曲线的曲率和Frenet标架

在数学和物理学中，Frenet空间标架是一种重要的概念，它在描述曲线运动和空间变换时发挥着关键作用。

而一般参数曲线则是在这一理论框架下的重要应用之一，它有着广泛的实际意义和深刻的数学内涵。

本文将围绕这两个主题展开深入探讨，带您逐步深入理解它们的内涵和应用。

1. Frenet空间标架Frenet空间标架是描述空间中一条曲线上的切线、法线和滑线方向的一组矢量基底。

它由三个单位正交矢量构成：切线单位矢量T，法线单位矢量N和滑线单位矢量B。

这一组矢量基底可以完整地描述曲线在空间中的运动特性，是描述曲线弯曲、扭转和形状变化的重要工具。

Frenet空间标架的概念深刻而精妙，它不仅在数学和物理学中有着广泛的应用，也在工程、计算机图形学等领域有着重要的意义。

2. 一般参数曲线一般参数曲线是指曲线的参数方程满足一定的条件，可以将曲线的弧长作为参数。

在Frenet空间标架的描述下，一般参数曲线能够更加简洁地描述曲线的特性。

通过参数化轨迹曲线上的点，我们可以得到曲线上每一点的切线、法线和滑线方向，从而完整地描述出曲线在空间中的运动规律。

一般参数曲线在几何建模、物体运动和曲线绘制等领域有着重要的应用，它为我们理解和描述空间中曲线的运动提供了重要的数学工具。

3. 个人观点和理解从我的角度来看，Frenet空间标架和一般参数曲线是描述空间中曲线运动和变换的重要数学工具。

它们不仅具有丰富的数学内涵，还有着广泛的实际应用。

在学习和研究过程中，我深切体会到这两个概念对于理解曲线运动和空间变换的重要性。

通过深入研究和探讨，我逐渐领会到它们的深刻之处，也感受到它们在数学和物理学中的重要作用。

总结通过本文的讨论，我们深入探讨了Frenet空间标架和一般参数曲线的概念和应用。

从简单到复杂，我们逐步展开对这两个主题的讨论，带您全面理解它们的内涵和意义。

我也共享了我对这两个主题的个人观点和理解，希望能够为您对这一领域的学习和研究提供一些启发和帮助。

关于路的并的点可区别V -全染色马宝林,刘娟,王军涛,丁玉荣（河南科技学院,河南新乡453003）摘要：根据简单图的点可区别V -全染色的概念及其染色方法,讨论了m 个长度为n 的路的顶点不交并的点可区别V -全染色,并给出全色数的结论及其证明,根据结论提出了相应的猜想,为进一步探讨其他简单图的点可区别V -全染色提供了理论证据,丰富了图的点可区别V -全染色的结果.关键词：简单图；全色数；点可区别V -全染色；mP n中图分类号：O157.5文献标志码：A 文章编号：1008-7516（2012）03-0065-04Vertex distinguishing V -total chromatic number of mP nMa Baolin,Liu Juan,Wang Juntao,Ding Yurong（Henan Institute of Science and Technology,Xinxiang 453003,China ）Abstract:According to the definition and the method of the vertex -distinguishing V -total coloring,the vertex -distinguishing V -total coloring of the vertex-disjoint union of m paths with lengths n is discussed,and the conclusion and proof of the vertex-distinguishing V -total chromatic number are given,finally,proposed a conjecture,To further explore other simple graph vertex-distinguishing V -total coloring provides a theoretical evidence that enriched the graph vertex-distinguishing V -total coloring results.Key words:simple graph ;chromatic number ;vertex-distinguishing V -total coloring ;mP n图的染色问题是NP 完全问题,目前已得到了很多结果[1-3],2004年,张忠辅、陈祥恩等在图的全染色的基础上提出了邻点可区别全染色[1],2008年,又在点可区别正常全染色的基础上提出了图的点可区别一般全染色[2].