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考研线性代数总结

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线性代数总结

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

(),nTArAnAAAxxAxAAxAAAE可逆

的列（行）向量线性无关

的特征值全不为0

只有零解 ， 0总有唯一解

是正定矩阵

R12,siAppppnBABEABE

是初等阵存在阶矩阵使得 或

○：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.

()ArAnAAAAxA不可逆

0的列（行）向量线性相关

0是的特征值

有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量

○ ()()abraEbAnaEbAaEbAx

有非零解=-

:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()

√ 关于12,,,neee：

①称为n¡的标准基，n¡中的自然基，单位坐标向量87p教材；

②12,,,neee线性无关；

③12,,,1neee；

④tr=En；

⑤任意一个n维向量都可以用12,,,neee线性表示. 行列式的定义 1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaaLLLLLMMML1

√ 行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

②若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO1（拉普拉斯展开式）

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④关于副对角线：(1)211212112111()nnnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaOKNN1 （即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）

⑤范德蒙德行列式：1222212111112nijnjinnnnnxxxxxxxxxxxLLLMMML111

矩阵的定义 由mn个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLMMML称为mn矩阵.记作：ijmnAa或mnA

伴随矩阵 1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAALLMMML，ijA为A中各个元素的代数余子式.

√ 逆矩阵的求法:

① 1AAA ○： 1abdbcdcaadbc1 LL主换位副变号

②1()()AEEAMM初等行变换 ③1231111213aaaaaa 3211111213aaaaaa

√ 方阵的幂的性质：mnmnAAA ()()mnmnAA

√ 设,,mnnsABA的列向量为12,,,n,B的列向量为12,,,s，

则msABC1112121222121212,,,,,,ssnsnnnsbbbbbbcccbbbLLLMMMLiiAc ，(,,)isL1,2i为iAxc的解121212,,,,,,,,,sssAAAAcccL12,,,scccL可由12,,,n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.

同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，TA为系数矩阵.

即： 1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaacLLMMMMML11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaacLLLLLL

√ 用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；

用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.

√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

√ 分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD

分块矩阵的逆矩阵：111AABB 111ABBA

1111ACAACBOBOB 1111AOAOCBBCAB

分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222ABABAB,1122nnnAAA

分块对角阵的伴随矩阵：***ABABAB *(1)(1)mnmnAABBBA

√ 矩阵方程的解法(0A)：设法化成AXBXAB(I) 或 (II) ABEXMM初等行变换(I)的解法：构造()()

TTTTAXBXX(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动）

⑤ 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p教材.

⑥ 向量组12,,,n中任一向量i(1≤i≤)n都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组12,,,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.

向量组12,,,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n1个向量线性表示.

⑧ m维列向量组12,,,n线性相关()rAn；

m维列向量组12,,,n线性无关()rAn.

⑨ 若12,,,n线性无关，而12,,,,n线性相关,则可由12,,,n线性表示,且表示法唯一.

⑩ 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵

⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；

矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

对A施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A；

对A施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A.

矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作()rAr 向量组的秩 向量组12,,,nL的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)nrL

矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：AB%

向量组等价 12,,,n和12,,,n可以相互线性表示. 记作：1212,,,,,,nn%

⑫ 矩阵A与B等价PAQB，,PQ可逆()(),,,rArBABAB为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵A与B作为向量组等价1212(,,,)(,,,)nnrr1212(,,,,,,)nnr

矩阵A与B等价.

⑬ 向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示AXB有解12(,,,)=nr1212(,,,,,,)nsr12(,,,)sr≤12(,,,)nr.

⑭ 向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示,且sn，则12,,,s线性相关.

向量组12,,,s线性无关,且可由12,,,n线性表示,则s≤n.

⑮ 向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示,且12(,,,)sr12(,,,)nr,则两向量组等价；p教材94,例10

⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.

⑰ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.

⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

⑲ 设A是mn矩阵,若()rAm，A的行向量线性无关；

若()rAn，A的列向量线性无关,即：12,,,n线性无关.

