随机变量及其分布PPT精选文档
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第二章第一讲随机变量及其分布律(离散型)PPT课件
例7 一射手的命中率为0.6, 连续向一目标射击 三次, 则命中的次数X ～B( 3, 0.6). ΩX ={ 0, 1, 2, 3 }.
若以 Ai 表示第 i 次命中, i =1, 2, 3, 则
P( X 0) P A1 A2 A3 (0.4)3 C30 (0.6)0 (0.4)3 P( X 1) P A1 A2 A3 P A1A2 A3 P A1 A2 A3
我们可以把可能的身高看作 随机变量X,
然后我们可以提出关于X的各种问题. 如 P(X>1.7) =？ P(X≤1.5) =?
P(1.5<X<1.7) =?
第二章 第一讲 随机变量及其分布律（离散型）
可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变 量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态 的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的 观点，就象高等数学中常量与变量的区别那样.
3 (0.6)(0.4)2 C31(0.6)1(0.4)2
P( X 2) P A1A2 A3 P A1 A2 A3 P A1A2 A3
3 (0.6)2 (0.4) C32 (0.6)2 (0.4)1 P( X 3) P( A1A2 A3 ) (0.6)3 C33 (0.6)3(0.4)0
(1) X 0,1, 2,3,...... 问：P( X 10) ? (2) T t,t [0, ) P(100 X 1000) ?
(3) X 0,1,2,3,..., n 问：每日平均售多少朵？
第二章 第一讲 随机变量及其分布律（离散型）
例1 将一枚硬币抛掷两次, X 表示正面向上的次数, 则有如下对应关系:
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,...n
若以 Ai 表示第 i 次命中, i =1, 2, 3, 则
P( X 0) P A1 A2 A3 (0.4)3 C30 (0.6)0 (0.4)3 P( X 1) P A1 A2 A3 P A1A2 A3 P A1 A2 A3
我们可以把可能的身高看作 随机变量X,
然后我们可以提出关于X的各种问题. 如 P(X>1.7) =？ P(X≤1.5) =?
P(1.5<X<1.7) =?
第二章 第一讲 随机变量及其分布律（离散型）
可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变 量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态 的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的 观点，就象高等数学中常量与变量的区别那样.
3 (0.6)(0.4)2 C31(0.6)1(0.4)2
P( X 2) P A1A2 A3 P A1 A2 A3 P A1A2 A3
3 (0.6)2 (0.4) C32 (0.6)2 (0.4)1 P( X 3) P( A1A2 A3 ) (0.6)3 C33 (0.6)3(0.4)0
(1) X 0,1, 2,3,...... 问：P( X 10) ? (2) T t,t [0, ) P(100 X 1000) ?
(3) X 0,1,2,3,..., n 问：每日平均售多少朵？
第二章 第一讲 随机变量及其分布律（离散型）
例1 将一枚硬币抛掷两次, X 表示正面向上的次数, 则有如下对应关系:
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,...n
随机变量及其分布PPT精选文档
F(x)
x f(t)dt
则称X为连续型随机变量，并称f(x) 为X的概率密度函数.
24
注：由高等数学知识可知：连续型随 机变量的分布函数一定是处处连续的， 且在f(x)的连续点处，有
F ( x)f( x) .
概率密度名称的由来：
25
2 概率密度函数的性质
(1)f(x)≥0;
(2) +f(x)dx 1 . -
泊松分布：设X去一切非负整数值， 其分布律为:
P ( X = k )k ke ! , 0 , k0 , 1 , L
则称X服从参数为λ的泊松分布，记为 X～P(λ). 稀有事件的发生适用于泊松分布. 泊松分布的概率值可以通过查表求得.
17
例4.某电话交换台每分钟接到的电话呼 唤次数服从参数为4的泊松分布.求
注： X(ω)的取值具有随机性.
