圣维南原理及其证明
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圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。
关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMS Subject Classifications: 74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。
早期有关原理有重要的文章[39] 。
波西涅克（Boussinesq）[3]于1885年、勒夫（Love）[4]于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises[5]认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg [6]赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
Zanaboni [79]-“证明”了一个定理，并称和圣维南原理有关。
图平（Toupin）[11,12]列举了更多的反例说明波西涅克和勒夫的一般性陈述不真，并建立了一个能量衰减的定理，这个定理被认为是柱体圣维南原理的数学证明，似乎具有里程碑的意义。
Berdichevskii [13]推广了图平定理。
诸多学者仿效着推导出一些定理来建立图平型衰减，并把原理推广到连续介质物理学的各个领域，诸如流体流动和热传导问题等，发展了-对原理的进展跟踪作了评论，其后又有许多方法。
Horgan 和Knowles [1416]不少新的工作。
本文将对圣维南原理的发展历史作出综述，对最重要的结果加以评论。
1.圣维南的思想：1885年法国学者圣维南在研究柱体变形问题时发现，当把外力加载到等横截面长弹性柱体的两个端面时，除开端面附近的区域，柱体中横截面上的各点的应力与各点到柱体端面的距离无关。
但是，根据弹性力学的数学理论，只有当端面的外力均匀分布时，柱体中才能产生这种均匀的变形。
圣维南是非常重视实际应用的工程师，他不研究没有实际应用价值的问题。
实际结构中，外力均匀分布的情况很少发生。
工程师和试验师通常只知道作用在梁端面上的外力的合力和合力矩而不能确定外力力系的分布。
考虑到他的结果的实际应用，圣维南觉得有必要解释，为什么他的由特殊分布外力得到的结果可以应用到一般性的、难于求解或未曾求解的实际情况。
为此他声称，作用在梁两端面上具有给定合力和合力矩的外力系的作用方式（即分布），除开端面附近以外，并不影响梁中的应力分布。
端面分布着相同的合外力和合外力矩的所有梁问题的解，都随着离开端面的距离很快地趋近一个共同的解。
这个解就是他自己给出的解。
圣维南因推广他的弹性柱体扭转问题和弯曲问题的解而形成的思想是：对无体力的、侧面自由的、处在静力平衡状态的弹性柱体，如果端面的载荷被静力等效的力系所代替，柱体中除端面邻域以外的应力场和应变场将近似保持不变。
[1,2]2 一般性的陈述、冠名为“原理”对线性弹性力学，叠加原理对载荷和形变均有效，任意两个静力等效的力系之间的差是平衡力系，于是波西涅克和勒夫分别将圣维南的思想一般化，提出了和圣维南思想等价的陈述的两种形式，并冠以“圣维南原理”的称谓：波西涅克陈述[3]: 施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。
勒夫陈述[4]：根据这个原理，由施于弹性体表面某一小部分的静平衡力系在距离大于该部分的一维线尺度的地方产生的应变是可以忽略的。
3. Mises 修改3.1.Mises 修改及Mises 证明[5]因为波西涅克处理了半无限大空间)0(>z 的边界（0=z ）上作用着非平衡力系而远处的应力是小量的问题，所以Mises 在文[5]中提出勒夫陈述不很清楚。
他说“这种形式的陈述不太清楚。
因为根据陈述施加给静止物体的力在任何情况下都必须处在平衡状态，谈及加上或减去一个非平衡力系可能是没有意义的。
原理正确的表达方式可能是：如果作用在物体上的力局限于物体表面的若干小部分上，所有部分都包含在一个半径为ε的小球内，那么，当每个小部分上的力系为平衡力系时，产生于物体内离所有这些小表面都为有限距离处的应变和应力的数量级小于各小表面上的力系为非平衡力系的情况。
”他接着说：“如果这个陈述为真，它必须能够用数学予以证明。
也就是说，它必须是弹性理论基本微分方程的结果。
但是在通常的教科书里没有尝试提供任何证明。
大多数教科书里举出的是波西涅克的结果，以此作为对它证明的参考。
但是，波西涅克处理的半无限大空间)0(>z 的边界（0=z ）上作用着的是法向力。