√ 矩阵的秩的性质：

①()AOrA若≥1 ()0AOrA若 0≤()mnrA≤min(,)mn

②()()()TTrArArAA p教材101,例15

③()()rkArAk 若0

④()(),,()0mnnsrArBnABrABBAx 若若0的列向量全部是的解 ⑤()rAB≤min(),()rArB

⑥()()()()ArABrBBrABrA若可逆若可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

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考研_线性代数_笔记精华_3打印

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一章 行列式

一、重点

1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点

行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

三、重要公式

1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│

2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│

3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1

若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1

4、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi

四、题型及解题思路

1、有关行列式概念与性质的命题

2、行列式的计算（方法）

1）利用定义

2）按某行（列）展开使行列式降阶

3）利用行列式的性质

①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（列）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式

5）数学归纳法，多用于证明

3、运用克莱姆法则求解线性方程组

若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即

x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D

其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题

1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）

2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出

第二章 矩阵

一、重点

1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）

考研线代证明题

考研线代证明题

考研线代证明题

摘要：

1.考研线代证明题概述

2.线性无关组的概念及性质

3.证明题的解题思路和方法

4.举例说明

5.结论

正文：

一、考研线代证明题概述

线性代数是考研数学的重要组成部分，其中证明题是历年考研数学试卷中必考的内容。线代证明题主要涉及到向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等知识点。这类题目不仅考查考生的数学知识，还考查考生的逻辑思维和推理能力。

二、线性无关组的概念及性质

线性无关组是线性代数中一个基本概念，是指一组向量线性无关。线性无关组的性质有：

1.线性无关组中的向量可以线性表示其他向量；

2.线性无关组中的向量数量是最大的；

3.线性无关组中的向量具有线性无关性，即任意一个向量都不能由其他向量线性表示。

三、证明题的解题思路和方法

解线代证明题，首先要理解题目所给出的已知条件，然后找到解题的思路。具体方法如下：

1.利用已知条件，通过线性组合将向量表示出来；

2.利用线性无关组的性质，判断向量是否线性无关；

3.利用矩阵的性质，如行列式、秩等，推导出所需结论。

四、举例说明

假设有一个线性无关组 a(1), a(2),..., a(s)，现在需要证明这个线性无关组是极大线性无关组。我们可以按照以下步骤进行证明：

1.假设 a(1), a(2),..., a(s) 不是极大线性无关组，即存在一个向量 a(i) 可以表示为 a(1), a(2),..., a(s) 的线性组合，其中 i 不属于{1, 2,..., s}。

2.根据线性组合的定义，可以得到一个矩阵方程，即 a(i) = A * a(1) + B *

a(2) +...+ D * a(s)，其中 A、B、...、D 为待定系数。

3.由于 a(1), a(2),..., a(s) 线性无关，所以矩阵方程中系数矩阵的行列式不为 0，即|A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)| ≠ 0。

考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)

考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)

考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）

线性代数讲义

目录

第一讲基本概念

矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去

完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵

乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组

线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组

解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化

特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型

二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化

附录二向量空间及其子空间

附录III两个线性方程组的解集之间的关系

附录四06,07年考题

一

第一讲基本概念

1.线性方程组的基本概念。线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，

其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.

线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.

在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解 b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.

n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）

把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.

考研数学线性代数每年必考的知识点

考研数学线性代数每年必考的知识点

考研数学线性代数每年必考的知识点

考研数学线性代数每年必考的知识点

线性代数是考研数学中比较重要的一部分内容，考生要认真复习，尤其注意对重点知识的理解和应用。店铺为大家精心准备了考研数学线性代数每年必考的难点，欢迎大家前来阅读。

考研数学线性代数每年必考的重点

一、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节。向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。

四、二次型

本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。

考研数学拿高分的技巧

1、认真思考数学问题的习惯 思考对于数学的学习是最核心的，对做题更甚。不坚持去思考，不仔细去联想，类比，总结只相当于背书，是学不到数学的本质的，想考高分是不可能的。

举一个例子：中值定理那块的证明题，一开始不会证，我就忍住不去看答案，自己去思考，有时候一晚上都在思考一个题。这样思考，我会想到很多知识点并加以整合，会慢慢提炼出思路。以后解这一类题就会顺畅很多。考研的题肯定是自己没见过的，平常做题时不会就去看答案，考场上可没有现成的答案看啊。