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高中物理学中的微元法习题训练

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高中物理学中的微元法习题训练

一、微元法在关联速度中的运用

1、如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v拉水平面上的物体A，当绳子与

水平方向成θ角时，求物体A的速度。

【答案】0cosAvv

【解析】设物体A在θ角位置t时间向左行驶x距离，滑轮右侧绳长缩短L，如图，

当绳水平方向的角度变化很小时，有cosLx，两边同除以t得

cosLxtt，当这一小段时间趋于零时，收绳的平均速率就等于瞬时速率

即收绳速率0cosAvv

所以物体A的速率为0cosAvv.

二、微元法在运动学、动力学中的应用

2、设某个物体的初速度为0v，做加速度为a的匀加速直线运动，经过时间t，则物体的位移与时间的关系式为2012xvtat，试推导。

【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t极短，写出vt图像下微元的面积的表达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。

【解析】作物体的vt图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t极短，速度可以看成是不变的，设第i段的速度为iv，则在t时间内第i段的位移为iixvt，物体在t时间内的位移为iixxvt，在vt图像上则为若干个微小矩形面积之和。

当把运动分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OAPQ，如图丙所示。图线与轴所夹的面积，表示在时间t内物体做匀变速直线运动的位移。

面积12SSS，又0Pvvat，所以2012xvtat

3、加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度大小为（ ）

A.cosg B. tang C. cosg D. tang

【答案】B

【解析】如图所示，取水面上质量为m的水元为研究对象，其受力如图所示，

应用正交分解或平行四边形定则，可求得质量为m的水元受到的合力为

=tanFmg合，根据牛顿第二定律可知

=Fma合， 则tanag，方向与启动方向相同。

三、微元法在功和能中的应用

4、2014 上海徐汇模拟）如图所示，一台农用水泵装在离地面的一定高度处，其出水管是水平的．现仅有一盒钢卷尺，请你粗略测出水流出管口的速度大小和从管口到地面之间在空中水柱的质量(已知水的密度为ρ，重力加速度为g)．

(1)除了已测出的水管内径l外，还需要测量的物理量是____________(写出物理量名称和对应的字母)；

(2)水流出管口的速度v0的表达式为________________(请用已知量和待测量的符号表示)；

(3)空中水柱的质量m的表达式为____________(请用已知量和待测量的符号表示)．

【答案】(1)水的水平射程x，管口离地的高度h (2) 0=2gvxh (3) 24xlm=

【解析】 根据平抛运动的规律知，水平方向上有x=v0t，竖直方向上有212hgt= ，联立以上二式可得初速度0=2gvxh；空中水的质量204xlmSvt=.

5、从地面上以初速度0v竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为1v，且落地前球已经做匀速运动．求：

（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；

（2）球抛出瞬间的加速度大小；

（3）球上升的最大高度H．

【思路点拨】（1）（2）求解不难。（3）用微元法求解，首先根据牛顿第二定律写出加速度的表达式，再用vat，取微元然后写出v与t关系式，最后求和。

【答案】见解析。

【解析】（1）球从抛出到落地重力做功为零，根据动能定理

22101122fWmvmv

克服空气阻力做功22011122fWmvmv

（2）阻力与其速率成正比

抛出瞬间阻力0fkv 匀速运动时11fkv

抛出瞬间阻力的大小为01vfmgv

根据牛顿第二定律0mgfma

解得抛出瞬间的加速度大小为

0011vagv

（3）上升时加速度为a，根据牛顿第二定律

mgkvma

kagvm

取极短时间t，速度的变化量v，有

kvatgtvtm

式中vth

上升全过程对等式两边求和

kvgthm

左边求和 00vv （末减初）

1gtgt kkhHmm （hH）

代入解得010kvgtHm，又前面已求出1mgkv

所以球上升的最大高度

011vgtvHg.

