首届北方初中数学奥林匹克竞赛试卷

1、设A、B、C是三角形的三个内角，且满足3sin²A + 2sin²B = 3sinA·sinB + sin²C。则角A的取值范围是：

A、(0, π/6)

B、(π/6, π/3)

C、(π/3, π/2)

D、(π/2, 2π/3)

解析：利用正弦定理和余弦定理，将题目条件转化为边的关系，进一步化简可得cosA的表达式，通过分析cosA的取值范围，可以确定角A的取值范围。最终得出答案为B。（答案）

2、设n是正整数，且n的十进制表示中不包含数字0和1。若将n的十进制表示中的每一位数字都替换为其平方，所得到的新数记为f(n)。则下列说法正确的是：

A、存在某个n，使得f(n)是3的倍数

B、存在某个n，使得f(n)是4的倍数

C、对于所有n，f(n)都不是5的倍数

D、对于所有n，f(n)都不是6的倍数

解析：通过分析n的取值和f(n)的构造方式，可以判断f(n)对于3、4、5、6的倍数的性质。特别是当n取某些特定值时，可以验证f(n)是否可能是3、4或6的倍数。而对于5的倍数，可以找到反例。最终得出答案为C。（答案）

3、在平面直角坐标系中，设点P(a, b)满足条件|a| + |b| ≤ 1。对于所有这样的点P，点(a +

b, a - b)构成的区域面积是：

A、1

B、2

C、2√2

D、4

解析：通过考虑|a| + |b| ≤ 1所定义的区域，这是一个以原点为中心的正方形。接着，利用线性变换的性质，确定点(a + b, a - b)在新坐标系下的区域，并计算其面积。最终得出答案为B。（答案）

4、设a₁, a₂, ..., aₙ是互不相同的正整数，且1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/aₙ = 1。则n的最小值是：

A、4

B、5

C、6

D、7

解析：通过考虑调和级数的性质，尝试不同的正整数组合，使得它们的倒数和为1。通过逐一尝试和排除法，可以找到满足条件的最小n值。最终得出答案为C。（答案）

81 第八章 二次方程与方程组

第一节 一元二次方程

【赛题精选】

§1、一元一次方程的解法

主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。

例1、利用直接开平方法解下列关于x的方程。

（1）0)1(9)2(22xx （2）)0(0)22()(22aaxax

（3）)21(2142222nxnxnxx

例2、利用因式分解法解下列关于x的方程。

（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452xx

(3)02_23()12(2xx (4)0)()(22222qppqxqpx

82 （5）xmxmxxm)1()1()1(2222

例3、用配方法解下列关于x的方程。

（1）)0(02acbxax （2）03)12()1(2mxmxm

（3）01333223xxx

§2、根的判别式、根与系数的关系

韦达定理：若)0(02acbxax的两个根为1x、2x，那么1x、2x与a、b、c的关系为：两根之和abxx21；两根之积acxx21。

例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222aaxaxa（1）、02)2()1(222bbbxb（2）（其中a、b均为正整数）有一个公共根。

