习题7-11. 下列向量的终点各构成什么图形?(1)空间中一切单位向量归结为共同的始点;(2)平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点;(3)平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点;(4)平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。
答:(1)单位球面 (2)单位圆 (3)两个点 (4)直线。
2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心,在向量,,,,,,,,OA OB OC OD OE OF AB BC ,,,CD DE EF FA 中,哪些向量是相等的? 答:,OA EF =,OB FA =,OC AB =,OD BC =,OE CD =.OF DE =3.平面四边形,ABCD 点,,,K L M N 分别是,,,AB BC CD DA 的中点,证明:.KL NM =当四边形ABCD 是空间四边形时,上等式是否仍然成立?证明:连结AC, 则在∆BAC 中,21AC. 与方向相同;在∆DAC 中,21AC. NM 与AC 方向相同,从而KL =NM 且KL 与NM 方向相同,所以KL =NM .当四边形ABCD 是空间四边形时,上等式仍然成立。
4. 解下列各题:(1)化简()()()()2332;x y x y -+-+-a b a b(2)已知12312323,322,=+-=-+a e e e b e e e 求,,32+--a b a b a b.解:(1)()()()()2332x y x y -+-+-a b a b()()()()23322332x y x y x y x y =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b()()55x y x y --+-=a b;(2)()()123123123233225;+=+-+-+=++a b e e e e e e e e e()()12312312323322;-=+---+=-+a b e e e e e e e +e e()()()()123123123123323232322693644-=+---+=+---+a b e e e e e e e e e e e e 235.=+e e5.四边形ABCD 中,2,568AB CD =-=+-a c a b c,对角线,AC BD 的中点分别是,,E F 求.EF 解:()()111156823352222EF CD AB =+=+-+-=+-a b c a c a b c.6. 设ABC ∆的三条边,,AB BC CA 的中点分别为,,,L M N 另O 为任意一点,证明: .OA OB OC OL OM ON ++=++证明:(1)如果O 在ABC ∆内部(如图1),则O 把ABC ∆分成三个三角形OAB,OAC,OBC 。