初三数学圆知识点复习专题经典

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《圆》

—.圆的概念

槪念： 仁 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的槪念： 仁 圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）：

3、 角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、 到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、 到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二.点与圖的位置关系

仁点在圆内=> d

2、 点在圆上=> d = r =>

3、 点在圆外=> d > r =>

三.直线与圆的位置关系

外离 （图1） => 无交点 => d>R + r∖

外切 （图2） => 有一个交点 => d = R + r ；

相交 （图3） => 有两个交点 => R-r

内切 （图4） => 有一个交点 => d = R-r ↑

内含 （图5） => 无交点 => d

点B在圆上;

点A在圆外;

1>直线与圆相离 => d > r => 无交点;

2、直线与圆相切 => d = /•=> 有一个交点:

3、直线与圆相交 => d 有两个交点: d d

1

五. 垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论仁(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2) 弦的垂直平分线经过國心，并且平分弦所对的两条弧；

(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结

中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在0 0 中，V AB // CD

•••弧 AC=弧 ED

B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

B.过弦的中点的直线必过圆心

C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心②佔丄Cr) ③CE = DE ④弧BC=弧BD ⑤弧AC=弧AD

例题仁基本概念

1. 下面四个命题中正确的一个是()

A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径

C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心

2. 下列命题中，正确的是( ).

A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧 1

D.弦的垂线平分弦所对的弧

例题2、垂径定理

1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截而如图所示，如果油的最大

深度为16cm,那么油而宽度AB是 ___________ Crn・d d

1

2.已知：00的半径OA = X.弦AB. AC的长分别是JΣ. √L求ZBAC的度数。

例题4.相交问题

如图，已知C)O的直径AB和弦CD相交于点E, AE=6cm, EB=2cm, ZBED=30°

例题5、平行问题

在直径为50Cm的OO中，弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB/7CD,求：AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦4B,交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的 径分别为",b.求证：AD BD = a2-b2.

例题7、平行与相似

已知：如图，A3是Oo的直径，CD是弦，AE丄CD于E, BF丄CD于F .

证：EC=FD・2. 在直径为52Cm的圆柱形汕槽内装入一些油后，，如果油而宽度是48cm,那么油的最大深度为.

3、 如图，

(1)

(2) cm.

4、已知:

5、如图, 已知在OO中，弦AB = CD,且丄CD.垂足为0£丄&3于E, OF丄CQ于F. 求证：四边形OEHF是正方形.

若CH=3、DH = 9、求圆心O到弦AB和CD的距离・

∆ABC内接于Θ0, AB=AC,半径0B=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,

AD=-BE 2 F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是EiF的中点，AD丄BC于D,求证:

F

例题3.度数问题

仁 已知：在OO中，弦AB= 12cn‰ O点到AB的距藹等于43的一半，求:

C

半

求 1

六. 圆心角定理

圜心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1 推3定理，即上述四个结论中.

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：① ZAOE = ZDOE :② AB = DE ;

③OC = OF ；④ 弧BA=弧BD

七、圆周角定理

1＞圆周角定理：同弧所对的岡周角等于它所对的圆心的角的一 半。

即：TZAOB和ZACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

∙∙∙ ZAOB = 2ZACB

2、圆周角定理的推论:

推论仁 同弧或等弧所对的圆周角相等：同國或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;

即：在OO中，V ZC . ZQ都是所对的國周角

∙∙∙ ZC = ZD

推论2:半圆或直径所对的圈周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半國，所对的弦是直径。

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在 ZkABC 中，V OC = OA = OB

：.Δ ABC是直角三角形或ZC = 90°

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯左 是半圆环形？ 即：在00中，V AB是直径

：• ZC = 90° 或••• ZC =

90°

∙∙∙ AB是直径 B

C.

D

A

【例4】四边形ABCD中，AB〃DC, BC=b, AB=AC=AD=a,如图,求BD的长.

【例5】如图仁AB是半00的直径，过A、B两点作半00的弦，当两弦交点恰好落在半Θ0 ± C点时，则 有 AC ∙

AC÷BC ∙ BC=AB2.

(1)如图2,若两弦交于点P在半00内，则AP ∙ AC +BP ∙ BD=AB2是否成立？请说明理由.

(2)如图3,若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB?= ________ .参照(1)填写相应结论，并证明你填

写结论的正确性.

AX圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 直径. 【例2】如图，已知Glo中，AB为直径，AB=IOCm＞弦AC=6cnυ ZACB的平分线交OO 于D,求BC、AD和BD的长.

【例3】如图所示，已知AB为Oo的直径，AC为弦，0D〃BC,交AC于D, BC=4cm.

(1)求证：AC丄0D； (2)求OD的长： (3)若2sinA—仁0,求GIo的

Cf 1

ZDAE = ZC

例仁如图7-107, 00中，两弦AB〃CD, M是AB的中点，过M点作弦DE.求证：E, M, 0∙ C四点共圆.

(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线:

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：TMN丄OA且MN过半径OA外端

：・MN是(Do的切线

(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)

推论仁 过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心：②过切点：③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∖∙ PA > PB是的两条切线

：.PA = PB

PO平分ZBPA

利用切线性质计算线段的长度

例1:如图，已知：AB是Oo的直径，P为延长线上的一点，PC切。0于C, CD丄AB于D∙又PC=4, O 0的半径九.切线的性质与判定定理

R 1

为3・求：OD的长. 1

利用切线性质计算角的度数

例2：如图，已知：AB是00的直径，CD切Θ0于C, AE丄CD于E, BC的延长线与AE的延长线交于F, 且AF=BF.求：ZA的度数・

利用切线性质证明角相等

例3：如图，已知：AB为OO的直径，过A作弦AC、AD,并延长与过B的切线交于M、N.求证：ZMCN=

ZMDN ・

利用切线性质证线段相等

例4：如图，已知：AB是00直径，CO丄AB, CD切OO于D, AD交CO于E.求证：CD=CE.

利用切线性质证两直线垂直

例5：如图，已知：∆ABC中，AB二AC,以AB为直径作C)O,交BC于D, DE切00于D.交AC于E.求 证：