波西涅克证明了，如果外力系作用于0,,ηξ点且222εηξ≤+，当外力合力为零时，物体中z y x ,,点上的应力的数量级为ε，而当力系的合力矩也同时为零时，该点上的应力的数量级为2ε。
下面我们将证明，如果在0=z 点上允许作用切向力分量，一般来说情况并非如此。
…从实际应用的观点看，本文主要的结果是：如果所有的力都是平行的，而且不沿物体表面的切向，圣维南原理是适用的，但原理不能用在更加一般性的条件下。
”Mises 推出在半无限大体表面（0,,ννηξ）点作用着外力分量νννZ Y X ,,（...3,2,1=ν）时，半无限大体内（z y x ,,）点上的平均正应力的公式：∑∑∑++=-νννσπZ z Y y X x r k 336 ∑∑+-+ννννξξY xy X r x r 3)3[(1222 ∑∑++ννννηξX xy Z xz 33∑∑++-+...]3)3(22ννννηηZ yz Y r y从公式中看出：“如果νξ 和 νη的数量级是ε，我们可以得到结论：如果合力分 量∑νX ，∑νY ，∑νZ 为零，（z y x ,,）处的应力（和应变）的数量级为ε；当 且仅当6个线性距∑∑ννννξξY X ,，∑∑ννννηξX Z ,，∑∑ννννηηZ Y ,也为零 时，（z y x ,,）处的应力（和应变）的数量级才为2ε。
平衡力系的情况，也就是 ∑ννξZ = ∑ννηZ =∑-)(ννννηξX Y = 0 ，一般来说并没有超越上述6个线形距的条件（in no way distinguished ）。
只有当所有的力都互相平行，或者垂直于物体边界面，或者和边界面斜交不为零的角度，三个平衡条件才包含（6个线形距中 的）另外三个条件。
一般而论，当且仅当作用在物体表面小部分的外力转动任意 角度时仍然保持处在平衡状态（无定向平衡，astatic equilibrium ），物体内部的应变才减至2ε数量级。
”这就是说，一般而论，当边界上作用着平衡力系时，物体内z y x ,,点上的应 力的数量级为ε，和作用着合力为零但合力矩不为零的非平衡力系的情况下应力 的数量级相同而不是更小。
也就是说，物体内部的应力要减至2ε数量级，平衡 力系的条件是不充分的，还需要具备特殊的条件。
这就证明了，Mises 自己提出的修改的圣维南原理并不一般性地成立。
一般地，只有当力系是无定向的平衡力 系时，物体内z y x ,,点上的应力才具有2ε的数量级。
这可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Mises 还以圆盘问题为例证明，他的修改的圣维南原理也不成立。
由此他 认为，圣维南原理不能推广至有限大物体。
3.2. Sternberg 的证明[6]Sternberg 在文[6]中赞同Mises 对波西涅克和勒夫陈述进行澄清和修改的观点和做法。
他说：“正如Mises 指出的，上面的陈述需要澄清，因为陈述要求施加给静止物体的力在任何情况下都必须处在平衡状态。
只有当物体延伸至无穷，而且我们需要无穷远处的应力衰减为零时，谈及由施加于物体表面的有限部分的非平衡力系‘产生’的应变才有意义。
而且，在这种情况，无论载荷是否是自平衡的，由给定载荷产生的应变在离加载区域足够远的各点是任意小的。
另一方面，在无体力的情况下，选择载荷足够大或足够小，弹性体中固定点的应力和应变可以任意大或任意小。
这些观察事实进一步确认了澄清陈述的需要。
”Sternberg 举出了Mises 修改陈述, 然后说：“应该指出，这样一个解释隐含在通常的圣维南原理的应用当中。
而且，从波西涅克证明原理的努力明显地看出，这就是他头脑中的思想。
为了达到证明的目标，波西涅克考虑集中力垂直作用在具有平面边界的半无限大体。
他证明了，如果载荷作用点处在半径为ε 的小球内，只要作用力的合力为零，物体内固定点的应力分量具有ε 的数量级； 而如果作用力的合力矩也为零，则该点的应力分量具有2ε 的数量级。
” “1945年Mises 在他的对该问题的启发性的（illuminating ）论文中，用两个特例证明了，如果不具备有利的条件，恰当地澄清了的原理的通常陈述不可能成立。
Mises 选择的两个例子是三维半空间的问题和圆盘的二维问题，两个问题的载荷都是集中力表面载荷。
在这两个例子的基础上，Mises 提出了一个改进的（amended ）原理。
”“本文的目的是要对Mises 修改的（modified ）圣维南原理提供一个一般性的证明。
论证针对分片连续的外力，然后延伸到集中力的情况。
论证对任意连接的有限域和无限域均成立。
”Sternberg 考虑任意连接而成的（即不需要单连的条件）正则区域B 。
外力分布在B 内的互不相交的m 个相邻的闭域中，所有的闭域都位于一个半径为0ε的小球内。
除非B 的边界D 延伸至无穷远，每个闭域中的力都应该是平衡力系。
