随机变量及其分布

第三章 随机变量及其分布
3.1.随机变量及其分布 3.2.离散型随机变量 3.3.连续型随机变量 3.4.随机变量函数的分布
3.1.随机变量及其分布
在有些随机试验中，试验的结果本身就是用数量来表 示。例如抛掷一枚骰子，观察出现的点数，点数可以 用实数1,2,3,4,5,6表示。
在某些试验中，试验结果看起来虽然与数量无关，但 可以指定一个数量来表示。 例如抛掷一枚硬币，观察正反面出现情况，规定 “出现正面”用数1表示,“出现反面”用数0表示。
0.875 0.5
0.125
O
1
23
x
2、分布函数的性质
1.非负性: 0≤F(x)≤1； 且F(-∞)=0,F(+∞)=1。 2.单调不减性：F(x)是单调不减函数。
即对任意实数x1,x2 (x1<x2),有 F(x1)≤ F(x2) 。
3.右连续性:F(x)至多有可列个间断点,且在其间断点
处是右连续,即F(x+0)=F(x)。 性质1--3是鉴别一个函数是否为某随机变量分布函 数的充分必要条件。
注：
(1)由于随机事件的发生是不确定的,所以随机变量的 取值也是不确定的. 但随机变量的可能取值是确定的 例如，从一批产品中,依次任选三件,X表示出现正品 的件数，X的所有可能取值有哪些。
(2)任何随机事件都可以用随机变量来表示。 随机变量取某个值或某些值均表示随机事件。
例如{X=a} , {Y>b} , {c<Z≤d} 均表示随机事件。
例1：将一枚硬币连续抛掷3次，X表示
试验中正面出现的次数,用随机变量X表
示随机事件,求正面出现 i 次的概率。
解：1.X的所有可能取值为0,1,2,3.
随机事件的表示：
{X=0}={TTT};
{X=1}={HTT,THT,TTH}
{X=2}={HHT,HTH,THH};{X=3}={HHH}
2.随机事件的概率： P(X=0)=0.125;P(X=1)=0.375; P(X=2)=0.375;P(X=3)=0.125.
解：1.X的所有可能取值为0,1,2,3.
23..XXPP((在 的XX==各分20)取布)==00值函..31点数7255处为;; PP的F((XX概(==x率31)))值==00：..1300072..5551.;25 0.875 1
x0 0 x 1 1 x 2 1 x 3
x3
y
y=F(x) 1
F ( x2 )
F ( x1 )
P x1 X x2 F (x2 ) F (x1) 分布函数
(1) P(a X b) F(b) F(a), a,b为常数
(2) P X c 1 P X c 1 F(c)
例2： 设随机变量X的分布函数为
F(x) A B arctan x,( x )
练习：判别下列函数是否为某R.V.的分布函数？
0,
x 0
(1)F (x) x 1/2, 0 x 1/2
1,
x 1/2
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0, x 0
(2)F (x) sinx, 0 x 1, x
3、分布函数的引入目的
在很多情况下，我们需要研究随机变量所取的 值落在一个区间的概率，例如
Pa X b,PX c,PX d
由事件的可分性知：{a X b} {X b}{X a} {X c} S {X c}
所以以上三类事件的概率问题均可以转化为求解
事件 {X≤x} 的概率 P X x
4.分布函数的应用※
求随机变量 X 落在区间( x1, x2 ]内的概率.
P x1 X x2 P X x2 P X x1
理解随机变量的概念及意义，会用随机变量表示随 机试验的结果；
理解随机变量分布函数的概念及性质； 会利用概率分布（即分布函数）计算与随机变量相 联系的事件的概率。
思考：以下三类区间概率如何求解？ 例如，P(a<X<=b)，P(X>c)，P(X<=d) 。
F(x) P X x ( x )
为X 的分布函数,记作 F(x) 或 FX(x)。
随机点 x1 x2
x3
x 实数x点
注：如果将X 看作数轴上随机点的坐标,那么分布
函数 F(x) 在x处的函数的值表示X落在区间(, x]
的累积概率。
例1续：将一枚硬币连续抛掷3次,X表示 出现正面的次数，求(1)X的分布函数;(2) P(0<X ≤1) ,P(1≤X≤2) 。
试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1,1]上的概率值。
解：（1）由于
F() lim (A B arctan x) A B 0,
F ()
x
lim (A
B arctan
x)
A
2
B
1,
x
解得： A 1 , B 1 .
2
2 （2）P(1 X
1)
F(1)
F (1)
1
2
本节知识点小结
练习
（1）袋中有2个黑球6个红球,从中任取2个, X表示取到的红球个数,求X的所有可能取值, 用随机变量X表示随机事件。
（2）袋中装有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任 取3个,Y表示3个球中的最小号码,求Y的所有 可能取值,用随机变量Y表示随机事件。
二、分布函数
1.分布函数定义 设X 是随机变量,x为任意实数,称函数
一、随机变量
随机变量的引入,将随机试验的结果与实数对应起来. 定义 设E为一个随机试验,S是其样本空间,称定义在 样本空间S上的实值单值函数X=X(w)为随机变量.
你还记得以下这些随机试验吗？
1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数； 2. 抛掷一枚硬币,观察正反面出现情况； 3. 从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品的件数； 4. 记录某公共汽车站某日上午某时刻等车人数。