本文从简单图的点可区别V -全染色的定义出发,讨论mP 2、mP 3、mP 4的点可区别V -全染色,给出全色数的结论及其证明,并提出了自己的猜想.1相关概念在文献[1]和[2]中,对于部分简单图的点可区别正常全染色已有相对完善的结果,并给出定义,图的正常全染色是指：（1）相邻的两个顶点染色不同；（2）相邻的两条边染色不同；（3）任意的点和与之关联的边染色不同,并用表示了图的点可区别全色数.如若上述（1）～（3）条件中只满足其中一个或两个条件时就被称之为图的一般全染色.本文仅考虑只满足（2）和（3）时的情形.定义设G 是一个简单图,k 是正整数,f 是到{1,2,3,…,k }的一个映射,对图G 的一个全染色f ,用表示点u 和它所关联的边所染的颜色组成的集合,即.若对于V （G ）中的任意两点u 和v ,都有,则称f 是图G 的点可区别V -全染色,简称为图G 的VDVT 染色.图G 的一个VDVT 染色所需要最少颜色的数目称为图G 的点可区别V -全色数,记为.命题对于简单图G ,有[3].收稿日期:2012-03-08作者简介：马宝林(1978-),男,回族,甘肃张家川人,硕士,讲师.主要从事图论及其应用研究.()C u ={}{}()()|()f u f uv uv E G ÎU ()C u ()()C u C v ¹()()vvt vt G G c c ≤()()V G E G U ()vt G c ()vvt G c doi:10.3969/j.issn.1008-7516.2012.03.016第41卷第3期413Vol.No.河南科技学院学报Journal of Henan Institute of Science and Technology2012年6月2012Jun.65引理对于简单图G ,令n i 是度为i （）的顶点的个数,若K n 存在点可区别V -全染色,则有.在文献[4]中图mP 2与mP 3的点可区别E -全染色做了研究,其主要结论mP 2与mP 3图的点可区别V -全染色基本一致,本文中部分结果证明可参阅文献[4].2若干结论定理1对于m 条长为2的路的并的点可区别V -全染色,有（k 为正整数）证明略.定理2对于m 条长为3的路的并的点可区别V -全染色,有（k 为正整数）证明：当m =1,其染色方法以顶点色集合的形式表现为：{1,2},{2,1,3},{3,1},显然有；当m =2,其染色方法以顶点色集合的形式表现为：{1,2},{2,1,3},{3,1}；{3,2},{2,1,4},{4,1},显然有；当m =3,其染色方法以顶点色集合的形式表现为：{1,2},{2,1,3},{3,1}；{3,2},{2,1,4},{4,1}；{4,3},{3,2,4},{4,2}；显然有；当m ≥4时,染色方案参阅文献[4].定理3对于m 条长为4的路的并的点可区别V -全染色,有当m =1,2时,；当m =3,4,5时,；当m ≥6时,（）()vvt G c ≥min ,11i n i i m m d ìüæöïïD íýç÷+èøïïîþ≥≤≤≤i d D ≤≤m -()2424141,121;224144,12;2244141,2;22414242,2 1.22vvt k k k m k k k m mP k k k m k k k m c ì--æöæö---ïç÷ç÷èøèøïï-æöæöï-ç÷ç÷ïèøèø=í+æöæöï+ç÷ç÷ïèøèøï++ïæöæö+-ïç÷ç÷èøèøî＜≤＜≤＜≤＜≤()3424141,121;224144,12;2244141,2;22414242,2 1.22vvt k k k m k k k m mP k k k m k k k m c ì--æöæö---ïç÷ç÷èøèøïï-æöæöï-ç÷ç÷ïèøèø=í+æöæöï+ç÷ç÷ïèøèøï++ïæöæö+-ïç÷ç÷èøèøî＜≤＜≤＜≤＜≤3(1)3vvt P c =3(2)4vvt P c =3(3)4vvt P c =()45vvt mP c =()44vvt mP c =()4434242,21;22424141,121;224144,12;2244141,222vvt k k k m k k k m mP k k k m k k k m c