数学周报杯2011年全国初中数学竞赛试题

第１１期　李耀文，等：对一道“《数学周报》杯”赛题的探讨　・４５・　

对一道“《数学周报》杯＂赛题的探讨　

●李耀文　（枣庄市第四十中学山东枣庄２７７２００）　●柴培德　（枣庄市第二十四中学　山东枣庄２７７２２３）　

２００９年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛　

试题第９题：　题目　如图１，在ＡＡＢＣ中，ＣＤ是高，ＣＥ为　

ＬＡＣＢ的平分线．若ＡＣ＝１５，ＢＣ＝２０，ｃＤ＝１２，则　ＣＥ的长等于　．　

笔者认为，该试题构思精巧、结构严谨、解题方　法灵活，颇具有启发性和探索性．其主要考查竞赛　

选手对基础知识和基本技能的理解和应用，是一道　源于教材、内涵丰富、不落俗套的好题．本文试图就　试题的若干别解（参考答案以外的）、背景及其推　

广作进一步的分析探讨，供读者赏析参考．　１试题的答案回放　

ｒ　

Ｂ　

图ｌ　图２　由中国教育学会中学数学教学专业委员会所　提供的该试题的参考答案，抄录如下：　原解如图２，由勾股定理知ＡＤ＝９，ＢＤ：１６，　因此ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝２５．故由勾股定理逆定理知　

△ＡＣＢ为直角三角形，且ＬＡＣＢ＝９０。．　作ＥＦ　Ｌ　ＢＣ。垂疋为羔Ｆ．设ＥＦ＝ｘ，由　

ＬＥＣＦ＝　１／ＡＣＢ＝４５。，得ＣＦ＝　，于是　＝２０一　

．因为ＥＦ／／ＡＣ。所以　

一ＥＦ一　ＡＣ—ＢＣ’　

即　蠢＝　２０，。　ｌ５　’　

解得　：　，所以　

ＣＥ：，，ｆｉｘ：６—０　－］－２－．　

点评命题组所提供的参考答案主要是通过　题设挖掘出“ＡＡＣＢ为直角三角形”这一隐含条　

件，充分利用“角平分线和平行线分线段成比例”　等有关知识，利用方程思想使问题获解．　２试题的解法探讨　通过命题组所提供的参考答案可以看出：　“ＡＡＣＢ为直角三角形”这一隐含条件是解决问题　

的关键，加之给出的ＣＥ为ＬＡＣＢ的平分线，使其　内涵丰富，可用知识点多，方法思路广．下面给出参　

考答案以外的若干别解．　别解ｌ　如图ｌ，由勾股定理知ＡＤ＝９，ＢＤ＝　

１６，因此ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝２５．故由勾股定理逆定理　知ＡＡＣＢ为直角三角形，且ＬＡＣＢ＝９０。．因为　ＬＡＣＥ＝／＿ＢＣＥ，应用三角形角平分线的性质，得　

