，则-与a b a 的夹角为( ) ()()()()2A B 335C D 66ππππ7.已知点O(0,0),A(2,1),B(-1,7)，1OP OA BA 3=+，又OQ OP ⊥，且|OQ |=2，则Q 点的坐标为( )()()()()A ((B (555555C (D --或或8.(滚动单独考查)如图所示，单位圆中弧AB 的长为x, f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成弓形的面积的2倍，则函数 y=f(x)的图象是( )9.(2012·杭州模拟)若点H 是△ABC 的垂心，且OH OA OB OC =++，则点O是△ABC 的( )(A)垂心 (B)内心 (C)外心 (D)重心10.在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )()()()()11A B 3223C D 34第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2012·衢州模拟)在△ABC 中，D 在线段BC 上，B D 2DC ,AD m A==+，则mn=____________. 12.在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、 60°，则塔高为 ____________m.13.已知α∈(0,π)，sin α+cos α=15-，则sin α-cos α=____________.14.(滚动单独考查)已知221x 1x f 1x 1x--=++（），则f(x)的解析式为______. 15.给出下列4个命题:①非零向量，a b 满足||==-a b a b ，则+与a a b 的夹角为30°;②“a b ＞0”是“a b 的夹角为锐角”的充要条件;③将函数y=|x+1|的图象按向量a =(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=|x+2|;④在△ABC 中，若()()AB AC AB AC 0,+-=则△ABC 为等腰三角形. 其中正确的命题是____________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(13分)已知函数f(x)=cos 2x+sinxcosx (x ∈R). (1)求f(38π)的值; (2)求f(x)的单调递增区间.17.(13分)(2012·哈尔滨模拟)在四边形ABCD 中，AD 12,CD 5,AB 10,===DA DC AC ,+=AB AC 在方向上的投影为8.(1)求∠BAD 的正弦值; (2)求△BCD 的面积.18.(13分)(2012·郑州模拟)在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2B2sinB(2cos 1)2-= (1)求B 的大小;(2)如果b=2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值.19.(13分)如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足AP 2BP 3CP ++=，0设Q 为CP延长线与AB的交点，求证：CQ2CP=.20.(14分)已知点F(1,0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，设P(0,b)，M(a,0)且PM PF0+=0.=，动点N满足2PN NM(1)求点N的轨迹C的方程;(2)F′为曲线C的准线与x轴的交点，过点F′的直线l交曲线C于不同的两点A、B，若D为AB的中点，在x轴上存在一点E，使()-=，A B A E A D0求OE的取值范围(O为坐标原点).21.(14分)(滚动单独考查)函数f(x)=x3-(a+1)x+a,g(x)=xlnx.(1)若y=f(x)，y=g(x)在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程; (２)若F(x)=f(x)-g(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围.答案解析1.【解析】选C.“任意”的否定为“存在”；“≤”的否定为“＞”，故选C.2.【解析】选A.21ii i i i 2i ii --+=-+=--=--.故选A. 3.【解析】选A.∵BC CD BD AD AB +==-=(-1,0),∴a=-1,b=0,∴a+b=-1. 4.【解析】选C.设倾斜角为α，如图所示,易知α＝3.4π5.【解析】选C.tan α=-1,2则tan2α=-4,3原式=tan221.44tan214α+=-α6.【解析】选A.∵||,+=-a b a b ∴222222,0,++=-+∴=a a b b a a b b a b ∴222()||,-=-=-=-a b a a b a a a||2||,-====b a a 设-与a b a 的夹角为θ，则2()1cos ,||||2||2--θ===--a a b a a b a a a又θ∈［0,π］,∴θ=2.3π7.【解题指南】设Q 点的坐标为(x,y)，根据条件列出关于x 、y 的方程组. 