随机变量及其分布考研题

（B） P( X = Y ) = 1
（C） P( X + Y = 0) = 1 4
（D） P( XY = 1) = 1 4
[]
7（98，3 分） 设 F1 (x)与F2 (x) 分 别 为 随 机 变 量 X1 与 X2 的 分 布 函 数 。 为 使
F (x) = a1F1 (x) − bF2 (x) 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
5
5
（B） a = 2 , b = 2 33
（C） a = − 1 ,b = 3 22
（D） a = 1 , b = − 3
2
2
6（99，9 分） 设二维随机变量（X，Y）在矩形 G={(X,Y)}0≤x≤2,0≤y≤1 上服从
均匀分布，试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f(s)。
⎜⎛ 1
2 ⎟⎞
X ~⎜
⎟
⎜⎝ 0.3
0.7 ⎟⎠
而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。
11（05，4 分）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，…，X 中任取一个数，
记为 Y，则 P{Y=2}=
.
12（05，4 分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
求 P{X + Y ≤ 1} 。
4（94，8 分） 设随机变量 X 1, X 2 , X 3 , X 4 相互独立且同分布，
P( X i = 0) = 0.6, P( X i = 1) = 0.4(i = 1,2,3,4) 。
求行列式
的概率分布。 5（95，8 分）
X = X1
X2
X3
X4

第十五章 随机事件与概率例1：设,,A B C ，D 为四个随机事件，试用这四个事件表示下列各事件：1）这四个事件至少发生一个；2）这四个事件恰好发生两个；3）B A ,都发生，而D C ,都不发生；4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件至多发生一个.例2： 有10件产品，其中3件次品，7件正品，从中任意抽取3件（不放回），求以下事件的概率：1） 第三次取得次品；2） 已知前两次没有取得次品第三次取得次品；3） 不超过三次取到次品.例3：将k 个不同的球放到)(k N N ≥个不同的盒子中去（假设每个盒子可容纳的球数不限） ，求1） 指定的k 个盒子各装一球的概率；2） 有k 个盒子各装一球的概率；3） 某个定的盒子装l 个球的概率.例4：一袋中装有1N -只黑球和1只白球. 每次从袋中随机地摸出一球放回并换入一只黑球，这样继续，求第k 次摸球时摸到黑球的概率.例5：从1到9这9个数字中，有放回地取3次，每次任取1个，求所取的3个数之积能被10整除的概率.（答案：786.0）例6：一批产品共有N 件，其中包含M 件次品，现采用“放回抽样”与“不放回抽样”方式，从中任取n 件，求抽出的n 件产品中恰有k 件次品的概率.例7：玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8, 0.1, 0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看4只； 若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回. 试求1）顾客买下该箱的概率；2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.（答案：1）0.8+947.0)109(1.0)2019(1.044≈⨯+⨯; 2)845.0947.08.0≈ ）例8：已知100件产品中有10件绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时，均有1.0可能性发生故障，现从100件产品中随机抽取一件，若使用了n 次均未发生故障，问n 为多大时，才能有70%的把握认为所取的产品为正品？（答案：29≥n ）例9：假设一厂家生产的每台仪器，以概率70.0可以直接出厂，以概率30.0需进一步调试，经调试后以概率80.0可以出厂，以概率20.0定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求1）全部能出厂的概率α； 2）其中恰好有两件不能出厂的概率β； 3） 其中至少有两件不能出厂的概率γ.（答案：1）n 94.0=α；2）22206,0)94.0(⋅=-n n C β；3）n n n 94.094.006.011-⋅-=-γ） 例10：每次射击命中的概率为0.2，问至少要进行多少独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？例11：．加工某一零件共需经过4道工序。

第三章-多维随机变量及其分布--习题应用统计专业学位研究生入学统一考试专业课程考试的考试科目为《统计学》，包括统计学、概率论两部分内容，主要要求考生掌握数据收集和处理的基本方法、数据分析的基本原理和方法、基本的概率论知识以及运用统计方法分析数据和解释数据的基本能力。