ì--æöæö- -ïç÷ç÷èøèøïï--æöæöï- - -ç÷ç÷ïèøèø=í-æöæöï - ç÷ç÷ïèøèøï+ïæöæö+ ïç÷ç÷èøèøî＜≤＜≤＜≤＜≤.2k ≥2012年河南科技学院学报(自然科学版)66证明：当m =1时,,其染色方法以顶点色集合的形式表现为：{1,3},{3,2,4},{4,3,1},{1,4}；当m =2时,在前面的基础上,给出其染色方法以顶点色集合的形式表现为：{1,3},{3,2,4},{4,3,1},{1,4}；{3,2},{2,4,1},{1,2,3},{3,4}；有；当m =3,4,5时,在前面的基础上,第3,4,5条路的染色方法以顶点色集合的形式表现为：{5,1},{1,2,5},{5,3,2},{2,5}；{5,3},{3,4,5},{5,2,4},{4,5}；{2,1},{1,3,5},{5,1,4},{4,2}；显然为VDVT 全染色,且；当m ≥6时,结论等价于（）将本结论分4种情形讨论：（1）当m 满足时,在前面m ≤5的VDVT 全染色的基础上,在对应的m 取值范围内,全部用染其顶点,用1,3,5,…,顺次染边,用2,4,6,…,顺次染其顶点,全部用染边,再顺次用3,5,…,染其顶点,顺次用2,4,……,染其边,最后全部用染其顶点,则该区间内所有一度点的色集合顺次为,,,,……,,（注：色集合暂时没有用）；因而所有二度点的色集合顺次为,,,,……,,,显然该染色为VDVT 全染色；且（）,其中；（2）当m 满足时,在前面VDV T 全染色的基础上,在对应的m 取值范围内,全部用染其顶点,顺次用1,3,5,……,染其边,再顺次用2,4,……,染其顶点,接着用染边,再顺次用3,5,……,,1染其顶点,顺次用2,4,……,染其边,最后用染其顶点,则该区间内所有一度点的色集合顺次为,,,,……,,因而所有二度点的色集合顺次为,,,,……,,,（注：色集合暂时没有用到）；显然该染色为VDVT全染色；且（）,其中；（3）当m 满足时,在前面V DVT 全染色的基础上,在对应的m 取值范围内,全部用染其顶点,顺次用1,3,5,……,染其边,再顺次用2,4,6,……,,1染其顶点,接着用染其边,再顺次用3,5,7,……,,1染其顶点,顺次用2,4,6,……,,染其边,最后用染其顶点,则该区间内所有一度点的色集合顺次为,,,……,,（注：色集合已用）因而所有二度点的色集合顺次为,,,,……,,,,,显然该染色为V DVT 全染色；且,其中；{}41,42,44k k k +++{}44,43,42k k k +++41422122k k m ++æöæö-ç÷ç÷èøèø＜≤1k ≥{}3,4,42k +{}42,5,4k +{}41,4,42k k k -+{}42,3,2k +{}1,2,42k +i z 42k +41422122k k m ++æöæö-ç÷ç÷èøèø＜≤41k +i w i v i e 4(1)4vvt P c =()424vvt P c =()45vvt mP c =()4414242,1;224441;22434444,1.2244454522vvt k k k m k k k m mP k k k m k k k m c ì++æöæö+ 2-ïç÷ç÷èøèøïï+2+3æöæöï+3, -12-ç÷ç÷ïèøèø=í++æöæöï+- 2ç÷ç÷ïèøèøï++ïæöæö+ , 2 ;ïç÷ç÷èøèøî＜≤＜≤＜≤＜≤1k ≥i u 41k -4k 42k +42k +i e i l 42k +{}4,42k k +{}42,3k +{}4,42k +{}42,1k +{}2,42k +{}42,41,4k k k ++()442vvt mP k c =+42432122k k m ++æöæö-ç÷ç÷èøèø＜≤43k +43k +i z i w i v i e i u i e i l 41k -42k +41k +42k +43k +{}43,3k +{}43,1k +{}2,43k +{}4,43k +{}42,43k k ++{}3,4,43k +{}43,5,4k +{}43,1,42k k ++{}43,3,2k +{}1,2,43k +{}41,42,43k k k +++{}42,43k k ++()443vvt mP k c =+1k ≥42432122k k m ++æöæö-ç÷ç÷èøèø＜≤4344222k k m ++æöæöç÷ç÷èøèø＜≤44k +44k +i z i w i v i e i u i e i l 43k +42k +43k +42k +44k +{}44,3k +{}44,1k +{}2,44k +{}4,44k +{}43,44k k ++{}3,4,44k +{}44,5,4k +{}44,3,2k +{}1,2,44k +41k +{}41,42k k ++{}41,42k k ++{}44,2,41k k ++{}43,1,44k k ++4344222k k m ++æöæöç÷ç÷èøèø＜≤()4441vvt mP k k c =+（≥）马宝林等院关于路的并的点可区别V -全染色第3期67（4）当m 满足时,在前面V DVT 全染色的基础上,在对应的m 取值范围内全部用染其顶点,顺次用1,3,5,……,染其边,再顺次用2,4,6,……,染其顶点,接着用染其边,再顺次用3,5,7,……,,1染其顶点,顺次用2,4,6,……,染其边,最后用染其顶点,则该区间内所有一度点的色集合顺次为,,,,……,因而所有二度点的色集合顺次为,,,,……,,,显然该染色为VDV T 全染色；且（）,其中．定理得证．3一个猜想猜想对于m 条长为n 的路的并的点可区别V -全染色,其全色数若记为,则：（1）（[]为取整函数）（2）当时,有其中k 为一个正整数．4结束语本文依据简单图的点可区别V -全染色定义,给出了m 条长为n 的路的并的点可区别V -全色数,并给出了完整的证明过程,最后提出关于mP n 的点可区别V -全染色猜想,为进一步探讨其他简单图的点可区别V -全染色提供了思想方法,丰富了图的点可区别全染色的结论,为进一步解决相关实际问题提供理论依据.参考文献：[1]Zhang Z F,Chen X E.On adjacent-vertex-distinguishing total coloring of graphs [J].Science in China （Ser A ）,2005,48（3）：289-299．[2]陈祥恩.n -方体的点可区别全色数的渐进性态[J].西北师范大学学报：自然科学版,2005,41（5）：1-3．[3]张忠辅,陈祥恩,李敬文,等.关于图的邻点可区别全染色[J].中国科学A 辑：数学,2004,34（5）：574-583．[4]马宝林,刘娟,陈祥恩.图mP 2与mP 3的点可区别E -全染色[J].读写算,2010（9）：201-202.[5]Ma B L,Chen X E,Liu J.2-distance coloring of strong product of graghs [J].山东大学学报,2010,45（3）：66-70.[6]Zhang Z F,Qiu P X,Xu B G,et al .Vertex-distinguishing total colorings of graphs [J].Ars Combinatoria,2008（87）：33-45．[7]马宝林.完全图的点可区别V -全染色[J].河南科技学院学报：自然科学版,2011,39（5）：44-46.（责任编辑：卢奇）45k +i v i u i e 43k +42k +45k +i w i e i l 43k +44k +i z 45k +{}45,3k +{}45,1k +{}2,45k +{}4,45k +{}44,45k k ++{}3,4,45k +{}45,5,4k +{}45,3,2k +{}1,2,45k +{}45,1,44k k ++{}41,42,45k k k +++()445vvt mP k c =+1k ≥4445222k k m ++æöæöç÷ç÷èøèø＜≤4445222k k m ++æöæöç÷ç÷èøèø＜≤()()23min ,22v vvt n vt n mP mP m n c c éùæöæöêúç÷ç÷èøèøêúêú-êúêúëû≤()()2322v v vt n vt n mP mP n c c æöæöç÷ç÷èøèø-≤()vvt n mP c ()424141;121;224144;12;2244141;2;224442;2 1.vvt n k k k m k k k m mP k k k m k k k m c ì--æöæö---ïç÷ç÷èøèøïï-æöæöï-ç÷ç÷ïèøèø=í+æöæöï+ç÷ç÷ïèøèøï+1+2ïæöæö+-ïç÷ç÷22èøèøî＜≤＜≤＜≤＜≤2012年河南科技学院学报(自然科学版)68。