【解析】选A.OP =(2,1)+13(3,-6)=(3,-1),设Q 点的坐标为(x,y)，则根据题意列方程组223x y 0x y 4-=⎧⎨+=⎩，解之得x x y y 55⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩8.【解题指南】可根据f(x)递增速度的快慢解答.【解析】选D.当弦AB 未过圆心时，f(x)以递增速度增加，当弦AB 过圆心后，f(x)以递减速度增加，易知D 正确.9.【解析】选 C.OH OA OB OC AH OB OC,=++⇒=+取BC 的中点D ，则OB OC 2OD,AH 2OD.+=∴=又AH BC OD BC,⊥∴⊥，∴点O 在BC 的中垂线上. 同理点O 在CA 、AB 的中垂线上，所以点O 是△ABC 的外心. 10.【解析】选C.由PA PB PC AB,++=得PA PB PC AB ,++-=0即PA PB BA PC ,+++=0PA PA PC ,++=得0即2PA CP =，所以点P 是CA 边上的一个三等分点，故PBCABC1BC PC sinCS BC PC 22.1S BC AC 3BC AC sinC 2=== 11.【解析】由题意AD m AB n AC,=+AD AB BD =+又2AB BC 3=+()2AB AC AB 3=+-12AB AC 33=+ ∴1212m 1m AB n AC AB AC m ,n ,.3333n 2+=+∴==∴=，答案：1212.【解析】如图所示，设塔高为h m.由题意及图可知: (200-h)·tan60°=200tan60︒.解得:h=4003(m).答案：400313.【解析】∵(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=125,∴2sin αcos α=24,25-又α∈(0,π),∴sin α＞0，∴cos α＜0，sin α-cos α＞0, 又(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α=125-2×(2425-)=4925.∴sin α-cos α=75. 答案：7514.【解析】令1x t 1x -=+，由此得1tx 1t-=+, 所以f(t)=2221t 12t 1t ,1t 11t--+=+++（）（）从而f(x)的解析式为f(x)=22x.1x+ 答案：f(x)=22x1x + 15.【解析】①考虑向量和、差的平行四边形法则，不难判断结论正确；②当，a b 的夹角为0°时，0＞a b 也成立，结论错误；③由两个函数图象容易判断结论正确；④可得22AB AC ,=即AB AC =,正确.所以①③④正确. 答案：①③④16.【解题指南】(1)在f(x)的表达式中有平方、有乘积，所以首先应该想到降幂.降幂可以用二倍角公式进行.(2)f(x)=12sin2x+12cos2x+12考虑到和角公式，需增辅助角. 【解析】()1cos2x 1f x sin2x 22+=+111sin2x cos2x 222=++12=++1),242π=++(1)311f ().822π=π+= (2)令2k π-2π≤2x+4π≤2k π+2π,k ∈Z,∴32k 2x 2k 44πππ-≤≤π+,k ∈Z, 即3k x k 88πππ-≤≤π+ (k ∈Z)时，f(x)单调递增. ∴f(x)的单调递增区间为［3k ,k 88πππ-π+］(k ∈Z).【方法技巧】解三角函数问题的变形技巧.(1)变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角； (2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.17.【解析】(1)∵DA DC AC +=，∴∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，AD 12CD 5,==，∴AC 13,=cos ∠DAC=1213,sin ∠DAC=513.∵AB AC 在方向上的投影为8，∴|AB |cos ∠CAB=8,|AB |=10,∴cos ∠CAB=45,∵∠CAB ∈(0,π), ∴sin ∠CAB=35,∴sin ∠BAD=sin(∠DAC+∠CAB)=56.65 (2)S △ABC =1AB AC 2sin ∠BAC=39,S △ACD =1AD CD 2=30,S △ABD =1672AB AD sin BAD ,213∠=∴S △BCD =S △ABC +S △ACD -S △ABD =225.1318.【解析】(1)2sinB(2B2cos 12-)=-cos2B ⇒2sinBcosB=-cos2B ⇒∵0＜B＜2π,∴0＜2B＜π,∴2B=2,3π∴B=3π.(2)由(1)知B=3π∵b=2，由余弦定理，得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立),∵△ABC的面积ABC1S acsinB24==≤∴△ABC19.【证明】∵AP AQ QP,BP BQ QP,=+=+∴()()AQ QP2BQ QP3CP,++++=0∴AQ3QP2BQ3CP,+++=0又∵A，B，Q三点共线,C，P，Q三点共线,故可设A Q B Q,=λ=μ∴λB Q3Q P2B+++μ=0∴(2)BQ(33)QP.λ+++μ=0而BQ QP，为不共线向量,∴20.330λ+=⎧⎨+μ=⎩∴λ=-2,μ=-1.∴CP QP PQ.