3
举例 例1：测试灯泡的寿命，样本空间为
Ω={t:t∈[0,+∞}, 用X表示灯泡的寿命，则X就是随机变量，
它随随机试验结果的不同而取不同的值： {X=20}表示灯泡的寿命是20单位时间， {X≤100}表示灯泡寿命不超过100. 例2:掷两枚硬币，以X表示出现正面的
35
例2.(3σ原则)设随机变量X～N(μ,σ2), (1)求P(μ-σ<X< μ+σ); (2)求P(μ-2σ<X< μ+2σ); (3)求P(μ-3σ<X< μ+3σ);
例3.设轴的长度X ～N(10,0.01).若轴的 长度在（10-0.2,10+0.2）内算合格，求 4根轴中： （1）恰有3根合格的概率； （2）至少有3根合格的概率.
具有以上二性质的任一函数f(x)必是某 连续型随机变量的密度函数.
第十三单元随机变量及其分布-PPT精品
（2）X的可能取值有2,3,4,5,…,12.Y的可能取值为1,2,3,…,6.若以(i,j)表示 先后投掷的两枚骰子出现的点数，则 X=2表示（1，1）， X=3表示（1，2），（2，1）， X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）,
… X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），
4 15
易错警示
【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中 就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布 列.
错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)= 0 .×1 30.9=0.000 9, P(X=5)= 0 .×1 40.9=0.000 09,故其分布列为
P所(X以=随5)机=变C量82CX21C的130C概81C率2…2 分…18布5…列…为………………………..8′
X=k
2
P(X=k) 1
30
3
4
5
2
……3 …………8 ..10′
15
10
15
(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)=P(X=3)+P(X=4)= 2 3 .13
解 X可能取的值为0,1,2,3,
∵P(X=0)=
C
2 3
C
2
4,
C
2 4
C
2 6
1 5
P(X=1)= C31C42 C32C21C41 7
C42C62
15
又∵P(=3)=
… X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），
4 15
易错警示
【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中 就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布 列.
错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)= 0 .×1 30.9=0.000 9, P(X=5)= 0 .×1 40.9=0.000 09,故其分布列为
P所(X以=随5)机=变C量82CX21C的130C概81C率2…2 分…18布5…列…为………………………..8′
X=k
2
P(X=k) 1
30
3
4
5
2
……3 …………8 ..10′
15
10
15
(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)=P(X=3)+P(X=4)= 2 3 .13
解 X可能取的值为0,1,2,3,
∵P(X=0)=
C
2 3
C
2
4,
C
2 4
C
2 6
1 5
P(X=1)= C31C42 C32C21C41 7
C42C62
15
又∵P(=3)=
《随机变量及其分布》PPT课件
个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.
随机点 X
概率论与数理统计
x 实数点
x
F(x) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区 别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ,
η, ζ,….等表示. 概率论与数理统计
随机变量与普通函数的区别
普通函数的定义域是实数 集,而随机变量的定义域是样本空 间(样本点不一定为实数);
普通函数随自变量的变化所取的函数值无概 率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取 的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得 随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取 值范围,但在概一率论次与数试理统验计 前无法确定它取何值.
概率论与数理统计
总之，随机变量X有如下特点:
X是定义在样本空间Ω上的单值实值函数,其定 义域为样本空间Ω,值域为实数集 ;
利用X可以描述随机事件; X的取值是随机的,且取值具有一定的概率.
