1《常用逻辑用语》知识结构与题型总结

常用逻辑用语知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假假假假当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题． 练习题1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）A 、真命题与假命题的个数相同B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列说法中正确的是（ ）A 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B 、“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C 、“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <51y ”时，假设的内容应该是（ ） A 、51x ＝51yB 、51x <51yC 、51x ＝51y 且51x <51yD 、51x ＝51y 或51x >51y4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 5、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ） A 、ab ＝0 B 、a ＋b=0 C 、a ＝b D 、a 2＋b 2＝0 6、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（ ） A 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝07、“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要8、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A 、存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根9、不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ C ）A 、-1<x<3B 、0<x<3C 、-2<x<3D 、-2<x<110.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（ ）A ．m>-1,n<5B ．m<-1,n<5C ．m>-1,n>5D ．m<-1,n>511、命题：“若0>a ，则02>a ”的否命题是12、:23A x -<, 2:2150B x x --<, 则A 是B 的_____ _条件。

常用逻辑用语：命题及其关系要求层次重难点 “若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题 A 理解四种命题的相互关系；掌握充要条件的判定 四种命题的相互关系B 充要条件C 简单的逻辑联结词&全称量词与存在量词 简单的逻辑联结词 B 全称命题和存在性命题的否定 全称量词与存在量词B一、命题的四种形式1．对于“如果p ，则q ”形式的命题，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．定理：经过证明为真的命题．当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则p 可以推出q ，记作p q ，读作“p 推出q ”． 2．命题的四种形式：命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p q ，进行“换位”和“换质（否知识内容高考要求模块框架常用逻辑用语定）”后，可以构成四种不同形式的命题．⑴原命题：如果p，则q；⑵原命题的逆命题：如果q，则p；⑶原命题的否命题：如果非p，则非q；⑷原命题的逆否命题：如果非q，则非p．3．命题“如果p，则q”的四种形式之间有如下关系：⑴互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题．⑵互逆或互否的两个命题不等价．<教师备案>注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．二、充要条件如果p可推出q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．一般地，如果p q⇒，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的⇒，且q p充要条件，记作p q⇔，显然q也是p的充要条件，此时又常说“当且仅当p”或“p与q等价”．如果p q⇒，且q p¿，则称p是q的充分不必要条件，称q为p的必要不充分条件．<教师备案>充分必要条件的两个典型案例：①勾股定理．勾股定理中222+=就是直角三角形的充分必要条件，有了这个条件，我a b c们就可以通过边的长度之间的关系来研究几何中的直角三角形．②一元二次方程有实数根的充分必要条件．判别式0∆≥是一元二次方程有实数根的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以定性地研究一元二次方程的实数根．三、简单的逻辑联结词&全称量词与存在量词1．且：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p q∧，读作“p且q”．逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”定义集合的交集：{|()()}．A B x x A x B=∈∧∈2．或：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p或q联结起来，就得到一个新命题，记作p q∨，读作“p或q”．逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：{|()()}．=∈∨∈A B x x A x B3．非：一般地，对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来． 有()p p ⌝⌝=成立．可以用“非”来定义集合A 在全集U 中的补集：{|()}{|}U A x U x A x U x A =∈⌝∈=∈∉ð．4．不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题．复合问题的真值表：5．存在性命题的否定：存在性命题 p ：x A ∃∈，()p x ；它的否定是 p ⌝：x A ∀∈，()p x ⌝． 将存在量词变为全称量词，再否定它的性质． 6．全称命题的否定：全称命题 q ：x A ∀∈，()q x ；它的否定是 q ⌝：x A ∃∈，()q x ⌝． 将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．。

分析：
选项 A ，命题“若 am2＜bm2，则 a＜b”的逆命题是： “若 a＜b，则 am2＜bm2”， m 0 时，am2＜bm2 不成立，选项 A 为错误；
选项 B ，命题“存在 x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是
“对任意的 x R, x2 x 0 ”，选项 B 为错误；（命题的否定只否定结论） 选项 C ，“p 或 q”为真命题，命题 p 和命题 q 至少一个为真命题， 但不一定都为真命题，选项 C 为错误； 选项 D ，已知函数 f（x）在 R 上可导，则 f'（x0）＝0 时， f（x0）不一定是 f（x）的极值，如 f (x) x3, f (x) 3x2 ， f (0) 0 ，但 f (0) 不是极值点；如果 f（x0）为函数 f（x）的极值， 则 f (x0 ) 成立，所以选项 D 为正确.
又命题 q :若 a 1, 2,1 ， b 1, 0,1 ，
a b 1 0 1 2 0 ，则 a 与 b 不垂直，
D． p q
命题 q是假命题． p q 为真命题．
3.下列命题中真命题的个数是（ ）
①函数 y sin x ，其导函数是偶函数；
②“若 x y ，则 x2 y2 ”的逆否命题为真命题；
2．已知命题
p
:若
a
1,
2, 3
，
b
2, 4,
6
，则
a
/
/b
；命题
q
:若
a
1,
2,1
，
b
1,
0,1
，则
a
b
.下列命题为真命题的是（
）
A． p q
B b 2, 4, 6 ，
可知 b 2a ， a / /b ，命题 p 是真命题；

一、判断命题真假1下列命题中,真命题是—2X 2X 1 A. X R,sin CoS = 2 2 2B . -X (0，二）,sin X cosx2C.-X R ） X x = —1XD.—X （0, ：:），e I X2、 如果命题“ (P q） ”为假命题,则（ A. p,q 均为假命题B. p ，qC. p ，q 中至少有一个为真命题 4、给出下列命题:① 在△ ABC 中，若∠ A>∠ B,贝U Sin A > Sin B ； ② 函数y = X 3在R 上既是奇函数又是增函数;③ 函数y = f （x ）的图象与直线X= a 至多有一个交点； ④ 若将函数y = Sin 2x 的图象向左平移 丁个单位，则得到函数 y= Sin 2x+∏的图象。

其中正确命题的序号是（）A 。

①②B .②③C 。

①②③ D。

①②④《常用逻辑用语》）均为真命题D. p,q中至多有一个为真命题.2X2X 1P I : T X R, Sin—+ COS-- 2 2 21 -cos2x P 3： - X 〔0 ,二 1, J ------------ =SinV 2其中假命题的是（)(A) Pl , P 4(B ) P 2 , P 4p 2: ^ X 、y 三 R, sin(x-y)=sinX-Sinyp 4: SinX=COSy=■ x+y=-2(C) P ，P 3(D)p 2，P 43、 有四个关于三角函数的命题：5、若命题 P:圆(X - 1）2+ (y — 2）2= 1 被直线 X= 1 平分;q ：在厶 ABC 中，若 Sin 2A= Sin 2B ， 则A= B ，则下列结论中正确的是 （）A 。

“p ∨ q”为假B .“p ∨ q”为真C 。

“p ∧ q”为真D 。

以上都不对6、已知命题p i :函数y = 2x - 2—x 在R 上为增函数；p 2：函数y= 2x + 2—X在R 上为减函数,则在命题 q i : p ι∨ p 2， q 2: p ι∧ p 2， q 3： (—p i ） ∨ p 2 和 q 4： p i ∧ ( 一 p 2）中，真命题是（ )7、下列命题中的假命题是（） A. T XR ，Ig X = OB. C. —X R ， X 3. 0D.8、下列命题中的假命题是 （ ）A. -X R ， 2XjL 0B.—X* N ，（X —1）2C. —.1 X R , Ig X ：: 1D 。