高中文科数学知识点归纳(完整版)

1 

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必修1数学

集合：

1、集合的定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做

这个集合中的元素

2、集合元素的特征：①确定性 ②互异性 ③无序性

3、集合的分类：①有限集 ②无限集 ③空集，记作

4、集合的表示法：①列举法 ②描述法 ③文氏图法 ④特殊集合 ⑤区间法

常用数集及其记法：①自然数集（或非负整数集）记为N 正整数集记为N或N

②整数集记为Z ③实数集记为R ④有理数集记为Q

5、元素与集合的关系：①属于关系，用“”表示；②不属于关系，用“”表示

6、集合间的关系：①包含：用“”表示 ②真包含：用“ ”表示 ③相等 ④不相等

7、集合的交、并、补

交集的定义：由所有属于集合A且属于集合的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作BA，

即BxAxxBA且

并集的定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作BA，

即BxAxxBA或

8、全集与补集：对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于集合U

的补集，记作ACU，即AxUxxACU且,

9、交集、并集、补集的运算：

(1)交换律：ABBAABBA

(2)结合律:)()()()(CBACBACBACBA

(3)分配律:.)()()()()()(CABACBACABACBA

(4)0-1律：,,,AAAUAAUAU

(5)等幂律：AAAAAA

(6)求补律：AACCUCUCUACAACAUUUUUU)(

(7)反演律：)()()(BCACBACUUU )()()(BCACBACUUU

10、文氏图的应用：交集、并集、补集的文氏图表示

11、重要的等价关系：BABBAABA

12、一个由n个元素组成的集合有n2个不同的子集，其中有12n个非空子集，也有12n个真子集

函数：

1、映射：设BA、是两个集合,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都有唯一的元素b和它对应,则这样的对应（包括集合BA、以及A到B的对应法则f）叫做从集合A到集合的映射，记作BAf:，其中b叫做a的象，a叫做b的原象 U

CUA A A B A∩B

A∪B

2 如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合中有不同的象，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射

2、 函数：设BA、是两个非空数集，那么从A到B的映射BAf:就叫做函数，记作)(xfy，其

中ByAx,，x叫做自变量,y是x的函数值．自变量的取值集合A叫做函数的定义域，函

数值的集合C叫做函数的值域，值域BC，函数三要素：定义域、值域、对应法则;两个函数相同：定义域和对应关系都分别相同

3、函数的表示方法：（1）列表法 （2）图象法 （3）解析法

4、分段函数:在自变量的不同取值范围内,其解析式不同,分段函数不是几个函数,是一个函数

5、（1）函数的定义域的常用求法：

①分式的分母不等于零 ②偶次方根的被开方数大于等于零 ③对数的真数大于零

④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1

⑤三角函数正切函数tanyx中()2xkkZ，余切函数cotyx中,)(Zkkx

⑥如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围

（2）值域的求法：①直接法 ②分离常数法 ③图象法 ④换元法 ⑤判别式法 ⑥不等式与对勾函数

6、求函数解析式的方法:

①直代 ②凑配法 ③ 换元法 ④待定系数法 ⑤列方程组法 ⑥特殊值法

7、增减函数的定义：对于函数)(xf的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx

①若当21xx时，都有)()(21xfxf,则说)(xf在这个区间上是增函数

②若21xx当时，都有)()(21xfxf,则说)(xf在这个区间上是减函数

8、（1）单调性的证明：讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设, 二差, 三判断”三个步骤

（2）函数单调性的常用结论：

①若(),()fxgx均为某区间上的增（减）函数,则()()fxgx在这个区间上也为增（减）函数

②若()fx为增（减）函数，则()fx为减（增）函数

③若()fx与()gx的单调性相同，则[()]yfgx是增函数；若()fx与()gx的单调性不同，则[()]yfgx是减函数,即复合函数的单调性是“同增异减”

④奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反

9、（1）奇、偶函数的定义：对于函数)(xf

①如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数

②如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf,那么函数)(xf就叫做奇函数

注意：①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称

②)()()()(xfxfxfxf或是定义域上的恒等式

③若奇函数)(xf在0x处有意义，则0)0(f

④奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形

（2）函数奇偶性的常用结论：

①如果一个奇函数在0x处有定义，则(0)0f，如果一个函数()yfx既是奇函数又是偶函数，则()0fx（反之不成立）

②两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数

③一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数

④两个函数()yfu和()ugx复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数

基本初等函数

1、（1）一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根。其中Nnn,1

①负数没有偶次方根 ②0的任何次方根都是0，记作00n

3 ③当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann

④我们规定：(1)mnmnaa1,,,0*mNnma (2)01naann

（2）对数的定义：设0a且1a,对于数0N,若能找到实数b,使得Nab,那么数b称为以a为底的N的对数,记作Nbalog,其中a叫做对数的底数, N叫做真数

注：（1）负数和零没有对数（因为0baN） （2）1log,01logaaa（0a且1a）

（3）将Nbalog代回Nab得到一个常用公式logaNaN （4）xNNaaxlog

（3）幂函数的定义：一般地，我们把形如axy函数称为幂函数．其中x是自变量,是常数

2、（1）①Qsraaaasrsr,,0 ②Qsraaarssr,,0

③Qrbabaabrrr,0,0

（2）当0,0,1,0NMaa时：

①NMMNaaalogloglog ②NMNMaaalogloglog ③MnManaloglog

④换底公式：abbccalogloglog 0,1,0,1,0bccaa，利用换底公式推导下面的结论：

（1）bmnbanamloglog （2）abbalog1log

3、（1）指数函数的定义：函数)1,0(aaayx叫做指数函数.函数的定义域是实数集R

（2）对数函数的定义：一般把函数10logaaxya且叫做对数函数,它的自变量为x,其定义域是,0，底数a为常数

表1 指数函数0,1xyaaa 对数数函数log0,1ayxaa

定义域 xR 0,x

值域 0,y yR

图象

性质 过定点(0,1)󰀀 过定点(1,0)

减函数 增函数 减函数 增函数

(,0)(1,)(0,)(0,1)xyxy时，时， (,0)(0,1)(0,)(1,)xyxy时，时， (0,1)(0,)(1,)(,0)xyxy时，时， (0,1)(,0)(1,)(0,)xyxy时，时，

4

零点、二分法：

1、（1）函数的零点：

①对于函数)(xfy，我们把使0)(xf的实数叫做函数)(xfy的零点

方程0)(xf有实根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点

②如果函数0)(xfy在区间ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(bfaf，那么函数)(xfy在区间ba,内有零点，即存在bac,，使得0)(cf，这个c也就是方程0)(xf的根

（2）函数零点的求法：

①（代数法）求方程0)(xf的实数根

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点

2、二分法：

定义：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，

使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法

ab ab ab ab

表2 幂函数()yxR

pq 0 01 1 1

pq为奇数为奇数

奇函数

pq为奇数为偶数

pq为偶数为奇数

偶函数

第一象限性质 减函数 增函数 过定点01（，）