随机变量
离散型 非离散型
连续型
概率论与数理统计
其它
在实际问题中，有两类重要的随机变量：
实例11、观离察散掷型一随个机骰变子量出—现—的取点值数有。限随或机可变列量无X限的可 能值是1，2，3，4，5，6； 则事件“出现偶
概率论与数理统计
分布函数F(x)具有下列性质: 、 0≤F(x)≤1;
注意这些性 质在图形上
的表现
、F(-∞)=0,F(+∞)=1；[确定待定参数]
、F(x)至多有可列个间断点,且在间断点处是
随机变量及其分布论述(ppt 173页)
Xe
都是随机事件．
e
R
S
第二章 随机变量及其分布
说明
§1 随机变量
⑴随机变量常用大写文的字英母
X、Y、Z、
或希腊字母
、、、
等来表示．
⑵对于随机变量， 常我 关们 心常 的是它的
值．
⑶我们设立随机变 要量 用， 随是 机变量的
值来描述随机事件．
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第二章 随机变量及其分布
例2
例 1（续）
§1 随机变量
由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应
着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空
间S上的函数X ： X e e S
• 我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取 值情况来刻划随机事件．例如
e ： X e 2 X 2
则称随X 机 服变 从量 参 n， 数 p的 为二项分 记作 X~Bn，p
其 n 为 中自 0 p 然 1 为 数 参 ， 数
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第二章 随机变量及其分布
说明 显然，当 n=1 时
X~B1， p
§2离散型随机变量
此时X， 服从 Berno分 ul布 li ．
这说明， Bernoull分i 布是二 项分布的一个特例．
表示取出2个黑球这一事件；
X 2
表示至少取出2个黑球这一事件，等等．
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第二章 随机变量及其分布
随机变量的定义
§1 随机变量
设E是一个随机试验，S是其样本空间．我们称样本
空间上的函数
X X e e S
为一个随机变量，如果对于任意的实数 x ，集合
e ： X e x X x
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随机变量称为离散型随机变量. 例：
10
2 离散型随机变量的分布律
离散型随机变量的概率分布律： 设X为离散型随机变量,所有可
能取值为x1,x2,…, 且 P(X=xk)=pk, k=1,2,….
则称上式为离散型随机变量X的（概率） 分布律（列）.
分布列也可以用表格表示为：
11
概率分布律的性质： （1）pk≥0 k=1,2,…. （2）p1+p2+…+pk+…=1.
例5.汽车站每天有大量汽车通过，设每 辆车在一天的某时间内出事故的概率为 0.0001，在该天的该段时间内有1000辆 车通过，问出事故的次数不小于2次的 概率是多少?
19
4 常见离散型随机变量的分布
超几何分布：设X的分布律为:
P(X=k)
CkN CnMkN CnM
,
则称X服从参数为M,N,n的超几何分布， 记为X～H(M,N,n).
注： X(ω)的取值具有随机性.
3
举例 例1：测试灯泡的寿命，样本空间为
Ω={t:t∈[0,+∞}, 用X表示灯泡的寿命，则X就是随机变量，
它随随机试验结果的不同而取不同的值： {X=20}表示灯泡的寿命是20单位时间， {X≤100}表示灯泡寿命不超过100. 例2:掷两枚硬币，以X表示出现正面的
泊松分布：设X去一切非负整数值， 其分布律为:
P ( X = k )k从参数为λ的泊松分布，记为 X～P(λ). 稀有事件的发生适用于泊松分布. 泊松分布的概率值可以通过查表求得.
17
例4.某电话交换台每分钟接到的电话呼 唤次数服从参数为4的泊松分布.求
求λ. 例3. 已知r.v.的所有取值为1,2,3,4. 且P(X=k)正比于k值.求： （1）X的分布律及分布函数F(x)； （2）P(X<3),F(3).
13
4 常见离散型随机变量的分布
0-1分布：设X的分布律为(0<p<1):
则称X服从参数为p的0-1分布（两点分 布，伯努利分布），记为X～B(1,p). 例1. 掷两粒骰子，以X表示出现的点 数，那么X服从的不是两点分布.
称F(x)为随机变量X的分布函数.
注：分布函数是定义在R上的一个实函数.
5 Department of Mathematics, Tianjin University
分布函数的性质 1.规范性：
即0≤F(x)≤1, F(-∞)=limx->-∞F(x)=0, F(+∞)=limx->+∞F(x)=1.
但是如果以X表示是否出现双六， 则X服从0-1分布，且p=1/36.
14
4 常见离散型随机变量的分布
Cpqk n 二项分布：设X的分布律为(0<p<1): P ( X = k ) n kkn k, 0 , 1 , L ,
q=1-p, 则称X服从参数为n,p的二项分 布，记为X～B(n,p). 独立重复n次伯努利试验，那么事件发 生的次数服从二项分布. n=1时，二项分布就是0-1分布.
7 Department of Mathematics, Tianjin University
LOGO
第一章 随机事件与概率
2.2 离散型随机变量的概率分布
8
内容提要
1 离散型随机变量的定义
2 离散型随机变量的分布律
3
例题
4 常见离散型随机变量的分布
9
1 离散型随机变量的定义
离散型随机变量: 只能取有限个或可列个值的
可以证明等式是成立的.