=-=故CQ CP PQ2CP.=+=20.【解析】(1)P(0,b),M(a,0),设N(x,y),由2PM PF0a b0,=⇒+=①由2PN NM+=0⇒()2x a x02y b y0+-=⎧⎪⎨--=⎪⎩a x.1b y2=-⎧⎪⇒⎨=⎪⎩②将②代入①得曲线C的轨迹方程为y2=4x.(2)由(1)得点F′的坐标为(-1,0)，设直线l:y=k(x+1),代入y2=4x，得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,由22k00k1⎧≠⇒⎨∆⎩＜＜＞,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则2022kxk-=,y0=2,k∵()AB AE AD0AB DE,-=⇒⊥故直线DE的方程为22212ky(x)k k k--=--，令y=0，得x E =1+22k (0＜k 2＜1)⇒x E ＞3,即|OE |的取值范围是(3,+∞). 【方法技巧】利用向量法解决解析几何问题(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，求得向量坐标从而进行运算.(2)平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答.21.【解析】(1)f ′(x)=3x 2-(a+1),g ′(x)=lnx+1,∴f ′(1)=2-a,g ′(1)=1,∵两曲线在x=1处的切线互相垂直,∴(2-a)×1=-1,∴a=3,∴f ′(1)=-1，f(1)=0,∴y=f(x)在x=1处的切线方程为x+y-1=0.同理，y=g(x)在x=1处的切线方程为x-y-1=0.(2)由F(x)=x 3-(a+1)x+a-xlnx得F ′(x)=3x 2-(a+1)-lnx-1=3x 2-lnx-a-2,∵F(x)=f(x)-g(x)在定义域上单调递增,∴F ′(x)≥０恒成立,即a ≤3x 2-lnx-2,令h(x)=3x 2-lnx-2,h ′(x)=6x-1x(x ＞0)，令h ′(x)＞０得x令h ′(x)＜０得0＜x ,∴h(x)min 31ln622-+,∴a的取值范围为(-∞, 31ln6-+］.22。
核心导学：知识点：斜二测画法观察图形，回答下列问题：问题1：工程师根据什么方法来绘制图纸？问题2：斜二测画法的关键是什么？总结提升：1、斜二测画法中的“斜”和“二测”“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与'x轴成45︒或135︒；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于'x轴或'z轴的线段长度不变；平行于'y轴的线段长度变为原来的一半。
2、斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等。
即使尽量多的点或线落在坐标轴上。
3、直观图中的“变”与“不变”（1）平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变。
（2）点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化（特别是垂直关系有变化）。
（3）有些线段的度量关系也发生变化，因此图形的形状发生变化，这种变化，，目的是使图形富有立体感。
题型探究类型一：平面图形的直观图【典例】1.如图所示，一个水平放置的正方形ABCD ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2,2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图''''A B C D 中，''''A B C D 的形状是 ，顶点'B 到'x 轴的距离为 ，''''A B C D S =2.用斜二测画法画出图中五边形ABCDE 的直观图。
【变式训练】如图所示，梯形ABCD 中//,4AB CD AB cm =，2CD cm =，30DAB ∠=︒，3AD cm =，试画出它的直观图。
类型二：简单几何体的直观图【典例】1.如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是（ ）2.已知某几何体的三视图如图，请画出它的直观图（单位：cm ）。
课时提能演练(七十八)1.判断方程t tt tx 22y 22--⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数)表示的曲线的形状. 2.(2012·武汉模拟)求直线x 14t y 13t=+⎧⎨=--⎩ (t 为参数)被曲线)4πρ=θ+所截的弦长.3.若动点(x,y)在曲线222x y 14b+= (b>0)上变化，求z=x 2+2y 的最大值和最小值.4.已知点P(x,y)是圆x 2+y 2=2y 上的动点， (1)求yx 2+的取值范围； (2)若3x+4y+a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围.5.已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为12，点P(x,y)是椭圆上的点，若的最大值为10，求椭圆的标准方程．6.