２ ０ １ ７年 ７月
Ｓ ＴＵＤＩ Ｅ Ｓ Ｉ Ｎ Ｃ０ＬＬＥ ＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩ ＣＳ
一
般 方 程 表 示 下 曲线 Ｆ ｒ ｅ ｎ ｅ ｔ 标 架 的计 算
及 其 Ｍａ ｐ ｌ ｅ实 现
蔡 丹 丹 ，张 量
（ 安 徽 师 范大 学 数 学 计 算 机 科 学 学 院 ，安 徽 芜 湖 ２ ４ １ ０ ０ ０ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｉ ｎ ｔ ｈｉ ｓ ｐａ ｐｅ ｒ ，ｗｅ ｃ ａ ｌ ｃ ｕｌ ａ ｔ ｅ ｔ ｈｅ Ｆｒ ｅ ｎｅ ｔ ｆ ｒ ａ ｍｅ ｆ ｏｒ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｉ ｎ ｇｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏｎ ｆ ｏｒ ｍ ｂ ｙ ｕｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈｅ ｔ ｈｅ — ｏｒ ｙ ｏ ｆ ｉ ｍｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏｎ ｓ，ａ ｎｄ ｐｒ ｏ ｖ ｉ ｄｅ ｔ ｈｅ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐｏ ｎｄｉ ｎｇ Ｍａ ｐ ｌ ｅ ｃ ｏｄ ｅ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ Ｆｒ ｅ ｎｅ ｔ ｆ ｒ ａ ｍｅ，ａ ｒ ｃ ｌ ｅ ｎ ｇｔ ｈ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ
第２ ｏ 卷第４ 期
法 主要 是 借 助 于 微 积 分 学 中 隐 函数 理 论 ．不 仅 如
此 ，我们 还 给 出 了对 应 的 Ｍａ ｐ ｌ ｅ 源程序 ， 利 用 该 程
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ —０ ９ —２ ４ 修 改 日期 ： ２ ０ １ ６ —１ ２—２ ７
为 口 （ ｓ ） 的弧 长 参 数Ⅲ ． 为 与 一 般参 数 区 别 起 见 ，本
架 的计 算结 果 ．
２ 预 备 知 识
假设 口 （ ￡ ） 是 三维 欧式 空 间 。 中的 Ｃ 曲线 ， ｔ Ｅ （ 口 ， ｂ ） ， 取定 ｔ 。 ∈（ ＆， ｂ ） ， 称

而这由 B (s) = N ，即可得证． □
定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠
率 (s) 与 *(s) 总相等．
证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量 的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程， 特别适用于理性的数量关系问题的求解过程， 当然包括适用于对曲面几何问题的讨论． 具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理
和公式的证明过程，直至理论框架． 典型的使用过程，也可以参阅第七章§6中球面曲线的局 部特征定理及其证明．本章§7中也经常使用这些步骤．
二．Frenet公式
按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r ， 其Frenet标架关于曲线弧长 s 的运动公式（作微小位 移时的变换公式）现在已经可以确定为
dr = T ds ；
00ds
ds
0
ds

d00 s

定义1 对于无逗留点的曲线 C ，称 = B N 为曲线的
挠率函数，其中 B 为从法向量对弧长的导数；当挠率非 零时，称其倒数为挠率半径．
可证（习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变．
一．挠率
B ∥N ．
对于无逗留点的曲线 C ，称 = B N 为曲线的挠率
一．挠率
定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的 充要条件是其挠率函数恒等于零．
定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s)