15
例2.加工一件产品为一级品的概率为0.2. 现加工20个，求
（1）这20个产品中一级品的分布律； （2）这20个产品中有5个一级品的概率.
例3.设X服从参数为2,p的二项分布.已知 P(X≥1)=5/9,那么成功率为p的4重伯努 利试验中至少有一次成功的概率是多少？
16
4 常见离散型随机变量的分布
2.单调不减性： 即对任意的x1<x2,有F(x1)≤F(x2).
3.右连续性： 即F(x+0)=F(x).
6 Department of Mathematics, Tianjin University
分布函数的几何意义： 分布函数F(x)表示随机变量X落在区间
（-∞, x]上的概率. 任何事件的概率可以由分布函数表示： P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x2); P(X=a)=P(X≤a)-P(X<a)=F(a+0)-F(a-0); P(x1<X<x2)=P(X<x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x1)-P(X=x2) P(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1)+P(X=x1); P(X>a)=1-F(a);P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a)+P(X=a).
次数，则X是一随机变量： {X=2}表示出现两次正面； {X≥1}表示至少出现一次正面.
4 Department of Mathematics, Tianjin University
2 随机变量的分布函数
随机变量用来表示随机事件,而随机事 件的出现有一定的概率. 分布函数：设X是一个随机变量，对
任意的x∈R,令 F(x)=P(X≤x), x∈R,
（1）每分钟恰有8次呼唤的概率； （2）每分钟呼唤次数大于10次的概率.
泊松定理：设pn=λ/n,λ>0是常数， 则对任意非负整数k,有
l ni m Cnkpnk(1pn)nk kke! .
证明：
18
注：泊松定理通常在n≥10,p≤0.1时就
可以使用；当n≥20,p≤0.05时就近似 的很好了.
反之，若存在序列{qk,k=1,2,…}满足 以上两条性质，那么该序列一定是某 一离散型随机变量的概率分布律.
12
3
例题
例1. 对目标进行射击，知道击中为止， 设每次的命中率为p.求射击次数X的分 布律，并求P(X≤2).
例2. 设离散型随机变量的分布列为 P(X=k)=λbk (k=1,2,3,4, 0<b<1).
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第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布函数
1
内容提要
1
随机变量的定义
2 分布函数的定义和性质
2
1
随机变量的定义
随机变量
设E是随机试验，Ω是样本空间.若对 每个样本点ω∈Ω,都有一个确定的数 X(ω)与之对应，则称Ω上的实值函数 X(ω)为随机变量（random vector, r.v.）
10
2 离散型随机变量的分布律
离散型随机变量的概率分布律： 设X为离散型随机变量,所有可
能取值为x1,x2,…, 且 P(X=xk)=pk, k=1,2,….
则称上式为离散型随机变量X的（概率） 分布律（列）.
分布列也可以用表格表示为：
11
概率分布律的性质： （1）pk≥0 k=1,2,…. （2）p1+p2+…+pk+…=1.
例5.汽车站每天有大量汽车通过，设每 辆车在一天的某时间内出事故的概率为 0.0001，在该天的该段时间内有1000辆 车通过，问出事故的次数不小于2次的 概率是多少?
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4 常见离散型随机变量的分布
超几何分布：设X的分布律为:
P(X=k)
CkN CnMkN CnM
,
则称X服从参数为M,N,n的超几何分布， 记为X～H(M,N,n).
注： X(ω)的取值具有随机性.
3
举例 例1：测试灯泡的寿命，样本空间为
Ω={t:t∈[0,+∞}, 用X表示灯泡的寿命，则X就是随机变量，
它随随机试验结果的不同而取不同的值： {X=20}表示灯泡的寿命是20单位时间， {X≤100}表示灯泡寿命不超过100. 例2:掷两枚硬币，以X表示出现正面的
泊松分布：设X去一切非负整数值， 其分布律为:
P ( X = k )k从参数为λ的泊松分布，记为 X～P(λ). 稀有事件的发生适用于泊松分布. 泊松分布的概率值可以通过查表求得.