已知直线l 过点P(2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求： (1)|PM|；(2)M 点的坐标；(3)|AB|.7.(2012·沈阳模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l 的参数方程是：x t 2y t 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数). (1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1,求曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值. 8.(2012·太原模拟)已知曲线C 1：x 4costy 3sint=-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，C 2：x 8cos y 3sin =θ⎧⎨=θ⎩(θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t=2π， Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3:x 32t y 2t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)距离的最小值.9.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x 3t y t 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ=θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(3，求|PA|+|PB|. 10.直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,Ox 为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l 的参数方程为1x t 21y t 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数).(1)写出曲线C 在直角坐标系的标准方程和直线l 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点M 在曲线C 上移动，试求△ABM的面积的最大值.答案解析1.【解题指南】注意到2t 与2-t 互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项. 【解析】x 2-y 2=(2t -2-t )2-(2t +2-t )2=-4,即y 2-x 2=4. 由于2t >0,2t +2-t≥=2， 即y ≥2.≨y 2-x 2=4(y ≥2).它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支. 2.【解析】由x 14ty 13t=+⎧⎨=--⎩得直线的普通方程为3x+4y+1=0,≧ρθ+4π)=cos θ-sin θ,≨ρ2=ρcos θ-ρsin θ,≨x 2+y 2=x-y,即22111(x )(y ).222-++=由点到直线的距离公式,得圆心C(11,22-)到直线3x+4y+1=0的距离11|34()1|1d ,10⨯+⨯-+==所以弦长为7.5== 3.【解题指南】设曲线的参数方程,建立目标函数,结合三角函数的值域以及二次函数的图象和性质,讨论正参数b 的取值范围,从而求得最大值和最小值.注意分段函数的表示和应用.【解析】由于点(x,y)在曲线222x y 14b += (b>0)上变化，故设x 2cos y bsin =θ⎧⎨=θ⎩ (θ为参数),≨x 2+2y=(2cos θ)2+2bsin θ =4cos 2θ+2bsin θ =-4sin 2θ+2bsin θ+4=22b b 164(sin ).44+-θ-+由于-1≤sin θ≤1,b>0, 当b 4>1,即b>4时，z max =2b,z min =-2b ；当0<b 4≤1,即0＜b ≤4时，2max b 16z 4+=， z min =-2b.综上所述,2maxb 16,0b 4z ,42b,b 4⎧+<≤⎪=⎨⎪ >⎩z min =-2b(b>0).4.【解题指南】(1)设圆的参数方程,建立目标函数,结合三角函数的性质,转化为不等式求解;也可以运用动直线与圆有公共点,利用一元二次方程的根的判别式的不等式解决;(2)不等式的恒成立问题,通常转化为求变量的最大值或最小值问题来解决:若a ≥f(x,y)恒成立,则a ≥f(x,y)max ;若a ≤f(x,y)恒成立,则a ≤f(x,y)min . 【解析】由于点P(x,y)是圆x 2+y 2=2y 上的动点，故设圆的参数方程为x cos y 1sin =θ⎧⎨=+θ⎩，(1)方法一:令y sin 1k,x 2cos 2θ+==+θ+ 则sin θ-kcos θ=2k-1,)2k 1θ+ϕ=- ≨sin()θ+ϕ=由于|sin(θ+φ)|≤1,1,≤两边平方,整理,得3k 2-4k ≤0,解得0≤k ≤4,3≨y x 2+的取值范围是［0,43］. 