专题：函数的周期性对称性
1、周期函数的定义
一般地，对于函数y f (x) ，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x T) f ( x) ，那么函数y f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
显然，若T是函数的周期，则kT(k z,k 0)也是f (x) 的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。
说明：1、周期函数定义域必是无界的。
2、周期函数不一定都有最小正周期。
推广：若f(x a) f(x b)，则f ( x)是周期函数，b a 是它的一个周期；
f(x T2) f(x T2)，则f (x) 周期为T；
f(x) 的周期为T f ( x) 的周期为T。
2、常见周期函数的函数方程：
(1)函数值之和定值型，即函数f (a x) f (b x) C(a b) 对于定义域中任意x满足f (a x) f (b x)
C(a b)，则有f[x (2b 2a)] f(x) ，故函数f (x) 的周期是T 2(b a)
特例：f x a f x ，则f x 是以T 2a 为周期的周期函数； (2)两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型
若f (a x) f (b x) C(a b，C可正可负) ，则得
f(x 2a) f[(x 2a) (2b 2a)] ，所以函数f(x)的周期是T 2(b a)
3)分式型，即函数 f(x) 满足 f (x a) 1 f (x b)(a b)
1 f (x b)
由
f (x a) 11 f f((x x b b ))
(a b)得 f(x 2a)
1
，进而得 f (x
2b)
f(x 2a) f(x 2b) 1 ，由前面的结论得 f (x) 的周期是 T 4(b a)
特例： fx 1
，则 f x
x 是以 T 2a 为周期的周期函数；
f(x a)
1 1f (x)，则
f x 是以 T 3a 为周期的周期函数 .
f(x a)
1
，则 f x 是以 T f (x)
3a 为周期的周期函数 .
f(x a)
1
，则 f x 是以 T 1 f (x)
3a 为周期的周期函数 .
f(x a)
1 f (x)
，则 f x 是以 T 1 f (x)
4a 为周期的周期函数 .
f(x
a)
f f ((x x )) 1
1，则
f x 是以T
4a 为周期的周期函数 .
f(x a)
f f ((x x )) 11
，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数 .
f(x a) 1 f (x)
，则 f x 是以 T 1 f (x) 2a 为周期的周期函数 .
递推型： f(x
a) f(x) f (x a)(或 f (x) f (x a) f (x 2a) )，则 f(x) 的周期 T= 6a (联
系数列) f(x) f(x a) f(x 的周期 T=5a ； 2a)f(x 3a) f(x 4a) f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a) ,则 f(x) y f (x)满足 f(x a) g( f (x))，(a
0)，其中 g 1(x) g(x) ，则
y f (x) 是以 2a 为周
期的周期函数。
3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性
具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴 (或一条对称轴
和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心) ，则该函数必为周期函数。
相关结论如下：结论1：两线对称型：如果定义在R上的函数f(x) 有两条对称轴x a、x b，即f(a x) f (a x) ，且f (b x) f (b x) ，那么f (x) 是周期函数，其中一个周期T 2 a b
证明：∵ f (a x) f (a x) 得 f (x) f(2a x)
f (b x) f (b x) 得f (x) f (2b x)
∴ f (2a x) f(2b x)
∴ f (x) f (2b 2a x)
∴函数y f (x) 是周期函数，且2b 2a是一个周期。
【注意：上述2a b 不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴x a、x b 之间没有其他对称轴，则2 a b 是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。】结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点a,c 、b,c ( a b )成中心对称，即
f (a x) f (a x) 2c 和f (b x) f (b x) 2c (a b)，那么f (x) 是周期函数，其中一
个周期T 2 a b
证明：由 f (a x) f(a x) 2c f(x) f (2a x) 2c f (b x) f (b x) 2c f(x) f (2b x) 2c 得 f (2a x) f (2b x) 得 f (x) f (2b 2a x)
∴函数y f (x) 是以2b 2a为周期的函数。
结论3：一线一点对称如果函数f(x) 的图像关于点a,c (a 0)成中心对称，且关
于直线x b( a b )成轴对称，那么f(x) 是周期函数，其中一个周期
证明：f (a x) f (a x) 2c f(x) f (2a x) 2c
f (b x) f b x) f (x) f(2b x)
f (4(b a) x) f (2b (4a 2b x))
f (4a 2b x) f (2a (2b 2a x)) 2c f(2b 2a x)
2c f (2b (2a x)) 2c f (2a x)
2c (2c f (x)) 2c 2c f (x) f (x)
(x) 是周期函数，推论 1 ：如果偶函数f (x) 的图像关于直线x a(a 0)对称，那么f
其中一个周期T2 a