17
例4.某电话交换台每分钟接到的电话呼 唤次数服从参数为4的泊松分布.求
求λ. 例3. 已知r.v.的所有取值为1,2,3,4. 且P(X=k)正比于k值.求： （1）X的分布律及分布函数F(x)； （2）P(X<3),F(3).
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4 常见离散型随机变量的分布
0-1分布：设X的分布律为(0<p<1):
则称X服从参数为p的0-1分布（两点分 布，伯努利分布），记为X～B(1,p). 例1. 掷两粒骰子，以X表示出现的点 数，那么X服从的不是两点分布.
称F(x)为随机变量X的分布函数.
注：分布函数是定义在R上的一个实函数.
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分布函数的性质 1.规范性：
即0≤F(x)≤1, F(-∞)=limx->-∞F(x)=0, F(+∞)=limx->+∞F(x)=1.
但是如果以X表示是否出现双六， 则X服从0-1分布，且p=1/36.
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4 常见离散型随机变量的分布
Cpqk n 二项分布：设X的分布律为(0<p<1): P ( X = k ) n kkn k, 0 , 1 , L ,
q=1-p, 则称X服从参数为n,p的二项分 布，记为X～B(n,p). 独立重复n次伯努利试验，那么事件发 生的次数服从二项分布. n=1时，二项分布就是0-1分布.
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第一章 随机事件与概率
2.2 离散型随机变量的概率分布
8
内容提要
1 离散型随机变量的定义
2 离散型随机变量的分布律
3
例题
4 常见离散型随机变量的分布
9
1 离散型随机变量的定义
离散型随机变量: 只能取有限个或可列个值的
可以证明等式是成立的.
15
例2.加工一件产品为一级品的概率为0.2. 现加工20个，求
（1）这20个产品中一级品的分布律； （2）这20个产品中有5个一级品的概率.
例3.设X服从参数为2,p的二项分布.已知 P(X≥1)=5/9,那么成功率为p的4重伯努 利试验中至少有一次成功的概率是多少？
16
4 常见离散型随机变量的分布
2.单调不减性： 即对任意的x1<x2,有F(x1)≤F(x2).
3.右连续性： 即F(x+0)=F(x).
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分布函数的几何意义： 分布函数F(x)表示随机变量X落在区间
（-∞, x]上的概率. 任何事件的概率可以由分布函数表示： P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x2); P(X=a)=P(X≤a)-P(X<a)=F(a+0)-F(a-0); P(x1<X<x2)=P(X<x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x1)-P(X=x2) P(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1)+P(X=x1); P(X>a)=1-F(a);P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a)+P(X=a).
次数，则X是一随机变量： {X=2}表示出现两次正面； {X≥1}表示至少出现一次正面.
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2 随机变量的分布函数
随机变量用来表示随机事件,而随机事 件的出现有一定的概率. 分布函数：设X是一个随机变量，对
任意的x∈R,令 F(x)=P(X≤x), x∈R,
（1）每分钟恰有8次呼唤的概率； （2）每分钟呼唤次数大于10次的概率.
泊松定理：设pn=λ/n,λ>0是常数， 则对任意非负整数k,有
l ni m Cnkpnk(1pn)nk kke! .
证明：
18
注：泊松定理通常在n≥10,p≤0.1时就
可以使用；当n≥20,p≤0.05时就近似 的很好了.
反之，若存在序列{qk,k=1,2,…}满足 以上两条性质，那么该序列一定是某 一离散型随机变量的概率分布律.
12
3
例题
例1. 对目标进行射击，知道击中为止， 设每次的命中率为p.求射击次数X的分 布律，并求P(X≤2).
例2. 设离散型随机变量的分布列为 P(X=k)=λbk (k=1,2,3,4, 0<b<1).
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第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布函数
1
内容提要
1
随机变量的定义
2 分布函数的定义和性质
2
1
随机变量的定义
随机变量
设E是随机试验，Ω是样本空间.若对 每个样本点ω∈Ω,都有一个确定的数 X(ω)与之对应，则称Ω上的实值函数 X(ω)为随机变量（random vector, r.v.）