方法二:令yx 2+=k,则y=kx+2k,代入x 2+y 2=2y,整理,得 (1+k 2)x 2+(4k 2-2k)x+4k 2-4k=0,由题意,得Δ≥0,即(4k 2-2k)2-4(1+k 2)(4k 2-4k)≥0, 化简,得3k 2-4k ≤0,解得0≤k ≤4,3≨y x 2+的取值范围是［0,43］. (2)由题意，得3x+4y+a=3cos θ+4sin θ+4+a ≥0, ≨a ≥-(3cos θ+4sin θ)-4, ≨a ≥-5sin(θ+φ)-4, ≧-9≤-5sin(θ+φ)-4≤1, ≨a ≥1.所以实数a 的取值范围是［1,+≦).5.【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上且离心率为12，设椭圆标准方程是2222x y 14c 3c +=，c>0,它的参数方程为x 2ccos y =θ⎧⎪⎨=θ⎪⎩ (θ是参数).由于点P(x,y)是椭圆上的点，于是θ+3csin θ=5csin(θ+φ),所以的最大值是5c ，依题意,得5c=10，解得c=2，所以椭圆的标准方程是22x y 1.1612+=6.【解析】(1)≧直线l 过点P(2，0)，斜率为4,3设直线的倾斜角为α,tan α=4,3sin α=4,5cos α=3,5≨直线l 的参数方程为3x 2t 54y t 5⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝ (t 为参数)(*)≧直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2=2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0,且Δ=152+4×8×50>0, 设这个一元二次方程的两个根为t 1、t 2, 由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝15,8t 1t 2＝254-，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义， 得12t t 15PM .216+＝＝(2)≧中点M 所对应的参数为M 15t ,16=将此值代入直线的参数方程(*)， 点M 的坐标为31541x 2516164153y 5164⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩， 即M(413164，)为所求. (3)|AB|＝|t 2－t 1|=7.【解析】(1)将曲线C ：ρ=4cos θ化为普通方程为(x-2)2+y 2=4,直线l 的普通方程是x-y+(2)将曲线C ：(x-2)2+y 2=4横坐标缩短为原来的12，得到曲线的方程为(2x-2)2+y 2=4,即4(x-1)2+y 2=4,再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2+y 2=4,即22y x 1.4+=设曲线C 1上的任意一点为(cos θ,2sin θ), 它到直线l的距离为d==|)|≤θ+ϕ≤故d 22≤≤ ≨曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值为28.【解析】(1)C 1:(x+4)2+(y-3)2=1，222x y C :1.649+=C 1为圆心是(-4,3)，半径是1的圆.C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. (2)当t=2π时，P(－4,4),Q(8cos θ,3sin θ)， 故M(-2+4cos θ,2+32sin θ).直线C 3的普通方程为x-2y-7=0，M 到C 3的距离为θ-3sin θ-13|θ+φ)-13|. 从而当cos θ=4,5sin θ=35-时，d取得最小值59.【解析】方法一：(1)由ρθ，得22x y 0+-=，即(22x y 5.+=(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得223t t 522-+=（），整理，得2t 40.-+= 由于Δ=(-2-4×4=2>0，故可设t 1、t 2是上述方程的两个实根，所以1212t t t t 4⎧+=⎪⎨=⎪⎩g又直线l 过点，故由上式及t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2= 方法二： (1)同方法一.(2)因为圆C 的圆心为(0，半径l 的普通方程为：由(22x y 5,y x 3⎧+=⎪⎨⎪=-++⎩得x 2-3x+2=0.解得x 1y 2=⎧⎪⎨=+⎪⎩x 2y 1=⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设A(1，，B(2，， 又点P 的坐标为(3， 故=10.【解析】(1)由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ,即x 2+y 2-2x=0，所以曲线C 的标准方程为(x-1)2+y 2=1,直线l 的普通方程为x-y=0. (2)圆心(1，0)到直线l的距离为d r 1,2==<=≨直线与圆相交,则圆上的点到直线l的最大距离为d r 12+=+ (r 为圆的半径)， 又≧|AB|== ≨()ABM 111S AB d r 1,2222≤+=+=V ） ≨△ABM。