【总结升华】取微元，根据相应的物理规律写出所求问题用微元表示的函数表达式，最后求和，注意各物理量的物理意义，解析中已经写得很清楚了。

四、微元法在动量中的应用

6、一艘帆船在静水中由风力推动做匀速直线运动。帆面的面积为S，风速为1v，船速为2v（21vv），空气的密度为，则帆船在匀速前进时帆面受到的平均风力大小为多少？

【答案】212()Svv

【解析】取图所示的部分空气为研究对象，应用“长方体模型”，

这部分空气的质量为mVSvt,

这部分空气经过时间t后速度都由1v变为2v，

取船前进方向为正方向，由动量定理得：

21()Ftmvv

所以212121212()()()()SvvtmFvvvvSvvtt

五、微元法在电场中的应用

7、如图所示，一个半径为R的带电圆环，带电荷量为+Q，带电圆环的中心为O，在通过O点与圆面垂直的直线上有一点A，距离O点为L，A点有一带电荷量为+q的点电荷，求该点电荷受到的电场力．

【思路点拨】带电圆环不是点电荷，用“对称”“等效”或“割补”的方法将非点电荷问题转化为点电荷问题，实际上就是利用“微元法”，把带电圆环平均分为N小段，每段都可以看着点电荷，这个微小的点电荷的电荷量为/qQN，再利用库仑定律求相互作用力。

【答案】3222()QqLkLR 沿OA方向

【解析】把带电圆环平均分为N小段，每段都可以看着点电荷，这个微小的点电荷的电荷量为/qQN，则q与q间的库仑力的大小为F，如图所示．设F、F夹角为，A点到圆环边缘距离为r，则由库仑定律得2qqFkr，cosFF，由几何知识222rRL，22cosLLR，根据对称性（每个微元电荷与q之间的库仑力的竖直分量的矢量和为零）有：该点电荷受到的电场力的大小就等于每个微元电荷与q之间的库仑力的水平分量之和，3222()QqLFNFkLR合．方向沿OA方向。

【总结升华】带电圆环是线电荷，应用微元法就是把它均匀分成N段，每段的电荷量为总电量除以N，/qQN，再利用库仑定律求相互作用力，各个微元电荷与q的作用力的方向都不同，把F分解成水平方向和竖直方向，就清楚地知道竖直分量的矢量和为零，水平分量大小相等方向相同，将水平分力求和，即FNF合。

六、微元法在电磁感应中的应用

8、如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一个水平向右的初速度0v，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？

【思路点拨】这是一个典型的在变力作用下求位移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要采用的方法得当仍然可以求解。应用微元法求解：取一极短时间t，发生了一段极小的位移x，切割磁感线面积的变化量为Lx，磁通量的变化为BLx，写出电流的表达式，进而写出安培力的表达式，应用动量定理，对所有的位移求和，就可以求出

金属杆移动的最大距离。

【答案】220LBRmvx

【解析】设杆在减速中的某一时刻速度为v，取一极短时间t，发生了一段极小的位移x，

在t时间内，磁通量的变化为

BLx tRxBLtRREI

金属杆受到安培力为tRxLBILBF22安

由于时间极短，可以认为F安为恒力，选向右为正方向，在t时间内，

安培力F安的冲量为：RxLBtFI22安

对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为

xRLBRxLBI2222)( ① 其中x为杆运动的最大距离（xx），

对金属杆用动量定理可得 00Imv ②

由①、②两式得：220LBRmvx

【总结升华】对于这种轻杆在磁场中的导轨上滑动问题，应用微元法是很好的解题方法。要注意的是，轻杆的运动是变减速运动，速度、电流、安培力等都是变化的，“化变为恒”就是要取一个微元，应用相应的物理规律，这里重要的是必须用动量定理，写出安培力的冲量的表达式，就是我们说的微元的表达式，最后求和。

跟踪训练

1、(2015 新课标Ⅰ卷) 如图，一长为10cm的金属棒ab用两个完全相同的弹簧水平地悬挂在匀强磁场中；磁场的磁感应强度大小为0.1T，方向垂直于纸面向里；弹簧上端固定，下端与金属棒绝缘。金属棒通过开关与一电动势为12V的电池相连，电路总电阻为2Ω。已知开关断开时两弹簧的伸长量均为0.5cm；闭合开关，系统重新平衡后，两弹簧的伸长量与开关断开时相比均改变了0.3cm。重力加速度大小取10 m/s2。判断开关闭合后金属棒所受安培力的方向，并求出金属棒的质量。

2、如图所示，长为L的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m，船的质量为M，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？

3、电量Q均匀分布在半径为R的圆环上，如图所示，求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度。

4、如图所示，一个半径为R的圆环均匀带电，ab为一极小的缺口，缺口长为L（LR），圆环的带电量为Q（正电荷），在圆心处置一带电量为q的负点电荷，试求负点电荷受到的库仑力．