一、考试性质统计学是全国应用统计硕士入学初试考试的专业基础课程。

二、考查目标全国硕士研究生入学统一考试应用统计硕士专业学位《统计学》考试是为高等院校和科研院所招收应用统计硕士生而设置的具有选拔性质的考试科目。

其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读应用统计专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决实际问题能力的高层次、应用型、复合型的统计专业人才。

考试要求是测试考生掌握数据处收集、处理和分析的一些基本统计方法。

具体来说，要求考生：1．掌握数据收集和处理的基本分方法；2．掌握数据分析的金发原理和方法；3．掌握了基本的概率论知识；4．具有运用统计方法分析数据和解释数据的基本能力。

三、考查内容（一）统计学1．调查的组织和实施；2．概率抽样与非概率抽样；3．数据的预处理；4．用图表展示定性数据；5．用图表展示定量数据；6．用统计量描述数据的水平：平均数、中位数、分位数和众数；7．用统计量描述数据的差异：极差、标准差、样本方差；8．参数估计的基本原理；9．一个总体和两个总体参数的区间估计；10．样本量的确定；11．假设检验的基本原理；12．一个总体和两个总体参数的检验；13．方差分析的基本原理；14．单因子和双因子方差分析的实现和结果解释；15．变量间的关系；相关关系和函数关系的差别；16．一元线性回归的估计和检验；17．用残差检验模型的假定；18．多元线性回归模型；19．多元线性回归的拟合优度和显著性检验；20．多重共线性现象；21．时间序列的组成要素；22．时间序列的预测方法。

