数形结合的思想方法28

浅谈数形结合思想的应用原则
数形结合思想(shu xing jie he si xiang)是一种身处复杂社会活动中，根据数理思维原理，结合观察现实中数形现象，而使数形现象清晰地定性或定量化展示出来的一种思维方法。

它是一种从实际出发，应用数学思想来研究数学课程和处理实际问题的思维方法。

它是国际上最重要和最实用的数学思维方法。

一、数形结合思想的基本应用原则
（1）认识综合。

数形结合法的重要思想就是综合认识数学现象。

要求教师应根据学生的认识水平、提出问题的情况，传授数形结合思想及应用，并使学生掌握它们。

（2）强调数理形象感知。

数形结合法要求教师分析观察问题，为学生提高数理形象感知能力，发掘其中有趣的数学现象，以引导学生的思考，唤起学生的科学兴趣，从而营造融洽的教学氛围。

（3）落实发现式学习。

数形结合法要求以学生的发现式学习为关键，把既定的数学模型和思路与实际问题上的现象联系起来，使学生正确认识和发现问题，发挥学生的创造性和分析性思维，让学生作为发现者，从而使学习过程走向较高的境界。

（4）分析结构归纳关系。

数形结合思维强调学生把数学模式和实际问题有机的联系在一起，让学生意识到问题从中抽象出来的结构归纳关系，从而拓宽学生知识面，激发学习兴趣。

二、数形结合思想实施应用原则
（1）认真把握实际。

在实施数形结合思想教学时，要求教师为学生指明方向，认真把握实际，以实际出发，。

某化学兴趣小组的同学为测定假黄金（铜锌合 金）组成元素的质量分数，称取20克假黄金置 于烧杯中，用某浓度的稀盐酸50克，分5次加入 ，每次充分反应后，取出固体，经过滤、干燥 等操作后称重，各次稀盐酸用量和剩余固体质 量记录如下：
10．某环保小组监测到一工厂向河中排放的酸性 废液中含有CuCl2。为了测定废液中CuCl2的质量 分数，该小组取了100 g废液，逐滴加入Na0H溶 液至过量。测得生成Cu(OH)2沉淀的质量与所加 Na0H溶液的质量关系如右图。 (1)计算废液中CuCl2的质量分数。 (2)说明图上0A段未生成Cu(OH)2沉淀的原因。
迎接挑战：
取实验室中部分变质的NaOH样品配成溶液，向其中滴加过量的 稀盐酸。以加入的稀盐酸的质量为x轴，以生成的二氧化碳的质 量为y轴，画出滴加稀盐酸的过程中产生的二氧化碳的质量和加 入的稀盐酸的质量之间的关系图。
C B A
B
C
O
A
O
你能在上面的右图中以加入的稀盐酸的质量为x轴，以 溶液质量的为y轴，画出滴加稀盐酸的过程中溶液的质 量和加入的稀盐酸的质量之间的关系图。
运用“数形结合”的思想
解决化学问题
涿鹿镇初级中学 李建国
我们来解题：
某气体可能由O2、N2、SO2中的一种或几种组成，现测知组成吗？（已知： SO2中氧元素的质量分数为50%)
N2 0
SO2 50% SO2 O2、N2
O2 100% O2、N2、SO2
可能组合为:
“数缺形，少直观；形缺数，难入微”
------华罗庚
“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是 华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐 释。具体地说，就是在解决问题时，根据问题 的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的 问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问 题，借助于“数”去思考，这种解决问题的思 想称为数形结合思想。

数形结合的思想方法作者：牛少华来源：《学知报·教师版》2012年第48期数形结合思想是高考必考的七大数学思想之一，是数学研究对象的数量关系和空间形式，即数与形两个方面，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。

数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。

在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。

在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。

特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，就要用数形结合形象化，高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。

1．集合问题中的数形结合例1．已知全集U=R，集合A=x|-2≤x≤3，B=x|x4，那么集合AI（C∪B）等于（）A．x|-2≤xC．x|-2≤x分析:不等式表示的集合通过数轴解答。

解:在数轴上先画出C∪B=x|-1≤x≤4,再画出集合A=x|-2≤x≤3,取其公共部分如2.利用函数的图象解答问题例2．函数f（x）=Inx-■的零点的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个分析：函数f（x）=Inx-■的零点的个数就是方程x-■=0的解的个数，要通过数形结合，画出函数的图象的交点的个数。

解：f（x）=Inx-■的零点，即使x-■=0，作函数y=Inx 的图象和函数y=-■的图象如图所示，有两个交点，所以函数有两个零点，故选B答案：B评注：对于象本题这样的超越函数的解的个数问题常常用数形结合的思想解答3.利用导函数图象解答问题例3．函数y=f（x）的图象过原点，且它的导函数y=f’（x）的图象是如图所示的一条直线，则y=f（x）的图象的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：由导函数y=f’（x）的图象及求导公式，提炼出信息得到原函数的有关信息解答。

高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。

数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。

而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。

常用数学思想方法有：1、数形结合的思想方法2、分类讨论的思想方法3、函数与方程的思想方法4、转化（化归）的思想方法5、分类讨论的思想方法6、整体的思想方法。

更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。

一、数形结合的数学思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

1、导读：2、相关内容：3、再现性题组：1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是_____。

A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。

A. 12B.33C.32D. 34、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则x y22+的最小值是_____。

A. 6013 B. 135C. 1312D. 12.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。

A. 1B. 2C. 3D.以上都不对3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。

二、分类讨论的数学思想方法①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。