5、如图所示，用金属丝AB弯成半径1rm的圆弧，但在A、B之间留出宽度为d=2cm、相对来说很小的间隙，将电荷量Q=3.131910C的正电荷均匀分布在金属丝上，求圆心O处的电场强度。

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电磁感应微元法

电磁感应微元法

电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律”

江苏省特级教师 江苏省丰县中学 戴儒京

所谓：“微元法”

所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。

1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。

2. 关于微元法。在时间t很短或位移x很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以xtv，sxltlv。微元法体现了微分思想。

3. 关于求和。许多小的梯形加起来为大的梯形，即Ss，（注意：前面的s为小写，后面的S为大写），并且0vvv，当末速度0v时，有0vv，或初速度00v时，有vv，这个求和的方法体现了积分思想。

4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法.

如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。

微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。

电磁感应中的微元法

一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为BLvE，感应电流为RBLvI，受安培力为vRLBBILF22，因为是变力问题，所以可以用微元法.

1.只受安培力的情况

例1. 如图所示，宽度为L的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。质量为m、电阻为r的导体棒从高度为h的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S而停下。

（1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v；

（2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v与在水平导轨上滑行的距离x的函数关系，并画出xv关系草图。

如何利用微元法分析问题

如何利用微元法分析问题

表示　：厂（ｚ）的图象，虚线表示　＝ｇ（　）的图象，其　中可能正确的是（　）．　

Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　３分层布置作业能使学生体验到成功的喜悦感　４组同学的作业单实际上是一样的，只不过分为　基础题、巩固题、提高题、难题４种题型，教师要求的　是第４组学生做基础题、第３组学生做基础题和巩固　题、第２组学生做基础题、巩固题和提高题、第１组学　生４种题型都要做．实际上学生也可以根据个人能力　和兴趣继续做教师没有要求的题．学生在做出教师要　求的作业后，还可以根据自己的实际能力和兴趣继续　做其他的数学题，当学生成功的做出其他习题时，他　们就会体验到成功的感觉，同时加强了自己学习数学　的信心，从而更加喜欢学习数学．　教师在分层布置作业的时候改变形式，利用合适　的时间让第１组学生自己出几道数学题，数学题的内　容要和目前学习的数学知识有关，然后将这些习题拿　给第３组和第４组学生来做，同时由第２组学生对作　业进行批改．当然，教师要对第１组学生所出的习题　进行审阅，防止所出数学题过难，第３组学生和第４　组学生做不出来会挫伤自尊心和学习数学的积极性．　这样分层布置作业的方式可以提高第１组学生的学　习能力，调动所有学生的积极性，并让４组学生都能　从作业中获得满足感．　４分层布置作业能使不同层次的学生都得到进步　在分层布置作业以及批改作业的过程中，有些学　生的作业在订正之后还是不能完全理解，教师可以针　对他们在作业中出现的问题，再设计一些相类似的题　型让他们继续做，使他们每做一次作业，都有进步．通　过他们反复练习数学题，体会到可以通过自己的努　力，使数学思维不断地在完善、学习成绩不断地在提　高、解题能力不断地在增强．并且教师在教学过程中　定期地通过对学生的观察和测试，将分组成员改变，　让每一个学生都感觉到自己在不断地进步，以达到分　组的目的．　总之，分层布置作业可以提高学生学习数学的兴　趣，可以从做作业的过程中体验到成功的感觉，可以　使每一个学生都有不同程度的进步，进而提高学生的　学习效果和体现学生在学习中的主体地位．　（作者单位：江苏省泰州口岸中学）　僻　胸　◇湖南唐跃明　在高中阶段，大多数同学由于没有掌握微积分等　数学工具，对一些物理过程难以分析到位．而微元思　想的渗透与应用，不仅有助于同学解决难题，也是为　日后进人大学更加深入地研究物理问题打下基础．本　文就利用微元法分析运动过程以及微元后的整合进　行讨论．　１利用微元法分析运动过程　对于运动过程的分析，学生比较擅长匀变速的情　况，而对于运动情况更加复杂的问题要找到其规律却　不太容易．而利用微元法分析复杂的运动过程就在于　把过程化分为微小的元过程，并对其进行研究．我们　可以通过下面一道例题体会一下．　例１　已知物体以Ｏ　为圆心，Ｒ为半径，做角速　度为　的匀速圆周运动，　求物体的向心加速度的　大小．　Ｑ　如图１所示，物　析体的运动速度由　图ｌ　１变到　２，变化为：　２一　１；△　，　①　在０很小时，明显有△　的方向指向圆心，并且有　Ａｖ＝ｃｏＲＯ，　②　注意到　Ｏ＝ｃｏＡｔ，　③　有　ｎ一　一　。Ｒ．　④　至此，我们用微元法证明了向心加速度公式．　彝　ｆ有Ａｖ＝７３　一∞Ｒ　．这样的处理方法融合了极限的思　想，正好符合瞬时加速度的定义（ａ＝　，Ａｔ极小）所　以微元法在求这种定义方式下的物理量非常有效．　■　；例２如图２所示，人站在岸上拉一条小船，人　拉绳的速度为　，求船在水中运动的速度．　艄化　～