求ababbaba的值。

83 例5、已知方程02cbxx与02bcxx各有两个根1x、2x及1x、2x，且1x2x＞0，1x2x＞0。

求证：（1）1x＜0，2x＜0，1x＜0，2x＜0；（2）b-1≤c≤b+1；

（3）求b、c所有可能的值。

例6、已知1x、2x是方程032xx的两个根，求代数式1942231xx的值一。

例7、已知a、b为整数，a＞b，且方程04)(332abxbax的两个根、满足关系式)1)(1()1()1(。试求所有适合条件的整数对（a，b）。

２０１０年第８期　４５　

本期问题　

初２７９如图１，过圆外一点Ｐ作圆的切　

线ＰＡ和割线　

ＰＢ１　，切点　

为Ａ，交点为　

、　，再过　

点Ｐ作圆的　

另一条割线　

ＰｃＤ交圆于　Ｐ　Ａ　

图１　

Ｃ、Ｄ两点，过Ｂ　、　分别作　的平行线分　

别交直线ＡＣ、ＡＤ于点Ｅ　和Ｆ　、Ｅ　和　．证　

明：Ｂｌ　ｔ・Ｂ２Ｅ２＝Ｂ１Ｆｌ・Ｂ２Ｆ２．　

初２８０　求Ｙ　＝８ｘ　＋２ｘ。Ｙ—Ｙ　在　∈　

［０，１０］时的所有整数解组（　，Ｙ）．　

高２７９已知正实数　、Ｙ、　满足　

（√３＋１）ｘｙ＋２Ｊ３ｙｚ＋（√３＋１）　＝１．　

（１）求　＋Ｙ＋ｚ的最小值；　

（２）４５－￣ｙ＋．（８－４，／￣－）ｙｚ＋丝的最　

ｚ　Ｙ　小值．　

高２８０如图２，从ｏ０外一点Ｐ作ｏ０　

的两条切线，切　

点为Ａ、Ｂ，再过　

点尸作ｏ０的一　

条割线，交ｏ　０　

于点Ｃ、Ｄ（ＰＣ＜　

肋）．设ＡＣ与　

ＤＢ交于点Ｅ，ＣＤ　

与ＡＢ交于点Ｆ，　

ＥＦ与ＰＢ交干　

Ｋ，ＥＦ与ＢＣ交于　

点Ｇ，ＡＧ与ＤＥ　Ｄ　

图２　

交于点ｓ．求证：ＫＳ是ｏ０的切线，切点为Ｃ．　上期问题解答　

初２７７全国初中数学竞赛共有１４道　

题（５道选择题，５道填空题，４道解答题），满　

分１５０分，其中选择题和填空题每题答对得　

７分，答错得０分，没有其他分值；解答题每　

题２０分，步骤分只能是０、５、１０、１５、２０分，没　

有其他分值．则所有可能得到的不同分值共　

有多少个？　

解分值可以在ｌ６个５分和１０个７分　

中选取，设５分和７分共选ｋ个．　

因为选与不选是相对的，即选ｍ个５，ｎ　

个７所得到的分值与选１６一ｒ／＇ｔ个５，１０一ｎ　

个７所得到的分值的和是１５０，所以，只要考　

虑一半的分值即可．设０～７４之间可以得到　

的不同分值共有口个．由于７５可以取到，因　

此，所有可能得到的不同分值共有２口＋１个．　

从而，只需讨论到ｋ＝１４．　

（１）当ｋ＝０时，分值为０；　

（２）当ｋ：２，４，６，８　ｌ０时，分值分别为　

１０～ｌ４，２０～２８，３０～４２，４０～５６，５０～７０之　

初中数学奥数题综合模拟试卷及答案

初中数学奥数题:综合模拟试卷及答案

篇一：初中数学模拟试题及答案

初四数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将第i卷选择题所选选项填入下表，第1～3小题每题3分，第4～12小题每题4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．

1．例如图，数轴的单位长度为1，如果点a，b则表示的数的绝对值成正比，那么点a则表示的数是（a）－4（b）－2（c）0（d）42．以下排序恰当的就是（a）（－p2q）3＝－p5q3（b）（12a2b3c）÷（6ab2）＝2ab

2－

（c）3m÷（3m－1）＝m－3m2（d）（x2－4x）x1＝x－43．长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（a）3（b）4（c）12（d）164．未知m＝??

221，则存有3??

（a）5＜m＜6（b）4＜m＜5

（c）－5＜m＜－4（d）－6＜m＜－55．下列命题中，假命题是

（a）平行四边形就是中心对称图形

（b）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等

（c）对于直观的随机样本，可以用样本的方差回去估算总体的方差（d）若x2＝y2，则x＝y

6．如图，将周长为8的△abc沿bc方向平移1个单位得到△def，则四边形abfd的周长为（a）6（b）8（c）10（d）127．如图，b处在a处的南偏西45°方向，c处在a处的南偏东15°方向，c处在b处的北偏东80°方向，则∠acb等于（a）40°（b）75°（c）85°（d）140°

8．未知一组数据：1，3，5，5，6，则这组与数据的方差就是（a）16（b）5（c）4（d）3.2 9．如图，在直角坐标系中，矩形oabc的顶点o在坐标原点，边oa在x轴上，oc在y轴上，如果矩形oa′b′c′与矩形oabc关于点o位似，且矩形oa′b′c′的面积等于矩形oabc面积的