第二讲 随机变量及其分布【考试要求】1.理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布()P λ及其应用.3.（数一了解，数三掌握）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为λ的指数分布()λE 的概率密度为()e ,00,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩.5.会求随机变量函数的分布.考点：随机变量与分布函数1.随机变量：设试验E 的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点Ω∈ω，都有一个实数)(ωX 与之对应，则称定义在Ω上的单值实值函数)(ωX 为随机变量，简记为X . 通常用,,X Y Z 等表示随机变量.【注】随机变量的等式和不等式可表示随机事件. 2.分布函数（1）定义：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞为X 的分布函数.（2）基本性质①单调不减，即若12x x <，则12()()F x F x ≤；②lim ()0x F x →−∞=，lim ()1x F x →+∞=； ③()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=.【注】这三条性质是一个函数作为某随机变量的分布函数的充分必要条件. （3）其他性质（用分布函数()F x 求概率）①)()(}{a F b F b X a P −=≤<； ②)0(}{−=<a F a X P ；③)0()(}{−−==a F a F a X P ；④)0()0(}{−−−=<≤a F b F b X a P ； ⑤)()0(}{a F b F b X a P −−=<<； ⑥{}()(0)P a X b F b F a ≤≤=−−. 【注】分布函数在处连续.【例1】 下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ） （A ） ()211F x x =+ （B ）()x x F sin = （C ） ()11arctan π2F x x =+ （D ） ()1e ,020,0xx F x x −⎧−>⎪=⎨⎪≤⎩【例2】 设随机变量X 的分布函数为()00πsin 02π12,x F x A x,x ,x ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，则A _____=，6P X ______π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭.【例3】 已知随机变量X 的分布函数为()0,11,18,111,1x x F x ax b x x <−⎧⎪⎪=−⎪=⎨⎪+−<<⎪≥⎪⎩，且()F x a {}0P X a ⇔=={}114P X ==，则_____,_____a b ==. 【例4】 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥−<≤<=−1,110,210,0)(x e x x x F x，则{}1P X ==（ ）（A ）0 （B ）21（C ）121−−e （D ）11e −−考点：离散型随机变量及其分布1.离散型随机变量定义：若随机变量X 所有可能取值是有限或可列无限个，则称X 为离散型随机变量.2.分布律（1）定义：设离散型随机变量X 的所有可能取值为()12i x i ,,=，且X 取ix 的概率为i p ，则称{}()12i i P X x p i ,,===为离散型随机变量X 的分布律.X（2）基本性质：①0,1,2,i p i ≥=；②11ii p∞==∑.【注】这两条性质也是一个数列可以作为某随机变量分布律的充分必要条件. 3.离散型随机变量的分布函数若离散型随机变量X 的分布律为{}()12i i P X x p i ,,===，则X 的分布函数为(){}{}()i i i i x xx xF x P X x P X x p x ≤≤=≤===−∞<<+∞∑∑.若123x x x <<<，则()111212230,,,x x p x x x F x p p x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨+≤<⎪⎪⎩. 【注】若已知X 的分布函数()F x （阶梯函数），则X 的分布律为{}()()0i i i P X x F x F x ==−−，12i ,,=.【例1】 （1）做n 次伯努利实验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示n 次试验中成功的次数，求X 的分布律.（2）做伯努利试验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示直到第一次成功为止所进行的实验次数，求X 的分布律.【例2】 设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X 表示3个球中新球个数，求X 的分布律与分布函数.考点：连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量及其概率密度（1）定义：设随机变量X 的分布函数为()F x ，若存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有()()xF x f t dt −∞=⎰，则称X 为连续型随机变量，()f x 称为X 的概率密度函数，简称概率密度（简写为.f .d .p ）.【注】①只有存在概率密度的随机变量才能称为连续型随机变量，分布函数连续的随机变量不一定是连续型随机变量.②存在既非连续型又非离散型的随机变量.③(),()()0()F x x F x f x x F x '⎧=⎨⎩为的可导点，为的不可导点. （2）概率密度的基本性质：①()0f x ≥；②()1f x dx +∞−∞=⎰.【注】这两条性质是一个函数可以作为概率密度函数的充分必要条件.（3）连续型随机变量的其他性质： ①)(x F 处处连续.②对()+∞∞−∈∀,a ，有{}.0==a X P ③若()f x 在x 处连续，则有()()F x f x '=. ④对于任意的实数()1212x ,x x x ≤，有{}()()211221()x x P x X x F x F x f x dx <≤=−=⎰.【例1】 设随机变量X 的概率密度为()x f ，则下列函数中必为某随机变量的概率密度的是（ ）（A ）()x f 2 （B ）()x f 2 （C ）()x f −1 （D ）()x f −1【例2】 设随机变量X 的概率密度为()cos ,||20,||2A x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求（1）常数A ； （2）X 的分布函数为()x F . 