一阶线性偏微分方程求解例题

一阶线性偏微分方程求解例题

一阶线性偏微分方程求解例题

CH1典型方程和定解条件

【内容提要】

方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)

主要方法：微元法；

泛定方程:

波动方程(双曲型)：

弦振动方程：

传输线方程：

电磁场方程:

热传导方程/扩散方程（抛物型）:

导热杆（无热源），

导热片（无热源）

稳恒方程(椭圆型):

Poisson方程：

Laplace方程：

2.定解条件：初始条件及边界条件

边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet条件):

(2)第二类边界条件(Neumann条件):

(3)第三类边界条件(Robin条件):

3.定解问题的提法：

4.线性偏微分方程的基本性质 （1）.线性迭加原理

(2.)齐次化原理（冲量原理）

Duhamel原理：设是方程的解，

(是方程的解。

【典型习题】

1：长为的均匀杆，侧面绝缘,一端温度为零，另一端有恒定热流进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为），杆的初始温度分布是，试写出相应的定解问题

解：初始条件：，杆的初始温度分布是，

边界条件：由杆的一端温度为零

，杆的另一端有恒定热流q，）（Fourier实验定律

故定解问题为：

该定解问题为齐次方程第二类非齐次边界条件的混合问题

3：长为的弦两端固定，开始时在受冲量的作用，试写出相应的定解问题

解：设弦的两端为：，由题意有

弦的振动方程为

边界条件为：

初始条件为：

在点，取小段（是无穷小量），

由冲量定理有，(冲量=动量改变量)；

∴ 于是，

故定解问题为

该定解问题为齐次方程第一类齐次边界条件的混合问。

微元法2

微元法2

微元法

这里所说的“微元法”和“微元累加法”其实就是高等数学中的“极限”和“微积分”思想在中学物理中具体应用时的一种通俗称呼。

►将物理量分割成无数个微元，再对这些微元求和(积分),就得到了物理量总的变化量。

ΣΔt=t， ΣΔx=x， ΣΔv=v，

►将随时间变化的物理量，如力、速度、电流等，将时间分割成无数个微元Δt，每个微元中变量可以看作是不变的，再对这些微小积累量求和(积分)。

ΣFΔt=m(v2-v1)， ΣvΔt=x，ΣaΔt =Δv ΣIΔt=Q 这是一种很重要的计算方法。

例1：如图3—4所示，长为L的船静止在平静的水面上，

立于船头的人质量为m，船的质量为M，不计水的阻力，

人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？

例2：一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v，那么火箭发动机的功率是多少？

例3：如图3—16所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一个水平向右的初速度v0，然后任其运动，导轨足够

长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？

例4：电量Q均匀分布在半径为R的圆环上，求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度.

.例5（2010模拟）如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨 MN、PQ 平行固定在倾角θ＝37°的绝缘斜 面上，两导轨间距 L＝1m，导轨的电阻可忽略。M、P 两点间接有阻值为 R 的电阻。一 根质量 m＝1kg、电阻 r＝0.2?的均匀直金属杆 ab 放在两导轨上，与导轨垂直且接触良 好。整套装置处于磁感应强度 B＝0.5T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示 位置起，杆 ab 受到大小为 F＝0.5v＋2（式中 v 为杆 ab 运动的速度，力 F 的单位为

N） 、 方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻 R 的电流随时 间均匀增大。g 取 10m/s2，sin37°＝0.6。 ⑴试判断金属杆 ab 在匀强磁场中做