09集合的基数

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... ...
-3/1
-3/2 -3/3
-2/1
-2/2 -2/3
-1/1
-1/2 -1/3
0/1
0/2 0/3
1/1
1/2 1/3
2/1
2/2 2/3
3/1
3/2 3/3
...
... ...
...
-3/4
-2/4
-1/4
0/4
1/4
2/4
3/4
...
可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素 所以N≈Q 。 2 另外 Z×Z≈N 如右图所示。 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3
...
...
...
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...Βιβλιοθήκη ......(0, 1)≈R. 解: x(0, 1), f(x)=tgπ 例: [0, 1]≈(0, 1)
例:
2x 1 2
.
1 4 1 f (x) 2 x 4 x
§4 集合的基数



定义: 设A为任意一个集合, 用card(A)表示A中的元素 个数, 并称card(A)为集合A的基数. 作以下5条规定: (1) 对集合A, B, 规定 card(A)=card(B) AB (2) 对有限集合A, 规定与A等势的自然数n为A的基 数. 记作: card(A)=n. (3) 对自然数集合N, 规定 card(N)=0 (4) 对于实数集合R, 规定 card(R)=1 (5) 将0, 1, 2, … , 0, 1都称作基数. 其中自然数0, 1, 2, … 称为有限基数, 0, 1称为无限基数.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.

6.2.1 可数集
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
（3）card X = card Y。
6.3 基数的比较
定理6.3.3 设X、Y为任意两个集合， 如果cardX ≼· cardY，cardY ≼· cardX， 则cardX=cardY。
例6.3.1
证明[0，1]和（0，1）有相同的基数。
解 根据定理6.3.3，我们只需构造两个单射函数：
f：（0，1） → [0，1]，f（x）=x
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.5
证明 为：
可数个可数集的并集仍然是一可数集。
设S1，S2 ， S3，……是可数个可数集，分别表示 S1={a11，a12，a13，…，a1n，…} S2={a21，a22，a23，…，a2n，…} S3={a31，a32，a33，…，a3n，…} …………
6.1 基数的概念
定义 6.1.3 设 X 为任意集合，称 card X 为集合 X 的基数，并作 以下规定： （ 1 ）对于任意的集合 X 和 Y ，规定 card X = card Y ，当且仅当 X≈Y； （2）对于任意有限集合X，规定与X等势的那个唯一的自然数n为X 的基数，记作 card X = n （3）对于自然数集合N，规定 card N = （读作阿列夫零） （4）对于开区间（0，1），规定 card（0，1）= （读作阿列夫）
⑵ 若X≈Y，则X≼· Y且Y≼· X。

则A1, A2 , A3 ,...互不相交，B1, B2 , B3 ,...亦然，且Ai与Bi对等 i = 1,2,...
所以由分解定理 ∪ A n与∪ Bn 对等；同理， ∪ Bk 与∪ A k +1对等
n =1 n =1 k =1 k =1 ∞ ∞ ∞ ∞
又因为A = ( A − ∪ An ) ∪ (∪ An )， ( B − ∪ Bk ) ∪ (∪ Bk ) = B
第 2 讲 集合的基数
一.比较集合元素多少的方法
对于有限集，方法有二： 1.分别数数法 2.一一配对法
二．一一对应———既单又满的映射
1．集合A到集合B内的映射 ：
ϕ :
A ⎯ ⎯ → B x ⎯ ⎯ → 唯 一 y = ϕ (x) ↓ 原 像 ↓ 像
值域 ϕ ( A) = { y | y = ϕ ( x), x ∈ A} ⊂ B
A=B
若
A ≤ B 且A与B不对等，则称 A < B
（2）命题 对任意集合A,B
A = B , A < B , A > B 14页定理1）
-----如[0,1]与N
小结
1.集合之间存在一一映射------集合对等 2.证明集合对等的方法: (1)找一一映射 (2)分解法 (3)伯恩斯坦定理等 3.对等的集合有相同基数；基数能比较大 小 4.能与其真子集对等的集合-----无限集 5.不是所有的无限集都对等.
作业： 1、证明[0,1] 与自然数集N不对等
2、第17页：1，2 3、证明推论1
问1:? 函数一定是一个一 一映射？
1−1 ϕ : A ⎯⎯ →B 问2:?
则集合A与B的元素多少怎样？
三.集合的对等
1−1 ϕ : A ⎯⎯ →B 1.定义： 若存在

集合基数符号
集合的基数（或称为集合的势）是集合中元素的数量。

在集合论中，这个数量通常使用符号"|A|" 来表示，其中"A" 是集合的名称。

这个符号读作"A 的基数" 或"A 的势"。

例如，如果集合A = {1, 2, 3}，那么|A| = 3，因为集合A 中有三个元素。

注意，当集合是无限集时，基数可能是一个无穷大的数。

例如，自然数集N 的基数是无限的，用符号表示就是|N| = ∞。

此外，当两个集合具有相同数量的元素时，它们被认为是等势的。

如果集合A 和集合B 是等势的，则可以用符号"|A| = |B|" 来表示。