第2章_控制系统的动态数学模型_2.2数学模型的线性化

冯大鹏

第2章 控制系统的数学模型

§1 系统数学模型的基本概念

一. 系统模型

系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。

物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。

二. 系统数学模型

1. 系统数学模型

系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

2. 系统数学模型的分类

数学模型又包括静态模型和动态模型。

(1) 静态数学模型

静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。

(2) 动态数学模型

描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。

动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。

三. 系统数学模型的形式

对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。对于线性系统，它们之间是等价的。但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。

经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。

第二章 控制系统的数学模型

本章目录

2.1 传递函数

2.2 传递函数的说明

2.3 非线性数学模型的线性化

2.4 典型环节的传递函数数学模型

2.5

用方块图表示的模型

2.6 信号流程图与梅逊公式

2.7* 数学模型的MATLAB描述

小结

本章简介

系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。许多控制系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等等，都可以用微分方程加以描述。如果对这些微分方程求解，就可以获得控制系统对输入量（或称作用函数）的响应。系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得。为了设计（或者分析）一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式。有三种比较常用的描述方法：一种是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入--输出描述，或外部描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。

本章所讨论的数学模型以传递函数和方块图为主。

2.1 传递函数

在控制理论中，为了描述线性定常系统的输入-输出关系，最常用的函数是所谓的传递函数。传递函数的概念只适用于线性定常系统，在某些特定条件下也可以扩充到一定的非线性系统中去。

线性定常系统的传递函数，定义初始条件为零时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。

设有一线性定常系统，它的微分方程是

(2-1)

式中y是系统的输出量，x是系统的输入量。初始条件为零时，对方程（2-1）两端进行拉普拉斯变换，就可以得到该系统的传递函数为：

1

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第二章 控制系统的数学模型

本章目录

2.1

列写系统微分方程式的一般方法

2.2 非线性数学模型的线性化

2.3 传递函数

2.4

框图和系统的传递函数

2.5 信号流程图与梅逊公式

2.6 状态空间模型简介

2.7 数学模型的MATLAB描述

小结

本章简介

概述：1. 数学模型 ------描述系统变量之间关系的数学表达式

2. 建模的基本方法: (1) 机理建模法(解析法)

(2) 实验辩识法

3. 控制系统数学模型的主要形式:

(1) 外部描述法: 输入--输出描述

(2) 内部描述法: 状态变量描述

系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。许多控制系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等2

等，都可以用微分方程加以描述。如果对这些微分方程求解，就可以获得控制系统对输入量（或称作用函数）的响应。系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得。为了设计（或者分析）一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式。有三种比较常用的描述方法：一、是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入--输出描述，或端部（外部）描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。

机械工程控制基础教案

第一章：机械工程控制概述

1.1 课程介绍

了解机械工程控制的基本概念、原理和应用

掌握机械工程控制的基本环节和数学模型

1.2 机械工程控制的基本概念

控制、反馈和控制系统的定义

开环控制和闭环控制的区别

1.3 机械工程控制的基本环节

传递函数、频率响应和状态空间表示

系统的稳定性、线性、时不变性等特性

1.4 机械工程控制的应用实例

机械臂的控制、控制系统

发动机控制、车辆控制等

第二章：控制系统的数学模型

2.1 数学模型的建立

微分方程、差分方程和传递函数

系统的输入、输出和状态变量

2.2 线性系统的时域分析

稳态误差、稳态响应和瞬态响应

系统的稳定性和动态性能指标

2.3 线性系统的频域分析 频率响应、波特图和稳定性裕度

系统的频率特性和平衡点

2.4 非线性系统的分析

非线性微分方程和差分方程

非线性系统的相平面和李雅普诺夫理论

第三章：控制系统的分析和设计方法

3.1 系统的时域分析法

根轨迹、频率响应和状态空间法

系统的稳定性和动态性能分析

3.2 系统的频域分析法

波特图、频率特性和稳定性裕度

系统的频域设计和优化

3.3 系统的优化方法

目标函数和约束条件

最大误差最小化和动态性能最优化

3.4 控制器的设计算法

PID控制器、模糊控制器和自适应控制器

数字控制器和模拟控制器的比较和选择

第四章：机械工程控制的应用案例

4.1 控制系统

的运动学模型和动力学模型

的路径跟踪和姿态控制 4.2 车辆控制系统

车辆的动力学模型和控制目标

车辆的稳定性控制和燃油经济性控制

4.3 发动机控制系统

发动机的工作原理和控制需求

发动机的排放控制和燃油控制

4.4 生产线控制系统

生产线的流程和控制目标

生产线的调度和优化控制

第五章：机械工程控制实验与实践

5.1 控制系统实验设备

控制实验台和实验设备的选择

实验设备的连接和操作方法

5.2 控制系统实验原理