购物原价超过

３００元；

则第一次购物原价为

９４．５÷０．９＝１０５（

元）

．

所以小丽应付

（

３１６＋１０５－３００）

×０．８＋３００×０．９＝３６２．８（

元）．

２０．（

１）

证明：

如图，

延长

ＣＢ

至点

Ｇ，

使得

ＢＧ＝ＤＦ，

连结

ＡＧ．因为

ＡＢＣＤ是正方形，

所以

在

Ｒｔ

△ＡＤＦ和

Ｒｔ

△ＡＢＧ中，

ＡＤ＝ＡＢ，

∠ＡＤＦ＝

∠ＡＢＧ＝

９０°，

ＤＦ＝ＢＧ．

∴Ｒｔ

△ＡＤＦ

≌Ｒｔ

△ＡＢＧ（

ＳＡＳ），

∴ＡＦ＝ＡＧ，

∠ＤＡＦ＝

∠ＢＡＧ．

又

∵ＡＥ是

∠ＢＡＦ的平分线，

∴

∠ＥＡＦ＝

∠ＢＡＥ，

∴

∠ＤＡＦ＋

∠ＥＡＦ＝

∠ＢＡＧ＋

∠ＢＡＥ．

即

∠ＥＡＤ＝

∠ＧＡＥ． ∵ＡＤ

∥ＢＣ，

∴

∠ＧＥＡ＝

∠ＥＡＤ，

∴

∠ＧＥＡ＝

∠ＧＡＥ，

∴ＡＧ＝ＧＥ．

即

ＡＧ＝ＢＧ＋ＢＥ．∴ＡＦ＝ＤＦ＋ＢＥ，

得证

．

（

２）

Ｓ＝Ｓ

△ＡＤＦ＋Ｓ

△ＡＢＥ＝１

２ＤＦ·

ＡＤ＋１

２ＢＥ·

ＡＢ．

∵ＡＤ＝ＡＢ＝１，

∴Ｓ＝１

２（

ＤＦ＋ＢＥ）

．

由（

１）

知，

ＡＦ＝ＤＦ＋ＢＥ，

所以

Ｓ＝１

２ＡＦ．

在

Ｒｔ

△ＡＤＦ中，

ＡＤ＝１，

ＤＦ＝ｘ，

∴ＡＦ＝

ｘ２槡

＋１，

∴Ｓ＝１

２

ｘ２槡

＋１．

由上式可知，

当

ｘ２达到最大值时，

Ｓ最大

．而

０

≤ｘ

≤１，

所以，

当

ｘ＝１时，

Ｓ最大值为

１

２

ｘ２槡

＋１

＝１

２槡

２

櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕

櫕櫕

櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕毇

毇毇毇．

“《

数学周报》

杯”

２００８年全国初中数学竞赛试题及解答

一、

选择题（

共

５小题，

每小题

６分，

满分

３０分

．以

下每道小题均给出了代号为

Ａ，

Ｂ，

Ｃ，

Ｄ的四个选项，

其

中有且只有一个选项是正确的

．请将正确选项的代号填

入题后的括号里

．不填、

多填或错填都得

０分）

１．已知实数

ｘ，ｙ满足４

ｘ４－２

ｘ２＝３，

ｙ４

＋

ｙ２＝３，

则

４

ｘ４＋

ｙ４的值为（

）

．

Ａ．７

Ｂ

．槡

１＋１３

２ Ｃ

．槡

７＋１３

２ Ｄ．５

【

答】（

Ａ）

解：

因为

ｘ２

＞０，ｙ２

≥０，

由已知条件得

１

ｘ２

＝槡

２＋４＋４×

第13讲 二元一次方程组

知能概述：

“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代入法、

加减法是消元的两种基本方法。

解未知数系数较大、方程个数较多、含绝对值符号等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、设

元引参、换元转化等技巧方法，这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特

征的把握基础上的。

问题解决：

例1．若m使方程组2

2xy

xym−=+=的解x，y的和为6，则m= 。

（湖北省黄冈市竞赛题）

解题思路：用含m的式子分别表示x，y，或运用x+y=6，把原方程组转化为二元一次方程组。

例2．若4x−3y−6x=0，x+2y−7z=0（xyz≠0），则代数式222

22252

2310xyz

xyz+−

−−的值等于（ ）。

A．−1

2 B．−19

2 C．−15 D．−13

（全国初中数学竞赛题）

解题思路：视z为常数，解关于x，y的方程组。

例3．解下列方程组：

（1）199519975989

199719955987xy

xy+=+=；

（北京市竞赛题）

（2）115

6

117

12

113

4xyyz

yzzx

zxxy+=+++=+++=++；

（湖南省湘潭市竞赛题）

（3）1223341997199819981999

1234199819991

1999xxxxxxxxxx

xxxxxx+=+=+==+=+=++++++=。

（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）

解题思路：对于（1），运用整体叠加法解；对于（2），分别视111, , xyyzzx+++为整体，引人字母简化

问题；对于（3），从寻找x1，x3，x5，…，x1997，x1999及x2，x4，x6，…，x1996，x1998彼此间的联系入手。

例4．解下列方程组：

（1）||||7

2||3||1xy

xy+=−=−；

（四川省竞赛题）

（2）||1

||2||3xy

第12讲 趣味运动

知能概述：

行程问题是最为有趣而又多变的方程应用题的一种，其三要素是距离、速度、时间。

行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等，而相

遇、追及是最基本的模型。

熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元，借助直线图辅助分

析，巧用比例等是解行程问题的技巧。

问题解决：

例1．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路

公交车。假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间x发一辆车，那么，发车

间隔的时间x是 分钟。

（《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）

解题思路：本题包含了行程问题中的相遇与追及两种情况。设汽车的速度为a米/分，小王速度为b米/分，

则当一辆汽车追上小王时，另一辆汽车在小王后面ax米处，它用6分钟追上小王；又当一辆汽车与小王相

遇时，另一辆汽车在小王前面ax米处，它经过3分钟与小王相遇，由此布列方程。

例2．如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A……方向，

甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲

时在正方形的（ ）

A．AB边上 B．DA边上 C．BC边上 D．CD边上

（安徽省竞赛题）

解题思路：本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面3×90=270

（米）处。

例3．父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步，儿子跑7步的距离与

父亲跑4步的距离相等，现在儿子站在100米跑道的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑。

问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由。

（重庆市竞赛题）

解题思路：把问题转化为追及问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的路程与50米的大小，为了理顺步长、

路程的关系，需增设未知数，这是解题的关键。

例4．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的2