【例3】 设随机变量X 的概率密度为()1||,||10,x x f x else −<⎧=⎨⎩，则______412=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<−X P .考点：常见分布1.常见的离散型随机变量 （1） 0-1分布若随机变量X 的分布律为{}()()110101kk P X k p p ,k ,p −==−=<<，则称X 服从0-1分布，记为),1(~p B X .（2） 二项分布若随机变量的分布律为{}C (1),0,1,2,k k n kn P X k p p k n −==−=，其中01p <<，则称X 服从二项分布，记为~(,)X B n p .（3） 几何分布若随机变量X 的分布律为{}1(1)k P X k p p −==−⋅，1,2,3k =，其中01p <<，则称X 服从参数为p 的几何分布，记为()~X G p .（4） 超几何分布（从未考过）若随机变量X 的分布律为{}C C C k n kM N MnNP X k −−==，其中N k ∈，且{}{}n M k N n M ,min ,0max ≤≤−+，则称X 服从超几何分布.【注】：此公式的数学模型为：设N 件产品中含M 件次品，现从中任取n 件产品，则所取的n 件产品恰有k 件次品的概率.（5） 泊松分布 ①定义若随机变量X 的分布律为{}e !kP X k k λλ−==，0,1,2,k =，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为~()X P λ.X②泊松定理（数一了解；数三掌握）设0λ>是一个常数，n 是任意正整数，若lim n n np λ→∞=，则对于任意的非负整数k ，有()e lim 1.!nk n kkknn n C p p k λλ−−→∞−=【例1】 设随机变量X 服从参数为()2,p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为()3,p 的二项分布，若{}519P X ≥=，则{}1_______P Y ≥=. 【例2】 设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为1e，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为___________. 2.常见的连续型随机变量 （1） 均匀分布若X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=−⎨⎪⎩其它，则称X 在()a,b 上服从均匀分布，记为()~,X U a b ，其分布函数为0,(),1,x a x aF x a x b b a x b<⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪⎪≥⎩. （2） 指数分布若X 的概率密度为e ,0()0,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为()XE λ，其分布函数为1e ,0()0,0x x F x x λ−⎧−≥=⎨<⎩.（3） 正态分布若随机变量X的概率密度为22()2()()x f x x μσ−−=−∞<<+∞，其中0σ>,μ与σ均为常数，则称X 服从参数为,μσ的正态分布，记为2~(,)X N μσ，其分布函数为22()2()d ()t xF x t x μσ−−=−∞<<+∞⎰.特别地，当0,1μσ==，即~(0,1)X N ，称X 服从标准正态分布，其概率密度为22(),x x x ϕ−=−∞<<+∞，分布函数22()d t xx t −Φ=⎰，x −∞<<+∞.【注】（1）指数分布的无记忆性：若()~X E λ，则对任意的0,0s t >>，有{}{}|.P X s t X s P X t >+>=>【例3】 设随机变量()6,1~U X ，则方程012=++Xy y 有实根的概率为____.【例4】 设随机变量()~2,5X U ，现对X 进行三次独立重复观测，求至少有两次观测值大于3的概率.【例5】 设随机变量Y 服从参数为12λ=的指数分布，求关于未知量x 的方程2230x Yx Y ++−=没有实根的概率.【例6】 设随机变量的概率密度函数为()221e ()x x f x k x −+−=−∞<<+∞X则常数=_______k .【例7】 设随机变量()22,X N σ且{}240.3P X <<=，则{}0_______P X <=.【例8】 设随机变量()2,X N μσ，则概率{}P X μσ−<的值随着σ的增大而（ ）（A ）增大 （B ）减小 （C ）保持不变 （D ）无法确定考点：随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===，函数()g x 连续，则随机变量()Y g X =的分布律为{}(),1,2,i k k i g x y P Y y p k ====∑.做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率.【例1】 设随机变量X 在()1,2−上服从均匀分布，1,01,0X Y X −<⎧=⎨≥⎩，求Y 的分布律.【例2】（课后作业）设随机变量X 的概率分布为，求常数和的概率分布. 2.连续型随机变量函数的分布情形一：Y 为离散型. 做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率. 情形二：Y 为连续型.（1）分布函数法（代数法和几何法）先求出()Y g X =的分布函数()Y F y ，即()(){}()()Y g x y F y P g X y f x dx ≤=≤=⎰，再对()YF y 求导得到Y 的概率密度()Y f y .（2）公式法 若()y g x =在X 的取值区间内有连续导数()g x '，且()0g x '>或者()0g x '<，则()Y g X =是连续型随机变量，且其概率密度为{}(1,2,)3k c P X k k ===c sin()2Y X π=()()()',0,X Y f h y h y y f y αβ⎧<<⎡⎤⎪⎣⎦=⎨⎪⎩其他其中(),αβ为()y g x =的值域，()h y 是()g x 的反函数.情形三：Y 既非连续型又非离散型 做法：分布函数法求其分布函数.【例3】 设随机变量X 服从()0,2上的均匀分布，则随机变量2Y X =在()0,4内的概率密度()Y f y _______=.【例4】 设随机变量X 的概率密度为()22,00,x x f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度()Y f y .。